ANNO
III- Torino , r Giugno 1877
UM.6 .
L 'INGEGNERIA CIV ILE
E
LE ART I I N D U S TR I A L I
PERIODICO TECNICO ME N S I LE
Si discorre nel Giornale di tutte le opere e degli opuscoli spedili franshi alla Direzione dai loro .~utori od Editori.
dai
1
<
lunghezze C ed UD,
con qi l'angolo diconiu gazion e,
triangoli UAE, BEF, ACV e
DEVsi ricava: ,.
COS T RUZ IONI MURAL I
'\IURI D' ACCm!PAGi\AMENTO
PER PALLE DIPONTI.
( l'egqw11;i le la•wlé \'II e v111).
Com
'ènoto,
i pontisoprn
corsi d'acqua d'alveo ampio e poco
incassato,
hauno cl'orclillario una
luce
relativamente
ri-tretta, per
cui alle
loro spalle si addossano deiterrapieni
pia
ntalis
ull'alveo stesso,ed i quali vengono couten
uli entro acerti
limiti,e difesi da
llecorrosion
i,medinnle muri
(diala, di vo
lta testa, ecc.)che si
stnccano dalle palle
.Questi
muri,
secostrutti
secondo ioliti tipi,
presentanoil
difellodi crea re
brusche variazioni diforma nella sezi one del!H corrente, e
perconseguenz::i
, mo\'irne11ti irregolari diquesta, urli,
vortici.ì'ìè
riescono economici,perch
è v'hannoin
essice
rteparti, che
pur non concorrendo alimitare o difendere
iterrap
ieni, nondimeno llOnpo
ssonovenir om-
qi
=
90° - (a-f3)ccosj3 -
dsenf3a= - ---..,,---
cos (a- f3) clcosa+
c:>ena b = - - - -coc> (a- /3) . lc-fiseua
i= - - - --
cos (a- p) f.:,oRj3 -
dsen
f3 g= COS((l.- /3). . (A)
L'equazione
della eli sse sudd
etta, pe
r rapporto ai suoi semi-diam
etricon
iugati,
è:me
se,essPndo intimamente
lega te conquell
e che servonoa
1 y, ~ + b~x,
~=a~ b~ . (l)a tali sco
pi. I -
·clr · r VX yy 1 ·
Un muro
ndunque,che
raccordassein mod
o dolce e con-_,a si
riuca a&
I ass'.. ~rtogona i . ' ' ponenc o
llles
a,tinu
ole
sezioni liberedel
corso d'acqua
con quelle ristrette, !
per Xi ed Y" 1 valou ·so
llo il ponte
,e non avesse alcuna parte non
indi
spensa-!
g:>enc>+xcosf3+
ysen.8bil
e, ossia contenesse un
cuborelati vamente minimo,
sa-l
x, = sen q,rebbe
del certo preferibile
aqu
elli accenn
ati.A qu
este condizioni mi
sembra
soddisfiil
tipo di muro di cuiqui
appreso (Tav. l').Il
piano orizzontale O O
sia anche il pianocli
tracciato e si ottiene:
del muro, ed
il pianoorizzontale 0
10'
segni fino a cheal
- yia'cos2a+
y'b"sen~/3+
2yxb2seuj3co&j3tezza minima i
terrapienidevono
esserdifes
i: infine ipiani
_2
yxa~;;enacosa+ 2ya
2icosaseuçi(l }
(2)verticali
B
B' limitino
la lunghezza delledifese uddell
e.Sul piano di
tracciamentod
O (Tav. l ',fi
g. 1 a) (*) side- +
2yb'gsanj3.seoq, + x"a"sen"a+
a;2b'cos2j3 =0 ...
(Il} scrival'arco di elisse AB
coi semi-diametri coniu
gali
U A,+
2,xb'gcos,Bsenq,-2xa~iseuasen<;>UB, para lleli ri
spettivamente allerette BR
(prolungamento + sen~<;>(a"i1+b1g~-a0b1)del
la traccia orizzontale dello scarpa lo del terrapieno)
ed ARl
cherisolta da:
(prol
ung::imento della traccia orizzon
tale della sp::dla); e l'arco 1 [
di
elisseA'B
' sui semi-rliametri coniugali A'U', B'U',pa-
y=
.,,---- --,--- - - 2 seu
e!> (a1 icosa 2 (a" cos' a+
b'' sen"RJ ·
ralleli rispe ttivamente alle rette B' R'
(proiezioneoriz zontale
I"della retta secondo
cui lo scarpaio del terrapieno sarebbe i+
b2 g sen /3) - (b2 seo2
j3 - a 1 sen2
a) x tagliato dalpiano orizzontale 0' 0 ')
ed A' R' (proiezione oriz-i 1,
zon1 ale del!'
intersezionedell
o scarpato colprolungamento
1 + 2 absen
q,l cos
2 a (a2- g")+
sen~ f3 (b' - i')della spalla).
I
Si
consideri laAB siccome una curva obbiettirn gi
acente! +
2 i g cosa se n
f3 +2
(i sen f3 - g cosa) x - x"l]
(B}nel
piano 00 e
laA' B' siccome la proiezion
eorizz ontale
di una cu
rvagiacente
nel piano dell
o scarpato· elungo
leE per
l'elissein
ternasi avrebbero
equazioni analoghe,che du
e curveobbiettive suddette,
si facc
ia nHw1·e;·euna relt
::t 1per brevità
si ommette di scrivere, indi
candole con (A') e (B').
generatrice, la qual
_e, a
part~re dal~a sua
pri~~posizione AA' e j Le z' della d.
irettrice curva
giacente , nel
~iano cieli()
fino a cadere nel piano vertica
le \VZ toccht rnoltre una terza ,carpalo (TaY. 1 \ fig.
P)sono date
dallequ azwn e
:direttrice,_
la r~Lt_avertical_e
V Z;dopo di che, pu_r obbedendo z' =
h _tang
ti (y' _x ' tanga) .
(C)alle due direllric1 cur ve, si
muorn mantenendosi parallela al ··
piano verticale
YVZ.Questa
relta genera cosìdue fal
de diE detto
O l'angolo Yariabile che la generatrice retta facol superfi
cie ghemba, le quali cosliluiscono la faccia esterna del piano orizzontale O O
iha anche:
mu
ro indi
scorso.Sono dati:
gli ngolin,
_B, _8', b pendenza pdell a strada,
tange=
__z_ ' _
le lunghezze FA= c, FV=
f,
FB=d, FA'=c'
, FB'=d', y - y' . . . (D)l'altezza V V'= li,
e si ha s
ubito l'angolo a=are
tang-p-.
essendo y ed y'ordinale dell e due cl iss
i,corrisponclenli ad
.
Lang 6 i unastessa ascissa
.lnd1
cand o
( Tav. 2\
fìg. 'ln) con
ae
b isemi-diametri
· Le equazioni(A),
(B), (A'),(B'), (C)
e (D) de_Lermi~anoco
niuga
li Aed U B de
lla elisse e
terna, con g ed ile
'. comph:tamentela falcia di superfi cie sghemba a
prnno diret-(')Nella tav. 1' la fi;;. ·I' dà la soluzione generale, le fig. 2, 3, 4 non rappresentano
che
soluzioni parlicolari.to
re.Per l'altra,
quell a a tre direttrici, serl'iranno
le seguenti:
si riduca la
(II) al sistemapolare, di
c11iV
è ilpolo
2 L. INGEGNERIA CIVILE E LE ARTI INDUSTRIALI
V X l'asst polare. Indicando con ii il raggio vettore e con y
l
l'angolo variabile ni
V A,
i hatangO= - -
z'
,y - y . . . (D)
X =ucos y
y=useny cbe posti nella (II) dànno(3)
!
cos J3(4)
! U=2b, co s~,a
+2sen1y(a1-bl +2b~ s en~
fi) +bl
sen2ysen2,BXul !a~senla
+blco s~j3
+sen'y(a~- b' -2a~sen
2a I [ -2b'gcos(fi-r)+abV ! 4 sen~y(2b~senlf3 +a~~b~
+ 2b' "n'ft1 + "n2y{b'"nftcosft-
a'"n•COS•)I J
+ 2 u ! cosy(b2gcosfisencp-a isenasencp)
~=O
-
g~)
+2b~
sen 2y. sen 2fi_+
4b~
cos2J 3
!]z'
= h -u' .
tang Il . sen y .,_, tangO=-"'-u - u'
(E)
(F) (G)
+
seny(a~icosasen cp
+ b2gsenj3senqi)Ì '
+
sen ~çi(a 2 i'
+blg~-aw ) ltrn )
\ Confrontando la fig. 48 colla fig. 1a, j corge che in tal i ca o le due figure suddette di rnntercbbero identiche, per
1 cui ervirebbero per enlramb{' le tesse equazioni; e cam- biando in que le il segno dell'angolo
,B,
si ollerrehbero le equazioni relative alle fig. 2a e 3a.che risolta dà Non si avrebbero così che due soli sistemi di equazioni,
[
-2 cosy(b~gcosfi
-a~isena) -
2seny(a'icosa+
b
2gsenfi) +ab V [ 4sen ~y
{2sen ~a(g'!
-a
2)I
+ 2:;en2j3(b1- il +2igsen(a+fi)+a!- bl+i2- gl!
+
2;;en2r!2igcos(a+fiJ + sen2a(g~-ai)
valevoli ognuno pei due muri diagonalmente opposti.
i
Se fosse J3=0 (ponte relto in pendenza), le equazioni re-!
lati ve alla tìg. -1 a di\·enterebbero ' °"l
©= 90° -o:j . e
1 a = - -
::
~ coso:
b = d
+ e
tango:i
i = (crf) tanga(A)
+
sen2,B(b2- i])l-4!2igse n acosf3+sen :ia(g~-a
2)
U =
+ sen2,B(b2- i2)-bl+i2!J] sencp
1
- - - -... (E)! 2
(a~sen~a+ b~cos"p) +2sen'y ( a?-b ,-2a
2sen'.x !
+ 2b1:;en'.B) + sen2y(b"sen2j3 - a2sen2a).
l
e per l'elisse interna, si avrebbe un'analoga equazione, che !' per brevità i ommette di scrivere, e i indica con (E').
La (C) poi diventa
z' .
h - u'taog~(seny - tangacosy) (F)E
finalmente si ha puretangB = - - ,
z' u -u
(G)
!
,es endo
n
ed ii' raggi vettori delle due elissi, corrispondentil
ad uno stesso valore dell'angolo y. ( Le equazioni (A), (A'), (E), (E'), (F) e (G) determinano completamente quest'altra folda di superficie S!(hemba.
Confrontando (Tav. 2') colla fìg. 1\ le fìg. 2\ 3a e 4a, si scorge: che ntlla lìg.
2a
ba cambiato di segno l'angolo,B,
nella 3a hanno cambiato di segno gli angoli a ef3
e la lunghezza ..i,
e
finalmente nella 4a lianno cambiato rii segno l'angolo o: ' e la lunghezza i; per cui onde avere le equazioni relativel
ai muri 2°, 3° e 4°, basterà introdurre gli accennati cam-
!
biarnenti di segno, in quelle già date pel muro 1°. j Se fosse v= O, e quindi anche a=O (punte obliquo sotto ~ livelletta orizzontale) le equazioni relative alla fig. 1"' diven-
i
terebbero
u =
·g= cosa y
=
2 11
2 [ -
2a~icos'a
+a~se n2ax
·a
cos a+ 2
ab
cosaV I
alcos'a - (gcosa +x)~ l]
z'=
h - tang Il (y'-x'tanga)
tangO=-
z'
- ,' y - y
[ - 2cosy(b
2g -a~isena)
-2a~icosa.seny
+ab V [
4sen'y { 2sen2a(gl -a~) +
2igsenaI
+a~-b~
+i2-gi!+2sen2rf 2igcosaj + sen2a(g2- a')!-4j 2igsena
+sen'a(g'- a!)- b'+iiJ] ] co a
(B)
(C )
(D)
- - - -... (E) 2
j b' + a' seo
2a+se n'y(a'-b'-2a~sen~a)j
-a~sen2y.sen2a
z'=
h -u'.
tang Il (sen y - tanga. cos r) tano-0=- -z'
., u-u'
(F) (G)
q, =
90°+
,8a =
e - d . tang ,B b= -d-cos
ft
i= O(A)
Confrontando la fig. 2" colla fig. 1 a, si corge, che in tal
!
caso, le due figure suddrtte diventerebbero identiche, per cui servirebbero per entrambe, le stesse equazioni· e cam- biando in queste, i egni dell'angolo a e della lungbezza i, si olterrebbero le equazioni relatire alle figure 3a e 4".Non si avrebLero cosi che due soli sistemi di equazioni, valevole ognuno pei due muri di una stessa spalla.
g
= f -
d . tan g ,6Y = 2(al +~'s en'fi)[- b2sen2j3 (g +x) I·
+ 2 a ù cos J3
~! j
b2 sen 2 ,8+
a! - (g + x)' \J
z'= h-
tanga. y'(B)
(C)
I
Se finalmente fosse ,B=O, p= O, e quindi anche a=O (ponte retto sotto livelletta orizzontale), le equazioni relative alla fig. 1 a diventerebbero
ct=90Q a=c b=d i=O g= f
y = ~ V ! a~ - (g + x)~ j
((B) A)fl
L' INGEGNERIA CIVILE E LE ARTI INDU 8TRIALI 8 3 z'=h -
tang tJ.. y' (C)I
riali, equesti
fossero di grandi. dim_ensioni,
se i?sommaI~
costruzione
dovesse
esserfatta rn pietra da ta
glio,locche
"'
1
succederà raramente o mai.
Imateriali invece che d'o rdi-
tang B= y-- ~- y - ,
(D)nario si impiegano in
simili lavori, cioè pietrame piùo meno
lavora
to e mattoni
,sono di dimensio ni abbastanza piccole per prestarsi perfettamen te all
'uopo senza bisogno di appa:•
recchi di
sorta, edin tal
caso, chesarà
sempreo quasi
j
semprequello della pratic~, spa~iranno_ I.e ~ifficolt~ ~ s~ese
(E)
l
straordinarie, ela
costruzione s1 compira m cond1Z1omaf- l
fattonormali.
z'= h -u' . tangà
. senr
(F)l
/ng. B. ZUCCA.,,,,
tang 8 =--~-,
u- u
(G)ed è facile scorgere che
quest' unico
sistema di equazion i
servirebbeper
tutti quattro i muri.
. .Terminerò
conalcune poche osservaz1om.
. .GEOMETRIA PRATICA
L' ORDINATOGRAFO
di
Grn. N1c0Lò
IvANCICHL
a scelta delle direttrici
verràfatta per ogm
caso specialenel modo il pili opportuno,
av~ertendoche qu
ella posta nel Assistente all' I. R. Accademia montanistica di Leoben (Stil'ia).piano di tracciato deve
essenzialmenteraccontare quanto Occorre molte
voltedi dover individuare graficaménte,
megliosia possibile, l
andamentodel
corsod'
acqua collamediante
ascisse edordinate, la posizione di
certi punti,luce del ponte;
e chele altre due devono
concor~·ere c~n , ol'andamento d'una
curva, colla quale averea colpo d'oc-
essa adirigere il movimento della retta
gen_e,ratnce cosi, i chio un'ideadelle leggi
cherego lano le variaz ioni di al-
che sene ottenga un muro della
forma la pm
adatta allo
; cune quantità.scopo
e di
facile esecuzione. . ..
. :La geodesia e la geometria pratica si servono
oggidì quasiLa tav.
·1 •dà quattro dilferenll
esempi d1 tale scelta. Mi !
esclusivamente riel metodo 1fledesimo per trad urre a tavolino il fermo un momento
su quello della fig.
2~,per. far
not~rei! disegno di un rilievo
eseguiloin
campagna
colteodolite,
com~ ~Ilafalda .di s uperfi?ie ~ghem
?a. a piano dll'.ettore s1
a?1 ! o
col tacheometro.
E si conoscono apposite_ tav~le nu~~sostilmloc u~
piano
, cos1~chea
s1111~lr? d~lpiano
.~ert~- l riche chetraducono nell
edu
e coordinale 1 dati. presi
rn caleYVZ
s1 haun
semplicemuro d1 rivestimento d rnch-
\ campagna. Tali ad
es.,le bell
etavole tacheome triche del- nazione
edaltezza
cost~nli. . ..
.. . ! l'ing. Vincenzo Soldati di
cui si è parlatopiù volte in questo
Non presenterann?
d~fficoltale
mod1fica~10mda mtrodurs1 l periodico.
.all'uopo nelle eq.uaz10n~, e
del resto. con
vien osservare, che iA
facilitare erend
erepiù preciso e
spedito il lavorod1 nel
caso prat_1
c_od1_ d.over
red1~ere u.n_proge~toi!
portare sulla cartauna
seriedi punti
. datiper _
mez~odi
sa
r
anno s uffi
cienti 1 pro
cessi
grafi
ci'
~~ah sicoordinate
si sono costrutti
O"ià alcum strurnenli dettior-
vedono segnati nella tav . 1 a, fig. 1
a,pelle generatnci
mm' sdinatografi'; tali
ad es., quel!~di Peltz
(1), quellodi En-
ed
nn'. . . ..
. ,!
gelke (2), ecc. . ..
. .Lo spessore d1 tah f!lUl'l,
che com~ efacile
ve~ei ~' s~r~ J1 gabinettod1
o-eodesrndell'I. R.
Accadelil!amontamst1ca
variabile,verrà determinato colle
soliteregole
;ne rmscll'_a di Leoben ha fatto ullimamente costruire, secondo una mia difficile il calc?lo_
d~lleloro
c~b~~ure, ~on quella approssi-idea, dai
~eccaniciSchablass
efi
glio aVie_ nna, _un ordina-
maz.ione.che
s1_ l'lchiede per s1m1h
con h. .to
grafo il quale presen~ain confronto. de~h altn finora
~o-C1rca 11 traccia me?to
sul ~erren~ bastera _pormente che nosciuti
alcunivantaggi; e
credo perciòeh
far cosa gradita i regoli da
collocars1 P~~g1;11da dei muratori, son_ o rappr
e- ai lettoridi questo periodico dandone un br
eve cenno.sentati da singole pos1z10m della
retta
gener~tr1ce,delle quali se ne utilizzeranno tali
etante che bastmo per ben segnare la forma de! muro.
..
. . .L'effettiva costruz10ne poi d1
s1ffatllmun presenterebbe difficoltà
e spese nonordinarie pello apparecchio dei mate-
I
\
(f) Zeitscllri{t fìir Vermessungswesen, anno f874, pag. 4ti.
(2) H•maus, Lehrbuch der praktischen Geometrie,
Haonover, t868,
pag. 44'.Fig. 22 - L' Ordinalografo di (ho. Nicola' Tvancich
L' L'GEGNERIA CiV1LE E LE A R T! IN DUSTRIAL l
S ULL'E S A T T E ZZA D ELLE MISUR A ZIONI DI LU N GH E Z Z E
FATTE C O N ASTE METRIC HE,
ASTRO D 'ACC IA IO , CAT ENA E C OMI' A S SO A G RIMENSORIO
del zwofessore FRAI\'CESCO LoRBER (1 ).Qu es
toapparato si compone (fi g.
~2)di un
:e~ol~L di metallo e d'un triangolo a squadra
T, 11 qual~puo lar_ s1_
s_cor-.
rere lungo il
regolo L. Su questo regolo è in?1sa
una cl1_v1s1o ne in millim etri, e così pure sul ca
teto maggiore del tn_angol_o mobile. Inoltre sul ca
tetominore del
trian~oloT s1 ha
11 ,verniero r per la divisione del regolo, e lungo il
cateto i
n h
scorre un'.alL_ro verniero
N'.. . , .!
I du
e vermeri
permettonod1 stnnaie lun ghezze fino a
! . .1.
! CAPITOLO PRIMO. -- Osservazioni genem i.
mm.
0,02. . . ,Per
adoperare questo
strumento è
n~ce~sar~oche la h nea j
I.Per ciò che r iauarda
I'esa ttezza nella mi sura delle delle ascisse combaci perfettamen te cogli
sp1golt ab e cd del- ilunghezze coi
diver~i istrurnenti geodeti ci più usitati ,
~onl'estremità del recrolo · ed ove dessa non fosse ahba tanza
~si hanno fin ora dati a bbastanza
sicuri, e
sebbene a pnm o lunga, si può far~ _u ~~ dei due
"pigo
li ab ed efoppure j aspetto si possa
credereda taluni fa cile 'co.sa dare una ri-
~nche di ab e
dell'rnd1ce
~- ..
'!sposta definitiv a, pure giova osservare che esistono su qu esto Riesce così possibil e
cl i lav?rare ~oli~ _h_n ea delle ascisse proposito du e opinioni essenzialm ente diverse, tu_ tte e
_due ad
unacerta dista nza dalla lrnea di dms10ne del
reg~l?,basate su risultati pratici, delle quali l'una
rnpienamente condizi one nec
essaria ad opera re con esa ttezza
e c?modita._ ! rl
'accordoco
lla teoriae l'altra si di ce non si a assoluta-
. b'l N ' d . d
I l ' ' 'Lo
spigolo
lg delnonrn mo
1e
~ 1uc spi go 1.
i imente
incontraddizione colla
teoria stessa.ed mn del triangolo a
squadra delermrn ano_ una
med_es1~al Affine di poter rl are co n maggiore precisione un parere linea r ett a ;
inoll~e. q_u~ndo lo ~~ro. del_:10111_0
~,cornc;de sulle due _ opinioni .es
istentied avvicinarsi alla _soluzion e
~olle zero della
d1vmone u t,
I_ md1ce "'cornc1de con "' e Ì della quest10n e, ho rntrapreso nel decorso a_nno rn
Leobensi trova perciò
sull'a~se delle asc1s~e:. I parecchie serie di misurazioni co n aste
me~nche,c_ol nastro Per fi ssare sul disegno _la pos1z10ne . d1 un
pm~lo ~latod'acciaio, colla catena e col compasso
ag~1mensono,colle per mezzo delle sue coorchnate, s1 fara scorrere
il Irta~- qualio _ tlenni i
ri~ult~tiche v _errò
insegmlo
esponen~o.
.crolo
T lungo la 1· sfino a tanto che la lettura del nom_o l
2.Sicco me tait n ce rche s1 basa no
sulmetodo dei
mi-~orrisponda all'ascissa data; in seguito _ si fa sco rrere
ti niini quadmti.,così non credo inutil
edar pure un br eve nonio
N' lungola
ti~fino ad a\'.ere l' ordrn ata ; colla punta ria ssunto di qu esta teoria (2). .
.;finissima di
unago s1 segna ali.ora
su~lacarta la pos1Z1 one ! Le misure di
lunghezza sono soggette ad
er~on;fra
q~estLdell'indice
z';e siccome
I'ordrnata
r~ma_nearl nn_a.
ceri~i sono da distin guersi errori
g1·ossolanio sviste, erron
co- cdi stanza dal cateto del trian _gol _ o,_ cost
nesc~possibile e
hstanti, ed errori
iquali con eguale probabilità possono es-
descrivere
intornoal punto 111d1V1d_
uatoun
cir~ol!no_a ma- sere positivi e nega tivi e di consi
inevit<tbili.lita
e notarsi accanto il nome od 11 numero d1s trn tivo del
Iprimi , siccome qu ell i che dipendono
dal~apoca
atte_n~punto stesso.
.. . zione fatt a nel corso del lavoro , non sono tait da poterv 1 s1
Durante questa
o_pernzi~n.e tanto_ il re~oloL
co~e il ti:i-far sopra alcuna specie
di ragionamento. . .
<ingoio
Tres
tando 1mmob. 1h,
co.~v1~ne ~1col_ld~rre 11 nomoGli errori cos
tantiesercitano la !_o
ro influ~nza sm n_sul-
N' lungo la t1iface ndo s1 che l rnd1 ce z co111c1 da col pu~to I tati dell e misure seco ndo certe leg!n,
lequali , quando stano segnato sulla carta e, facendo allora
la letturadel nomo, cono sciut e, ci dànno
laposs
ibilitàdi calcolarli;
sovente iavrà un m ezzo sicuro per accerta
rsi dell'e altezza della ancora tali errori si possono rend ere del tutto innocui ser- operazione. . . .
.vend osi di
spe~iali m~todi d_i rnis?ra., . . . . .
Quando parlasi d1 slrurnenl1_,
_dopo av~rn.efa tta la co no-
Lanatura d1 questi errori fa s1 eh essi
~ pantadt
~1r-scenza , è ben natural e che
~h mgeg~ert nvolgano la loro cos tanze,
si presentino con v alore eguale,
1~quale sara o attenzione anche sul rrezz? d1 C O S t? : P!rò dunque c~e. un
r~~ positivo o negativo.Si ccome gli
erro~i costan_ti banno gra_ nd_e golo di metallo, mu111lo dt esalt a d1V1S t0ne, per lull1
1lavo1
~influ enza sui risultali e siccome essi non s1 possono ehm1-
sucenn~ti_,e
_cosaindispen_s abile; e che
_es~o co~lada noi uare neppure con ripetute rnis1:1razioni, c?si dobbiamo fer-:
60
fionn1
,(c!l'ca
120lire tl. ) . . Or bene
1 s1g!1on
Sc~ablassmare su di essi la nos tra speciale attenzio ne, e fare ogm
-efiglio a Vienna dànno
l' orchnatogr~foqm
~Pscrilloal possibile per
liberarnei risultati.
.. . prezzo di fiorini
'100 ( cir~a 20~ lire1L. ); ed, e
~n pr~zzoGli errori inevitabili, infin
e, son o prodotti da d1fferentI
.abbastanza moderato,
se s1 cons1rlera che nell
or~rnatogiafo cause e non sono soggetti ad al cuna legge determmala;
vi
s~no_due reg?li
melalli~icon esallissima ~li
vis10ne e due essiposso no influire sul risultato delle mis1:1re. (ossia dell_ e vermen e che s1 può panm ente adoperare
ilregolo
sem-osservazioni) ora aumentandone ed ora d1mmu endone
11plice L servend osi anc he
de~nonio·lihe_ro N'._. va
lore,non si
lascianodeterminare a mezzo del ca
lcolo, Lo
strum~n.toper
~ssPre.rn
~radod1
pr~c1sarecon esat- non possono mai essere climi. nati _ del t utto, ma P. oss?no
a~lezza
laposmone dei punti dati , dev e soddisfare a due con- ouni
modoessere almeno ndottI fra sempre pm r1slreth dizioni, cioè
:. li~iti . Di qu es ti errori si occupa appunto .
ilme_Lodo dei
1) Laretta /rn deve essere esatta mente perpendicolare minimi quadrati, il qu ale condu ce a
_poter sllmare
11valore .alla
ad ed ali.a."~·. . degli errori
inevitabili e il grado d1 esattezza delle osser-
2) Le dms10111 dei regoli e dei nonii debbono essere vazioni.
esatte.
Per esaminare
se
lotrumento soddisfa alla prima con-
. .. .. .
d
'·.. d' "
à td e etrico
qualunque (I) LORB~R, Ueber die Genamgke1l del' La11genmemm_ge11 tllll ,Jfes- IZIOl1e S
I isc.,nercon un md_P. ol o g 3m " Il s· potrà !
slallen. JJJessband, !llesskelle und Dl'eMalte. -Vienna' Alfred
Hol·una retta esattamente
p~rpen1 co
;~rea un
d rae
1.I der,
t877.
così accertare se la.
hne perpP nchc_ ola'.e alla
_rs. Poi con-!
Dobbiamoalla cortesia
del Prof.Lorber
la facoltàdi
pubblicarein dotta
laretta
ad s1osserve r~ s ~ 1 1'1~d1c e
1.z ~
1 trovatera- ! itali ano questo suo
recente ed
imp ortante lavoro
digeometria pratica , mente sempre sulla
ad quan o Itrtango o scorre
ungo !d el quale l'ollimo nostro collaboratore G.
N. IVANc1cu,che prese parte
la 11n quanto 's. . a a secon a
li clcom
1· ·
1z1one b tas e1 " a verificare se
,! alle esperienze
(tì970 misurazioni}, volle inviarci
(N latraduzione.
1
d
u
0. .
portHti i nonii
in differenti po.sizioni lungo lf! divisioni
de~.
0 a e a. 11·ezione 1regolo L e del cateto tu,
e_~s1 ~~mp~endan~ ~ernpr_e·fra
I ! (2l \'edi G•uss,
Theorza. motus corporum coelestiwn,. 1_809. -loro
puntiO e
50 unospaz10 d1v1so m 49 m1l1Jrnet.r1. ! GAUSS,
Theor1a combmatzo111s ubservalw11um errorum mm1mus ob-L, cl' I rr r
·stato rlalla
I RA ccarl emia di
Leoben I
no11;we, l821.
or
mao,.,ra10 ar.qm
.. · . ·
. ! ENcKE IJie Jl/flhode der kleinen Quadrale, Berliner astronornischesdai signori Schahlass e figlio d1 y1enna
non lascia nulla I
Juhrbuch 183/i,. 1835. 1836.a
desiderare quantoalla sua perfezrnne.
GrnuNG, Oie Au1gleichungsrcchnungenetc,
i8-i3.G N I
CH D1umrn. Aas_gldchtmfJ der Denbachtun_gsfthler.etc.,
1~?S7.· · VANCI •
I
S•WITSCH DieA11wendungder Walirscheit1lichkeilslheone,etc.,1863.- - - -- !
H1>Lll6RT, Die Ausgleicliungsrech11un_g,etc
., 1.87!. Ed altriancora.
L' 1t\GEG :\ER1A CIV1LE E LE ARTI INDUS TRIALI 85
Nel misurare
le lunghezze compariscono ancora allri er-rori
,i
quali rigorosamente non sipotrebbero considerare come appa
rtenentiad uno dei due gruppi ind
icati piusopra.
Essi non sono alternativamente po
sitivi e
negativi,non ono
neppure soggettiad una legge determin ata, ma influ;scono
sul risultato sempre in unmedes
imo senso
epossono perciò essere chi3m ati
eiT01·i d'un sol segno (1 ). Così,per
es., l'errore chederiva dal
non trovarsi laca
tena sempre sulla linea
da misurare, masolo
invicin anza di essa ed in di- rezione
un po' differente,non
ha sulrisultato altra
influenzache quella di rendere se mpre qu
estamisura un po' troppo grande:
la lunghezrnmisura
ta nonpotrà du
nque mai
perquesto motivo risultare minore della vera lunghezza della
data linea e tutto al piu potrà esserle eguale.Ecco, ad unque, un
errore, ilquale appar
tiene alla categoria cli quelli
diun_ solo
segno.E
evidente chedonebbes
iquindi tener
conto :rn
chedi questo terzo gruppo di errori ; ma alcune
riflessionibaste- ranno a co nvince rci della
possibilità diconsiderare
gli erroridi
un sol segno comeap
partenenti alla categoria deg
lier-
rori inevitabilioppure a
quelladegli
errori cost:rnti, e ciòconsiderando
l'influenzacomp
lessiva efinale di tutti
i dif-feren
tierrori di un
sol segno.Si consideri, infatti,
ilcaso in
cui i differentierrori di
unsol seg
no si presentino ta
lida quasi
compensarsil'un l'altro ; ed all ora
l' influenza
sommaria di tali errori nelcorso di ripetute misure sarà or posi
tirn edora
negativa,
edavrà quindi il ca
rattere deglierrori ineritabili.
Se, però,
glierrori
di un sol sPgno fossero tu Lti nel medesimo senso, ovl'ero
tali che quellidi un
segnofos
seroin valore
notevolmente sorpa
ssati daqu
ellidi
segno con- trario
,allora anche
la somma ditu
lliqu
esti errori eser-ci
terà lasua influ
enza sul risullalo,ma l'eserciterà sola-
mente in un
sensoe gli errori ·polr:1nno consid erarsi perciò
comeappartenenti
alla categoriadrgli
errori costanti.So
lo inquesto caso il gruppo degl
i errori costanti per-derebbe un po' del suo
,·ero carattere ed èperciò
che saràpiu gi
ustoe più proprio chimnare
la sommadegli errori risultan
tidagli
errori costanti ed:i quelli d' un
sol segno col nome più comprensivo di e1'rori 1'egola1'i.3.
Qualunqu
esiasi lo
scopo delle ope
razioni, senon
sifanno
chetante misure quante sono
assolutamenteneces-
sarie, non
si potrà certoarri vare ad avere un'idea degli errori che in queste operazioni
si commettono ;essi ci re- steranno
completa111ente ignoti; per
arrivare aconoscerli,
bisognaad
unque procP.dere._ ad un numero di misure mag- giori del necessario.
.E
in questo caso, sebbene il metodo dei min
imi quadratinon s'occupi a rigor
e che degli errori inevitabili,pure esso ci
dà anche imezzi per
determinare almeno approssima- tivamente gli errori
regolari.Si suppo
ngache il vero rn
lore di una certaquantilà sia
<.i;
che questa quantità
sia statamisura
ta semprecollo
stesso
trumento unnumero
ndi volte, cosi che ogni mi- surazione meriti eguale fiducia.
Isingoli risultati trovati sieno
01
o., o,
Onle differenze
W- 01= 01 w- 01= Ò, (1)
\
I
w -0W-On=Ò,, 3= a3sarann o i veri
etT01·i commessi nelle
singole misurazioni:essi si com
pongonodegli
inevitabilie
dei regolari,e
di-notando co.n
rgli errori r
egolari agenti in unostesso senso, e con z gli errori inevitabili i
qualisono ora
positivied
(1) FRANK6, Zeitschri(t (iir Vem1crssw1gswcse11, voi. I, f872. Biiascu, Zeitschri(t (ur Vermesmngswesm, voi. 11. 1873.
ora negativi,
avremo :(2) . .
Ò 1 = r1+ z1
ò!=r~+z,
Ò3=r a +Za
o ,,=rn+ Z u Sommando le equazioni (2)
si avràJ'i+òi + ... + òn=r
1+ r
2+ . .. + rn+z
1+z
1+ . .. + zn ossia
scrivendo alla maniera di Gausslòl=frl+ [z j.
Introducendo nel
calcolo invece degli erroriregola
rir1
1·~ . .. 1'n
un
valo1· medio, facendo cioèavremo da
cui (3) ..La
sommar
1+r
2+ ... +r,,= m·
[J']= ni·+ [zl r = l§_l_l_:l
n n delle
equazioni (1)darà nw- (0
1+0 1+03 + .. . O nÌ=[o]
e
chiamando O la media
aritmeticadelle quantità
01o, . . _
o,+0~+03+
. .. +o,,_
n
0avremo
nic-nO =[il'I oppure, coll'ai
uto dell'equazione(3) r= ic-0-[ z
1•n
È
nella natura degli
errori inevitabilidi
· · · d · · · d' [z]
s1lln e ora negatJVJ · qum
i sarà-
con nessere
orapo- eguale probabi-
lità, ora unapiccola quantità pos
itiva ed orauna
piccolaquantità negativa, ep però potrà prendersi come medio va- lore di r
(4) .. · . .
r =w-0
Ciò facendo si commette
un errore eguale a
jzjil cui valore n
medio può facil men
tetrovars
i:(
lzl)~-z1n 1+z~~+. ..
+z~n+21zn~ 1z,+z1z3+.. - + z,,_1.
z,.)La
omm
aè in
seguito
aquanto
si èdetto piu
sopra conegual
pro-babilità positiva e negativa, perciò trovasi il
mediovalore
diossia
(
[~)~= n z,~+z~~+.
n-: - ..
+zn~fii'" jzz) [z:J= ..!. v [z z].
n n
Introducendo un valor medio
per gli errori inevitabili fa-
cendo quindi, [zz l mL-__
.. n
si avra la media differenza
frail ·ve
rova
lore dell'errore re-golare ed il suo valore
dedotto dalla relazioner=w-0
-+~ -- v-n
La quantità
Y m n
haancora
un altro signifi~at.o, poichè86
L'INGEGNERIA CIVILEE LE ARTI J
'DUTRIALI
si ha
e
sommando per
cmossia
w-0
1=cJ
1= r
1+ z,
w-01=cl~=r~+z~
nw-(o
]=[r]+[z]=nr+I z I
lol + m
w-- =w- O=r _----=
n Yn
e con ciò risulta che V
m n è anche l'erroreinevitabi
le della me-
dia aritmeticaO
delle osservazioni (misurazioni) o,
01o
3 , . On·Se V
mn
diviencirca
uguale,oppure pert }no
maggiore dir,
cioè se la incertezza inr
diYiene eguale o maggiore delsuo
valore, allora può conchiudersi che 1· non merita certa fiducia e che diesso
non si può far uso nelcorso
del calcolo.4. Il vak,re di m si potrebbe ottenere
facil mente se fos-
seroconosciuti i
veri calcoli deglierrori
regolari; siccome però questi non siconoscono e so
lamente è noto 7',cosi bi-
sogna cercare di determinare m inaltro modo.
Sostituendo nelle relazioni ('l) 1' invece di 1·1 1·1 . •. • si
avrà
x ,= cJ,-r
x,=cl~-r
Xn=cln- r'
le quali quantitìi differiscono dai
veri errori
inevitabiliz
e precisamente per la ragioneche
r steso
non è esatto ma affetto da unerrore
+ m
- v n
di questa quantità differiranno anche
gli x dagli ..,, così che si avrà
z,= ,+~ -yn-
z
= . +
m' · - y-n
Zn= "+ -yn m
Elevando
al
quadralo questeequazioni
e poi ommandole otterremo[zz]=[xx]+m
2+ 2Y~[xl
siccome poi
è [x]=zero perchè
si. ha[x]=[v]-nr
edcosì si
otterrà
ossiaed
?'=[J]
n
[zz]=[xx]+m~
[ xx i ms..-__
n-l
I
mentealtre
; si chiamino v,v~
v3 . . . .le differenze
fra la :media aritmetica O
ed i singoli risultati dimisuraz
ionei 01 01
o
3 .... e si avràv,=0-o,
edo,=0- v ,
Vr-0 - 01 o~=O-v~
ed e sendo dalla equaz10ne ('l) w- 01
= cl
1 ecc., e dalla (4)o= w- 0
sarà
pure
(5).
oss
iacl ,= r+v ,
.l'~=t·+v~
x,=v,
x~=v~ ecc.e con ciò finalmente (6) .
Le equazioni (5) dànno,
formando
il quadrato e som- mando[oò]=nr~+[vv]+2r[v]=nA2
!
ossia essendofv)
=zero e sostituendo ivalori rispe
ttivit
nA~=nr~-Hn-l)m~('7) . . . e da questa
n 1
(8) . . . . . m~=
n-
-1
w-,,~)=(A~-r~)+-n
(A~-r)~+ . ..dalla quale equazione può rilevarsi che m~
si avv
icina sempre più al valore 6~-r~ quante piùosservazioni (mi suraz
ioni)i si
sono
fatte per determinarlo.' Per maggior chiarezza daremo qui il
seguente esempio:
_cl _ I ___ e:_ __ i-- /) -i--v~ _ , -
1 80.250 - 0.0351 0.001225 -0.027 0.000729
2 .240 - 25 625 - 17 289
:1
.230 -
151
225 - ì 49.220 - 5 25
+
31 9.2201- 5 251
+
3 961 .210/
+
5 251+
13 169~ I
.200 .200+
I 15 151 2251 225+ +
23 231 529 5299 .230 - 15 225 - 7 49
10 .230 - 15 225
-
, " I
0=80.2231 [rlò] =0.003050 [vv]=0.002410
I
l
Una retta venne misurata 10 volte; i singoli risultati se-l gnati
con o nella tabella precedente danno la media lun-1 ghezza 0 =
80. 223.l
La vera lunghezza essendow=
80. 215, saràr= -
0.008.Ì Calcolando
secondo l'equazione
(6) otterremom~= ~~~
0·00!
410 - 0.00026778Seçondo l'equazione
(8) siavrà
n
10m'=W -r1)n-l = 0.000305-0.000064)
9
= 0.000241 1
9° = 0.00026778 Invece delle quantità x si possono
ora introdurne
facil-come
prima.L' INGEGr ERIA ClYI L E E
LEAR1<:i lNDU 'TRI ALI 87
li valore
di ni addiviene cosi la media differenzafra
la!
·era lungh
ezza ed
ilrisultalo di una mi urazione reso li- ! bero dagl
ierrori
regolari; es o si
chiamaerror medio di i
Il pe!>o di O in seg
uitoai princ1
p11esposti, come risul- ta nte da O
1+
Ot+ . . . +
9,.o serva zioni egualmente e- sa
lle,dev e essere
una singola misurazion
e
edv m _
è ladifferenz:i fra
lavera ! e l'error medi o in o
n
I
G=fgl
lunghezza e l:i
11
:nerli a aritmeti ca fatta
libera
dall'er~or ~e- , 1 .golare, o sia v- n
èl'errore medio de
lla m
edia antmel1ca
e
1n1m • . . . . sono noti, la
·celta dir per la determi-
delle osservazioni
(misurazi oni). nazion e dei pesi è affatto arbitraria; solo
è necessarioche
L'equazione
(6)presenta per la determin azi one di
mil
1il_
,·alore presce
ltodi r rimanga
sempre lo tesso,dovendo i
vantaggiodi dare l'error medi o dell e sin gole misurazioni 1 differenti
risultati de lle o servazio ni lutti insieme servire al
(osservazi oni) anche qu and o
nonè conosciuto il vero va- ri sultato definitivo.
lore
della quantit à da determin arsi nel qual caso si prende
ìe
invece glierrori med ii dell
esin gole osservazioni non
lamedia aritm etica O co me il valore che più
si approssim a sono co nosciuti, ma mercè qualche calcolo
si possono avere alvero
(1).i pesi, :illor:i trallasi di determinare
rn, mJ m3 • • • •ed M;
Esse ndosi più sopra introdollo
ilvalor med
io rper i
'e
ladeterminazion e di queste qu antità sarà facile a farsi ingoli
errori regolari, ledifferenze fra
le singole osserva- l quando
siconosca il v alore di f; cioè il va
lore dell'errore zioni e lamedi a aritm etica di qu es
te sono rese liberedal-
, i~evitabiledi una osserv az ione, da
llaquale si parte (unità
l'influenzadegli errori regolari. C iò non è rigorosamente
1 d1peso).
esatto
mentre con ciò
siam metterebb
e cheogni sin golo ri-
;Form11nd o
come primaultalo e quindi anche
lamedi a fo
sserosoggetti ad un er-
ror
regolare di egu nl valore e perciò
costant e; però fino
at
nnto che ci
èpermesso di rigua
rdare
lamedia dell e os-
O-o~=v2w=O + M
ervazioni co me il più probabile valore della incognita (il
che
si fa quando si hanno osse
rvazioni o misurazionifa tte
··
··
· · ·· · · · ·
· · apa
ritàdi condizioni) potremo anche permellerci di intro-
<O - o,. =v,. w=o ,.+m,.
durre
un error regola re medio per ri
ecire a co noscerlo
' . .. . . .
almeno approssimativamente.
1~cu'.
wrappre enta 1 1 vero va lore dell a quan b
ta che s1cerca,
5.
Se i risultati delle osservazioni (misurazi oni) no
n sono! si a v ra
tu lli della stessa esa ttezza , non
sipuò ri guardare il loro
i 0-01=V1 = -M+m1 ossiam , = v
1+M
med
io valorecome que
lloch e più si appross
imaal vero.
M , _In
lai
caso glierrori medii m, m
1m
3 • • • •m
11delle os-
1v~ = - + m
2m~
- V,+M
serrn
zioni o, o,
o3 • • . .o ,. determinano pi enamente l' ine-
V3=-M+ma
m3 - v3+ M
gungli
anza delle esattezze.
Immagin iamoc
iun grupp o di osserva zi oni il
cuierrore
medio siaJ. { , la media :irit me tica di p
osservazioni diqu
esto gruppo,oggelle all'erro re {, arà affetta dall 'errore
±r
V li
e
poi
chiamiamo 01la media ari tm. di
91di queste osserv.
o,
e cosìvia, otterremo
±r
(9) . . . \
m, = yg;
1 r~
r
g1=ni~
!
)) ))
~r '
in,.
=v
g,.- ossia
.
. .' . .. .
Vn= -M+m"Dalla equazi
one (9)risulta
g,m1~+g2m2"+ ..... +g,.m,, 2=nf~lgmm]
e coll'aiuto dell
a
(11)m 1 =v 1 ±~g] ecc.
sostituendo questi
valori degli errori medii m
1 m~.. ..
nella equ azio ne i
avrànr=[gmm]
nr l-
-gv
I I2+2vg
- I tyr
[gl+ gljgf e
e si
ccom
equel risullalo
èpiù esnt lo, pel quale
inha il minor
i valore, così dovrà ritenersicoll'avv ertenza che o aum enta di o come va
lore collmisura
'aumedella
ntareprecisione della I
0
sia
I 2+2
f r
,g2v~
-
v~gT[gJ+gi[gf
+ . ... . . . . ... .
esattezza. ~
+
2{nr=[gvv]-Yrg/vgJ +r I va
lori 91 91 g0 • • • •si chi amano i pesi delle osservazioni ·
5e dall'esposizione precedente
deriva ch e i pesi sono inve rs a~
imente
proporzionali ai quadrati degli errori me dii.
'Es end o Se
tutti i p~sisono fra
loro eguali,allora sono eguali
fra iloro anche gli errori
medii,-e si
hanno in talcaso osse r- vazioni di eguale esattezza .
poi
fvg]= (0-01)g1+(0-02)g2+ ..... +(O-On )gn
=O[g] -[ga]=zero
(secondo la equazi one
(11)),così si avrà finalmente .
Si~comesi conside
rao,
qual valor medio di
91osserva-
210111,.
il. cui. error
me~lioè f, o,
qual ~a lormedio di o , os- ervaz1?111 d1 tale specie, ecc., - cosi ne segue che
il piùprobabile valore O sarà dato da j e
(n-l)r=[gvvJ
r +JI
[gvv1(10) . . .
o
ll101+g10~+ ...+ g,,
On n-lg1+g~+
... +g,,
[go]
[gj
d
(!.) Per dne osservazioni 01 ed o~ sarà m
= 2:: Y:f
se è d=o~-01
•(12)
sarà il valor medio dell'errore
inevitabile dell'unità di peso dallaquale a mezzo del
le equazion
i (9) e (12) si possono fa-cilmente
trovaregli e
rrori medii m,m, .. ...
Nel
corso di questo calcolo non si tenne co
nto degli errori88 L'
INGEG ERIA CIVILE E LE ARTI I
1D USTRIALI
reaolari e si ammi se con ciò che i risul tati
delleosservazioni ne~s iano privi
(1).6.
Se
0=o,+o~+o3+... .. ..
+o,.è
unasomma di quan- tità, osservate
direttamente ed icui errori medii sono m,
m
2 . . . , si avrà l'error medio inO
dalla(13)
F =- +y
1n,~ -+1n~ ~ + ----~..... +m,.Prendendo dapprima
soltantodue quantità
01ed o ,, sarà
::F=::m,
-+-m2formando il qu adrato di queste equazioni e sommando, col far attenzione ai doppii segni, avremo
ossia in media
Fi=m,l+ 2 m1m
.1+m2l
F~=m1~-2m1in2+mi~
F"=m,~+m,~
F=Vrn,,+m~1
Estendendo
questo calcoloa pili di due quantità si trov a fa cilmente la equazione (
13).Se le singole quantità
01 o, 03 ••••• ••sono egualmente esatte per modo che
iam,=m
2=m
3=ecc.,
saràF =m Vn
e
s1 ha0=~ in cui o
èil risultato di un a oss erva-
azione ed a una qu an
_tità no ta e si
chiami ml'errore in
o,arà
per
cui(14)
F=~
a
7.
ell e misurazion i di lu nghezze i portano le uni tà di misura (nel più• vas to
sensodell a parola), una dopo
l'altra e
lalunghezza misu rata
si componedi un certo nu mero di posizioni dell'istr um
ento misuratore.
uppos to
chel'istru me nto mi uratore si
siaportato n volle sulla retta da ta
(nrappresenti un nu mero intero)
echia mata
lla
lunghezza dell'istrumento, si avr;ìqual ri·
ultato
L=nl
Q uesto risultato
èin ge nerale all'etto da due errori, cioè il regolare e l' ineY itabile.
Qu esti
errori per ogni posizione de ll'istr umento misura tore si chiamino
r ,.
m , m
1m
3m,,
e sia
1·1l'error regolare ed m l'error medio in L, all ora si avrà
così che il vero valore della lunghezza incognita
diverrà L0= L+r!+m=L+ciSi facc ia
r1+r1+ ... +r ,,=nr , si avverta che gli er- rori medii nelle
singoleposizioni dell'istrumento poss ono
(i J Chiamando m l'errore medio ed ,. l'errore regolare di un risul- tato di o· ervazione, si può ritenere
g=m~+r'
r
considerarsi eguali fr a
loro, e si potrà dire 1·,=nr ed m= 1n \Inoppure es<;e ndo
n=L y, sarà anche1'1=-rL r ed
m=1 nV~
Per
L= 'l, sarà,=; rerrorregolare ncll'unità di
lunghezza
1n 1, .
e µ= Vt error medio nell'unità di lunghezza
econ ciò
(lSJ . r1=2L
(16) . m=,
ufL
l
cioè: l'et'l'01
' regolar·e nella lunghezza di una lineq misu-jl rata è direttamente proporzionale al. la lunghezza, ma l'errar medio è propor::.ionale alla mdice qiiaclrata della lunghezza stessa.
C on ciò
la differenza clfra il risult a to L ed il vero v alore
della
lunghezza saràci=pL
+µ.y [
Fino a
tanto che sarà 1'i<m, avnì
ci ildoppio seg no
es-se ndo allora , u. VL maggiore; invece per r,>m
sarà ci posi-
tivo o negatiro secon doc hè
1·1arrà
il segno -+-o
- .Come medio valore di J si può, in seguito al
suespos
to,ass
umerecl=Vp~V+µ~L
e per queslo valore valgono le osservazi oni ora fa lle. Nel primo dei du e
casi accennali
, ciseguirà di pili la l egge degli errori in
evitabili,nel
secondo invece segu irà di pili
la leggedegli errori regolar i.
Per
lopili la lun
ghezzadi una lin
eaconsta di un
certonumero di volle la lu nghezza dello
strumento misuratorepili una frazione di ques ta unità di misura, così che si ha
L=nl+-; p l
quindi sarà necessar io aggi un gere :igli
errori giàdeterminati, anche l'
errore
che siriferisce all'u ltima parte.
Se
si volessetrascurare quest' ultimo
errore, siotterreb- bero per
m ed r,dei Yalori troppo picco li,
e facendolo in- vece eguale all'errore di una intera uni
Làcl
i misura, qu es li va lori si presen terel1bero
troppo grandi. Perci ò sa rà prefe- ribil e introdu rlo nel ca lcolo in base
alle formole (15) e (16).G li errori
saranno allora
~= ~
eµV ~=v:
iccom
e gli erroriregola ri
si sommano, siotterrà
r,=nr=~-=r ( n=~ ) =r~
=pLed
m~ ! l ) • L m=nm!•p-=m~\
n +-p
=m·1
=p .'1 L
e si polrà così
estend ere la legge es pressa più sopra,
a tutte le lunghezze.V
iha un errore di
cui nonsi è fallo anco ra menzion e fin qui, ed è qu ello della lettura; nel mi urare un a
lun-ghezza non si
commette che una sol volla, può essere in + od in - , ed è in confronto degli altri
erroricosì
piccolo da potersi trascurare.8. L'una delle due ipotesi
accenn ate in principio (noi
lachiam erem o
ipotesi I) è a!l'all o in relazi one colla
teoriae dice : l'errore medio
nell'operazion
edi misura di
una
lunghezzaè proporzionale all a radi ce quadrata della lun- ghezza misurata.
L'ipotesi II dice invece essere il medi o er -
rore proporzionale alla lunghezza stessa,oss
ia aversi
in=µ'L