Capitolo 4: Metodo Montecarlo per la definizione del prezzo di opzioni americane

Capitolo 4: Metodo Montecarlo per la definizione del

prezzo di opzioni americane

Il metodo in questione è stato sviluppato da Daniel Wei-Chung Miao, assistente al Graduate Institute Of Finance, National Taiwan University Of Science and Technology di Taipei, Taiwan, e Yung-Hsin Lee, studente dottorando allo stesso istituto.

Tale metodo si propone di definire il prezzo di una opzione americana, presentando il vantaggio di non utilizzare una induzione all'indietro, così come fa la maggior parte dei metodi di apprezzamento delle opzioni, poiché si basa sulla determinazione del fatto se i prezzi futuri simulati rientrano nella regione di esercizio. La sua validità è supportata attraverso delle dimostrazioni matematiche applicate al caso delle opzioni Vanilla, e, attraverso qualche adattamento, anche ad altre, come le opzioni Chooser ed Exchange.

Nel tempo si sono sviluppati diversi modelli di definizione del prezzo di opzioni americane, i quali possono essere suddivisi in approssimazioni analitiche e metodi numerici. Relativamente alle approssimazioni analitiche, si fa riferimento al Barone-Adesi and Whaley's (1987), mentre riguardo ai metodi numerici il più utilizzato è il Metodo Montecarlo, che, a differenza di altri metodi, ha maggiore flessibilità, applicabilità e convergenza verso il valore reale dell' opzione. E' inoltre meno sensibile ai problemi di dimensione, e quindi è predisposto per risolvere i problemi di prezzo riguardanti più asset. Ci sono state diverse applicazioni relative alla definizione del prezzo delle opzioni americane, e la più popolare e promettente è quella di Longstaff e Schwartz (LSM); l' idea alla base di tale metodo è la stima di un valore continuo tramite una regressione ai minimi quadrati sul prezzo futuro simulato. Quindi simula i prezzi futuri, ma poi esegue successivamente una stima basata su una regressione, su un' induzione all'indietro simile ad un albero binomiale. Questo metodo è flessibile sia nell' applicazione che nella scelta di una funzione di regressione robusta, ma presenta

gli stessi inconvenienti del metodo Montecarlo, cioè un errore di simulazione nell' ordine di O( M−1/2) , dove M corrisponde al numero di simulazioni effettuate, una convergenza lenta ed alti costi di computazione. Inoltre si presta peggio all'applicazione alle opzioni americane piuttosto che a quelle europee: questo perchè le opzioni americane necessitano la definizione, tramite l' induzione all'indietro, della frontiera di esercizio ottima. Proprio l' induzione all'indietro è alla base di numerose inefficienze nell' LSM, poiché allunga i tempi di computazione per ottenere un' elevata accuratezza della simulazione. Per superare tali inefficienze, viene proposto un metodo Montecarlo che richiede solamente l' evoluzione futura (d'ora in poi chiamato FM), per cui non sono necessarie informazioni future sul prezzo dell' opzione, e si deve solo determinare se conviene esercitare l' opzione sulla base del prezzo corrente. Appena il prezzo entra nella regione di esercizio, la simulazione si ferma al tempo τ, ed il relativo prezzo dell' opzione viene calcolato scontando i payoff al valore iniziale.

Il prezzo di un' opzione americana corrisponde alla media dei prezzi simulati, cioè

Prezzo opzione amercana=super τ∈Ṫ E[e

−rT_Φ

(Sτ)] (4.1)

dove Φ(.) è la funzione dei payoff, Ṫ è l' insieme dei tempi in cui si ferma la simulazione inclusa la scadenza T.

Per verificare che il prezzo sia entrato nella regione di esercizio, l' FM si ricollega alla specifica sul limite dell' esercizio prima della scadenza effettuata da Barone – Adesi e Whaley (1987), d'ora in avanti chiamato BAW. Questo dimostra che la versione approssimata della frontiera di esercizio ottima (prezzo critico) per un' opzione americana call o put soddisfa un' equazione non lineare che, al suo interno, comprende anche il corrispondente prezzo di un' opzione europea. Si deve però tenere conto che risolvere tale equazione non lineare ripetutamente

durante la simulazione è sconsigliato, perchè comporterebbe uno sforzo nel calcolo molto elevato.

L' FM definisce quindi un prezzo pseudo-critico, che soddisfa una versione simile, ma più semplice, dell' equazione non lineare. Un' analisi matematica dimostra che tale prezzo mette a disposizione ogni informazione che fornisce il prezzo critico reale, rendendo possibile determinare se un dato prezzo rientra all'interno del limite di esercizio prima della scadenza in un dato periodo. Dunque l' FM calcola il prezzo pseudo critico tramite un processo simulativo. Si deve tenere presente che il prezzo pseudo critico si basa sul BAW, per cui si rende necessaria la definizione del prezzo della corrispondente opzione europea. Ci sono diverse altre opzioni i cui prezzi europei hanno formule simili nella forma, per cui questo approccio può essere esteso alla definizione del prezzo delle opzioni americane corrispondenti. In effetti, tale estensione richiede un adattamento, dal caso delle opzioni Vanilla, che sono le più semplici, agli altri casi considerati. Questo metodo può infatti essere applicato a due altri tipi di opzioni americane, le Chooser e le Exchange.

4.2 Forward Montecarlo Method

Si consideri l' impostazione standard di Black and Scholes, con il prezzo che segue una dinamica di neutralità al rischio:

dS=(r−q)Sdt+σ Sd W , t∈[0,T ] (4.2) dove r è il tasso di interesse, q è il dividend yield, σ è la volatilità e T è la scadenza. Ciò che interessa è definire se l' opzione supera il limite critico di esercizio. L' idea al centro del FM, infatti, è trovare un metodo per definire se il prezzo simulato è all'interno della regione di esercizio, e se la simulazione va interrotta.

4.3 Prezzo Pseudo Critico

Si consideri un' opzione call americana; in accordo con il BAW, il limite di esercizio ottimo S_cott per tale opzione dovrebbe risolvere, in ogni periodo, l' equazione non lineare

S_cott = Q2(Ce(Sc ott )+K ) Q₂−(1−Ce'( Sc ott )) (4.3)

dove C_e(S ) è il prezzo di un' opzione call europea calcolato tramite la formula di Black and Scholes, K è lo strike price, e

Q₂= −(n−1)+

√

Sostituendo il prezzo critico Sc

ott _{nella parte destra dell' equazione con il prezzo} corrente S, si dispone di una nuova funzione ƒ_c(.)

̂S_c=ƒc(S )=

Q₂(Ce(S )+K ) Q2−(1−Ce'(S ))

(4.4)

dove ̂S_c è il prezzo pseudo critico; la differenza con Sc

ott _{sta nel fatto che} quest'ultima, per essere risolta, necessita di un processo iterativo. La definizione di ̂Sc richiede il prezzo della corrispondente opzione europea ed il delta ∆_c=Ce'(S ) . Quando il prezzo dell' opzione corrisponde al prezzo critico, si ha che S= ̂Sc=Sc

ott .

Dato il prezzo corrente S, se è ottimale esercitare l' opzione call prima della scadenza si può capire da Sc

ott _{, visto che se}

S>Sc

ott _{l' opzione dovrebbe essere} esercitata, mentre se S<Sc

ott

dovrebbe essere mantenuta. Il Teorema 1, illustrato di seguito, dimostra inoltre che, sotto certe condizioni, il prezzo critico ̂Sc fornisce le stesse informazioni del prezzo critico reale Sc

prima della scadenza.

Il Teorema 1 afferma che, per un' opzione call americana con prezzo del sottostante S e prezzo di esercizio ottimo prima della scadenza Sc

ott _{, se il prezzo} dell' opzione europea corrispondente soddisfa le condizioni 0<Ce'(S )≤ 1 , C_e' '( S )>0 per ogni S, dove C_e' '( S ) è il gamma di un' opzione call europea, allora S> ̂Sc se e solo se S>Sc

ott _{. La dimostrazione di tale teorema è la} seguente:

Si definisca la seguente funzione

g(S )=S [Q2−(1−Ce'(S ))]−Q2(Ce( S )+K ) (4.5) e, in accordo con l' equazione (4.3), g( S_cott ) = 0. La g(S) è funzione

strettamente crescente di S, e per definire questo, si dimostra per prima cosa che

Q2 ≥ 1. Si supponga che Q2 ≤ 1, per cui si avrebbe che

−(n−1)+

√

2 −1<0 .

Sostituendo i termini n, m e k si ottiene

√

σ2 <0 la contraddizione salta immediatamente all'occhio.

Comunque, si assuma che sia > 0. Elevando al quadrato entrambi i termini, con qualche calcolo si ottiene che

r

1−e−r(T −t )<r−q

Questo non può essere vero, visto che e−r (T −t)≤ 1 e q > 0. Quindi abbiamo Q2 ≥ 1 come contraddizione, e di conseguenza

dg(S )

dS = Q2−1(1−Ce'( S ))+SCe' '−Q2Ce'(S ) = (1−Ce'(S ))(Q2−1)+SCe' '(S )

Le condizioni C_e'(S )<1 , C_e' '(S )>0 e Q₂>1 dimostrano che dg(S ) dS >0 , indicando così che g(S) è una funzione strettamente crescente per ogni S. Conseguentemente, S> ̂Sc ↔ S> Q₂(Ce(S )+K ) Q2−(1−Ce'(S )) dove Q₂−(1−Ce'( S ))>0 se Q2>1 e C_e'(S )>0 . ↔ S[Q2−(1−Ce'(S ))]>Q2(Ce(S )+K ) ↔ g(S )>0=g (Sott) ↔ S>Sott

Il teorema fornisce una giustificazione teorica dell' utilità del prezzo pseudo critico ̂S_c . Per ogni prezzo corrente S è possibile calcolare un ̂S_c con molti meno costi, e comparando i due si determina l' esercizio o meno dell' opzione.

Si consideri un' opzione put americana; sulla base del BAW, il prezzo di esercizio ottimo Sp

ott _{deve soddisfare la seguente equazione non lineare:}

Sott_{p =} Q1(K −Pe( Sp ott )) Q1−(1+Pe'(Sp ott )) (4.6) dove Q₁= −(n−1)−

√

nella parte destra dell' equazione, si ottiene il prezzo pseudo critico Ŝ_p , che viene definito attraverso la funzione ƒ_p(.) ̂ S_p=ƒp(S )= Q₁(K −Pe( S )) Q1−(1+Pe'(S )) (4.7)

Anche in questo caso è necessario il prezzo dell' opzione europea corrispondente P_e(S ) così come il delta ∆_p=Pe'(S ) . Anche qua si ha un teorema, il

Teorema 2, che determina le condizioni sulla base delle quali il prezzo pseudo

critico Ŝ_p fornisce le stesse informazioni del di Sp ott

riguardo la determinazione dell' esercizio prima della scadenza.

Tale teorema afferma che, considerando un' opzione put americana con prezzo S e prezzo di esercizio ottimo Sp

ott _{, se il prezzo dell' opzione europea} corrispondente soddisfa le condizioni −1 ≤ Pe'( S )<0 , Pe' '( S )>0 (dove Pe' ' corrisponde al gamma di un' opzione put europea) per ogni S, allora si ha che S> ̂Sp ( S< ̂Sp) se e solo se S>Sp ott ( S<Sp ott ) . La dimostrazione è la seguente: h( S )=S − Q1(K −Pe(S )) Q₁−(1+Pe'(S )) dove h( Sp ott

)=0 . Come nella dimostrazione precedente, l' obiettivo è dimostrare che h(S) è funzione strettamente crescente di S.

dh(S ) dS = 1− −Q1Pe'(S )[Q1−(1+Pe'(S ))]+[Q1( K −Pe(S ))] Pe' '(S ) [Q1−(1+Pe'(S ))] 2 = 1−B1+B2 B3 dove B₁=−Pe'(S )(Q1 2 −Q1(1+Pe'(S ))) B₂=Q1Pe' '(S )(K −Pe( S )) B3=[Q1−(1+Pe'(S ))] 2

Visto che Q1<0 , le condizioni −1<Pe'(S )<0 , Pe' '( S )>0 portano a B2<0 e B₁ = −Pe'(S )(Q1 2 −Q1(1+Pe'(S ))) = −Pe'(S )( B3+Q1(1+Pe'(S ))+(1+Pe'(S )) 2 ) = −Pe'(S ) B3−Pe'(S )Q1(1+Pe'(S ))+Pe'(S )(1+Pe'(S )) 2

e, di conseguenza, B1+B2

B3

<1 e dh(S )

dS >0 , dimostrando che h(S) è strettamente crescente. Se ne deduce che

S> ̂Sp ↔ S> Q₁(K −Pe( S )) Q₁−(1+Pe'(S )) ↔ h( S )>0=h(Sp ott ) ↔ S>Sp

ott _{, poiché h(S) è strettamente crescente}

4.3 Forward Montecarlo Method (FM) per opzioni Vanilla

I teoremi 1 e 2 forniscono le condizioni sufficienti per verificare se il prezzo pseudo critico è effettivamente un indicatore sufficiente per l' esercizio o meno dell' opzione. Considerando le greche delle opzioni vanilla, si verifica che i prezzi pseudo critici ̂Sc e Ŝp sono effettivamente indicatori sufficienti. Si considerino il Delta ( ∆ ) ed il Gamma ( Γ ):

∆c=Ce'(S )=e −q(T −t) N(d1) Γc=Ce' '(S )= n(d1)e−q (T −t) S_tσ

√

√

Dunque usare tali prezzi pseudo critici ̂Sc e Ŝp è la stessa cosa che usare Sc

ott _e Sp

ott _.

4.3.1 Algoritmo del FM

L' algoritmo del metodo in esame si sviluppa attraverso tre passaggi:

1. Si generano M simulazioni di prezzo, ed ogni simulazione i = 1, … , M evolve nel discreto con un indice j = 1,…,N (intervallo di tempo ∆t =

S=Si , j=Si , j−1e (r−q−σ

2

2) ∆t+σ√∆tZi , j

, Z_{i , j}∼N (0,1)

2. Se l' opzione non viene esercitata, e quindi esiste ancora una simulazione i al tempo j-1 < N, si genera il prezzo al tempo j, definito come S=Sij . • Nel caso di un' opzione call, se j = N, l' opzione scade con valore

V_i=e−rT(S −K ) e la simulazione i si conclude. Se j < N, si calcola ̂S_c=ƒc(S ) . Infine, se S> ̂Sc , l' opzione viene esercitata con valore Vi=e−rT( S−K ) e la simulazione i si ferma. In caso contrario, viene detenuta l' opzione e la simulazione prosegue fino al passo successivo j +

1.

• Nel caso di un' opzione put, se j = N l' opzione scade con valore Vi=e−rT( K −S ) e la simulazione i si conclude. Se j < N si calcola

̂

S_p=ƒp(S ) . Se S< ̂Sp l' opzione viene esercitata con valore Vi=e−rT( K −S ) e la simulazione i si interrompe. Infine, se l' opzione non viene esercitata la simulazione i continua fino al passaggio successivo

j + 1.

3. Quando tutte le simulazioni sono state completate l' opzione americana viene valutata effettuando la media dei payoff scontati, cioè

V= 1 M

∑

M

V_i (4.8) Tale metodo non utilizza induzione all'indietro, per cui permette un rilevante risparmio di spazio e di tempo, poiché non necessita di immagazzinare tutte le simulazioni effettuate; ogni volta che il prezzo si muove allo step successivo, il prezzo passato, non essendo più necessario, viene eliminato.

Per ogni simulazione i viene immagazzinato soltanto il prezzo corrente Si , j , durante la simulazione, oppure il valore finale Vi , quando la simulazione viene interrotta; anche a causa del fatto che il nuovo valore del prezzo Vi+1 può

essere sommato a Vi, il costo di immagazzinamento non aumenta con M, e così ha un ordine minimo di immagazzinamento pari a O(1), a differenza di degli altri metodi Montecarlo che si basano su induzione all'indietro.

4.4 Estensione ad altre Opzioni Americane

Il metodo FM può essere esteso per ricavare il prezzo di altre tipologie di opzioni americane, per le quali la formula analitica di calcolo del prezzo dell' opzione europea corrispondente è disponibile. Tali applicazioni richiedono una verifica riguardo alla definizione ed al mantenimento del prezzo pseudo critico e delle sue proprietà.

4.4.1 Opzioni Americane Chooser

Un' opzione Chooser con scadenza T da al possessore il diritto di decidere se l' opzione è una call o una put prima del tempo di scelta Tc < T. Per t∈(T_c, T) il

tipo di opzione viene determinato, e sia le opzioni europee sia quelle americane vengono trattate come se fossero opzioni vanilla call o put. Quando t = Tc, il prezzo delle opzioni chooser europee ed americane sono il massimo del corrispondente prezzo delle call o delle put, cioè

U_e(Tc)=max [Ce(Tc) , Pe(Tc)] (4.9) U_a(Tc)=max[Ca(Tc) , Pa(Tc)] (4.10) Per t ≤ Tc il prezzo di un' opzione chooser europea è dato da

Ue(t)=S e −q(T −t) N(d1)−K e −r(T −t ) N(d2)+K e −r (T −t) N(−d2')−S e −q(T −t) N(−d1')

Dove d1 e d2 sono definite come al solito, e d1' e d2' sono definite come

d₁'= ln(_{K )+(}S r−q)T +σ 2 2 Tc σ

√

√

Le opzioni americane chooser possono essere esercitate sia come call che come put quando t < T, per cui il valore di esercizio è max((S −K ) ,(K −S )) . Il prezzo di esercizio K è un limite naturale per la determinazione del tipo di opzione che la chooser sarà, perchè sarà vista come una call se S > K, mentre come una put se S < K.

Quindi c'è una coppia di prezzi superiori ed inferiori critici S_cott(U ) e Sott_p (U ) ; l' opzione americana chooser non sarà esercitata se Sott_p (U )<S <Sc

ott(U ) _{, mentre}

verrà esercitata se S>Sc ott(U ) _o

S<Sp

ott(U ) _{. L' estensione dell' FM richiede la}

definizione di due prezzi pseudo critici, cioè Ŝ_c(U ) _{e S}̂

p

(U ) _{, che vengono definiti}

̂ S(U )_{c =} Q2(Ue( S)+K ) Q2−(1+Ue'(S )) se S < K (4.11) ̂ S(U )_{p =} Q1( K −Ue(S )) Q1−(1+Ue'(S )) se S > K (4.12)

I prezzo dell' opzione europea corrispondente U_e(S ) deve essere funzione strettamente crescente di S, così come nel caso delle opzioni call vanilla, se S >

K. Viceversa, deve essere una funzione decrescente di S, come nel caso delle

opzioni put vanilla, se S < K. In altre parole, U_e(S ) ha le stesse proprietà matematiche dei prezzi delle opzioni call o put vanilla.

La validità dell' FM dipende dalla capacità di Ŝ(U )_c e Ŝ(U )_p di determinare se il prezzo entra nella regione di esercizio.

Per le opzioni americane chooser al tempo t < Tc < T i due prezzi pseudo critici

̂

S(U )_{c e S}̂

p

(U ) _{sono indicatori sufficienti, nel senso che S> ̂S}

c (U ) _{( S< ̂S} c (U )_{) se e} solo se S>Sc ott(U ) ( S<Sc ott(U )

) quando l' opzione tende ad essere una call con S

> K e ∆(U )<0 . Questo viene dimostrato attraverso la definizione del delta e del gamma delle opzioni chooser europee, che sono dati da

∆(U )=∂ Ue ∂ S =e −q(T −t) [ N (d1)−N (−d1')] (4.13) Γ(U )=∂ 2 U_e ∂ S2 =e −q(T −t)_[ n(d1) Stσ

√

√

Si noti che ∆(U )>0 se N(d1)>N (d1') e viceversa, mentre Γ (U )

vero. Di conseguenza, quando l' opzione tende ad essere una call con S > K e ∆(U )>0 , Ŝ(U )_c è un' indicatore sufficiente, coerentemente con il Teorema 1. Similmente, quando l' opzione tende ad essere una put con S < K e ∆(U )<0 ,

̂

S(U )_p è un' indicatore sufficiente, coerentemente con il Teorema 2.

La decisione di esercizio precedente alla scadenza dell' opzione può essere presa comparando il prezzo corrente S con i due prezzi pseudo critici Ŝ(U )_{c e S}̂

p

(U ) _.

La differenza di questa tipologia di opzione rispetto alla vanilla è la natura dualistica, il che però non significa che entrambi i prezzi pseudo critici debbano essere calcolati per ogni periodo t attraverso la simulazione. L' algoritmo, infatti, determina la tendenza dell' opzione verso la call o la put, attraverso il confronto tra S e K attraverso il ∆(U ) ; sulla base del tipo di tendenza che si verifica, si può usare solo uno dei due prezzi pseudo critici.

Anche se nessuno dei due è vero, il prezzo dovrebbe essere simile allo strike price K, per cui S ≈ K, e N(d1)≈ N (−d1') ; ciò significa che l' opzione è molto

vicina ad esser at the money, ed è grande o piccola abbastanza per essere esercitata prima della scadenza.

Riassumendo, gli adattamenti effettuati per le opzioni americani chooser ad ogni step temporale sono:

1. Quando t < Tc:

• Se S(t) > K e ∆(U )>0 , se S> ̂S(U )_{c l' opzione viene esercitata come una}

call, altrimenti viene mantenuta.

• Se S(t) < K e ∆(U )<0 , se S< ̂S(U )_p l' opzione viene esercitata come una put, altrimenti viene mantenuta fino allo step temporale successivo.

• Se non sono vere le due ipotesi fatte sopra l' opzione viene mantenuta fino allo step temporale successivo.

2. Quando t = Tc, se ∆(U )>0 l' opzione viene scelta come call, altrimenti

viene scelta come put.

opzione vanilla.

4.4.2 Opzioni Americane Exchange

Un' opzione exchange è un tipo di opzione multiasset che da il diritto al proprietario di scambiare un'azione S2 con un' altra azione S1. Se si considera la

impostazione standard, dove la dinamica di Si segue dS_i=(r−q_i) S_idt+σ_iS_id W_i

, in cui i = 1,2 e dW1dW2= ρdt ; qi corrisponde al rapporto dividendo-prezzo e σ alla volatilità di Si, mentre ρ rappresenta la correlazione tra S1 ed S2. Per un'

opzione exchange europea, che fornisce il T-esimo payoff ( S1(T )−S2(T ))>0 , il

suo t-esimo prezzo corrisponde a

X_e=S1e −q1(T −t)N(d 1' ')−S2e −q2(T −t)N(d 2' ') (4.15) dove d1' '= ln(S1 S2 )+(q2−q1+ ̃σ2 2)(T −t ) ̃σ

√

√

√

Nella formula sopra, ̃σ corrisponde alla volatilità del processo Y = S1 / S2 le cui

dinamiche possono essere descritte come

dY=(q2−q1)Y dt+σYdW (4.16)

e l' opzione exchange può essere vista in termini di Y; più precisamente, il T-esimo payoff può essere espresso come S_2T(YT−1) ,, dove (YT−1)>0 , ed il suo t-esimo prezzo può essere espresso in una forma alternativa:

X_e=S2⋅e −q2(T −t)E(Y T−1)=S2⋅Ce(Y ) (4.17) dove C(Y )_{e =Y e}−q1(T −t )N(d 1' ')−e −q2(T −t)N(d 2' ')

Questa formula mostra che il prezzo di un' opzione exchange europea è S2 volte il

prezzo di un' altra opzione call vanilla su Y con tasso di interesse q2, rapporto

dividendo prezzo q1 e strike price 1. Questo problema di definizione del prezzo

dell' opzione exchange può essere visto come un' opzione call semplice utilizzando S2 come numerario.

Quando si arriva alla definizione del prezzo della corrispondente opzione americana, l' esercizio prima della scadenza è ottimale quando S1 – S2 > 0, o

quando Y-1, sempre > 0, è sufficientemente grande. Se S2 viene adottato come

numerario, tale problema di definizione del prezzo dell' opzione può essere affrontato come se fosse un' opzione americana vanilla in termini di Y, come nel caso dell' opzione europea. Ciò può essere descritto come

Xa=super τ E[e −r(T −τ ) ( S1τ−S2τ)]=S2⋅super τ E[e −r(T −τ ) (Yτ−1)]=S2Ca (Y ) (4.18)

dove ( S1τ−S2τ) e (Yτ−1) sono > 0. Un modo per interpretare tale formula è che il tempo ottimale per l' esercizio dell' opzione è lo stesso di quello dell' opzione call su Y. Il tempo a cui (S1 – S2) è sufficientemente grande da esercitare

l' opzione prima della scadenza è indicato da τ, per cui il processo Y corrisponde al prezzo critico Yc

ott _{in tale periodo.}

Di conseguenza, per determinare l' esercizio prima della scadenza dell' opzione exchange originale si potrebbe osservare il processo Y, il quale, nel caso in cui corrispondesse a Yc

ott _{, determinerebbe la situazione ottima di esercizio prima} della scadenza.

Utilizzando S2 come numerario fa si che un problema relativo a due asset diventi

legato ad uno solo, per cui si può applicare l' FM. Il corrispondente prezzo critico è ̂ Yc= Q2(Ce (Y ) (Y )+1) Q2−(1−Ce(Y )'(Y )) (4.19)

ed è ancora un indicatore sufficiente, nel senso che Y> ̂Yc (Y < ̂Yc) se e solo se Y>Yc

ott

(Y <Yc ott

) , e se e solo se l' opzione dovesse essere esercitata (detenuta).

Questa affermazione può essere dimostrata mostrando che il delta e gamma per l' opzione call su Y(t) soddisfa le condizioni del Teorema 1.

∆c(Y )= ∂ Ce (Y ) ∂ Y =e −q1(T −t)N(d 1' ') → 0<∆c Y <1 (4.20) Γ(Y )_c =∂ 2_C e (Y ) ∂ Y2 = n(d1' ')e −q1(T −t) Y(t)σ

_√

Nella simulazione dei due prezzi, ad ogni step temporale, è necessario calcolare Y = S1 / S2 e confrontarlo con Ŷ_c . Una volta che la condizione per l' esercizio si

verifica, cioè Y> ̂Y_c , il valore (S1 – S2), maggiore di 0, è esercitato.

Il valore dell' opzione americana exchange viene ottenuto tramite la media dei valori scontati di tutte le simulazioni.