Esame di Matematica Generale
Docente: S. Federico (matricole 50-74) 9 Luglio 2018
——– FILA A ———
Nome: Cognome: Matricola:
Descrizione della prova
• La seguente prova scritta `e costituita da 4 quesiti a risposta multipla e da 4 quesiti a risposta aperta.
• Nei quesiti a risposta multipla:
– una ed una sola risposta `e corretta;
– la risposta non data assegna 0 punti;
– la risposta errata assegna −1 punti;
– il punteggio assegnato alla risposta corretta `e specificato all’inizio di ogni quesito.
• Il massimo punteggio ottenibile nei quesiti a risposta multipla (tutte le risposte corrette) `e di 12 punti; il minimo punteggio ottenibile nei quesiti a risposta multipla (tutte le risposte errate) `e di −7 punti.
• Il massimo punteggio ottenibile nei quesiti a risposta aperta `e di 20 punti.
• Lo svolgimento dei quesiti a risposta aperta deve essere chiaro e ordinato.
• Nello svolgimento dei quesiti lo studente pu`o evitare di riportare i calcoli completi nella stesura della bella copia. I calcoli completi devono per`o essere contenuti nella brutta copia che va consegnata assieme alla bella copia.
Quesiti a risposta aperta
1. (8 punti) Si consideri la funzione reale definita da f (x) =p
log(x + 1).
Si tracci al meglio il grafico di f considerata sul suo dominio naturale. Si determinino limx→0+f0(x) e limx→+∞f0(x).
2. (4 punti) Si calcoli l’integrale generalizzatoR1 0
1 xdx.
3. (6 punti) Si calcolino il massimo ed il punto di massimo (o i punti di massimo) della funzione f (x) = ex(x2− 2x + 1)
nell’intervallo [−2, 2].
4. (2 punti) Si tracci il grafico dell’inversa della funzione f |(−1,1) dove f `e la funzione il cui grafico
`
e riportato nell’esercizio a risposta multipla n. 2.
Quesiti a risposta multipla
1. Per ciascuna delle seguenti affermazioni, si dica se esse sono vere o false.
(i) (1 punto) L’insieme A = {1 −1n : n ∈ N0} `e illimitato dal basso.
Vera Falsa
(ii) (1 punto) La successione aritmetica di ragione 1 e valore iniziale 0 `e monotona.
Vera Falsa
(iii) (1 punto) Se f ∈ C1(0, 1), allora f `e continua in x = 1/2.
Vera Falsa
(iv) (1 punto) L’operazione ∞0 `e ben definita nell’algebra parziale di R∗. Vera
Falsa
2. Si consideri la funzione reale y = f (x) il cui grafico `e riportato in basso. Si supponga che essa sia di classe C2 negli intervalli in cui essa “appare liscia” e sia Df il suo dominio.
0
−1 1
x y
(i) (3 punti) Si stabilisca quale delle seguenti affermazioni `e falsa.
limx→−∞f0(x) = 0
f0 `e crescente in (−∞, −1).
f0 `e decrescente in (−1, 0).
f0 `e crescente in (0, 1).
(ii) (1 punto) `E vero che f |(−1,1)`e dispari?
Si No
(iii) (3 punti) Si stabilisca quale delle seguenti affermazioni `e falsa.
f00(0) ≥ 0 f0(0) ≥ 0 f (0) ≥ 0 f00(−2) > 0
(iv) (1 punto) `E vero che f |(−∞,−1)`e invertibile?
Si No
Soluzioni
Quesiti a risposta aperta 1. (a) Si ha Df = [0, +∞).
(b) f non `e n´e pari n´e dispari.
(c) Il segno di f `e il seguente:
Valori di x x = 0 x ∈ (0, +∞)
Segno di f (x) 0 +
(d) Calcoliamo i limiti ai bordi del dominio. Si ha lim
x→0+f (x) = 0 e lim
x→+∞f (x) = +∞.
(e) Si ha
f0(x) = 1 2plog(x + 1)
1 x + 1. Ne deduciamo il segno di f0:
Valori di x x ∈ (0, +∞) Segno di f0(x) +
Ne deduciamo che f `e strettamente crescente in (0, +∞).
(f) Si ha
lim
x→0+
f0(x) = +∞, lim
x→+∞f0(x) = 0.
(g) Si ha
f00(x) = −1 4
1 p[log(x + 1)]3
1
(x + 1)2 − 1 plog(x + 1)
1 (x + 1)2. Ne deduciamo il segno di f00:
Valori di x x ∈ (0, +∞) Segno di f00(x) −
Ne deduciamo che f `e strettamente concava in (0, +∞).
Il grafico approssimativo `e il seguente.
0
x f (x)
2. Si ha Z 1
0
1
xdx = lim
a→0+
Z 1 a
1
xdx = lim
a→0+[log x]1a= lim
a→0+(0 − log a) = − lim
a→0+log a = +∞.
3. f `e continua sull’intervallo chiuso e limitato [−2, 2]. Se ne deduce che essa ammette massimo e minimo su tale intervallo. Poich´e f `e derivabile in (−2, 2), per il teorema di Fermat, se il punto di massimo xM `e interno all’intervallo (−2, 2), dovr`a necessariamente risultare f0(xM) = 0 in tale punto. Si ha
f0(x) = ex(x2− 2x + 1) + ex(2x − 2) = ex(x2− 1).
Se ne deduce che f0(x) = 0 in corrispondenza di x = ±1. Dunque i candidati interni punti di massimo (e di minimo) sono x = ±1. Confrontiamo i valori di f (±1) con il valore di f agli estremi di [−2, 2]:
f (1) = 0 f (−1) = 4/e f (−2) = 9/e2, f (2) = e2. Se ne deduce che xM = 2 e max[−2,2]f = e2.
4. FARE GRAFICO
Quesiti a risposta multipla 1. (i) Falsa
(ii) Vera (iii) Vera (iv) Vera
2. (i) f0 `e crescente in (−∞, −1).
(ii) Si
(iii) f00(−2) > 0 (iv) Si
