Esperienza massa–molla

Esperienza massa–molla

M. Fanti

Dipartimento di Fisica, Universit` a di Milano

Il sistema massa–molla

Il sistema `e costituito da una molla appesa ad un vincolo, cui `e agganciata una massa m.

La molla ha la propriet` a di esercitare una forza di richiamo elastica, cio`e

opposta al verso dell’allungamento ∆` della molla di intensit` a proporzionale all’allungamento ∆`

F

= −k · ∆`

(legge di Hooke)

Le altre forze in gioco sono:

la forza di gravit` a: F

= mg (con g = 9.806 m · s

)

la forza di attrito: questa entra in gioco solo quando il sistema `e in moto, e si oppone al moto stesso

Il sistema `e dotato di un disco che crea un attrito viscoso con l’aria cir- costante; assumendo che questa sia la principale componente di attrito avremo F

= −(C

+ C

|v |) · v , essendo v la velocit` a del moto.

Il termine in C

`e dominante per basse velocit` a e/o oggetti affusolati.

Il termine in C

`e dominante per alte velocit` a o per oggetti poco aerodinamici.

La forza elastica e il moto armonico

Soffermiamoci sulla forza elastica: F

= −k · ∆x , dove ∆x = x − x

`e uno spostamento da un punto di equilibrio x

e k `e una costante tipica del sistema.

La forza elastica d` a luogo ad un moto oscillatorio armonico. Infatti, applicando F = ma = m d

x

dt

troviamo:

d

x

dt

= − k

m (x − x

) che ha per soluzione:

x(t) = x

+ A · cos(ω

t + φ) ω

= r k

m

!

ω

dipende dalle caratteristiche del sistema (k e m)

A, φ sono definite dalle condizioni iniziali: x (t = 0) = x

+ A cos(φ) e v (t = 0) = −ω

A sin(φ)

Il moto `e dunque periodico, con periodo T , cio`e per qualunque istante t x (t) = x (t ± T ) = x (t ± nT ), con n intero.

Il periodo `e calcolabile come:

T = 2π ω

e la frequenza `e:

ν

= 1

T = ω

2π

Importanza della forza elastica

La forza elastica `e associata ad una energia potenziale U(x) = k

2 (x − x

)

, con x

punto di equilibrio del sistema.

Ogni moto di un sistema intorno al suo punto di equilibrio, per piccoli sposta- menti pu` o essere approssimato dalla forza elastica.

Esempio: oscillazione di atomi all’interno di una molecola, o di un cristallo.

U(r)

r_eq r

E k(r − r )eq

2

2 + U(r )_eq

Un esempio pi` u complesso: le onde sonore. Qui le molecole di un mezzo vibrano intorno alla loro posizione di equilibrio, ed inoltre “trasmettono” il loro stato di vibrazione alle molecole vicine. L’argomento verr` a trattato in seguito, ma qui ricordiamo che si tratta sempre di fenomeni legati alla forza elastica.

Un ulteriore esempio: le onde elettromagnetiche. Qui non si tratta pi` u di un fenomeno meccanico: le quantit` a che

oscillano sono il campo elettrico e il campo magnetico. Non sono spostamenti nello spazio, ma sono sempre regolate

da equazioni formalmente analoghe.

Dinamica del sistema massa–molla

Chiamiamo `

la lunghezza della molla a riposo (cio`e non sottoposta ad alcuna forza esterna), ` la sua lunghezza attuale, cosicch´e ∆` = ` − `

.

Scegliamo un asse x orientato verso il basso, cosicch´e maggiori allungamenti ∆` corrispondono a maggiori valori di x.

La forza totale agente sulla massa m appesa `e:

F = F

+ F

+ F

= −k(` − `

) + mg − (C

+ C

|v |)v

Punto di equilibrio

Il punto di equilibrio `e quello in cui il sistema fermo non subisce forze. Questa condizione, imponendo F = 0 con v = 0, corrisponde ad una lunghezza `

tale che:

k(`

− `

) = mg

Pertanto, d’ora in poi esprimiamo lo stato del sistema con lo spostamento dal suo punto di equilibrio: x

= ` − `

Dinamica

Ovviamente la velocit` a `e v

= d `

dt = dx

dt . L’equazione del moto diventa dunque:

m d

x

dt

= F = −kx −



C

+ C

dx dt

 dx

dt

(ogni effetto gravitazionale `e riassorbito nella definizione del punto di equilibrio)

Il modello del sistema massa–molla

L’equazione

m d

x

dt

= F = −kx −



C

+ C

dx dt

 dx dt

costituisce la nostra formulazione del modello del sistema, ovvero uno strumento matematico che collega quantit` a osservabili (in questo caso la posizione x (t)) a grandezze intrinseche del sistema stesso (in questo caso la massa m, la costante elastica k, la costante di attrito C ).

Il modello consente di:

conoscere le grandezze intrinseche del sistema partendo da una o pi` u misure degli osservabili;

effettuare predizioni sugli osservabili, una volta che le grandezze intrinseche del sistema siano note con sufficiente precisione

Inoltre: diverse misure indipendenti (anche effettuate in condizioni dinamiche diverse) degli osservabili possono essere utili a validare il modello, oppure a rivelarne i limiti. In quest’ultimo caso, il modello stesso potrebbe venire

riformulato, aggiungendo dettagli prima trascurati, alla luce delle conclusioni tratte.

Misure statiche

Misure degli allungamenti

L’equazione k(`

− `

) = mg , valida in condizioni statiche, pu` o essere usata per misurare la costante elastica k .

Il set-up dell’esperimento prevede un sonar collegato ad un computer, che misura la distanza Y del disco del sistema massa–molla, ad intervalli di tempo regolari

.

In condizioni statiche ci si aspetta che Y (t) sia costante.

In pratica, la sensibilit` a dello strumento ` e tale da consentire di osservare piccole oscillazioni residue. . . Ovviamente la misura andr` a “ripulita” da tali oscillazioni.

La strumentazione non consente una misura diretta di `

e `

. Per` o Y + `

= costante. Con due masse note m

, m

, i punti di equilibrio

`

, `

devono soddisfare:

g h

m

− m

i

= k h

`

− `

i

= k h

Y

− Y

i

⇒ si pu` o estrarre k :

k = g m

− m

Y

− Y

a

Il numero di misure al secondo ` e impostabile: si suggerisce di non eccedere 50 misure/secondo

Verifica della linearit` a

Quanto detto finora non basta: vogliamo verificare che il modello ipotizzato sia valido, ovvero che descriva correttamente le osservazioni.

Il valore di k ` e indipendente dalla scelta delle masse m

, m

?

Un possibile approccio: provare tante masse m

, . . . , m

e misurare i cor- rispondenti Y

, . . . , Y

, quindi calcolare il k fra due masse vicine:

k

= −g m

− m

Y

− Y

( i = 1, . . . , n )

e verificare la compatibilit` a fra i k

, . . . , k

ottenuti (attenzione alla propagazione degli errori! non sono completamente scorrelati)

i m

Y

k

0 · · · ± . . . · · · ± . . . — 1 · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . . 2 · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . .

... ... ... ...

n − 1 · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . . n · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . .

Un altro approccio: prendere la massa pi` u piccola m

come “zero”; se la legge `e veramente lineare allora ci aspettiamo che:

h

Y

− Y

i

= g k

h

m

− m

i

⇒ raccogliere n coppie 

m

− m

; Y

− Y



, e verificare se sono compatibili con una retta passante per l’origine ⇒ fit lineare

i m

− m

Y

− Y

1 · · · ± . . . · · · ± . . . 2 · · · ± . . . · · · ± . . .

... ... ...

n − 1 · · · ± . . . · · · ± . . . n · · · ± . . . · · · ± . . .

Quante masse? Il pi` u possibile, compatibilmente con il tempo a disposizione, e le caratteristiche della molla

Conclusioni

Mediante una serie di misure statiche di allungamenti, ottenuti appendendo alla molla masse note, `e possibile verificare se sussiste la legge lineare di Hooke F

= −k∆`

Procedura:

si misura l’allungamento `

per una massa di tara m

— o meglio si misura la distanza Y

dal sonar;

per diverse masse m

si misurano gli allungamenti `

— o meglio le distanze Y

dal sonar;

si verifica se i punti (m

; Y

) stanno su una retta Y = am + b ⇒ fit lineare

i valori di m

; Y

hanno incertezze di misura: introdurle opportunamente nel fit il χ

deve essere buono;

controllo: la retta deve essere compatibile con il punto (m

; Y

);

si ricava k = g

a — propagare le incertezze per avere anche σ

NOTA: se il χ

viene brutto, l’estrazione di k non ha alcun senso

Questo `e lo scopo della prima parte dell’esperienza

Misure dinamiche

Il modello del sistema

Riprendiamo il modello del sistema

m d

x

dt

= F = −kx −



C

+ C

dx dt

 dx dt

e consideriamo due casi-limite sulla forza di attrito F

= −



C

+ C

dx dt

 dx dt : basse velocit` a ⇒ C

 C

|v | ⇒ approssimiamo F

' −C

dx

dt alte velocit` a ⇒ C

 C

|v | ⇒ approssimiamo F

' −C

dx dt    

dx dt

A priori non sappiamo quale `e il comportamento realizzato dal sistema massa-molla che abbiamo.

⇒ dobbiamo analizzare entrambi i casi

⇒ avremo due modelli, le misure ci diranno qual `e quello pi` u idoneo.

Interludio: l’esponenziale complesso e ^iφ

Definizione

e

= cos(φ) + i sin(φ)

cos φ = e

+ e

2 sin φ = e

− e

2i

Propriet` a

Conserva tutte le propriet` a dell’esponenziale reale; in particolare

e

= e

· e

Si pu` o estendere all’esponente complesso: se z = x + iy allora e

= e

e

= e

[cos(y ) + i sin(y )]

Per z

, z

complessi, e

= e

e

In particolare, per |dz| → 0, e

= e

[cos(dy ) + i sin(dy )] ' (1 + dx)(1 + idy ) ' 1 + dx + idy ' 1 + dz , cosicch´e e

= e

e

' e

(1 + dz), quindi:

d

dz e

= e

L’esponenziale complesso ` e lo strumento base per risolvere le equazioni differenziali lineari

1

usare le regole di somma delle funzioni trigonometriche

cos(φ

+ φ

) = cos φ

cos φ

− sin φ

sin φ

e sin(φ

+ φ

) = sin φ

cos φ

+ sin φ

cos φ

Legge oraria del sistema massa–molla (F _attr = −C ₁ v)

Partiamo dall’equazione del moto:

m d

x

dt

= F = −kx − C

dx dt Definiamo per comodit` a 2γ

= C

/m e ω

= k/m, quindi:

d

x

dt

+ 2γ dx

dt + ω

x = 0

E un’equazione differenziale lineare di secondo ordine a coefficienti costanti. `

La teoria delle equazioni differenziali ci dice che esistono due soluzioni linearmente indipendenti e che la soluzione generale `e una combinazione lineare di queste.

Per trovare le due soluzioni, pensiamo ad x come una variabile complessa, x (t) → z(t). Poich´e i coefficienti sono reali, se z(t) `e soluzione di

d

z

dt

+ 2γ dz

dt + ω

z = 0 allora x (t) = R[z(t)] `e soluzione dell’equazione in x .

Dalla teoria, la forma della soluzione `e z(t) = Ae

, dove s si pu` o determinare per sostituzione, osservando che

d

dz

e

= s · e

:

s

+ 2γs + ω

= 0 ⇒ s

= −γ ± q

γ

− ω

quindi

z(t) = A

e

+ A

e

= e

h

A

e

√

γ²−ω²₀t

+ A

e

√

γ²−ω₀²t

i

Legge oraria del sistema massa–molla (F _attr = −C ₁ v)

Il caso che ci interessa `e γ < ω

, cosicch´e s

= −γ ± i q

ω

− γ

. In tal caso il moto `e descritto dalla legge x(t) = Ae

cos(ω

t + φ)



ω

= q

ω

− γ



E un ` moto oscillatorio smorzato, A, φ dipendono dalle condizioni iniziali, ω

dalle caratteristiche del sistema.

Notare che ω

`e influenzato dall’attrito: ω

= s

k

m −  C

2m



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-1 -0.5 0 0.5 1

exp(-[0]*x)*(cos([1]*x)+[0]/[1]*sin([1]*x))

moti oscillatori smorzati:

— ω

= 1 , γ = 0.01

— ω

= 1 , γ = 0.1 moto smorzato:

— ω

= 1 , γ = 10 moto critico:

— ω

= 1 , γ = 1

Il caso γ > ω

corrisponde ad un moto smorzato; il caso-limite γ = ω

d` a il moto critico

Legge oraria del sistema massa–molla (F _attr = −C ₂ |v|v)

Partiamo dall’equazione del moto:

m d

x

dt

= F = −kx − C

dx dt

dx dt

Non esiste una soluzione analitica! Dobbiamo arrangiarci con delle semplificazioni “ragionevoli”.

Sappiamo dall’esperienza che il moto `e oscillatorio smorzato x (t) = A(t) cos(ω

t + φ), con A(t) da determinare.

assumiamo che A(t) varii molto pi` u lentamente di cos(ω

t + φ)

⇒ dx

dt ' −A(t)ω

sin(ω

t + φ) ; d

x

dt

' −A(t)ω

cos(ω

t + φ) Usiamo l’energia meccanica: E = U

(x ) + E = k

2 x

+ m

2 v

⇒ all’estremo dell’oscillazione E = k 2 A

La potenza dissipata per attrito `e

W

= F

v = −C

|v |

La potenza dissipata mediamente in un periodo `e:

hW

i = −C

|v |

 = −C

1 T

Z

dt |v (t)|

' −C

(ω

A)

T

Z

dt | sin(ω

t)|

= − 4

3π C

(ω

A)

1 T

Z

dt | sin(ω

t)|

= 1 2π

Z

d ξ | sin ξ|

(ξ

= ω

t)

= 2 π

Z

d ξ sin

ξ

= 2 π

Z

d (cos ξ) (1 − cos

ξ)

= 2 π

Z

d η (1 − η

) (η

= cos ξ)

= 2 π

 1 − 1

3



= 4

3π

Legge oraria del sistema massa–molla (F _attr = −C ₂ |v|v)

Dobbiamo risolvere dE

dt ' hW

i:

kA dA

dt = − 4

3π C

(ω

A)

dA

dt = − 4 3π

C

ω

k A

dA

A

= − 4 3π

C

ω

k dt

⇒ 1

A(t) − 1

A

=  4

3π C

ω

k



t = αt

⇒ A(t) = A

1 + A

αt



α

= 4

3π C

ω

k



0 20 40 60 80 100 120

-1 -0.5

0 0.5 1

2|v|v

attr=-C F

1v

attr=-C F

Limiti di validit` a abbiamo supposto che    

dA dt

 ω

A ⇒ 4 3π

C

ω

k A

 ω

A ⇒ soddisfatta se C

 k Aω

Ora, |F

| = k|x| ≈ kA e |F

| = C

|v

| ≈ C

A

ω

 kA

⇒ su un solo ciclo |F

|  |F

|, l’oscillazione `e dominata dalla forza elastica ⇒ ω

= r k

m

⇒ la condizione di validit`a di tutte le approssimazioni `e C

 m A Che cosa vuol dire in pratica  ? Va bene C

≈ 0.1 m

A ? Bisogna andare a C

≈ 0.01 m

A ?

Osservazione della legge oraria

Il sonar collegato al computer consente di misurare la distanza Y (t) in una sequenza di istanti t equidistanziati di ∆t

. Ricordando che x(t) + Y (t) = costante, possiamo visualizzare la legge oraria del moto:

a

l’intervallo ∆t ` e impostabile attraverso la frequenza di campionamento ν

= 1/∆t:

non eccedere ν = 50 Hz, corrispondente a ∆t = 0.02 s,

M.Fanti (Physics Dep., UniMi) 18 / 39

Misura del periodo e dell’ampiezza

t [s]

0 1 2 3 4 5 6

Y(t) [mm]

120 130 140 150 160 170 180 190

0)

0;A (t

1)

1;A (t

2)

2;A (t

3)

3;A

(t )

;A4

(t4 )

;A5

(t5 )

;A6

(t6

misurando la distanza fra n creste si ottiene il periodo: T = t

− t

n

per misurare le ampiezze delle creste A

, A

, . . . , A

, . . . occorre sottrarre il livello di equilibrio

(per es facendo una media di tutti i punti campionati)

Effetti del campionamento

Poich´e l’acquisizione dati non `e continua, ma avviene ogni ∆t, la posizione delle creste non `e perfettamente accurata:

t [s]

0 1 2 3 4 5 6

Y(t) [mm]

120 130 140 150 160 170 180 190

0)

0;A (t

1)

1;A (t

2)

2;A (t

3)

3;A

(t )

;A4

(t4 )

;A5

(t5 )

;A6

(t6

individuato l’istante t

in cui rileviamo un massimo locale, il massimo “vero” sar` a localizzato a t

± ∆t

il valore dello spostamento massimo A

`e sempre sottostimato.

Misura dinamica della costante elastica k

Da quanto visto ci aspettiamo ω

= r k

m ⇒ T

= 4π

k · m Questa legge deve valere per qualunque valore della massa appesa.

Primo approccio: per ogni massa m

misuriamo il peri- odo T

e calcoliamo

k

= 4π

m

[T

]

i m

T

[T

]

k

1 · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . . 2 · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . .

... ... ... ...

n · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . . ATTENZIONE a propagare le incertezze! σ

= 2T σ

I valori ottenuti di k

sono fra loro compatibili?

Si osserva un andamento dei k

in funzione delle masse m

?

Confrontate con la misura statica di k fatta in precedenza: in quali condizioni le misure dinamiche di k

si avvicinano di pi` u a quella statica?

Come possiamo spiegare l’effetto? La massa della molla pu` o giocare un ruolo?

[suggerimento: anche la molla “scarica” pu` o oscillare sotto il suo stesso peso. . . ]

Secondo approccio: verifichiamo se i punti (m; T

) prelevati rispettano una legge lineare: ci aspetteremmo T

= 4π

k · m ⇒ facciamo un fit lineare con T

= a · m + b. Come viene il χ

? Se `e “buono” la legge lineare `e soddisfatta ⇒ possiamo estrarre k = 4π

a . Qual `e il significato di b?

Misura dello smorzamento

t [s]

0 1 2 3 4 5 6

Y(t) [mm]

120 130 140 150 160 170 180 190

0)

0;A (t

1)

1;A (t

2)

2;A (t

3)

3;A

(t )

;A4

(t4 )

;A5

(t5 )

;A6

(t6

Misurare le ampiezze massime A

raggiunte dalle creste, e i tempi t

a cui avvengono.

Ipotesi: |F

| ∝ v ⇒ A(t) = A

e

Provare a mettere i punti



t

; ln  A

A

 

su un grafico: stanno su una retta?

Ipotesi: |F

| ∝ v

⇒ 1

A(t) = 1

A

+ αt Provare a mettere i punti



t

; 1 A



su un grafico:

stanno su una retta?

i t

A

ln  A

A

 1

A

1 · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . . 2 · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . .

... ... ... ... ...

n − 1 · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . . n · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . .

ATTENZIONE a propagare le incertezze!

σ

A

= σ

A

; σ

lnh

A(0) A(i )

i

= σ

A

Conclusione: quale ipotesi di attrito descrive meglio i dati osservati?

Moto forzato

Applicazione di una forza esterna

Ora al nostro sistema massa–molla viene applicata un’azione esterna, sotto forma di forza sinusoidale.

Il sistema massa–molla viene appeso ad un attuatore (o vibratore) comandato da un generatore di tensione sinusoidale, a frequenza impostabile.

Il pistone del vibratore si muove con frequenza data dal generatore, agendo dunque come forzante esterna sulla molla, che si mette in moto.

Il segnale del generatore viene anche immesso in un oscilloscopio, in modo da misurarne la tensione di picco V e la frequenza ν = ω/(2π): dunque le caratteristiche della forzante sono note.

Grazie al sonar, si pu` o studiare il moto del sistema

(credits: prof. I. Boscolo)

. . . Anche qui, prima di effettuare misure, dobbiamo formulare un modello.

Modello dell’oscillatore forzato (F _attr ∝ v)

Il sistema viene modificato, aggiungendo una forza esterna sinusoidale F

= F

cos(ωt), con ω regolabile a piacimento. L’equazione del moto diventa dunque:

m d

x

dt

= F

+ F

+ F

= −kx − C dx

dt + F

cos(ωt)

Come gi` a fatto in precedenza, passiamo alla coordinata complessa z(t), ricordando che poi porremo x (t) = R[z(t)] . Come in precedenza, anche qui poniamo 2γ

= C /m, ω

= k/m, e ω

=

q

ω

− γ

. L’equazione del moto diventa:

d

z

dt

+ 2γ dz

dt + ω

z = F

m · e

Si tratta di un’equazione differenziale lineare, di secondo ordine, a coefficienti costanti, non omogenea, a causa della presenza del termine f

· e

.

La soluzione generale `e data dalla somma di una soluzione particolare, e della soluzione generale dell’equazione omogenea corrispondente: x

(t) = A

e

cos(ω

t + φ

).

La soluzione particolare `e della forma z

(t) = A

e

, con A

da determinare per sostituzione diretta:

−ω

+ 2i γω + ω

 A

e

= F

m · e

⇒ A

= F

/m

ω

− ω

+ 2i γω ≡ Ae

dove ovviamente:

A ≡ |A

| = F

/m

p(ω

− ω

)

+ 4γ

ω

; tan(ϕ) = − 2γω

ω

− ω

Soluzione del moto dell’oscillatore forzato (F _attr ∝ v)

La soluzione del moto ` e dunque:

x (t) = x

(t) + x

(t) = A

e

cos(ω

t + φ

)

| {z }

transiente

+ F

/m

p(ω

− ω

)

+ 4γ

ω

cos(ωt + ϕ)

| {z }

stazionario

Il termine transiente `e caratterizzato dalla frequenza angolare ω

dell’oscillazione libera, ma si attenua nel tempo fino a scomparire. Le costanti A

, φ

dipendono dalle condizioni iniziali, x e dx/dt all’istante t = 0.

Il termine stazionario `e caratterizzato dalla frequenza angolare ω della forzante esterna, e permane nel tempo.

Evoluzione dalla fase transiente a quella stazionaria

50 100 150 200 250 300 350 400

-40 -20 0 20 40

[1]*(cos([0]*x+[2])-exp(-0.01*x)*cos(x+[2]))

50 100 150 200 250 300 350 400

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

[1]*(cos([0]*x+[2])-exp(-0.01*x)*cos(x+[2]))

In alto: caso ω = ω

, la forzante ha la stessa frequenza angolare del moto libero in assenza di attriti.

Partendo da fermo, l’ampiezza di oscillazione cresce fino a stabilizzarsi.

In basso: caso ω 6= ω

.

L’ampiezza di oscillazione mostra i battimenti, dovuti alla coesistenza di due frequenze nel moto. I ventri corrispondono a quando le componenti transiente e stazionaria sono in fase (interferenza costruttiva). I nodi si hanno quando le

componenti transiente e stazionaria sono in opposizione di

fase (interferenza distruttiva). Con lo smorzarsi del transiente

la modulazione si fa via via pi` u debole.

La risonanza (F _attr ∝ v)

Una volta terminato il transiente, resta la componente stazionaria, con ampiezza A(ω) = F

/m

p(ω

− ω

)

+ 4γ

ω

e uno sfasamento ϕ(ω) = − tan

 2γω ω

− ω



rispetto alla forzante

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 10-1

1 10

1/sqrt((x^2-1)^2+4*([0]*x)^2)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -3.5

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

-acos((1-x^2)/sqrt((x^2-1)^2+4*([0]*x)^2))

Curva di ampiezza (sx) e fase (dx) in fun- zione di ω, per ω

= 1 e:

— γ = 0.01

— γ = 0.1

— γ = 1

— γ = 10

La curva di ampiezza si chiama anche curva di risonanza o lorenziana

L’ampiezza dell’oscillazione stazionaria cresce quando la frequenza forzante si avvicina a quella propria: questo fenomeno si chiama risonanza .

La massima ampiezza si raggiunge per ω = q

ω

− 2γ

' ω

(nel caso ω

 γ

) e vale A

' F

/m 2γω

.

La larghezza della curva di risonanza si caratterizza con le frequenze alle quali A(ω) = A

/2: ci` o avviene per ω − ω

' ± √

3γ. La FWHM (full width at half of maximum) `e pertanto FWHM = 2

√

3γ .

La fase alla risonanza vale ϕ

= −π/2

Misure con il sistema forzato

Lo scopo `e verificare la validit` a del modello dell’oscillatore forzato.

Si sceglie un sistema massa–molla–disco le cui caratteristiche (m, ω

, γ) siano note

Si sottopone il sistema a una forzante esterna di frequenza angolare ω e si misura l’ampiezza di oscillazione nel regime stazionario, al variare di ω

Ovviamente occorre assicurarsi che il transiente sia terminato!

Occorre inoltre controllare che, al variare della frequenza della forzante, la tensione del generatore resti costante: se cos`ı non fosse bisogna tenerne conto!

Alla fine dovreste avere una serie di coppie (ω; A) che dovrebbero descrivere una lorenziana, con massimo a ω

= ω

e larghezza FWHM = 2 √

3γ.

. . . Da confrontare con la lorenziana attesa dalle propriet` a del sistema (m, ω

, γ).

La scelta del sistema massa–molla–disco va fatta tenendo

conto della strumentazione in nostro possesso: il gener-

atore non riesce a generare frequenze inferiori a 1 Hz, e

con l’oscilloscopio si riesce a misurare frequenze con preci-

sioni ≈ 10

Hz. Vogliamo prendere diversi punti intorno

a ν

all’interno della FWHM, e anche fuori da essa per

esplorare le code della lorenziana.

Percorso dell’esperimento

(1 ^a parte : sistema libero)

Traccia

Ci sono a disposizione diverse molle, con caratteristiche meccaniche diverse. Per ciascuna di queste si svolgono le seguenti misure

Misure statiche

Misure degli allungamenti, con diverse masse appese

⇒ dovreste avere per ciascuna molla diverse coppie m

; Y

Verifica della legge di Hooke e determinazione della costante elastica k Misure dinamiche

Misura del periodo di oscillazione T per diverse masse appese.

⇒ per ciascuna molla dovreste avere la massa della molla m

e diverse coppie m

; T

Verifica della relazione lineare fra m e T

, estrazione della costante elastica k e dell’effetto inerziale della molla δm.

Controllo della compatibilit` a con il valore di k ottenuto dalle misure statiche.

Misura dello smorzamento: `e come atteso?

⇒ i dati favoriscono F

∝ v o F

∝ v

?

Provare a cambiare il disco frenante: come varia γ rispetto alla superficie del disco?

Alcuni accorgimenti pratici. . .

L’esperimento probabilmente si svolger` a in due giornate. Pertanto, attenti a non confondere le molle con quelle degli altri gruppi, altrimenti confonderete anche i k e i δm.

I pesetti da applicare alla molla “sembrano” tutti uguali, ma non lo sono. Quando li pesate sulla bilancia, non confondete la sequenza con cui li caricate sul porta-pesi.

Portatevi sempre a casa i dati prelevati: a casa potrete fare con comodo l’analisi (calcoli, fit lineari, etc), ma se perdete i dati dovrete

riprenderli in lab. Non fidatevi a lasciarli sul PC del lab . . . si potrebbe rompere!

Percorso dell’esperimento

(2 ^a parte : sistema forzato)

Traccia

Scopo: studio del moto forzato e osservazione della risonanza

Dovete scegliere il sistema massa–molla pi` u adatto, cio` e quello con ω

e γ tali da poter produrre una risonanza osservabile con i mezzi a disposizione.

Ricordiamo che il generatore pu` o produrre frequenze & 1 Hz e che l’oscilloscopio fornisce misure con precisione

≈ 0.01 Hz.

La scelta di ω

e γ viene ottimizzata con la scelta di una delle molle a disposizione (⇒ k), una massa appesa (⇒ m) e un disco frenante (⇒ C ).

Nell’esperimento dovrete applicare diverse frequenze forzanti ω e misurare le ampiezze di oscillazione A del moto stazionario. Per ogni ω impostata il segnale iniettato avr` a un’ampiezza V misurabile con l’scilloscopio: non `e detto che V resti costante al variare di ω, controllate!

⇒ Avrete diverse triplette (ω, V , A) — oppure (ν, V , A) se volete lavorare in frequenza Quindi dovrete confrontare i punti sperimentali con la lorenziana attesa

A(ω)

V (ω) = costante × 1

p(ω

− ω

)

+ 4γ

ω

. . . la costante pu` o essere determinata cercando il miglior accordo fra i valori aspettati (A(ω)) e quelli osservati.

⇒ La curva di risonanza misurata assomiglia a quella attesa?

Tips ’n’ tricks

Uso di DataStudio (1)

Accedere al computer con l’account Stu- dente (no password), lanciare DataStudio dall’icona sul Desktop, scegliere Crea es- perimento.

Otterrete la schermata raffigurata.

cliccando Imposta (in alto) selezionate la Frequenza di

campionamento — frequenze pi` u alte d` anno misure pi` u precise della posizione, attenzione per` o a non eccedere 50 Hz (cio` e un

campionameto ogni 0.02 s)

altrimenti il sonar non funziona pi` u correttamente

potete iniziare l’acquisizione

cliccando su Avvia (vicino a Imposta)

— il pulsante si trasforma in Arresta e pu` o essere usato per fermare

l’acquisizione.

Uso di DataStudio (2)

Sul grafico ottenuto potete:

adattare gli assi alle dimensioni del grafico, agendo sul 1

pulsante in alto a sx (puntando col mouse compare

Ridimensiona per adattare ) visualizzare alcune propriet` a collettive dei dati (min, max,

media,. . . ) attivando il pulsante Σ ( Mostra statistica )

effettuare misure locali attivando il cursore (6

pulsante in alto da sx,

Puntatore di misura ): compare una croce tratteggiata sullo schermo, che pu` o essere trascinata a piacere col mouse (diventa una manina con due frecce verticale e orizzontale);

spostando il cursore, indica sempre le coordinate; quando si avvicina ad un punto misurato “si attacca” ad esso;

si possono fare anche misure di

differenze (manina con una ∆)

esempio in figura: ∆t = 25.4999 s

Uso di DataStudio (3)

Si pu` o selezionare, inquadrandola col mouse, una porzione di grafico (eviden- ziata in giallo)

Le propriet` a collettive saranno ora riferite solo alla porzine selezionata (es. utile per misurare l’ampiezza di oscillazione lo- cale. . . )

Cliccando su Ridimensiona per adattare si ottiene uno zoom sulla regione selezion- ata.

NOTA: lo schermo pu` o ospitare tutte le

acquisizioni svolte: per “spegnerne” al-

cune (senza perderle) usa il pulsante Dati

in alto.

Uso di DataStudio (4)

Aprendo il me` u tendina di fianco al pul- sante Σ s pu` o scegliere quali propriet` a mostrare, es. si u` o attivare la devi- azione standard (rms [], “Root of Mean Square”).

In caso di oscillazioni stabili, per la misura dell’ampiezza di oscillazione si pu` o ot- tenere una maggiore precisione con la de- viazione standard, piuttosto che usando un singolo massimo locale.

Ricorda che se

A

≡ A(t

) = A cos(ω

t

+ φ), allora rms [A

] = A/ √

2

Oscilloscopio (1)

L’oscilloscopio misura tensioni elettriche ∆V in funzione del tempo t e le rappresenta come un grafico.

Viene solitamente usato per visualizzare segnali periodici, che devono pertanto ripetersi sullo schermo, uguali per successive scansioni.

Le scale orizzontale (tempo) e verticale (tensione) vengono scelte operando sui pomelli del pannello frontale,

VOLT/DIV e SEC/DIV I valori scelti vengono mostrati sullo schermo (che `e diviso orizzontalmente in 10 divisioni e

verticalmente in 8 divisioni)

Oscilloscopio (2)

Le successive scansioni vengono sincronizzate fra loro da un trigger, che sovrappone i diversi grafici. Il trigger rileva gli istanti in cui il segnale supera una certa soglia in salita (o in discesa, a scelta) e fa in modo che questi istanti vengano tutti allineati sullo stesso punto dello schermo.

Normalmente, collegando un segnale alla porta (es. CH1) e schiacciando AUTO SET l’oscilloscopio si configura nel modo migliore per visualizzalo.

Per segnali “lenti”, (pochi Hz) occorre procedere a mano:

premere AUTO SET

agire sulla manopola SEC/DIV fino a che poche oscillazioni sono rappresentate sullo schermo (es. arrivare a 250 µs/div per avere una scansione di 2.5 s)

a questo punto vedrete un segnale che non si ripete uguale a s` e stesso: ogni scansione sar` a sfasata rispetto a quella precedente

premere TRIG MENU, e dai pulsanti di fianco allo schermo impostare TRIG MODE NORMAL (normalmente sarebbe AUTO)

Per effettuare misure sul segnale, si pu` o selezionare il tasto MEASURE: il margine dx dello schermo riporter` a le misure impostate (quantit` a e canale, es. freq. e CH1) e con il corrispondente pulsante a fianco dello schermo `e possibile

impostarne ciascuna.

Per esempio, nel nostro caso sar` a utile impostare la misura di frequenza sul canale CH1 e anche la tensione “peak to

peak”: quest’ultima `e utile per vedere se al variare della frequenza impostata la tensione massima `e stabile o subisce

variazioni