Mise en équations des milieux discrets

Fiche de cours du chapitre II Mise en équations : Solides indéformables

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Mise en équations des milieux discrets

Application du Principe Fondamental de la Mécanique (PFD).

Énoncée du PFD : ^{∃ ℜ ∀Σg R(F}

{

}

{

}

Mise en œuvre

* Paramétrage (bilan des inconnues cinématiques)

* Bilan inconnues - équations

- Modélisation des liaisons mécanique (bilan des efforts inconnus)

- Recherche des équations principales

- Bilan: l'objectif est d'obtenir autant d'équations que d'inconnues. Il faut choisir intelligemment les systèmes à isoler pour faire apparaître un minimum d'inconnues secondaires (et ce n'est pas si simple à faire).

* Écriture des équations principales (cinématique et cinétique)

* Linéarisation et écriture matricielle des équations.

Application du Principe des Travaux Virtuels (PTV).

Énoncée du PTV : ∃ ℜ ∀Σ ∀_g δ δu A_g =δT_(Fext+int)

Pour un système discret à n paramètres ce principe conduit aux équations de Lagrange, dont nous donnons ici la forme développée.

∀i d +

dt E

q - E q

E

q D L

c i

c i

p i

i i

(  )∂ + =

∂

∂

∂

∂

∂ Mise en œuvre

* Paramétrage (bilan des inconnues principales)

Le choix du paramétrage est fait en fonction des inconnues que l’on cherche à déterminer (équations du mouvement ou équations du mouvement + efforts de liaison)

* Calcul des énergies

Développement limité et écriture matricielle des formes énergétiques.

* Calcul du travail virtuel des efforts non pris en compte dans l’énergie potentielle.

* Écriture matricielle des équations.

Remarque :

Les équations de Lagrange offrent l’avantage de conduire directement aux formes matricielles cherchées en identifiant les formes quadratiques relatives aux énergies.

Formulaire de cinématique - cinétique.

Cinématique

Vitesse d’un point géométrique P / espace E0 G G V P d OP

0 dt ( )= 0

Vitesse d’un point P lié à l’espace Ej / espace Ei

G G G

V P V P E d OP

ij i j dt

i j

( )= ( ∈ )=

Dérivation vectorielle ^{d A}

dt

d A

dt A

i j

ij

G G

G G

= + Ω Λ

Fiche de cours du chapitre II Mise en équations : Solides indéformables

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Torseur cinématique champ des vitesses d’un solide S G G G G V B_is( )=V_is( )A + Ω Λ_is AB Accélération d’un point géométrique P / espace E0 G G

γ₀( )P d OP⁰² ₂

= dt Cinétique

Torseur cinétique d’un système matériel Σ :

{ }^σ A =

{

}

0( ); 0( , )Σ avec G G G

σ₀( , )A Σ APΛV₀( )P dm( )P

Σ

=∫

Torseur dynamique d’un système matériel Σ :

{ }^{δ A =}

{

}

Σ

=∫

Énergie cinétique d’un système matériel Σ : E_c(Σ/R ) V ( )P dm( )P

Σ

0

1 2

2

= ∫^{( )G}0

Dérivation : G G G G

δ₀( , )A Σ = d (σ₀( , )A Σ )+ V₀( )A ΛV₀( )G

dt⁰ M

Utilisation du repère barycentrique : σ^G₀ σ^G

0

( , )G Σ = _{R G}( , )G Σ

¹ ( )

2

E_c(Σ/R₀) = M VG₀( )G 2 + E_c(Σ/R₀^G)

Cas d’un solide S :

M^vt quelconque : G G

σ₀( , )G S = J( , )G S Ω et _os G G G G σ₀( , )A S = σ₀( , )G S + MV₀( )G ΛGA 2 E_c S R₀ M V( ₀ G )²

os J G S ( / ) = G ( ) + G . ( , )Gos

Ω Ω

Translation : G G

σ₀( , )G S = et 0 G G G σ₀( , )A S = MV₀( )G ΛGA 2 E_c( /S R₀) = M V( G₀( )G )² Rotation/point fixe : G G

σ₀( , )O S = J( , )O S Ω et _os G G G G σ₀( , )A S = σ₀( , )O S + MV₀( )G ΛOA 2 E_c S R₀

os J O S ( / ) = Ω^G . ( , )Ω^Gos

Expression des opérateurs d’inertie de quelques solides usuels:

Tige : [^{I(G S, )}]^{= M ⎡}

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ A²

12

1 1

0

à une extrémité : [^{I( , )A S} ]^{= M ⎡}

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ A²

3

1 1

0

Disque :[^{I( , )C S}]^{= Mr ⎡}

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

2

4

1 1

2

Cerceau : [^{I( , )C S}]^{= Mr ⎡}

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

2

2

1 1

2

Boule : [^{I( , )C S} ]^{= Mr ⎡}

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ 2

5

2 1 1

1

Sphère : [^{I( , )C S} ]^{= Mr ⎡}

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ 2

3

2 1 1

1