Disco che ruota con molla

Disco che ruota con molla

Figure 1:

E’ dato un disco di raggio R adagiato su un piano senza attrito. Il disco ruota con velocita’ angolare costante ~ω intorno ad un asse passante per il centro e perpendicolare al piano. Lungo un diametro vi e’ una scanalatura al cui interno si trova una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo l₀ < R. Un estremo della molla `e fissato sull’asse, mentre all’altro estremo `e fissata una massa m che pu`o scorrere all’interno della scanalatura senza attrito.

Dire in quali condizioni esistono posizioni di equilibrio stabile per la massa m e de- scriverne il moto in generale.

1 Soluzione 1

Scriviamo la seconda legge di Newton in coordinate polari. Risulta:

~a = (¨r − ˙θ²r)ˆe_r+ (r ¨θ + 2 ˙r ˙θ)ˆe_θ = (¨r − ω²r)ˆe_r+ 2ω ˙rˆe_θ (1) Nel secondo passaggio abbiamo usato ˙θ = ω =cost. La forza esterna `e dovuta alla forza elastica, radiale, ed alla reazione vincolare della scanalatura, diretta lungo ˆeθ in quanto non vi `e attrito.

F = −k(r − l~ ₀)ˆe_r+ N ˆe_θ (2) Di conseguenza:

 m(¨r − ω²r) = −k(r − l₀)

2mω ˙r = N (3)

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Per trovare la legge oraria `e sufficiente integrare la prima equazione; la seconda serve per determinare la reazione normale della scanalatura. Riscriviamo la prima equazione come segue:

¨

r − (ω²− k

m)r = k

ml₀ (4)

Per risolvere dobbiamo distinguere tre casi a seconda che il coefficiente della funzione r(t) sia positivo, negativo o nullo.

1.1 ω

− k/m = 0

In questo caso l’equazione (4) diventa:

¨ r = k

ml₀ (5)

L’accelerazione radiale `e costante, per cui la legge oraria diventa:

r(t) = 1 2

kl_o

m t²+ v₀t + r₀ (6)

dove i parametri r₀ e v₀ sono determinati dalle condizioni iniziali. Questa soluzione non ha condizioni di equilibrio e, per qualunque valore dei parametri iniziali, la massa m accelera verso “infinito”, dove ovviamente il termine “infinito” indica la zona di validit`a della nostra modellizzazione. Ad esempio si pu`o immaginare che la molla agisca fino al bordo del disco, quindi la legge oraria scritta `e valida per r(t) ≤ R.

Nel caso particolare in cui la lunghezza a riposo della molla sia nulla, il moto non `e pi`u accelerato, ma rettilineo uniforme (nella coordinata r; chiaramente il disco ruota per cui la traiettoria assoluta `e fatta a spirale). Cio`e:

r(t) = v₀t + r₀ (7)

Si noti che se il corpo viene inizialmente collocato ad una distanza r₀ dal centro, con velocit`a nulla, la massa rimane ferma in quella posizione. Siccome questa condizione `e valida per un r qualunque (all’interno del disco), ne risulta che si tratta di posizioni di equilibrio indifferente.

1.2 ω

− k/m < 0

Poniamo ω₀² = k/m − ω² e riscriviamo la eq.(4) come:

¨

r + ω₀²r = kl0

m (8)

Questa `e la normale equazione dell’oscillatore armonico che ha come soluzione:

r(t) = A sin(ω₀t) + B cos(ω₀t) + kl0

mω²₀ (9)

Al solito, i parametri A e B sono determinati dalle condizioni iniziali.

Ad esempio se r(0) = r₀ e v₀ = 0 risulta:

r(t) = (r₀− kl₀

mω₀²) cos(ω₀t) + kl₀

mω₀² (10)

cio`e una oscillazione intorno alla posizione di equilibrio stabile:

r_eq = kl₀ mω₀² 2

1.3 ω

− k/m > 0

In questo caso, ponendo ω²− k/m = ω₁², risulta:

¨

r − ω²₁r = k

ml0 (11)

Le soluzioni sono di tipo esponenziale:

r(t) = Ae^ω1t+ Be^−ω1t− kl₀

mω²₁ (12)

e possono anche essere scritte in termini del seno e del coseno iperbolico:

r(t) = C sinh(ω₀t) + D cosh(ω₀t) − kl₀

mω₁² (13)

Non esistono soluzioni di equilibrio stabile. Se l₀ = 0, esiste una soluzione di equilibrio instabile per r(0) = 0 e ˙r(0) = 0.

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