SULLA GRAVITAZIONE I)I UN TUBO SOTTILE CON At'PLICAZIO~'E ALL'ANELLO DI SATURNO.

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SULLA GRAVITAZIONE I)I UN TUBO SOTTILE CON At'PLICAZIO~'E ALL'ANELLO DI SATURNO.

Memoria di T u I I i 0 L e v i- (3 i v i t a (Padova).

A d u n a n z a del 2 4 m a r z o l g t l ,

Mi occupai alcuni anni or sono ~) dell'attrazione newtoniana di un tubo sottile, ed assegnai (sfruttando in modo essenziale la piccolezza delle dimensioni trasversali di fronte alla lunghezza del tubo) la risultante delle attrazioni che una fetta elementare subisce da parte di tutte le ahre. L'espressione di questa risultante ~ notevolmente semplice, e dipende esclusivamente dall'andamento generale del tubo nelI'immediata prossi- midt della fetta considerata. II calcolo diretto con cui vi pervenni ~ per altro abbastanza laborioso, e si appoggia sopra una preliminare indagine asintotica dell'attrazione esercitata da una linea materiale in punti vicinissimi ad essa ~). Data la semplicith del risul- taro, era da aspettarsi che lo si potesse pur stabilire per via pifi spedita. Una tale via effettivamente offerta dalla considerazione dell'autopotenziale newtoniano 9. del tubo.

Tostoch~ lo si valuti con riguardo all'esiguit,4 dello spessore (e per ci6 basta invocare nozioni elementari di teoria del potenziale), la corrispondente variazione ,~. porta a caratterizzare, col minimo sforzo concettuale e formale, l'accennata attrazione sopra una fetta elementare. Nel medesimo tempo si rileva che, accanto a queste forze di massa, si destano, per effetto della mutua attrazione, degli sforzi superficiali sopra il contorno del tubo; pifi precisamente sforzi normali, la cui intensit,-'l dipende dalla forma geometrica delle sezioni trasversali.

Di ci6 la prima parte della presente Memoria (n t r-6). La seconda ne ~, si pu6 dire, il naturale corollario nell'ambito della statica.

E invero, approfondito lo studio del ~o, basta ricorrere al principio dei lavori virtuali, e si ha quanto occorre per impostare nella forma pifi conveniente una ben determinata categoria di problemi d'equilibrio: quelli in cui da un lato si deve tener conto dell'influenza gravitazionale della materia costituente il tubo, ma d'ahra parte si pu6 ritenerne trascurabile lo spessore rispetto allo sviluppo longitudinale. Si formano cosl

t) LEvI-CIvIT~., Sull'attraz~ione newtoniana di un tubo sottile [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei (Roma), vol. XVII, 2 ~ semestre I9o8, pp. 413-426, g3i-55I].

2) LEvr-CivrrA, Sull'attrazfione esercitata da una linea materiale in punti prossimi alla linea stessa [Rendiconti della R. Accademia dei Lintel (Roma), vol. XVII, 2 ~ semestre r9o8 , pp. 3-I5].

(2)

S U L L A G R A V I T A Z I O N E DI U N T U B O SOTTILE (:ON APPLICAZIONE A L L ~ A N E L L O DI S A T U R N O . ~

( n~ 7-9) le esplicite equazioni di condizione, nelle diverse ipotesi che possono farsi circa lo stato di aggregazione (corpuscolare, liquido, gasoso).

L'esempio pi6 cospicuo di questo tipo di problemi 6 notoriamente offerto dall'equilibrio :elativo dell'anello di Saturno. Nelle classiche ricerche di LAPLACE, di MAXWZLL, delia sig/~ KOVALEWSKY, di POtNCA~ figura sempre tra le premesse la ipotesi (ovviamente suggerita dalla diretta osservazione del feno,neno) the si possa assumere come direnricr (linea mediana che segna l'andamento generale deil'anello) una circonferenza col centro nel baricentro di Saturno. Ora si pu6 domandarsi se esistono altre configurazioni meccanicamente possibili, quali cio6 sieno le curve, che potrebbero, al pari delle dette circonferenze~ fungere da direttrici di un aneUo posto, quanto a sollecitazione dinamica, neile stesse condizioni dell'anello di Saturno.

Ho mostrato in un precedente lavoro ~) che, ove si assimili una fetta generica dell'anelio ad un semplice punto materiale, ta questione pu6 ricondursi all'integrazione di un sistema di equazioni differenziali ordi:aarie, analoghe a quelte che reggono l'equilibrio di tin filo fiessibite ed inestendibile; di un tale sistema si mettono con tutta faci- litY. in evidenza, accanto aile soluzioni circolari, oo' altre, corrispondenti a direttrici plane.

Applico qui ail'aneilo di Saturno i pi6 completi risuttati di cui sopra 6 parola, concernenti la statica dei tubi sottili. Ne cons~gue in primo luogo the, nel caso di un anello corpuscolare, l'assimilazione di ogni fetta ad un punto materiale 6 senz'altro esauriente.

Contemplando successivamente il caso degli anelli fluidi, si riconosce che al sistema differenziale, il quaie si presenta da solo ndl'ipotesi corpuscolare, va associata un'ulte- riore condizione, che opportunamente si denomina trasversale, e significa costanza della pressione al contorno. Essa fa dipendere la forma delle sezioni dalla preventiva risolu- zione di un probiema deiio stesso tipo di quelto proposto: ridotto per6 da tre a due dimensioni, e sottratto ad ogni azione di forze esterne. Circa tale problema piano rioter6 che se ne possiede una soluzione evidente (il cerchio), mentre non fu, per quanto mi consta, provato the sia la sola 4). Comunque, per i fluidi omogenei, e cosi pure per i gas perfeni, si ~ condotti (combinando le condizioni longitudinali e trasversali) alia conclu- sione seguente: L'unica forma ammissibile per la direttrice 6 la circolare; quella appunto e soltanto quella che si presenta in natura.

,3) LEvI-CIvrTA, Sulla forma dell'anello di Saturno [Atti del R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, tomo LXVIII (r9o8-r9o9) , parte II, pp. 5 i7-583].

4) La questione ~ analoga a quella che si presenta, in tre dimensioni, per la sfera. Veggasi in proposito: A. LI•VOUSOFF, Sul corpo di massimo potel~ziale delle forze di attraz.ione (in russo) [Commu- nications de la Soci6t6 Math~matique de Kharkow, t. II 0886), pp. 63-73]; H, POINCaR~, Figures d'equilibre d'une masse fluide (Paris, Naud, I9o2), p. I5.

Circa i veil fluidi piani va segnalata (per quanto abbia sopratutto di mira il caso di veli fluidi ruotanti) un'interessante ricerca del sig. J. H. JzANs: Oi, the Equilibrium of Rotating Liquid Cilinders [Philosophical Transactions, (A), Vol. CC (I9o3) , pp. 67-io4]. Cfr. aitresi: F. INSOLERA, Figure ellit- ticbe di equilibrio dt zm vdo piano liquido ruotante [~uesti Rendiconti, tomo XVIII (I9o4), pp. I6-44 ].

(3)

356 T U L L I O L E V I - C I V I T A .

Generalit~t.

Sia 5~ un tubo sottile, e si indichi con C la sua direttrice, cio6 una qualunque fra le infinite linee geometriche atte a definirne l'andamento generale.

Designino ancora: P un punto generico di C; v la sezione deI tubo praticata con un piano normale a C in P; P' un punto che ci riserviamo di far variare entro z;

d r ' un elemento di v circostante a P'.

Alia decomposizione della sezione v in elementi d r ' si pub far corrispondere una decomposizione del tubo ~ in tubetti elementari, immaginando spiccate dai singoli punti P' delle linee C' di :mdamento analogo alia C.

Supposto che -~ sia riempito di materia distribuita con densit;i ? (funzione continua e derivabile dei punti di X), ove si intenda con r la distanza di un punto generico del tubo da P~

] ~d C' d'~' _t

U C' r

rappresenta manifestamente il valore nel punto P del potenziale newtoniano del tubo elementare proveniente dall'areola dr'.

Sommando tutti questi contributi, si ha il potenziale

U e

dell'intero tubo (nello stesso punto P) sotto la forma

(I) e =j a,j , ,ac

2.

Semplificazioni consentite dalla sottigliezza del tubo.

Espressione del potenziale nei punti interni.

S e i l tubo & molto sottile, il punto prefissato P risulta vicinissimo ad ognuna delle linee C'.

Si ricordi d'altra parte che il potenziale newtoniano

v - fc, odC'r

di una linea attraente C' diventa ([ogarkmicamente) infinito, quando il punto potenziato P tende a C'.

La relativa espressione asintotica ~ s)

V I"/= ~p, log ~ ,

5) Cfr. BETTI, Teorica delle forze newtoniane (Pisa, Nistri, x879), pp. 2o-2z. I1 s~gmento the BETTI

(4)

S U L L A G R A V I T A Z I O N E DI U N T U B O S O T T I L E CON A P P L I C A Z I O N E A L L ' A N E L L O DI S A T U R N O . 357

essendo ?p, il valore della densit~i ? in P' e 1 una lunghezza (costante) che figura per ragione di omogeneit~i e che ci riserviamo [cfr. n ~ seguente] di fissare nel modo nu- mericamente pifi opportuno.

L'essenziale ~ che all'integrale V si pub approssimativamente sostituire V ~1 con errore relativo tanto meno sensibile quanto pifi ~ piccola la massima dimensione di .r, cio~ sottiie il tubo.

Con ci6 la ( I ) diviene

U v

^---=- pc, log ~pp,.. d r ' .

Ma si pu6 semplificare ulteriormente notando the, per la sottigliezza del tubo, le cose vanno come se la densit?t fosse costante e sostituita dal suo va[ore medio. Pifi precisamente, si trarr~ partito dall'ipotesi the la funzione ? sia derivabile, in questo modo:

Si fisser;t dapprima, a piacimento, un limite superiore per le derivate delia ~, e si con- sidereranno poi tubi abbastanza sotti[i; al disotto di un certo spessore saranno certa- mente valide cosl la riportata

valore medio.

Pongasi all'uopo

(2) , ~ =

L

pr, d~,

espressione di

Up

come la sostituzione di pv, col suo

con che - - ~ valor medio di ? entro v - sar,5, il valore assunto da ~ in un qualche

~J

punto O del campo v. La differenza ? e , - - ; - , attesa la derivabilith di p, pub (appli- cando lo sviluppo di TAYt.oa) presentarsi sotto la forma O P ' . f , dove f ha un limite superiore ben determinato.

La presenza del fattore

O P'

neU'integrale

lo rende trascurabile di fronte a

f O P ' f l o g & d T ' PP

f ~ log 12

d ,r',

tostoch6 (ritenuto v diverso da zero) v sia abbastanza piccolo.

m

designa con t sarebbe nel caso presente PP'sen 1,, chiamando ~ l'angolo c h e l a tangente a C' in P' forma col piano "~. Per ipotesi, le C' hanno andamento poco diverso dalla C, che 6 ortogonale a v. Ne consegue che sen ? differisce poco dall'unit~t, e la conclusione di BtvzI (( resta finita la differenza V - - ~p, log t ~ - [per quanto P sia prossimo a P'] )~ equivale a , resta finita la differenza V - - V I") )). Que- I

st'ultima infatti pu6 scriversi

I I \

l v - log - pp, log rz2 sen= ~],

e il termine addizionale si mantiene evidentemente finito (8 anzi una costante rispetto a P).

(5)

~58 T U L L I O L E V I - C I V I T A .

Si pub dunque attribuire ad Up Fespressione

f "

Up - - __v _{- -} _,: log - - _pp,d v'.

In questa formula P rappresenta quel punto particolare delia sezione % che appar- tiene alla direttrice (2. t~ chiaro per altro che, ove si prendesse, sulla stessa sezione % un punto qualsiasi Q, si potrebbe calcolare la parte preponderante del potenziale in Q, ripetendo per (2 considerazioni del tutto analoghe a quelle svolte per P. E si troverebbe ('J rimanendo invariato al pari di r)

v f , I ~

(3) e o = - ~ log ~ s d v ' ,

con part approssimazione (tanto maggiore quanto pifl i[ tubo 6 sotfile).

Ecco l'espressione ridotta, che volcvamo stabilire, appiicabile--si noti b e n e - - a d ogni punto interno al nostro tubo. Basta infatti pensare che, facendo scorrere P lungo la direttrice (2, ogni prefissato punto Q viene a trovarsi sopra una ben determinata sezione normale v.

Ove si immagini di individuare P, e con esso la corrispondente v, mediante l'arco s di C (contato a partire da un'origine arbitraria), il potenziale UQ dei punti del tubo si pu6 anche considerare come funzione di s e delia posizione occupata da Q entro v.

~ 3 .

A u t o p o t e n z i a l e . - V a l u t a z i o n e per fette. ~ D e t e r m i n a z i o n e pifl c o n v e n i e n t e della c o s t a n t e di omogeneit~l.

L'autopotenziale newtoniano ~.~ (o energia potenziale cambiata di segno) del nostro tubo ~ ~, per sua definizione,

'f

(4) a = 5 -

Per eseguire l'integrazione, gioven'l adottare una decomposizione del campo diversa da quella di cut ci siamo serviti al n ~ i. Dividemmo allora il tubo longitudinalmente, in tubetti elementari, aventi tutti l'andamento generale della direttrice C. l~ adesso indi- cata una decomposizione trasversale, in fette elementari di spessore

d s:

la fetta generica si troveril compresa fra la sezione ": normale a C in P, e l'analoga relativa al punto vicinissimo

s ~ d s

(di C'). I1 contributo, recato da una tale fetta all'integrale della funzione ~ U, sat'2 manifestamente

ds f o9. UgdT,

dove, cotne poc'anzi, 6 ancora Iecito (con errore the tende a zero assieme alia sezione

(6)

$ULLA GRAVITAZIONE DI UN TUBO SOTTILE CON APPLICAZIONE ALL~ANELLO DI SATURNO. 3J9

del tubo) sostituire a ?Q il valore medio --.v Posto

(5) k = .~2~ dv d'~'log I

risulta in conformitY, dalla (3)

ds /'~o. Uoo. dv

==

2v=kds"

t . i,r

Riconosciamo in k un puro numero, parametro di configurazione trasversale, che dipende esclusivamente dalla forma geometrica (e dalle dimensioni, ove si tenga fisso 1) della sezione z: esso va naturalmente considerato, al pari di "~ e di v, come funzione del solo argomento s.

Per completare il calcolo di L~, basta oramai, a norma della (4), integrare rispetto ad s lungo la direttrice C, e dividere per 2. Si ha dunque

/ *1

(4') -~-~ =

/ v=kds.

t . / c

Conviene aggiungere che, attesa la definizione (2) di v,

(6)

d m = ~ds

rappresenta la massa della corrispondente fetta di tubo, siccM la stessa v si interpreta come

densita li,eare

dei tubo (assimilato ad una linea materiale C).

8oslts eli I . -

Nel caso in cui la direttrice del tubo sia una circonferenza di raggio R, gli sviluppi, forniti dalla teoria degli intcgrali ellittici, d~'mno cotne termine preponderante di ~..~ 6)

2 ~ R " - w " I f d ' r ~ d v' log 8_R_R

Qp,

I1 confronto colle (4') e (5) mostra the bisognerebbe prendervi 1 = 8R. Ci6 lascia presumere che, per una direttrice di forma qualunque (assimilandola ad una circonferenza nell'intorno di un suo punto generico), si i'aggiunga la migliore approssimazione assumendo 1 eguale ad otto volte il raggio medio di curvatura.

~4.

Deformazioni infinitesime.- Comportamento longitudinale.

La caratteristica trasversale ~k.

Supponiamo di far subire al nostro tubo 5~ (e per esso alle fette elementari, che lo costituiscono) una deformazione infinitesima. Con ci6 rimarranno in generale alterate

6) Cir. per es. : TISSERAND, Traitd de Mdcaniqtle cdeste, T o m e II (Paris, Gauthier-Villars, I89i), p. I59.

(7)

~60 T U L L I O L E V I - C I V I T A .

sia la direttrice, sia le sezioni trasversali. La corrispondenza f r a i punti delle due direttrici, prima e dopo la deformazione, si intender,-i stabilita in modo che rimanga inalte- rata la massa di ciascuna fetta elementare compresa fra due sezioni trasversali vicinissime.

Diremo a P 1o spostamento infinitesimo da attribuirsi al punto generico P di C per passare al punto corrispondente nella nuova configurazione; a d s l'alterazione che subisce in conformit5, l'elemento lineare d s della direttrice; ,~k l'incremento del para- metro k (dovuto ad eventuale cambiamento di forma, o di dimensioni, della sezione trasversale); a,, l'incremento della densit:t v. Quest'ultimo ~ perb esprimibile mediante ads, in quanto, per ipotesi, si rispctta l'invariabilit:t della massa d m di ciascuna fetta, ci6 che, in virtfl della (6), d,-i lungo alla relazione

(7) a ( d m ) = a(,~ds) = o.

II a d s ~ a sua volta esprimibile per mezzo del vettore ~ P (e di elementi spettanti all'originaria direttrice C). Detto infatti t il vettore unitario tangente a C in P (nel verso delle s crescenti) e d P il vettore elementare, che rappresenta in grandezza, di- rezione e senso l'elemento d s di direttrice, si ha ovviamente 7)

cts = t. X dP, da cui

a d s - - at, X d P Jr- t X a d P .

I1 primo termine del secondo membro ~ nullo, perch~ a t ~ perpendicolare a t e quindi a d P (come risulta dall'identit~ t. X t~ = i'). Nel secondo addendo si possono invertire i simboli d e ,~, e rimane

(8) a d s = t )< d a P .

In definitiva, per quanto concerne l'akerazione longitudinale del tubo, tutto va, in base alle (7) ed (8), come se si trattasse di una linea materiale di densitfi v: conclusione evidente a priori.

Della deformazione trasversale (alteraz/one delle sezioni normali alla direttrice) c'~

da tener conto in quanto influisce sul parametro k. La dipendenza ~ funzionale, a norma della definiz[one (5) di k. Si pu6 per6 esprimere a k mediante una formula che fa in- tervenire soltanto gli spostamenti al contorno ~ della sezione I:.

All'uopo giova immaginare che il divario fra la sezione primitiva e la sezione deformata venga caratterizzato mediante gli spostamenti normali ~n che fanno passare da ~, alla nuova configurazione (senza inessenziali spostamenti rigidi, convenendo per es.

di mettere a raffronto le due aree dopo averne fatto coincidere il baricentro e gli assi principali d'inerzia). I a n si intenderanno contati positivamente verso l'interno di ~..

Con cib sar~t intanto

(9) a-~ = - - F ~ n d ~ .

d ~

7) Mi valgo delle notazioni vettoriali di BURA.LI-FORTI e M.~RCOLOSGO. Cir. i loro Elementi di calcolo vettoriale (Bologna, Zanichelli, I9o9) ; e traduzione francese di S. LATr~S (Paris, Hermann, I9Io ).

(8)

S U L L A G R A V I T A Z I O N E DI U N T U B O $OTTILE COX/ APPLICAZIONE A L L ~ A N E L L O DI S A T U R N O . 361

D'altra parte, ove si introduca il

potem(iale logaritmico

f ~ I d-V

;~Q - - log Q P'

dell'area 7 (supposta omogenea) in un suo punto generico Q, si ha manifestamente

( s ' ) k = 7 - Qd,.

La variazione di

(quando si passa alla sezione deformata) consta di un duplice contributo: qudlo dovuto all'alterazione del campo di integrazione 0'o rimanendo invariato); e quello che proviene dall'alterazione del potenziale logaritmico )~?.

II primo si calcola subito, perch~ l'alterazione del campo ~ rappresentata dalle areole

dqlan ]

contigue al contorno, the si devono

aggiungere

quando ~n &

negativo

^(cio~

rivolto verso l'esterno), e togliere nel caso opposto. Ciascuna areola contribuisce quindi alia variazione dell'integrale per - - ) ~ d z a n , i[ valore di ), potendosi addirittura riferire al contorno (e precisamente al de di cui si tratta). Si ha cod il primo contributo

--~XSnd~.

Se ora si osserva:

I ~ che in

. . Q P '

i due punti Q e P' entrano in modo simmetrico,

2 ~ che il termine, test~ calcolato, va attribuito all'alterazione del campo di integrazione concernente il punto (2. mentre quello da calcolarsi ~ in sostanza l'analogo, salvo io scambio di Q in P',

risulta senz'altro the la cercata variazione di f 2,,2 d'r il doppio di

~ f ).~nd~.

Ne consegue, badando alle (5') e (9),

( i o ) = _

Giova rilevare che, se il potenziale logaritmico X ~ costante su tutto il contorno

~, la (Io) pub essere scritta

Rend. Circ. Matem. Palermo, t. X X X I I I ( t ~ sere. t912 ). - - S t a m p a t o il i2 aprile t g t 2 . 46

(9)

362 T U L L I O L E V I - G I V I T A .

donde apparisce che, in tal caso, la variazione di k ~ semplicemente proporzionale alia complessiva variazione di area.

8 e z i o n e oireolare. - - La costanza di ~, al contorno si verifica in particolare per i campi circolari. 1 e:. infatti evidente che il potenziale logaritmico di un cerchio omogeneo pu6 dipendere soltanto dalla distanza dal centro, ed 6 quindi costante sulla circonferenza contorno. Del resto si trova subito, per ogni punto Q interno al ccrchio, l'espressione semplicissima

~Q .._. I I a2 , [ i ( r )2+ i ~ ]

- - - - ~ r ~ - b - - ~ 2 2 - k ~ a~ l o g _ _ - - ~ a _ _ T a - ~ - + log , rappresentando r la distanza di Q dal centro e a i l raggio del cerchio "r. In ogni punto esterno si ha poi

X e --- "r log - - , 1

r

come se tutta la massa fosse raccolta nel centro. I1 valore (conmne) al contorno 6 v'ogl 1 I /r r:P__.

), - - - - - - - ' r _%,

2 "v

Dalla precedente espressione di ), nei punti interni si trae immediatamente, della (5'),

( I I ) k - x 1 I I =/~

4 k log - - }- ~ l o g - - ;

a 4 'v

risulta quindi

( I 2 ) ~ ' r - - ), = _t ..

4

fl l ] 0 l ' t l l a

V a r i a z i o n e d e l l ' a u t o p o t e n z i a l e .

I~ ben noto il significato meccanico dell'autopotenziale ~d. Esso rappresenta il lavoro complessivo, che dovrebbe compiere l'attrazione mutua &lie masse del sistema, per pas- sate dall'infinito (da posizioni delle masse cosl discoste tra loro che riescano insensibili le azioni a distanza) sino alla configurazione attuale. Ne consegue - - ed 6 questo l'essen- z i a l e - - c h e , facendo passare (in modo qualunque) il sistema da una configurazione ad un'altra, la corrispondente variazione di ~. misura il lavoro che v~.ene compiuto in tale passaggio dalle forze di attrazione.

Cosl in particolare, di fronte alle variazioni infinitesime test6 specificate, la corrispondente variazione ag. fornisce il lavoro elementare, complessivamente effettuato du- rante lo spostamento, &lle attrazioni mutue delle particelle dementari del nostro tubo.

Ritenuta per ~)- l'espressione (4'), la valutazione di a fl si fa con tutta facilidt in base alle (7) ed (8). In primo luogo, dacch~, per Ja (7), v d s - - d m ha variazione

(10)

SULLA GRAVITAZIONE DI UN TUBO SOTTILE CON APPLICAZIONE ALL'ANELLO DI SATURNO. 363 nulla, conviene sostkuire T s a v, e scrivere

k

~ - - m~ d s ' dopo di che si ha, per materiale differenziazione,

rlamV a + f am'

Riposto per dm i[ suo valore

vds,

si introduca per

ads

l'espressione (8), e si ese- guisca, nel primo integrale, un'integrazione per parti.

Ove siano P e P= i due estremi di C (coincidenti, qualora si tratti di una linea chiusa) e si ponga, con evidente significato delle notazioni,

(I3) ~ = ^-^-

[v2kt X aP]V~

_{A P I '}

nonch6

(14)

8 II = d X 8P ds,

ds

(I5) ~8 ~ =./]'?8kds,

risulta (I6)

I1 termine e ~ manifestamente nullo ogniqualvolta si tratta di tubo chiuso.

Quanto a 821~ , badando alla (io), e ponendo per brevM

2

( i 7 ) p = 2 7 ( k ~ - - ) ' ) , si pu6 anche attribuirgli la forma

J C J ~

~ 6 .

Interpretazione dei vari termini.

Attrazione del tubo sopra una generica sua fetta.

Forze terminali e superficiali.

L'espressione (I6) di 8~.~ porta a conseguenze notevoli.

Si pu6 valersene in primo luogo per assegnare la risultante delle attrazioni che una s generica di tubo di spessore

d s

subisce da parte delle altre.

Supponiamo all'uopo, fissata una tale fetta e con essa il corrispondente punto P della direttrice, di deformare il tubo solo ne'A'immediata prossimit~t di P, facendo subire alla fetta circostante una traslazione arbitraria 8P. Con ci6 non si altera la fonna di alcuna sezione, sicch~ si annulla ogni 8k, e quindi 81~ = o; ~ ~ pur zero, ritenuto

(11)

che si tratti di fetta intermedia; e a ~..~ si riduce sensibilmente al solo contributo proveniente dalla fetta considerata. Rimane pertanto, a norma della (z4) ,

d(v=kt) ds >4 aP.

ds

D'altra parte, dalla definizione di autopotenziale segue che nel caso presente ~ misura il lavoro effettuato, nella traslazione elementare a P della fetta considerata, da tutte le attrazioni newtoniane che la sollecitano. Sara. pertanto

'8a = Ods X '8P,

ove si rappresenti con O ds la risultante delle suddette attrazioni (o, se si vuole, di quelle che la fetta subisce da parte del rimanente tubo, non portandovi le azioni interne alcun contributo).

Eguagliando le due espressioni di ~ ] , si ha

Ods X ~P d(v=kt)ds X ;]P,

-- ds

la quale, dovendo sussistere per ogni ,~P, porge

( i S ) 9 d(v=kt)

= d---7-- Se si ricorda che

d t

ds

designando c la curvatura della direttrice e n u n vettore unitario diretto secondo la normale principale (nel verso della concavkA), si ba d alla (I8), eseguendo la derivazione

a , - d(~=k)

ds t-J- v ' k c n ,

donde apparisce che le tre componenti di 9 secondo ta tangente a C (nel senso in cui si contano gli archi), secondo la normale principale (nel senso della concavit.4.), e secondo la binormale sono ordinatamente

d(~=k) v~kc, o.

d s '

1~ questo il risultato che avevo stabilito qualche anno fa s) con pitt faticosa aualisi.

Come indicai allora, se si assume un sistema cartesiano di riferimento Oxyz, e si rap- dx dv dT, .

" 1 coseni direttori della tangente alla direttrice C, si hanno presentano con ds ' ds ' ds

dalla ( I 8 ) le tre componenti Ox, O , O< di 9 sotto la forma

0 . - - - 7 7 ,J~k77 , O y - - d - s - ~=k77 , ~I, : 7 7 ,,~kTs .

Forle term~hal~.- T o r n a n d o alla (16), possiamo ancora ricavarne la risultante delle

s) Lo=o tit, z).

(12)

SULLA GRAVITAZIONE DI UN TUBO SOTTILE CON APPLICAZIONE ALL~ANELLO DI SATURNO. ~6~

attrazioni che si esercitano sopra una (eventuale) sezione terminale del tubo. Si tratti per es. di quella che corrisponde a P . Con considerazioni analoghe a queile istituite or ora, attribuendo cio~ una traslazione a P soltanto alla fetta d'estremit.'t (circostante a P,), e badando alia espressione ( I 3 ) di ~, risulta ovviamente

v=kt

come determinazione di tale forza. Essa ~ tangenziale e rivolta verso l'interno del tubo:

non poteva essere ahrimenti quanto al senso, poich~ si tratta di azioni attrattive sopra una sezione terminale.

Ptessioni superficiali.--L'espressione ( I 5 ' ) di 8L~ mostra che, di fronte ad una alterazione di forma del tubo 5g, le cose vanno come se il lavoro deli'attrazione si ri- ducesse al contributo

pdsd ,.an

per ogni elemento dsd~ della superficie laterale di ~:.

Dacch~ ,~ n rappresenta lo spostamento normale dell'elemento (contato positivamente verso l'interno del tubo) il contributo in questione & identico a quello the competerebbe ad uno sforzo normale di intensit:i IPt e avente carattere di pressione o di trazione secondocM p 6 positivo o negativo.

Siccome l'effetto generale dell'attrazione deve ten&re a ravvicinare gli elementi, e quindi in particolare a contrarre le sezioni :rasversali, cosl di regola dovr',i riscontrarsi p ~> o (senza poter per6 e s c l u d e r e - specie per contorni non c o n v e s s i - che p, in qualche particolare punto, assuma valori negativi). Per i tubi a sezione circolare si ha, dalle ( I 7 ) e (I2),

] V z

0 7 9 P = 2

valore manifestamente costante sul contorno di ciascuna sezione, costante addirittura su tutta la superficie terminale se sono uniformi lo spessore e la densit'2t lineare (-r e v indipendenti da s).

~ 7 -

Ipotesi c o r p u s c o l a r e . - Considerazione dei soli effetti globali.

Espressione ridotta del ~ f~.

Immaginiamo un tubo costituito da una filza di corpuscoli rigidi, supponendo che un tratto di tubo~ piccolo rispetto alia sua lunghezza, contenga ancora molti corpuscoli.

Rimaml sensibilmente valida l'espressione (.() di L~, per quanto essa sia stata stabilita nell'ipotesi di una distribuzione continua. Dovremo soltanto ragionare cosi: Intendendo per v* e k* dei valori medi relativi ad un tratto generico .l C di direttrice (piccolo rispetto a C, ma tale da infilzare molti corpuscoli), sar.4 con sufficiente approssimazione

0 9 ) = 5-,,*'k*a c,

(13)

366 T U L L I O L E V I - C I V I T A .

la somma essendo estesa a tutti i • C e potendo assimilarsi ad un /.. nei riguardi della

t / G

funzione v *= k*.

Di qui, procedendo come al n ~ 5, e ponendo

a, a =YL x aP ac ]

(t* determinazione media di t in .x C),

a2 ~-~ = 5- ~*: ;3 k*-I C,

si ricava

In 8 12 compare la derbata rapporto all'arco s deil'andamento dei va!ori medi del pro- dotto C k. Con questa avverten<a, potremo del resto riprendere per 8 P la sua espres- sione generale 0 4 ) .

Quanto a 82~.2 , potremo addirittura sostituirvi [colla stessa approssimazione entro cui vale la 0.9)] l'originario integrale (~5)

c r S k d s, tornandovi ad interpretare v e k come valori locali 9).

Ci6 premesso, specifichiamo (come k nella natura deile cose e come, col['adottata dicitura, ne abbiamo gi'a mostrato l'intendimento) la direttrice C in modo t h e attraversi ciascun corpuscolo della filza: ~ e k avranno cosi i valori che competono alle sezioni di questi corpuscoli negli archetti di C che si trovano nel loro interno; il valore zero negli archi the vanno da un corpuscolo ad un altro.

Importa rilevare che, attesa la supposta rigidita dei corpuscoli~ si rispetta certa- mente il criterio di invariabilit/t della massa d'ogni singola fetta (n ~ 4), attenendosi alia convenzione seguente: Quando ii sistema subisce una generica deformazione (infinitesima), gli si attribuir~i come nuova direttrice una curva passante per gli stessi punti materiali~ avente quindi, rispetto a ciascun corpuscolo, situazione identica prima e dopo delIo spostamento.

1~ perfettamente legittimo ~ si noti b e n e - il rappresentarsi in questo o in quel modo gli spostamenti virtuali, purch~ non si pregiudichi la piena indipendenza e mo- bilit'a di ciascun corpuscolo. La nostra particolare convenzione si presenta pertanto come una semplice ipotesi inessenziale, che giova a semplificare la discussione. Essa implica infatti che, in ogni spostamento virtuale del sistema, rimangano invariate (internamente a ciascun corpuscol% ciok dovunque s i a v diversa da zero) le singole sezioni trasversali. Ne consegue

v~ak = o,

9) Cib non sarebbe egualmente lecito nella espressione del 2 ~.~, perch,~ c'~ di mezzo la derivazione rispetto all'arco s.

(14)

SULLA GRAVITAZIONE DI UN" TUBO SOTTILE CO,'q APPLICAZIONE ALL~AIqELLO DI SATURNO. 367 da cui

~ fl --- o.

In definitiva le cose vanno come se ciascmla fetta costituisse tm sistema indeformabile, i valori di v e di k~ cbe compariscono in ~ P. doveMosi ritenere medic, relative a tratti ,ti tttbo comprendenti molti corpuscoli.

$8.

Equilibrio di un tubo sollecitato da a s s e g n a t e forze esterne (conservative).

Supposto il tubo abbastanza sottile perch~ sieno applicabili le considerazioni istituite finora~ potremo pur trattare il campo esterno come uniforme entro ogni sezione trasversale.

Percib, ore si indichi con /," la forza del campo in un generico punto P della direttrice (riferita, giusta le consuetudini, all'uniter di massa), ogni fetta si trover& solle- citata dalla forza

v k'ds.

In un generico spostamento virtuale del tubo si avr.~, accanto al lavoro a.o. dell'attrazione, il lavoro

(20) a t , = t'{~,,, X a / ' } d s

J C

delle forze esterne.

Questa formula esige un breve commento. Se ogni fetta subisse uno spostamento .~P conservando la sua individualit~t materiale, il lavoro elementare sarebbe manifestamente

Fds X aP,

donde la (20). In realtY, per il modo con cui abbiamo convenuto a n ~ 4 di stabilire la corrispondenza fra le due configurazioni del tubo prima e dopo lo spostamento, un generico a P non pub in generale identificarsi collo spostamento delia particella che si trovava inizialmente in P. Con tutto cib la (2o) seguita a valere, ma & d'uopo giusti- ficarla facendo il calcolo del lavoro globale a L per altra via. E precisamente sfruttando ['ipotesi che il campo esterno sia conservafivo. In base a tale ipotesi, ore sia f la funzione delle forze del campo, con the

/," ~ grad f, il lavoro in questione rimane espresso da

a ~ v f d s ,

il simbolo di variazione ,~ riferendosi appunto alla deformazione del tubo.

Ora si ha, passando da P a P - I - ~ P ,

~f = g r a d f X ~ P = P X ~P,

(15)

nonch~ (n ~ 4) Risulta quindi

a ( , , d s ) = o.

,J C ~.'C

Per impostare la questione statica (put nell'ambito strettamente meccanico) con tutta generalira, conviene ancora tenet conto dell'eventualitA che il tubo possegga una qualche altra forma (per es. elastica) di energia posizionale. Indicando con I1 il relativo potenziale (l'energia suddetta cambiata di segno), avre,no, dal principio dei lavori virtuali, la condizione di equilibrio

(2 0 a~ + aL + an = o,

per ogni spostamento consentito dai vincoli.

Per ricavarne le equazioni esplicite~ ~ d'uopo aver riguardo all'intima costituzione del siste,na. Considereremo successivamente tre strutture tipiche: corpuscolare, liquida, gasosa.

~ 9 .

Condizioni esplicite rispondenti ai vari stati di aggregazione di un anello (tubo chiuso).

Anollo eorp,asoolare. - - P e r quanto abbiamo visto al n ~ 7, a ~-~ si riduce al termine

~ .q; a va a zero perch& si tratta di tubo chiuso. Non c'& da tener conto di variazioni di energia interna, dato che si considerano corpuscoli rigidi. Rimane pertanto

8.~2 + 8L = o, la quale deve sussistere per ogni spostamento virtuale.

Siccome i a P sono completamente arbitrari, ne risulta, in base air ( I 4 ) e (2o),

(I) a (r k t)

ds + ~ / " = o,

dove [cfr. n ~ 7]' '~, k e t rappresentano (n~ potrebbe essere altrimenti data la struttura corpuscolare) elementi di media relativi a tratti di anello, brevi rispetto alla lunghezza totale, ma pur comprendenti un gran numero di corpuscoli.

Intesi sul preciso significato delle lettere, basta fissare la conclusione c h e l a condizione necessaria e sufficiente per l'equilibrio ~ in questo caso rappresentata dall'unica equazione vettoriale (I).

Jnello Iktuldo. ~ Neppur qui c'~ da tener conto di energia interna, supposto naturalmente che liquido stia a significare fluido incomprimibile.

S.o. conterrfi per6 tutti e due i termini ~-q, 8=P., e si dovr~ esprimere che

(2~') a o. + a=~a + 8L = o

per ogni spostamento consentito dai vincoli.

(16)

SULLA (~RAVITAZIONE DI UN TUBO $ O T T I L E CON APPLICAZIONE ALL~ANELLO DI SATURNO. ~ 6 9

Quali restrizioni derivano agli spostamenti (e per essi alie caratteristiche 8P, 8n) dall'incompressibilidt della materia costitutiva del tubo ? Assai poche in verit~i. Ricor- diamo infatti, riportandoci alie considerazioni cinematiche del n ~ 4, che ogni fetta bensl delimitata in modo da possedere un'eguale massa d m prima e dopo io spostamento, ma non si pretende affatto che le particeile materiali incluse nella fetta rimangano le stesse: la deformazione ~ stata definita senza preoccuparsi deile migrazioni in- dividuali delle singole particelle. Ne consegue the, malgrado la loro incompressibilidt, rimangono arbitrari i 8 P e i ~ n d'ogni sezione individualmente considerata. C'~ soltanto il vincolo globale c h e s i a nulla la variazione complessiva di volume, c h e s i a cio~

La ( 2 i ' ) d e v e dunque sussistere per tutti e soli gli spostamenti the rispettano la

(22).

Col solito metodo dei moltiplicatori di LAO~ASGE, si passa all'incondizionato annul- larsi di

(23) a + + L--po [as fl nds=

^O1

t / ' C z,

designando Po una costante a priori indeterminata.

Avuto riguardo alle (I4), ( I 5 ' ) e ( 2 @ si trova immediatamente

(I)

_{d s} -1- v t_,' - - o (per ogni fetta), (II) P = Po (per ogni elemento di contorno).

La (I) ~ identica a quella the abbiamo trovato or ora per l'anello corpuscolare (salvo che bisognava in quel caso riferirla ad elementi di media). Qui c'~ in piCl la condizione (II).

Attesa l'espressione (17) di p, in cui intervengono i valori itl contorno del potenziale logaritmico ), (di una sezione generica "~), la (II) ha manifesto carattere funzio- na!e. Comunque, il problenla statico rimane deconlposto in due altri: uno Iongitudinale, concernente cio~ l'andamento delia direttricc, caratterizzato dall'equazione vettoriale (I);

l'altro trasversale, che involge la forma delle sezioni -r. e la densit',i lineare "6 e trova la sua formulazione analitica nella (II). Quest'uhima pu6 essere considerata a s~, indi- pendentemente dalla (I), ma non viceversa [compareudo nella (I) lev e k, che debbono pensarsi legate dalla (II)].

Conviene perci6 far precedere lo studio del problema trasversale, onde tenerne debito conto quando si discute ia (I) per ricavarne le possibili forme di anelli liquidi.

,4hello gas:so. - - I1 criterio, in base al quaie vanno fissate le condizioni di equilibrio, 6 alquanto diverso da quello valido nell'ipotesi dell'incompressibilitk. Le equazioni cui in definitiva si perviene sono per6 le stesse. Per rendersene conto, basta pensarc che una massa gasosa (a differenza di una massa liquida) non h sottoposta ad alcun vincolo cinematico, ma viceversa possiede un'energia i n t e r n a - [1, che dipende dal suo volume.

Re, d. Cim. Martin. Palermo, t. X X X I I I (l ~ sere. 1912 ). - - Stampato il 7 maggio i9~2. 47

(17)

I1 ~ II si pu6 manifestamente rappresentare sotto la forma Po )< variazione di volume,

indicando Po un coefficiente the dipende dallo stato di equilibrio del sistema (ed ~ quindi una costante rispetto a d s e a ~).

Ritenuto questo, avremo dalla (2 0

8 ~ + ~ L - - P O ~ c c d S f S n d ~ = o ,

dove ~ = ~ l~ + ~ f l come gi~i per l'anello liquido.

Questa equazione 6 identica alla (23) ; e identica 6 l'accezione in cui deve rendersi esplicita. Essa deve infatti sussistere (non essendovi nel caso presente vincoli cinematici) per qualsiasi determinazione degli spostamenti ~P, ~n.

Nessuna differenza vi ~ dunque, dal punto di vista analitico, fra le condizioni sta- tiche concernenti un anello liquido e queile che si riferiscono ad un anello gasoso.

C. D. D.

IO.

I1 p r o b l e m a t r a s v e r s a l e nel c a s o di anelli f l u i d i

In base alia (II), p deve: sia essere costante sul contorno ~ di una sezione gene- rica, sia conservare il medesimo valore quando si passa da una sezione all'altra, il che

quanto dire essere indipendente d a s .

Se si pensa che v, .: e k sono costanti per una data sezione, e quindi, se put possono in tesi generale dipendere da s, non variano sopra il contorno ~ della sezione, il primo fatto, a norma della ( I 7 ) , si traduce nella

costan~a del potenziale logaritmico

di una sezione generica sopra il relativo contorno.

Questa condizione ~ caratteristica per l'equillbrio di un velo liquido omogeneo, le cui particelle si attraggano in ragione inversa della semplice distanza.

I1 problema trasversale ~ dunque dello stesso tipo di quello originariamente proposto (equilibrio di una massa fluida); ma si trova ridotto da tre a due dimensioni, e presenta (nell'ambito della nostra approssimazione) la duplice semplificazione che non vi hanno influenza le forze esterne e the il velo va trattato senz'altro come omogeneo.

Fra le possibili configurazioni di equilibrio vi ha il cerchio, come ~ ben noto e come del resto gi~l verificammo al n ~ 4.

La questione se esistono altre forme, e, in caso affermativo, quali attende ancora una risposta ,o).

,o) Cfr. la nota 4).

(18)

S U L L A G R A V I T A Z I O N E DI U N T U B O S O T T I L E C O N A P P L I C A Z [ O N E A L L ~ A N E L L O DI S A T U R N O . 371

S I I .

I1 p r o b l e m a longitudinale.

Fissata per la sezione generica -~ una delle forme possibili (la circolare almeno 1o

~), le tre quantit~ T, k, ~. sono a ritenersi funzioni ben determinate una dell'altra. Per il cerchio si ha ad es. [formule (I I) e (i2)]

I ~ 12 I

k - - I ~ - ~ - l o g , k'~ X = - - ' =

4 "~ 4

Pure funzione di s, ma a priori indipendente da queste, ~ la densit~t lineare v.

Quel che ci resta da sfruttare della equazione (II), cio~ la costanza d i p lungo la direttrice, si espticita, badando alla (I7), in

2

(II') ^{2 ~ ( k} 9 ^{- -}

x)

^{- -}Po,

e pub in definitiva considerarsi come una relazione in termini finiti f r a v e k ( I I " ) F ( v , k) - - o.

I1 problema longitudinale 8 cosl ricondotto al sistema (I),

(II").

La (I), proiettando sui tre assi di un ~riedro cartesiano O x y z dk luogo a tre equazioni differenziali ordinarie del secondo ordit~e, che involgono le 5 funzioni (incognite) x, y, zo v, k d i s . Queste sono altresl legate dall'equazione (II") (in termini finiti) e dall'identiui geometrica

(24) t~ d x ~ .

II problema longitudinale ~ dunque nettamente determinato e ricondotto alle equazioni differenziali ordinarie. I1 tipo ~ del tutto analogo a quello che si presenta nella statica dei fill flessibili ed inestendibili.

•

1 2 .

Fluidi o m o g e n e i e g a s p e r f e t t i . - Condizione di compatibilit/L S u a t r a s f o r m a z i o n e in b a s e a noti criteri di g e o m e t r i a differenziale.

Per i fluidi omogenei, la densitA (cubica) ? = - ~ costante. Per i gas che se- .r

guono la legge di BOYLE, essa ~ a ritenersi proporzionale alla pressione p; siccome questa, in virtfl della (II), ~ costante al contorno, 1o stesso segue di ~ . _%-

Riconosciamo cosl che, in entrambi i casi, - - non dipende da s, talch~ la ( I I ' ) s i v

riduce a

k 9 - - ?, = cost.

(19)

Abbhmo gkt osservato che (per una data configurazione &lie sez/oni trasversali) k e ?, sono funzioni di "~; d'altra parte si vede subito che, facendo variare le dimensioni di v (senza alterarne la forma) k v - - ) , non pub rimanere invariato. La precedente relazione non pub dunque essere in nessun caso una identit:l. Ne consegue c .e (le quante volte siasi fissata una tra le possibili forme per le sezioni trasversali) v, k e ). sono tutte e tre costanti (ci& indipendenti da s). Necessariamente 1o ~ allora anche v, e il problema si riduce a soddisfare alle ([) e (24) COn k e v costa,&

Le funzioni incognite essendo soltanto tre (le coordinate x, y, Z) e quattro ]e equazioni, dovranno verificarsi certe condizioni di compatibilit~i. Non sempre esistono pertanto curve C, che possano essere direttrici di till anello fluido omogeneo sottoposto a sollecitazione prefissata.

Esaminiamo la questione un p6 pith da vicino. Designando [come gi~t al n ~ 8] con f il potenziale delia forza esterna, la (I) si scrive (dacch& k e v sono costauti)

dt f

(25) dss = grad ~ - .

]~ questa l'equazione vettoriale delI'equilibrio di un filo flessibile e inestendibile, / per il quale si presenti la circostanza par- sollecitato da una forza di potenziaIe k v '

ticolare c h e l a tensione ha il valore I.

Da questa interpretazione [o, ci6 che ~ 1o stesso, dall'equazione (25), moltiplican- done scalarmente i due membri per t] segue che ogni soluzione della (25), ciob ogni possibile C, deve svolgersi interamente sopra una superficie equipotenziale

f - ' - COSt,

E deve essere geodetica di questa superficie. Ci6 risulta subito dal fatto chela normale a l l a s u p e r f i c i e ( i n q u a n t o l i n e a d ' a z i o n e d e l l a f o r z a * ' = g r a d f - ) b c o n t e n u t a n e l p i a n o osculatore.

Se si proietta la (25) sulla normale (verso la conc:lviut di C), e si indica con c la curvatura della C, si ha

= I ! r ,

essendo

. i f .___ (grad/)= (~f'~= L' c9 f'~ = [ cgf'~ 2

= + , 3yl + "

La questione ~ ricondotta a trovare (se esistono) quelle geodetiche delle superfide J---cost., la cui curvatura verifica la (26).

Siamo nell'ambito della teoria degli integrali (o relazioni invarianti)delle linee geodetiche, e sarebbe necessario riportarsi a questa teoria, ove si volesse istituire una discussione approfondita.

Mi limiter6 a segnalare amine soluzioni particolari di immediata evidenza.

In primo hlogo, ove le superficie equipotenziali siano parallele (,.if costante sopra ogni superficie della famiglia), la (26) sta a dire semplicemente che le curve cercate de-

(20)

SULLA GRAVITAZIONE DI UN TUBO SOTTILE CON APPLICAZIONE ALL~ANELLO DI SATURNO. 373

vono essere circoli (oltrech~, ben si intende, geodetiche): ogni geodetica circolare pu6 dunque essere una C.

Ancora, se le superficie equipotenziali sono rotonde, la ( 2 6 ) ~ senz'altro soddisfatta sopra ogni parallelo (disponendo opportunamente della costante k v). Basta pertanto che questo sia ulna geodetica (ci6 the ha luogo per l'equatore e, in generale, per ogni massimo o minimo del raggio) perch6 costituisca una direttrice possibile.

I 3 .

Applicazione alranello di Saturno.

Si suppone notoriamente che l'aneilo si trovi soggetto all'attrazione di Saturno (oltre che alla propria), e sia animato da rotazione uniforme attorno ad un asse S t passante per il centro di gravitY. S di Saturno.

Si tratta pertanto di equilibrio relativo rispetto ad assi

Sxy~.

ruotanti colla stessa velocit~i angolare dell'anello. Rispetto a questi assi, tutto va come se si trattasse di equilibrio assoluto, purch~ si tenga conto della forza centrifuga. L'espressione di f 6 quindi, immaginando scelte le unit',i in modo conveniente

"), e

designando con r la distanza di un generico punto

(xyz,.)

dalrorigine S,

+ q-(x +yg.

2

(27) f = r _

Ipotesi oorpuseolare.-

Per caratterizzare le curve C, che potrebbero fungere da direttrici di un anello posto, quanto a soilecitazione dinamica, neUe condizioni deli'anello di Saturno, c'e in questo caso [n ~ 9] da tener conto delia sola (I)[associata all'identit;l geometrica (24) ].

Le equazioni essendo complessivamente quattro fra le cinque funzioni x, y, ~, v, k della s, + ancora lecito aggiungere una condiz]one a piacimento: per es. fissare pre- ventivamente la funzione

k(s).

Si pu6 in particolare supporre l'anello di spessore uniforme, cio6 k costante. ]~ questo il punto di vista adottato nella mia precedente ricerca sulla forma dell'anello di Saturno ~). Ho ivi tra altro rilevata l'esistenza di oo ' direttrici equatoriali, determinabili mediante quadrature, e h o f a t t o uno studio pifi appro fondito di quelle prossime alla forma circolare ~3).

Massa [luida omogenea (ovvero costituita da gaa per[ego).-

Dall'osservazione finale del n ~ prec. scende tosto che tutte le circonferenze di centro S, situate nel piano equatoriale

Sxy,

sono direttrici possibili. Ci6 era evidente a priori dal momento che le ricerche clas-

,z) Cfr. loco citato 3), pag. 566.

i2) Rinvio come sopra.

*~) Veggasi altresi: A. VITERBI, Su una classe speciale di forme dell'aneIlo di Saturno [Atti del R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, tomo LXIX (I9O9-I9IO), parte II, pp. I129-II49]; Sulle direttrici plane dell'atzello di Saturno [Ibid., tomo LXX (~9IO-19tI), parte II, pp. I3II-I333].

(21)

574 T U L L I O L E V l - C l V I ' r A .

siche di LAPLACE} di POINCARI~ e della KOVALEWSKI avevano accertata l'esistenza di soluzioni a direttrice circolare anche prescindendo dall'ipotesi semplificativa di una sezione piccolissima.

Sono possibili (per un anello fluido, omogeneo, ovvero costituilo da gas perfetto) altre forme di direttrici?

La risposta 6 negativa. Si riconosce infatti per via diretta (con qualche sviluppo di calcolo, che non sto a riportare per disteso, perchh si tratta di una materiale consta- tazione di incompatibi[it~t) che, per le superficie equipotenziali definite dalla (27), l'equazione ( 2 6 ) n o n pu6 venire soddisfatta altro che da paralleli geodetici. Di questi, su ogni superficie (27), ve n'6 uno soltanto: il relativo equatore ~4).

Padova, Marzo I912.

T U L L I O L E V I - C I V I T A .

14) Si notl che le superfide in questione ammettono effettivamente un equatore (intersezione col

~ o ) soltanto per valori abbastanza grandi di f ( ~ + ) . Sulle altre superficie della famiglia piano

\ /

non esistono paraUeli geodetici.