Coordinate Polari fuori centro.
Si descriva un moto circolare uniforme con velocit`a angolare ω in un sistema di coordinate polari con centro O posto sulla circonferenza.
Figure 1:
Soluzione
Sia θ l’angolo polare rispetto all’origine O e φ l’angolo di rotazione rispetto al centro della circonferenza C.
Come si vede dalla figura, i due angoli insistono sullo stesso arco, per cui l’angolo alla circonferenza θ `e la met`a dell’angolo al centro φ: θ = φ/2. Di conseguenza ˙θ = ω/2 = cost.
L’angolo θ varia fra −π2 e +π2. il vettore posizione `e dato da:
~r = rˆer (1)
La distanza r `e legata al raggio della circonferenza R ed all’angolo θ dalla relazione:
r = 2R cos θ (2)
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Per ricavare velocit`a e accelerazione si utilizzano le seguenti relazioni:
dˆer
dt = ~ω × ˆer= ˙θˆeθ dˆeθ
dt = ~ω × ˆetheta = − ˙θˆer (3) Derivando il vettore posizione si ottiene la velocit`a:
~r = ˙rˆ˙ er+ r ˙ˆr = −2R ˙θ sin θˆer− r ˙θˆeθ= Rω(− sin θˆer+ cos θˆeθ) (4) Derivando di nuovo si ottiene la accelerazione:
~¨r = −Rω2(cos θˆer+ sin θˆeθ) (5) Notare che i termini fra parentesi nell’espressione della velocit`a e della accelerazione rappresentano i due versori radiale (ˆn) e tangenziale (ˆt) alla circonferenza ruotati di un angolo θ rispetto ai versori polari.
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