Appunti sul corso di Complementi di Matematica ( modulo Analisi) prof. B.Bacchelli
02 - Equazioni differenziali lineari del primo ordine.
Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Problema di Cauchy.
Def. Si dice equazione differenziale lineare del primo ordine, in forma normale, una equazione della forma
y0 = p(x) y + q(x)
dove y(x) `e la funzione incognita. Se q(x) = 0 si dice omogenea, se q(x) 6= 0 si dice non omogenea.
Teorema Se p(x) e q(x) sono funzioni definite e continue in un intervallo I ⊆ R, e x0 ∈ I, il problema di Cauchy
½ y0 = p(x) y + q(x) y(x0) = y0
ha una e una sola soluzione y(x) di classe C1 sull’intervallo I .
L’equazione omogenea `e a variabili separabili e ha integrale generale y(x) = C eRp(x)dx, C costante.
Per ottenere la soluzione generale della non omogenea applichiamo il metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Tale metodo consiste nel cercare le soluzioni nella forma
y(x) = C(x)eRp(x)dx. dove ora C(x) si suppone essere funzione derivabile.
Derivando con la regola del prodotto, e poich`e p(x) `e funzione continua, troviamo
y0(x) = C0(x)eRp(x)dx+ C(x)p(x)eRp(x)dx Sostituendo nella equazione y0 = p(x) y + q(x) si trova
C0(x)eRp(x)dx+ C(x)p(x)eRp(x)dx = p(x)C(x)eRp(x)dx+ q(x)
1
Semplificando e moltiplicando per e−Rp(x)dx otteniamo C0(x) = q(x)e−Rp(x)dx.
Le funzioni C(x) si trovano integrando : C(x) =
Z
q(x)e−Rp(x)dxdx + C
Quindi le soluzioni sono y(x) = eRp(x)dx
µ C +
Z
q(x)e−Rp(x)dxdx
¶
, C costante
Le ipotesi di continuit`a di p(x) e q(x) garantiscono che le operazioni indicate hanno senso.
NOTA BENE: Si osservi che l’integrale generale di un’equazione lineare non omogenea `e uguale alla somma dell’integrale generale dell’equazione omogenea corrispondente (z(x) = CeRp(x)dx), e di una soluzione particolare dell’equazione non omogenea, quella che si ottiene per C = 0.
NOTA BENE: Per risolvere il problema di Cauchy, troviamo l’integrale generale sull’intervallo di continuit`a di p e q che contiene il punto x0, e quindi sostituiamo in tale formula i valori x0 e y0 per trovare la costante C. La soluzione y(x) del problema di Cauchy `e quindi quella che si ottiene sostituendo il valore particolare C cos`ı trovato.
NOTA BENE: Se l’equazione si presenta nella forma y0+ a(x) y = q(x)
allora l’integrale generale `e y(x) = eR−a(x)dx
µ C +
Z
q(x)eRa(x)dxdx
¶
Esempi
I y0 = 2xy + x3 , y(−1) = 0
³ y(x) = eR2xdx(C +R
6x3e−R2xdxdx) = ex2(C +R
6x3e−x2dx) R 6x3e−x2dx = −3x2e−x2 +R
6xe−x2dx = −3x2e−x2 − 3e−x2 2
⇒ y(x) = ex2(C − 3x2e−x2 − 3e−x2) = Cex2 − 3x2− 3 Problema di Cauchy: y(−1) = Ce − 6 = 0 ⇒ C = 6e−1
⇒ y(x) = 6e−1+x2 − 3x2− 3
I xy0+ y = x , y(−1) = 1
³ Mettiamo l’equazione in forma normale per x 6= 0 : y0 = −1
xy + 1, per x 6= 0
Poich`e x0 = −1 appartiene all’intervallo (−∞, 0), troviamo l’integrale generale su tale intervallo.
y(x) = e
R−1
xdx(C + R e
R 1
xdxdx) = e− log|x|(C + R
elog|x|dx) = 1 xC + 1
x
R xdx = 1 xC + x
2
Problema di Cauchy: 1 = y(−1) = −C −1
2 ⇒ C = −3 2
⇒ y(x) = − 3 2x+ x
2, per x < 0.
I y0 = −y x + 1
x + 2, y(−1) = 3 , x 6= −2, 0
³Poich`e x0 = −1 appartiene all’intervallo (−2, 0), troviamo l’integrale generale su tale intervallo.
y(x) = e
R−1
xdx(C +R 1 x + 2e
R 1
xdxdx) = e− log|x|(C +R 1
x + 2elog|x|dx) = 1
xC + 1 x
R x
x + 2dx)
= 1
x(C +R x + 2 − 2
x + 2 dx) = 1
xC + 1 − 2 log(x + 2) Problema di Cauchy: 1 = y(−1) = −C + 1 ⇒ C = 0
⇒ y(x) = 1 − 1
xlog (x + 2)2
Modello di conduzione termica. Sia T (t) la temperatura al tempo t, di un ambiente interno ad un contenitore. Il contenitore `e immerso in un ambiente che `e supposto avere temperatura Te.
Allora la dinamica della temperatura all’interno del contenitore segue la legge:
dT
dt = k(Te− T )
dove k > 0 (conduttivit`a del contenitore): E’ una EDO lineare del primo ordine nella incognita T.
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