Risultati Temi 2, 3 e 4
A. Centomo & M. Motta 26 febbraio 2011
Tema 2
Esercizio 1. Si consideri la funzione
f (x) = 4x + 2 log(cosh(2x))
(a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie. Non `e richiesto lo studio del segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuit`a e la derivabilit`a di f ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo relativo e assoluto, inf e sup) di f .
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non `e richiesto lo studio della convessit`a.
D =R. Non ci sono simmetrie.
f (x) = 4x + 2 log(e2x+ e−2x) − 2 log 2 = 2 log(e4x+ 1) − 2 log 2 f (x) = 4x + 2 log(e2x+ e−2x) − 2 log 2 = 8x + 2 log(1 + e−4x) − 2 log 2 Asintoto orizzontale sinistro y = −2 log 2. Asintoto obliquo destro y = 8x − 2 log 2.
f0(x) = 4 (1 + tanh(2x)) = 8e4x e4x+ 1 > 0.
Figura 1:
Esercizio 2 Calcolare l’integrale
Z 3 0
log[(3 + x)3x] dx Soluzione.
Z
log[(3 + x)3x] dx = 3
2 x2− 9 log(x + 3) −3 4x2+9
2x + c, c ∈R Z 3
0
log[(3 + x)3x] dx = 27 4 +27
2 log 3.
Esercizio 3 Posto
an= √
2n + 5 −√
2n − 1 · 1 n(a+14) log3n
,
(a) discutere la convergenza della serieP+∞
n=2an per ogni valore a ∈R del parametro;
(b) (Facoltativo) discutere la convergenza semplice della serieP+∞
n=2(−1)n+1an per ogni valore a ≥ −14 del parametro.
Soluzione.
an ∼ 3
√2√
n· 1
n(a+14) log3n
= 3
√2 n(a+34) log3n
n → ∞ e la serie converge se a ≥ 1/4. La serie a termini di segno alterno converge sempre.
Esercizio 4
(a) Calcolare al variare del parametro a ∈R il limite seguente:
lim
x→0+
2 − 2ex2+ 2a2x2+ ax4 2x5− arcsin(x4) . (b) Determinare i valori del parametro a ∈R per i quali la funzione:
f (x) =
( 2−2ex2+2a2x2+ax4
2x5−arcsin(x4) x ∈]0, 1[
x4sin −x24
x ∈] − π/4, 0[
risulta prolungabile per continuit`a in x = 0.
Soluzione.
1. a = 1 il limite vale 0 2. a = −1 il limite vale 2 3. a ∈ (−1, 1) il limite vale +∞
4. a ∈R\[−1, 1] il limite vale −∞
Continua per a = 1.
Tema 3
Si consideri la funzione
f (x) = 8x − 2 log(cosh(4x))
(a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie. Non `e richiesto lo studio del segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuit`a e la derivabilit`a di f ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo relativo e assoluto, inf e sup) di f .
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non `e richiesto lo studio della convessit`a.
Soluzione.
D =R. Non ci sono simmetrie.
f (x) = 8x − 2 log(e4x+ e−4x) + 2 log 2 = 2 log(1 + e−8x) + 2 log 2 f (x) = 8x − 2 log(e4x+ e−4x) + 2 log 2 = 16x − 2 log(1 + e8x) + 2 log 2 Asintoto orizzontale destro y = 2 log 2. Asintoto obliquo sinistro y = 16x + 2 log 2.
f0(x) = 8 (1 − tanh(4x)) = 16 e8x+ 1 > 0.
Figura 2:
Esercizio 2 Calcolare l’integrale Z 2
0
log[(2 + x)3x] dx.
Soluzione.
Z
log[(2 + x)3x] dx = 3
2 x2− 4 log(x + 2) − 3
4x2+ 3x + c, c ∈R Z 2
0
log[(2 + x)3x] dx = 3 + 6 log 2.
Esercizio 3 Posto an =
√n2+ n + 2 −√ n2− 1
3n + 9 · 1
n(a−14) log13n ,
(a) discutere la convergenza della serieP+∞
n=2an per ogni valore a ∈R del parametro;
(b) (Facoltativo) discutere la convergenza semplice della serieP+∞
n=2(−1)n+1an per ogni valore a ≥ 14 del parametro.
Soluzione.
an ∼ 1
6n · 1
n(a−14) log1/3n
= 1
6n(a+34) log1/3n
n → ∞ e la serie converge se a > 1/4. La serie a termini di segno alterno converge sempre.
Esercizio 4
(a) Calcolare al variare del parametro a ∈R il limite seguente:
lim
x→0+
3 sin x − 3a2x + 12ax3 sinh3x + 2x4 .
(b) Determinare i valori del parametro a ∈R per i quali la funzione:
f (x) =
( 3 sin x−3a2x+12ax3
sinh3x+2x4 x ∈]0, 1]
−x2sin x12
x ∈ [−π/2, 0[
risulta prolungabile per continuit`a in x = 0.
Soluzione.
1. a = 1 il limite vale 0 2. a = −1 il limite vale −1 3. a ∈ (−1, 1) il limite vale +∞
4. a ∈R\[−1, 1] il limite vale −∞
Continua per a = 1.
Tema 4
Si consideri la funzione
f (x) = 2 log(cosh(5x)) + 10x
(a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie. Non `e richiesto lo studio del segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuit`a e la derivabilit`a di f ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo relativo e assoluto, inf e sup) di f .
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non `e richiesto lo studio della convessit`a.
Soluzione.
D =R. Non ci sono simmetrie.
f (x) = 10x + 2 log(e5x+ e−5x) − 2 log 2 = 2 log(e10x+ 1) − 2 log 2 f (x) = 10x + 2 log(e5x+ e−5x) − 2 log 2 = 20x + 2 log(1 + e−10x) − 2 log 2 Asintoto orizzontale sinistro y = −2 log 2. Asintoto obliquo destro y = 20x − 2 log 2.
f0(x) = 10 (tanh(5x) + 1) = 20e10x e10x+ 1 > 0.
Figura 3:
Esercizio 2 Calcolare l’integrale Z 4
0
log[(4 + x)2x] dx.
Soluzione.
Z
log[(4 + x)2x] dx = (x2− 16) log(x + 4) − 1
2x2+ 4x + c, c ∈R Z 4
0
log[(4 + x)2x] dx = 8 + 16 log 4.
Esercizio 3 Posto
an= √
3n + 4 −√
3n + 1 · 1 n(a+13) log3n
,
(a) discutere la convergenza della serieP+∞
n=2an per ogni valore a ∈R del parametro;
(b) (Facoltativo) discutere la convergenza semplice della serieP+∞
n=2(−1)n+1an per ogni valore a ≥ −13 del parametro.
Soluzione.
an ∼
√3 2√
n· 1
n(a+13) log3n
=
√3 2n(a+56) log3n
n → ∞ e la serie converge se a ≥ 1/6. La serie a termini di segno alterno converge sempre.
Esercizio 4
(a) Calcolare al variare del parametro a ∈R il limite seguente:
lim
x→0+
4 cos(x) − 4 + 2a2x2+16ax4 tanh(x4) + 2x5 . (b) Determinare i valori del parametro a ∈R per i quali la funzione:
f (x) =
( 4 cos(x)−4+2a2x2+16ax4
tanh(x4)+2x5 x ∈]0, 1]
x2sin 3x12
x ∈ [−1, 0[
risulta prolungabile per continuit`a in x = 0.
Soluzione.
1. a = 1 il limite vale 1/3 2. a = −1 il limite vale 0 3. a ∈ (−1, 1) il limite vale −∞
4. a ∈R\[−1, 1] il limite vale +∞
Continua per a = −1.
