Esame di Matematica Generale
Docente: S. Federico (matricole 50-74) 11 Giugno 2018
——– FILA A ———
Nome: Cognome: Matricola:
Descrizione della prova
• La seguente prova scritta `e costituita da 4 quesiti a risposta multipla e da 4 quesiti a risposta aperta.
• Nei quesiti a risposta multipla:
– una ed una sola risposta `e corretta;
– la risposta non data assegna 0 punti;
– la risposta errata assegna −1 punti;
– il punteggio assegnato alla risposta corretta `e specificato all’inizio di ogni quesito.
• Il massimo punteggio ottenibile nei quesiti a risposta multipla (tutte le risposte corrette) `e di 12 punti; il minimo punteggio ottenibile nei quesiti a risposta multipla (tutte le risposte errate) `e di −7 punti.
• Il massimo punteggio ottenibile nei quesiti a risposta aperta `e di 20 punti.
• Lo svolgimento dei quesiti a risposta aperta deve essere chiaro e ordinato.
• Nello svolgimento dei quesiti lo studente pu`o evitare di riportare i calcoli completi nella stesura della bella copia. I calcoli completi devono per`o essere contenuti nella brutta copia che va consegnata assieme alla bella copia.
Quesiti a risposta aperta
1. Si consideri la funzione reale f (x) =p
(x + 1)4e−2x.
(i) (8 punti) Si tracci al meglio il grafico di f considerata sul suo dominio naturale.
(ii) (2 punti) Si stabilisca, argomentando la risposta, se l’integrale improprioR+∞
0 f (x)dx esiste.
2. (3 punti) Si calcoli la derivata prima della funzione f (x) = 2x2e3(x2+1)− log ex.
3. (3 punti) Si determinino gli intervalli di convessit`a/concavit`a della funzione f : R → R definita da f (x) = 2x3− 3x + 1.
4. (4 punti) Si calcoli
Z π/2 0
sin x√
cos x dx
Quesiti a risposta multipla
1. (3 punti) Sia a = {an}n∈N0 la successione definita da an= n−2 e si ponga sn =
n
X
k=1
ak. Si dica quale dei seguenti affermazioni `e corretta.
lim
n→∞sn= +∞
lim
n→∞sn< +∞
Non esiste lim
n→∞sn
Nessuno dei precedenti risultati `e corretto
2. (1 punto) Sia f ∈ C1(R). Si stabilisca se la seguente implicazione `e vera o falsa:
f0(x) < 0 per ogni x ∈ R =⇒ limx→+∞f (x) = −∞.
Vera Falsa
3. (1 punti) Sia x ∈ Rn con n > 1. Si dica quale delle seguenti affermazioni `e corretta.
kxk `e un vettore di Rn. kxk `e un numero reale.
4. Si consideri la funzione reale y = f (x) il cui grafico `e riportato in basso. Si supponga che essa sia di classe C2 negli intervalli in cui essa “appare liscia” e sia Df il suo dominio.
0
-1 1
1
x y
(i) (3 punti) Si stabilisca quale delle seguenti affermazioni `e falsa.
f0(0) = 0
lim
x→−1−
f0(x) = +∞
lim
x→−1+f0(x) = +∞
lim
x→1−
f0(x) = −∞
(ii) (1 punto) `E vero che x = 0 `e un punto di massimo globale per f ? Si
No
(iii) (3 punti) Si stabilisca quale delle seguenti affermazioni `e falsa.
Z 1/2
−1/2
f (x) < 0
Z −1
−∞
f (x) ∈ {−∞} ∪ (−∞, 0)
Z 1 0
f (x) ∈ {−∞} ∪ (−∞, 0)
Z 0
−1
f (x) ∈ {−∞} ∪ (−∞, 0)
(iv) (1 punto) `E vero che f ammette massimo sul su dominio che esso `e uguale a 1?
Si No
Soluzioni
Quesiti a risposta aperta
1. (i) Si osservi che f (x) = (x + 1)2e−x. (a) Si ha Df = R.
(b) f non `e n´e pari n´e dispari.
(c) Il segno di f `e il seguente:
Valori di x x ∈ (−∞, −1) x = −1 x ∈ (−1, +∞)
Segno di f (x) + 0 +
(d) Calcoliamo i limiti ai bordi del dominio. Si ha
x→−∞lim f (x) = +∞ e lim
x→+∞f (x) = 0 (per la gerarchia degli infiniti).
(e) Si ha
f0(x) = 2(x + 1)e−x− (x + 1)2e−x = e−x(1 − x2).
Ne deduciamo il segno di f0:
Valori di x x ∈ (−∞, −1) x = −1 x ∈ (−1, 1) x = 1 x ∈ (1, +∞)
Segno di f0(x) − 0 + 0 −
Ne deduciamo che f `e strettamente decrescente in (−∞, −1), strettamente crescente in (−1, 1), strettamente decrescente in (1, +∞); ha un massimo locale in corrispon- denza di x = 1 e un minimo globale in in corrispondenza di x = −1.
(f) Si ha
f00(x) = (−2x)e−x− e−x(1 − x2) = e−x(x2− 2x − 1).
Ne deduciamo il segno di f00:
Valori di x x ∈
−∞, 1 −√ 2
x = 1 −√ 2 x ∈
1 −√
2, 1 +√ 2
x = 1 +√ 2 x ∈
1 +√
2, +∞
Segno di f00(x) + 0 − 0 +
Ne deduciamo che f `e strettamente convessa in −∞, 1 −√
2, strettamente concava in 1 −√
2, 1 +√
2, strettamente convessa in 1 +√
2, +∞; ha flessi in corrispon- denza di x = 1 ±√
2.
Il grafico approssimativo `e il seguente.
−1 1
4 e
x f (x)
(ii) Esiste poich´e la funzione mantiene il segno positivo in [0, +∞). Si pu`o agevolmente dimostrare che esso `e finito.
2. Si ha f (x) = 2x2e3(x2+1)− x. Dunque
f0(x) = 4xe3(x2+1)+ 2x2e3(x2+1)· (6x) − 1 = (12x3+ 4x)e3(x2+1)− 1.
3. Si ha f00(x) = 12x. Se ne deduce che f `e strettamente concava in (−∞, 0] e strettamente convessa in [0, +∞).
4. Con la sostituzione z = cos x, dz = − sin x dx otteniamo Z π/2
0
sin x√
cos x dx = − Z 0
1
√z dz = Z 1
0
√z dz = 2 3 h
z3/2i1
0=2 3. Quesiti a risposta multipla
1. lim
n→∞sn< +∞
2. Falsa. Controesempio: f (x) = e−x. 3. kxk `e un numero reale.
4. (i) lim
x→−1−f0(x) = +∞
(ii) No, `e solo locale.
(iii) Z −1
−∞
f (x) ∈ {−∞} ∪ (−∞, 0). Infatti, Z −1
−∞
f (x) = +∞.
(iv) No, si ha solo sup
Df
f = 1.
