CAPITOLO 1
Equazioni di Maxwell ed Onde EM
1
1 1 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. IaselliTesti di riferimento
Mazzoldi Nigro Voci , Elementi di Fisica vol. II, capitolo 4 (par. 4.6, 4.7, 4.8) Mazzoldi Nigro Voci , Elementi di Fisica vol. II, capitolo 7 (par. 7.5, 7.6, 7.7, 7.8) Mazzoldi Nigro Voci , Elementi di Fisica vol. II, capitolo 8 (par. 8.7, 8.8 )
Flusso del campo di una carica puntiforme
r o
r u
E q ˆ
4 1 πε 2
! = Σ
= Σ
⋅
=
Φ E d Ed
d E ! !
Φ E = E d Σ
!∫ Σ = 4 πε q
0
1 r 2
!∫ d Σ = 4 πε q
0
1 r 2 4 πr 2
Legge di Gauss per E
ε 0
q
E =
Φ
Σ ! d
Σ
E ! ⋅ d !
Σ Σ
"∫ = q ε int 0
Equazioni di Maxwell
Circuitazione di E
3
Il lavoro effettuato da una forza conservativa un percorso chiuso è nullo
I l c a m p o e l e t t r o s t a t i c o è conservativo
Circuitazione
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E ! ⋅d!s
"∫ s = 0
W A→A = (q ! E) ⋅d!s
"∫ s = 0
W A→A
q = ΔV A→A = ! E ⋅d!s
"∫ s = 0
Equazioni di Maxwell
q
Legge di Gauss per B
4
Le linee del campo B sono sempre chiuse
B ! ⋅ d !
Σ Σ
"∫ = 0
Equazioni di Maxwell
Il flusso totale del campo
B attraverso una superficie
chiusa è sempre nullo
Legge di Gauss per B
5
Le linee del campo B sono sempre chiuse.
Non esistono cariche magnetiche
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E ! ⋅ d !
Σ Σ
"∫ = q ε int
0
B ! ⋅ d !
Σ Σ
"∫ = 0
Equazioni di Maxwell
Legge di Ampere
Filo rettilineo indefinito
B ! ⋅d!s
"∫ s = µ 0 i
Equazioni di Maxwell
B = µ 0 i
2 π r
Legge di Ampere
7
π θ µ π
µ ds i d
r s i d
B 2 2
0
0 =
=
! ⋅ !
Filo rettilineo indefinito
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B ! ⋅d!s
"∫ s = µ 0 i
B ! ⋅d!s
"∫ s = µ 0 i "∫ s B ! ⋅d!s = 0
Equazioni di Maxwell
Legge di Ampere
Il campo magnetico non è conservativo
I l c a m p o e l e t t r o s t a t i c o è conservativo
Linee aperte Linee chiuse
E ! ⋅d!s
"∫ s = 0 "∫ s B ! ⋅d!s = µ 0 i
Equazioni di Maxwell
Riepilogo
9
E ! ⋅d!s
"∫ s = 0
E ! ⋅ d !
Σ Σ
"∫ = q ε int
0
B ! ⋅ d !
Σ Σ
"∫ = 0
B ! ⋅d!s
"∫ s = µ 0 i
Equazioni di Maxwell in condizioni stazionarie
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Equazioni di Maxwell
Legge di Faraday Lentz
ε i = − dΦ B dt
Forza elettromotrice indotta
Campo elettrico indotto non conservativo
i = ε i
R = − 1 R
d Φ B dt E ! i ⋅d!s
"∫ s = − d dt Φ B
ε i = ! E i ⋅d!s
"∫ s = − d dt Φ B
Equazioni di Maxwell
Legge di Ampere Maxwell
11
Condizioni stazionarie
Su una superficie chiusa
i 1 i 2
Condizioni NON stazionarie
i 1 i 2
dq dt Su una superficie chiusa
Equazione di continuità
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i 1 = i 2
i tot = i 2 − i 1 = 0
i 1 > i 2
i tot = i 2 − i 1 < 0 i tot = − dq
dt
Equazioni di Maxwell
Legge di Ampere Maxwell
Consideriamo il seguente circuito in condizioni NON stazionarie
i
1≠0 i
2=0
Se scegliamo la superficie chiusa come in figura, la corrente non sembra conservarsi
i tot = − dq
Equazione di continuità dt
Legge di Gauss q
ε 0 = Φ E
dq dt = ε
0dΦ
Edt = −i
toti 1 = ε 0 dΦ E dt
Equazioni di Maxwell
Legge di Ampere Maxwell
13
i
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i = ε
0d Φ
Edt Equazioni di Maxwell
E’ come se all’interno del condensatore ci sia passaggio di una corrente
i
La variazione di flusso di campo elettrico genera gli stessi effetti di una corrente
Legge di Ampere Maxwell
Corrente stazionaria
B ! ⋅ d!s
"∫ s = µ 0 (i + i s ) = µ 0 (i + ε 0 dΦ dt E )
Nuova formulazione della legge di Ampere
i s = ε 0
d Φ E
dt
Definiamo questa quantità
CORRENTE DI SPOSTAMENTO
Corrente di spostamento
Equazioni di Maxwell
Riepilogo
15
E ! ⋅ d !
Σ Σ
"∫ = q ε int
0
B ! ⋅ d !
Σ Σ
"∫ = 0
Equazioni di Maxwell in condizioni non stazionarie
E ! ⋅d!s
"∫ s = − dΦ dt B
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B ! ⋅ d!s
"∫ s = µ 0 (i + ε 0 dΦ dt E )
Equazioni di Maxwell
Equazioni di Maxwell Riepilogo Ricordiamo che
q = ∫ τ ρ d τ
i = ! J ⋅ d !
Σ Σ
∫
Densità di carica
Volume
Densità di corrente
Superficie
τ ρ
J ! = nq!v d i
Σ
Equazioni di Maxwell Riepilogo
17
E ! ⋅ d !
Σ Σ
"∫ = q ε int 0
B ! ⋅ d !
Σ Σ
"∫ = 0
E ! ⋅d!s
"∫ s = − dΦ dt B
POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
B ! ⋅ d!s
"∫ s = µ 0 (i + ε 0 dΦ dt E )
Riscriviamo in modo più esplicativo le equazioni di Maxwell
E ! ⋅ d !
Σ Σ
"∫ = ε 1 0 ∫ τ ρ d τ
B ! ⋅ d!s
"∫ s = µ 0 J ! + ε 0 d
E ! dt
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅ d !
Σ Σ
∫
E ! ⋅d!s
"∫ = − ( d
B ! dt ) ⋅
∫ Σ d Σ !
B ! ⋅ d !
Σ Σ
"∫ = 0
Equazioni di Maxwell Formalismo differenziale L’operatore (nabla), utile nell’analisi dei campi scalari e vettoriali, è definito come:
∇ !
z y
x u
u z u y
x ˆ ˆ ˆ
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∇ !
Analizziamo di seguito le operazioni che si possono eseguire mediante l’uso dell’operatore !
∇
Equazioni di Maxwell Formalismo differenziale
19 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
∇⋅ ! ! E = ∂ E x
∂x + ∂E y
∂y + ∂E z
∂z E ! = E x ˆu x + E y ˆu y + E z ˆu z
div ! E = ∂ E x
∂x + ∂E y
∂y + ∂E z
∂z Il risultato è uno scalare e si chiama” divergenza”
Teorema della divergenza
E ! !
E ⋅ d !
Σ Σ
"∫ = ( ∫ τ ∇⋅ ! E)d ! τ
F l u s s o d e l v e t t o r e E attraverso una superficie chiusa
Integrale della divergenza di E sul volume racchiuso dalla superficie
L’operatore “nabla” può applicato ad una funzione vettoriale
Equazioni di Maxwell Formalismo differenziale
E ! ⋅ d !
Σ Σ
"∫ = ( ∫ τ ∇⋅ ! E)d ! τ
E ! ⋅ d ! Σ = ( !
∇⋅ ! E)d τ ( !
∇⋅ ! E) = 1
d τ E ! ⋅ d !
Σ Per un volume infinitesimo
( !
∇⋅ !
E) = lim
τ →01 τ
E ! ⋅ d ! Σ
La divergenza del vettore E può essere interpretata come il flusso dello stesso vettore per unità di volume attraverso una superficie chiusa molto piccola. Rappresenta quindi una proprietà locale del vettore
( !
∇⋅ ! E) = 0 ( !
∇⋅ ! E) ≠ 0
Campo solenoidale
E !
Campo radiale
Equazioni di Maxwell Formalismo differenziale
21 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
Legge di Gauss
Teorema della divergenza
( !
∇⋅ !
E)d τ = 1 ε 0
∫ τ !∫ τ ρ d τ
0 0
) (
ε ρ ε
ρ
=
=
⋅
∇ E div
E
!
!
!
Il flusso dipende localmente dalla densità di carica all’interno del volumetto
E !
E ! ⋅ d !
Σ Σ
"∫ = ε 1
0 τ ρ
∫ dτ
Equazioni di Maxwell Formalismo differenziale E ! = x ˆu x + y ˆu y
( !
∇⋅ ! E) = 2 Φ > 0
( !
∇⋅ ! E) = 0 Φ = 0
E ! = −x ˆu x − y ˆu y
E ! = 1ˆu y
( !
∇⋅ ! E) = −2 Φ < 0
ˆu y ˆu y ˆu y
ˆu x ˆu x ˆu x
Equazioni di Maxwell Formalismo differenziale
23 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
Legge di Gauss
E ! E !
0 ) ( ∇ E ! ⋅ ! =
B !
0 0 ) (
=
=
⋅
∇ B div
B !
!
0 !
0
) (
ε ρ
ε ρ
=
=
⋅
∇ E div
E
!
!
!
Non esistono cariche magnetiche
Equazioni di Maxwell Formalismo differenziale
Definiamo
∇ ∧ ! !
E
E ! = E x ˆu x + E y ˆu y + E z ˆu z
rot ! E = ∂E
z∂y − ∂E
y∂z
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ˆu
x+ ∂ E
x∂z − ∂E
z∂x
⎛ ⎝⎜ ⎞
⎠⎟ ˆu
y+ ∂E
y∂x − ∂ E
x∂y
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ˆu
zIl risultato è un vettore e si chiama ”rotore”
ˆu x ˆu y ˆu z
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
E x E y E z
Equazioni di Maxwell Formalismo differenziale
25 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
Teorema di Stokes
E ! ⋅ d!s
"∫ s = ( ∫ Σ ∇ ∧ ! E) ! ⋅ d Σ !
Circuitazione di E Flusso del (rot E)
Per una superficie infinitesima E ! ⋅ d!s = ( !
∇ ∧ ! E) ⋅ d !
Σ ( !
∇ ∧ ! E) = 1
dΣ
E ! ⋅ d!s ( !
∇ ∧ !
E) = lim
Σ→01 Σ
E ! ⋅ d!s
Il rotore del vettore E può essere interpretato come la circuitazione dello stesso vettore per unità di superficie su una linea chiusa molto piccola. Rappresenta quindi una proprietà locale del vettore
E!
Equazioni di Maxwell Formalismo differenziale
Legge di Faraday Lentz
E ! ⋅d!s
"∫ = − (∂
B !
∂t ) ⋅
∫ Σ d Σ !
( !
∇ ∧ ! E) ⋅
∫ Σ d Σ = − ∂ ! ∂t B ! ⋅
∫ Σ d Σ ! Teorema di Stokes
( !
∇ ∧ ! E) = − ∂
B !
∂t rot "
E = − ∂ B !
∂t
La circuitazione di E dipende localmente
dalla variazione di campo magnetico
all’interno della spira
Equazioni di Maxwell Formalismo differenziale
27 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
Campo rotazionale
( !
∇ ∧ ! E) ≠ 0
Campo irrotazionale
( !
∇ ∧ ! E) = 0
Circuitazione
Circuitazione
≠ 0
= 0
Equazioni di Maxwell Formalismo differenziale
E ! = −x ˆu x − y ˆu y
( !
∇⋅ ! E) = −2 ( !
∇ ∧ ! E) = 0
E ! = y ˆu x − x ˆu y
( !
∇⋅ ! E) = 0 ( !
∇ ∧ !
E) = −2 ˆu
kE ! ⋅ d!s
"∫ s = 0 "∫ s E ! ⋅ d!s ≠ 0
s s
Equazioni di Maxwell Formalismo differenziale
29 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
Legge di Ampere Maxwell
Teorema di Stokes
B ! ⋅ d!s
"∫
s= µ
0J ! + ε
0∂
E !
∂t
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅ d !
Σ
Σ
∫
( !
∇ ∧ ! B) ⋅
Σ
∫ d Σ = ! µ
0∫
Σ⎛ ⎝⎜ J ! + ε
0∂ ∂t E ! ⎞ ⎠⎟ ⋅d Σ !
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
∂ + ∂
=
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
∂ + ∂
=
∧
∇
t J E B
rot
t J E B
! !
!
! !
!
!
0 0
0
)
0(
ε µ
ε
µ La circuitazione di B dipende localmente dalla densità di corrente concatenata e variazione di campo elettrico all’interno del condensatore
Equazioni di Maxwell Riepilogo
0 0
) (
ρ ε ρ ε
=
=
⋅
∇ E div
E
!
!
!
0 0 ) (
=
=
⋅
∇ B div
B !
! !
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
∂ + ∂
=
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
∂ + ∂
=
∧
∇
t J E
B rot
t J E
B
! !
!
! !
!
!
0 0
0
) 0
(
ε µ
ε µ
t E B
rot
t E B
∂
− ∂
=
∂
− ∂
=
∧
∇
" !
! !
! )
(
Equazioni di Maxwell Dielettrici
31 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
+ q
− q
P ! = (q !
d ) momento di dipolo P !
d
E ! Il dipolo elettrico
Un dipolo elettrico si allinea con la direzione del campo esterno Molte molecole hanno un
momento di dipolo intrinseco
Equazioni di Maxwell Dielettrici
0 0
0 ε
= σ h E
V
0 0
0
ε
= σ Δ Ricordiamo che nel vuoto …
Se inseriamo nel condensatore una lastra di materiale dielettrico, ΔV diminuisce
Δ V κ < Δ V 0
ε r = Δ V 0 ΔV κ >1
Dielettrico: materiale non conduttore (gomma, vetro, polistirolo..)
ε r "costante dielettrica relativa" anche "permittività elettrica"
Equazioni di Maxwell Dielettrici
33 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
E κ = Δ V κ
h = Δ V 0 ε r h = E 0
ε r = σ 0 ε r ε 0
La variazione del campo elettrico dovuto alla presenza del dielettrico è:
E 0 − E κ = σ 0 ε 0
− σ 0 ε r ε 0
= (ε r −1) ε r
σ 0 ε 0
con χ = ε
r-1 suscettività elettrica
E κ = E 0 − (ε r −1) ε r
σ 0 ε 0
= σ 0 ε 0
− (ε r − 1)
ε r σ 0 ε 0
Equazioni di Maxwell Dielettrici
E κ == σ ε 0 0 − (ε r − 1)
ε r σ 0 ε 0 E’ come se…
0 0
0
ε σ ε
κ σ P
E = −
I dipolo si allineano con il campo elettrico e si formano delle
cariche superficiali di polarizzazione sulle facce del dielettrico
Equazioni di Maxwell Dielettrici
35 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
ε = ε r ε o
assoluta a dielettric
costante
ε
Tutti i risultati ottenuti nel vuoto sono validi in presenza di dielettrico
ε 0 ⇒ ε = ε r ε o
Equazioni di Maxwell Dielettrici
Sostanze polari: presentano un momento di dipolo intrinseco. I dipoli si allineano in presenza di campo esterno
Sostanze non polari: sotto l’azione di un campo esterno, un atomo assume un momento di dipolo
< !p
i> momento di dipolo medio
p = N < !p !
i> momento di dipolo totale
atomi/m 3
atomi
τ n N
N =
Volume
τ
P ! = ! p
τ = n < !p
i> vettore "polarizzazione"
Equazioni di Maxwell Dielettrici
37 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
P ! = 0 P ! = ε 0 (ε r −1) !
E = ε 0 χ ! E D ! = ( ε 0
E ! + ! P)
D ! = ε 0 ε r
E ! = ε E !
Si definisce anche il vettore Induzione Dielettrica
D ! = ε 0 E !
Nel vuoto Nel dielettrico
D [ ] = Coulomb/m ⎡⎣
2⎤⎦
Equazioni di Maxwell Dielettrici Alcune proprietà
…….σ
0densità di carica libera sulle armature del condensatore
σ
Pdensità di carica di polarizzazione che si forma sulle facce del dielettrico p P
= ! σ
σ 0 = ! D q l
d D ⋅ Σ =
∫ ! ! Legge di Gauss per il vettore D
( !
∇ ⋅ !
D) = ρ 0 div !
D = ρ
In forma differenziale
Equazioni di Maxwell Dielettrici
39 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
d !
p = qd!s d "
P = nd!p =nqd!s d !
P
dt = nq d "
s
dt = nq"v d = "
J P
t P t J E
J J D S P
∂ + ∂
∂
= ∂ +
=
!
! !
!
!
ε 0
E !
P ! La polarizzazione di un materiale dielettrico con n dipoli/volume produce una corrente
Densità di corrente polarizzazione
Definiamo
t D t
P J D E
∂
= ∂
∂ +
= ∂
!
!
! ( ε 0 ! )
Densità di corrente di spostamento
Densità di corrente di polarizzazione
d ! p q
Equazioni di Maxwell Materiali magnetici
Spira di raggio r percorsa da corrente i
m ! = (πr 2 )i ˆ u n
m !
Un magnete permanente ha un momento di dipolo magnetico intrinseco
m !
Momento di Dipolo magnetico
B ! Un dipolo magnetico si allinea con la
direzione del campo magnetico esterno
Equazioni di Maxwell Materiali magnetici
41 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
Ricordiamo che all’interno di un solenoide ideale vuoto
ni B 0 = µ 0
B
B 0 = µ r
Se inseriamo nel solenoide del materiale magnetico il campo magnetico totale misurato cambia
µ r Permeabilità magnetica relativa
Equazioni di Maxwell Materiali magnetici
B = µ r B 0 = µ r µ o ni
µ = µ r µ 0 Permeabilità magnetica assoluta
B = µ ni
Suscettività magnetica La variazione di campo dovuta alla presenza del mezzo è:
ΔB = B − B 0 = (µ r -1) B 0
χ m = ( µ r -1)
Equazioni di Maxwell Materiali magnetici
43 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
ΔB = B − B 0 = ( µ r -1) B 0
B = B 0 + ΔB = B 0 + χ m B 0
ni ni
B = µ 0 + µ 0 χ m
Possiamo riscrivere il campo totale come:
Contributo della corrente sulla spira
Contributo del mezzo MAGNETIZZAZIONE
Equazioni di Maxwell Materiali magnetici
Materiale magnetico
E’ come se fosse costituito da tanti piccoli dipoli magnetici orientati a caso
[ ] = ⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ m Ampere M
Vol m M d
! = ∑ !
Se inseriamo il materiale all’interno di un solenoide su cui scorre una corrente i, il materiale si magnetizza
m ni χ
=
M
Equazioni di Maxwell Materiali magnetici
45 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
Materiali paramagnetici e ferromagnetici
= 0
i i > 0
Gli atomi e le molecole hanno un momento di dipolo magnetico intrinseco. I vari dipoli sono orientati in maniera disordinata
Sotto l’azione di un campo magnetico esterno, tutti i dipoli magnetici si orientano nella direzione del campo
Equazioni di Maxwell Materiali magnetici
Materiali paramagnetici e ferromagnetici
µ r > 1 1
0
B >
B B ! 0
M ! χ m > 0
Il campo totale aumenta. Il materiale si “magnetizza nella direzione del campo magnetico esterno
B !
Equazioni di Maxwell Materiali magnetici
47 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
Materiali diamagnetici
= 0
i i > 0
Gli atomi e le molecole NON presentano nessun momento di dipolo magnetico intrinseco
Sotto l’azione di un campo magnetico esterno, si sviluppano dei dipoli magnetici orientati in verso opposto al campo
Equazioni di Maxwell Materiali magnetici
Materiali diamagnetici
< 0 χ m
1
0
B <
B
Il campo totale diminuisce B ! 0
M !
µ r < 1
Il campo totale diminuisce. Il materiale si “magnetizza nella direzione opposta al campo magnetico esterno
B !
Equazioni di Maxwell Materiali magnetici
49 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
M ! = 0
Si definisce anche il vettore
Nel vuoto Nel materiale magnetico
[ ] H = Ampere m
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
H ! = B ! µ 0 − !
M
H ! = B ! µ 0
m ni χ
= M
H ! = B ! µ 0 µ r
= B ! µ
Equazioni di Maxwell Materiali magnetici
Alcune proprietà
…….Circuitazione del vettore H
In forma differenziale
i s d
∫ H ! ⋅ ! =
J H rot
J H
=
=
∧
∇ !
!
! )
(
E se includiamo anche le correnti di polarizzazione
( !
∇ ∧ ! H ) = ( !
J + ∂ D !
∂t )
Equazioni di Maxwell Riepilogo
51 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
