Esame di Matematica Generale
Docente: S. Federico (matricole 50-74) 3 Settembre 2018
——– FILA A ———
Nome: Cognome: Matricola:
Descrizione della prova
• La seguente prova scritta `e costituita da 4 quesiti a risposta multipla e da 4 quesiti a risposta aperta.
• Nei quesiti a risposta multipla:
– una ed una sola risposta `e corretta;
– la risposta non data assegna 0 punti;
– la risposta errata assegna −1 punti;
– il punteggio assegnato alla risposta corretta `e specificato all’inizio di ogni quesito.
• Il massimo punteggio ottenibile nei quesiti a risposta multipla (tutte le risposte corrette) `e di 12 punti; il minimo punteggio ottenibile nei quesiti a risposta multipla (tutte le risposte errate) `e di −8 punti.
• Il massimo punteggio ottenibile nei quesiti a risposta aperta `e di 20 punti.
• Lo svolgimento dei quesiti a risposta aperta deve essere chiaro e ordinato.
• Nello svolgimento dei quesiti lo studente pu`o evitare di riportare i calcoli completi nella stesura della bella copia. I calcoli completi devono per`o essere contenuti nella brutta copia che va consegnata assieme alla bella copia.
Quesiti a risposta aperta
1. (9 punti) Si consideri la funzione reale definita da f (x) = 1
ex− 1.
Si tracci al meglio il grafico di f considerata sul suo dominio naturale.
2. (5 punti) Si calcoli l’espressione analitica della funzione inversa della funzione f dell’esercizio precedente e se ne rappresenti il grafico.
3. (6 punti) Si stabilisca per quali valori del parametro a ∈ R la seguente funzione definita a tratti
`e continua su R.
f (x) =
(eax− 2a, se x ≥ 0, a2+ 1, se x < 0.
Si rappresenti il grafico di tale funzione per almeno uno dei valori di a trovati.
Quesiti a risposta multipla
1. Per ciascuna delle seguenti affermazioni, si dica se esse sono vere o false.
(i) (1 punto) L’insieme A = {sin x : x ∈ R} `e illimitato dal basso.
Vera Falsa
(ii) (1 punto) La successione geometrica di ragione 1 e valore iniziale 0 `e costante.
Vera Falsa
(iii) (1 punto) Se f : [0, +∞) → R `e continua e F (x) =Rx
0 f (s)ds, allora F `e derivabile in x = 1 e F0(1) = f (1).
Vera Falsa
(iv) (1 punto) Se f : [0, +∞) → R `e continua, alloraR+∞
0 f (x)dx esiste.
Vera Falsa
2. Si consideri la funzione reale y = f (x) il cui grafico `e riportato in basso. Si supponga che essa sia di classe C2 negli intervalli in cui essa “appare liscia” e sia Df il suo dominio. Infine sia x = 3 un asintoto verticale per la funzione.
-1
03
2 3
x y
(i) (3 punti) Si stabilisca quale delle seguenti affermazioni `e corretta.
f (Df) ⊆ [0, 3]
f (−1) = 2 R ⊇ f(Df) supDff < +∞
(ii) (1 punto) `E vero che f `e limitata dal basso?
Si No
(iii) (3 punti) Si stabilisca quale delle seguenti affermazioni `e errata.
f0(2) < 0 f0(−2) > 0 f00(−2) ≥ 0
f `e strettamente convessa in (−∞, −1)
(iv) (1 punto) `E possibile che il grafico di f |(−1,3) sia un arco di parabola?
Si No
Soluzioni
Quesiti a risposta aperta 1. (a) Si ha Df = R \ {0}.
(b) f non `e n´e pari n´e dispari.
(c) Il segno di f `e il seguente:
Valori di x x < 0 x > 0
Segno di f (x) − +
(d) Calcoliamo i limiti ai bordi del dominio. Si ha lim
x→0+f (x) = +∞, lim
x→0−f (x) = −∞, lim
x→+∞f (x) = 0, lim
x→−∞f (x) = −1.
(e) Si ha
f0(x) = − ex (ex− 1)2. Ne deduciamo il segno di f0:
Valori di x x < 0 x > 0 Segno di f0(x) − −
Ne deduciamo che f `e strettamente decrescente in (−∞, 0) ed in (0, +∞).
(f) Si ha
f00(x) = −ex(ex− 1)2− 2(ex− 1)e2x
(ex− 1)4 = ex(ex+ 1) (ex− 1)3 . Ne deduciamo il segno di f00:
Valori di x x ∈ (−∞, 0) x ∈ (0, +∞)
Segno di f00(x) − +
Ne deduciamo che f `e strettamente concava in (−∞, 0) e strettamente convessa in (0, +∞).
Il grafico approssimativo `e il seguente.
−1
x f (x)
2. Per calcolare l’inversa impostiamo l’equazione
y = 1
ex− 1. Risolvendo rispetto a y otteniamo
y = 1
ex− 1 ⇔ 1
y = ex− 1 ⇔ 1
y + 1 = ex ⇔ x = log 1 y + 1
.
Scambiando il ruolo di x e y otteniamo
f−1(x) = log
1 + 1
x
.
Il grafico `e ottenuto facendo il simmetrico del grafico di f rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
FARE GRAFICO
3. f `e chiaramente continua sugli intervalli (−∞, 0) e (0, +∞) per ogni valore di a ∈ R. Impo- nendo la condizione di continuit`a in x = 0 si ottiene l’equazione
ea·0− 2a = a2+ 1,
cio´e 1 − 2a = a2+ 1. Si ottengono le soluzioni a = 0 e a = −2. Se a = 0 si ha f (x) ≡ 1,
il cui grafico `e banale. Per a = −2 si ha
f (x) =
(e−2x+ 4, se x ≥ 0, 5, se x < 0.
il cui grafico `e
5 4
x f (x)
Quesiti a risposta multipla
1. (i) Falsa, poich´e −1 ≤ sin x ≤ 1 per ogni x ∈ R.
(ii) Vera, poich`e risulta costantemente uguale a 0.
(iii) Vera, per il Teorema fondamentale del calcolo integrale.
(iv) Falsa. Controesempio: f (x) = sin x.
2. (i) R ⊇ f (Df).
(ii) Si.
(iii) f0(2) < 0.
(iv) No, ha un asintoto verticale, non pu`o quindi essere un pezzo di grafico di parabola.
