Objectif du cours

Objectif du cours

Résolution des équations du mouvement dans le cas des petites oscillations autour d'une position d'équilibre d’un système

mécanique déformable.

Double diplôme ENSA –ECN : L3

« Vibrations »

[email protected]

Supports du cours

Site web : https://pedagogie.ec-nantes.fr/meefi/Vibra/vibra.htm Polycopié, avec exercices de cours corrigés

Exercices d’application

Supports Matlab

Plan du cours

I - Mise en équations par le PTV (systèmes discrets) II - Oscillateurs à un degré de liberté

III - Oscillateurs à plusieurs degrés de liberté IV - MMC : modèles barres et poutres

V - Vibrations des barres et poutres VI - Méthode d’approximation

VII- Introduction de l’Elément fini barre

La mise en équations

Mécanique

PFD Principe Fondamental de la Dynamique Equations de Newton

Principe vectoriel, local, utilise les Forces

f = ma

Principe utilisé en première année du DD PTV Principe des Travaux Virtuels

Equations de Lagrange

Principe scalaire, global, utilise les Energies (travail)

T A

δ ⁼ δ

Principe que nous abordons cette année

Rappel sur le PFD

Equations de Newton Enoncée ∀ ∀Σ ∃ t Rg f _{ext / Σ} = ma _{Σ / Rg} Principe d’existence

Théorèmes généraux

Théorème de l’action réaction Théorème de l’énergie

( )

/ G

Fext g

R _Σ = Ma _Σ

) , ( )

/_Σ

( A = A Σ

M

δ

ext f

c

P

dt E

d ( ( Σ / Rg ) ) =

{ F S 1 _→ S 2 } { = − F S 2 _→ S 1 }

Pour un système matériel (ensemble de solides et ses liaisons) Inconnues principales ?

Équations principales ? ! Difficile

Le « PTV »

Énoncée

d’Alembert- Lagrange

( ) ( / Rg )

P Rg W A

δ δ _Σ δ _Σ

∀ ∀Σ ∃ = Principe d’existence

PFD PTV

à tout instant

Équivalence

0 . .

C C A C B A B

∀ ≠ = ⇔ =

L’idée est d’utiliser

( ) ( ) ( )

δ P δ P df . P δ P a . _g P dm P

⇒ ∀ =

( ) P _g ( ) P

P D df dm a

∀ ∈ =

PFD :

(D)

) ,

(

g

O b ℜ

P Principe Local

vectoriel

déplacement virtuel du point P

( )

( ) ( / )

( / )

( )

( )

.

.

D Rg

Rg g

D P

P

W f P dv

P W A avec

A a P dm

δ δ

δ δ δ

δ δ

Σ

Σ Σ

Σ

 =

∀ =  

=

 

∫

Principe global, scalaire ∫

D

∫

PTV :

Équations de Lagrange

c c

i

i i

i

i

E E

i d

d

Ep D q

q q L

t

 ∂  ∂

∀   − + = +

∂ ∂

 

∂

∂ ɺ

W d

δ Travail Virtuel

des efforts Donnés

W i

δ Travail Virtuel

des efforts de Liaison

Systèmes discrets

Identité de Lagrange

( / )

i

c c

Rg i i

i i

i

E E

A A q avec A d

dt q q

δ _Σ = δ = ^  ^{∂ }  − ^∂

∂ ∂

 

∑ ɺ

Ou systèmes discrétisés

Travail virtuel des efforts

( ) .

d P

D i

i d

i

f P dv Ep q i

W D

δ q

δ = = ^  ^  δ

 

− ∂

∑ ∂

∫ Efforts Donnés

( ^P ) . i

i i

D i

i

f P v

W d L q

δ = ∫ δ = ∑ δ Efforts de Liaison

. liaison 0

liaisons parfaites

dép virtuels compatibles

i

W s

δ = 

 

Équations du mouvement Problème virtuel Problème réel ≡

Si liaisons non respectées Problème virtuel Problème réel ≠

Paramétrage ∀ ∈Σ P OP = P q t ( , ) _i

_i

i i

P OP q

δ = ^∂ q δ

∑ ∂

Mise en œuvre

Analyse choix du paramétrage en fonction des objectifs du problème

Inconnues : N paramètres

Equations du mouvement Problème virtuel Problème réel ⇔

Efforts de liaison Problème virtuel Problème réel ≠

Inconnues : (N+p) paramètres et p multiplicateurs

Calcul des Énergies (Ec et Ep)

Prise en compte des actionneurs

Prise en compte des p liaisons non respectées Prise en compte des liaisons non parfaites

Écriture des équations de Lagrange

Écriture des p équations de liaisons cinématiques

Écriture des lois modélisant les liaisons non parfaites (frottement)

Mise en forme et résolution

Le PTV est un outil pratique

Pour apprendre à l’utiliser Traitons les exercices suivants

cos F ωt

x_o y_o

O

g

(m₂)

(m₁)

θ

θ

y

g

x

ℓ

ℓ

m

m2