RISOLUZIONE Domande di teoria 1. A `e falsa, basta pensare alle successioni a

RISOLUZIONE

Domande di teoria

1. A `e falsa, basta pensare alle successioni a _n = 1, b _n = ( 1) ⁿ e c _n = 1: risulta a _n  b n  c n

per ogni n 2 N, (a n ) e (c _n ) sono successioni regolari mentre (b _n ) non lo `e.

B `e vera. Infatti essendo (a n ) e (c n ) limitate, esistono M a , M c 2 R tali che |a n |  M a e

|c n |  M c per ogni n 2 N. Si ottiene allora che M a  a n  b n  c n  M c per ogni n 2 N e quindi che (b _n ) risulta limitata.

C `e falsa. Considerate nuovamente le successioni a _n = 1, b _n = ( 1) ⁿ e c _n = 1, si ha che (a _n ) e (c _n ) risultano successioni convergenti mentre la successione e ^b

= e ^{( 1)}

=

( e se n pari

1

e se n dispari non ammette limite.

2. A `e vera. Essendo (a <sub>n</sub> ) successione convergente, (a <sub>n</sub> ) risulta limitata. Poich´e (b <sub>n</sub> ) `e infinites- ima, il prodotto (a n b n ) sar` a successione infinitesima (in alternativa si poteva concludere usando l’algebra dei limiti). Essendo convergente, la successione (a _n b _n ) risulta limitata.

B `e falsa. La successione b <sub>n</sub> = <sub>n</sub> <sup>1</sup> `e infinitesima, la successione a _n = _n ¹

`e positiva e convergente ma _a ^b

n

= n `e divergente e in particolare non limitata.

C `e falsa. Ad esempio la successione a _n = e ⁿ

`e positiva e convergente, la successione b _n = ¹ _n

`e infinitesima ma a ^b _n

= e ^b

^{log a}

= e ⁿ `e divergente.

3. A `e vera. Difatti dalla definizione di “o” piccolo e dalla legge di cancellazione dei termini trascurabili si ha

n !+1 lim b _n

a _n + b _n = lim

n !+1

o(a _n )

a _n + o(a _n ) = lim

n !+1

o(a _n ) a _n = 0.

B `e falsa. Ad esempio le successioni a _n = _n ¹ , b _n = _n ¹

e c _n = _n ¹

sono tali che b _n = o(a _n ) mentre

b

c

6= o(a n ) essendo

n !+1 lim

b

c

a _n = lim

n !+1

b _n a _n

1

c _n = lim

n !+1

1

n n ³ = + 1

C `e falsa. Difatti, per ogni successione (b n ) tale che b n ! 0 per n ! +1, essendo ^log(1+b _b

⁾ ! 1, dalla definizione di “o” piccolo si ottiene

n!+1 lim

log(1 + b _n ) a n

= lim

n!+1

log(1 + b _n ) b n

b _n a n

= 0

4. A `e vera. Infatti, per definizione di “o” piccolo risulta lim

x!0

f (x)

g(x) = 0 e dalla definizione di limite, scelto " = 1 esiste 2 (0, 1) tale che ^{f (x)} _g(x) < 1 per ogni x 2 (0, ). Essendo le funzioni positive ne segue che f (x) < g(x) per ogni x 2 (0, ).

B `e vera. Per x ! 0 <sup>+</sup> si ha infatti che f (x) + g(x) = g(x) + o(g(x)) e dalle propriet` a degli “o”

piccoli g(x) + o(g(x)) ⇠ g(x). Quindi f(x)+g(x) ⇠ g(x) da cui in particolare lim

x !0

f (x) + g(x) =

x lim !0

g(x).

C `e falsa. Le funzioni f (x) = ¹ _x e g(x) = _x ¹

sono definite e positive in (0, 1], lim

x !0

f (x) =

x lim !0

g(x) = + 1 e ^{f (x)} _g(x) = x ! 0 ma

x lim !0

f (x) g(x) = lim

x !0

1

x 1

x

= lim

x !0

x 1

x

= 1

5. A `e falsa mentre B `e vera. Infatti, essendo f (x) = o(g(x)) e g(x) ⇠ h(x) per x ! x 0 , dalla definizione di “o” piccolo e dalle propriet` a della relazione di asintotico risulta

x lim !x

f (x)

h(x) = lim

x !x

f (x) g(x) = 0 Quindi f (x) = o(h(x)) e f (x) 6⇠ h(x).

C `e vera. Infatti, dalla definizione di “o” piccolo e della relazione di asintotico si ha

x!x lim

f (x) + h(x)

g(x) = lim

x!x

f (x)

g(x) + h(x) g(x) = 1 e dunque f (x) + h(x) ⇠ g(x).

6. A `e vera. Infatti, per definizione, essendo f (x) = o(g(x)) e g(x) = o(h(x)) per x ! +1, risulta

x !+1 lim f (x)

g(x) = lim

x !+1

g(x)

h(x) = 0 da cui

x !+1 lim f (x)

h(x) = lim

x !+1

f (x) g(x)

g(x) h(x) = 0, e dunque f (x) = o(h(x)) per x ! +1.

B `e vera. Infatti, essendo f (x) = o(g(x)), dalle propriet` a dell’“o” piccolo risulta f (x) + g(x) = g(x) + o(g(x)) ⇠ g(x) per x ! +1. Inoltre, essendo e g(x) = o(h(x)) e le funzioni non negative avremo che lim

x !+1

g(x)

h(x) = 0 ⁺ e dunque

x !+1 lim

h(x)

f (x) + g(x) = lim

x !+1

h(x)

g(x) = lim

x !+1

1

g(x) h(x)

= + 1.

C `e falsa. Ad esempio, si considerino le funzioni f (x) = x ³ , g(x) = x

e h(x) = x ² . Avremo che le funzioni risultano positive in (0, + 1), lim

x !+1 f (x) = lim

x !+1 g(x) = lim

x !+1 h(x) = 0, f (x) = o(g(x)) e g(x) = o(h(x)) per x ! +1 mentre

x !+1 lim f (x)

(h(x)) ² = lim

x !+1 x = + 1

Esercizi

1. Calcoliamo il limite della successione a _n = n ⁿ

n + e ⁿ

per n ! +1. Osserviamo innanzitutto che per n ! +1 risulta

a _n = n ⁿ

n + e ⁿ

= n ⁿ e ⁿ

( ⁿ

e

+ 1) ⇠ n ⁿ e ⁿ

= b _n

poich`e, per la gerarchia degli infiniti, 0  _e ⁿ

 _e ⁿ

! 0. Essendo, sempre per la gerarchia degli infiniti,

b _n+1 b n

= (n + 1) ⁿ⁺¹ e ⁽ⁿ⁺¹⁾

e ⁿ

n ⁿ = n + 1 e ²ⁿ⁺¹ (1 + 1

n ) ⁿ ⇠ n + 1

e ²ⁿ ! 0 < 1, per n ! +1, dal criterio del rapporto deduciamo che per n ! +1, b n ! 0 e quindi che a n ! 0.

In alternativa, osserviamo che b _n = n ⁿ

e ⁿ

= e ^{n log n n}

= e ⁿ

⁽

¹⁾ ⇠ e ⁿ

! 0 essendo ^{log n} _n ! 0. La risposta esatta `e quindi la b .

2. Calcoliamo il limite della successione a n = n ^↵ n log n + n ² log(1 + ¹ _n ) per n ! +1 al variare di ↵ 2 R.

Per n ! +1 risulta

a _n = n ^↵ n log n + n ² ( _n ¹ + o( ¹ _n )) = n ^↵ n log n + n + o(n) Quindi se ↵ > 1 abbiamo n = o(n ^↵ ) e dunque, dal limite notevole lim

n!+1 log n

n = 0 per ogni > 0, otteniamo

a _n = n ^↵ n log n + o(n ^↵ ) = n ^↵ ⇣

1 _n ^{log n}

+ ^o(n _n

⁾

⌘ ! +1

Se ↵ = 1 allora

a _n = 2n n log n + o(n) = n ⇣

2 log n + ^o(n) _n ⌘

! 1 e infine se ↵ < 1 si ha n ^↵ = o(n) e dunque

a _n = n n log n + o(n) = n ⇣

1 log n + ^o(n) _n ⌘

! 1 La risposta esatta `e dunque la a .

3. Determiniamo per quale valore di ↵ 2 R la successione a n = n ^↵n log(1 + ² _n!

) per n ! +1 converge. Osserviamo innanzitutto che dalla gerachia degli infiniti, per n ! +1 risulta ² _n!

! 0 e dunque, usando il limite notevole del logaritmo, si ha

a _n = n ^↵n log

✓ 1 + 2 ⁿ

n!

◆

⇠ n ^↵n 2 ⁿ n! = b _n

Utilizziamo in criterio del rapporto per stabilire quando la successione (b _n ) _{n 2N} converge. Abbi- amo

b _n+1

b _n = (n + 1) ^↵(n+1) n ^↵n

2

(n+1)!

2

n!

= 2 1 + _n ^{1 ↵n} (n + 1) ^{↵ 1}

e dunque

n!+1 lim b _n+1

b _n = 8 >

<

> :

+ 1 se ↵ > 1 2e se ↵ = 1 0 se ↵ < 1

Dal criterio del rapporto segue allora che la successione (b n ) n 2N , e quindi anche la successione (a _n ) _n2N , converge a 0 se ↵ < 1 e diverge a + 1 se ↵ 1.

La risposta esatta `e pertanto la c .

4. Calcoliamo il limite della successione a _n = p

n ^↵ p

n

e

1 per n ! +1 al variare di ↵ 2 R.

Abbiamo che per ↵ 6= 1 e n ! +1, essendo p

n ! 1 e ^{log n} _n ! 0, risulta p

n ^↵ p

n = p

n ⇣ p

n ^{↵ 1} 1 ⌘

⇠ p

n ^{↵ 1} 1 = e

^{log n} 1 ⇠ ^{↵ 1} _n log n mentre e

1 ⇠ _n ¹ . Quindi

a _n = p

n ^↵ p

n e

1 ⇠

↵ 1 n log n

1 n

= (↵ 1)log n !

( + 1 se ↵ > 1 1 se ↵ < 1 La risposta esatta `e la a .

5. Il limite lim

x!0 (1 + |x|)

e

esiste e vale 0 per ogni ↵ 2 R. Infatti, osservato che

x lim !0

(1 + ↵x)

= lim

y!+1

⇣ (1 + ^↵ _y )

⌘ ↵

= e ^↵ per ogni ↵ 2 R, otteniamo

x lim !0

(1 + |x|)

e

= lim

x !0

(1 + x)

e = 0 e

x lim !0 (1 + |x|)

e

= lim

x !0 (1 x)

e ¹ = 0 Quindi il limite esiste e vale 0. La risposta esatta `e la b .

6. Stabiliamo per quali valori di ↵ 2 R la funzione f ↵ (x) = 1 + _x ¹

2x converge per x ! + 1. Osservato che f ↵ (x) = e ^{2x log(1+}

⁾ , studiamo il comportamento della funzione g _↵ (x) =

2x log(1 + _x ¹

) al variare di ↵ 2 R.

Se ↵ < 0 allora per x ! +1 risulta _x ¹

! +1, da cui log(1+ _x ¹

) ! +1 e dunque g ↵ (x) ! 1.

Ne segue che f _↵ (x) = e ^g

^(x) ! 0 per x ! +1.

Se ↵ = 0 allora log(1 + _x ¹

) = log 2 > 0 e dunque g _↵ (x) ! 1 per x ! +1. Ne segue che anche in questo caso f _↵ (x) = e ^g

^(x) ! 0 per x ! +1.

Infine, se ↵ > 0 allora _x ¹

! 0 e ricordando che log(1 + y) ⇠ y per y ! 0, otteniamo che per x ! +1 risulta

g _↵ (x) = 2x log(1 + _x ¹

) ⇠ 2x _x ¹

= _x

²

Ne segue che se ↵ > 1, per x ! +1 si ha g ↵ (x) ! 0 e quindi f ↵ (x) = e ^g

^(x) ! 1. Se ↵ = 1 allora g ↵ (x) ! 2 da cui f ↵ (x) = e ^g

^(x) ! e ² mentre se 0 < ↵ < 1 allora g ↵ (x) ! 1 e quindi f _↵ (x) = e ^g

^(x) ! 0. Riunendo quanto ottenuto abbiamo

x!+1 lim f ↵ (x) = 8 >

<

> :

0 se ↵ < 1 e ² se ↵ = 1 1 se ↵ > 1

e dunque che la funzione converge per ogni ↵ 2 R. La risposta esatta `e dunque la a .

7. Stabiliamo per quali valori di ↵ 2 R la funzione f ↵ (x) = _sin ^e

x log(1+x ^{(cos x)}

⁾

) per x ! 0 ⁺ `e infinitesima.

Ricordando che per y ! 0 si ha cos y = 1 ^y ₂

+ o(y) e (1 + y) ^↵ = 1 + ↵y + o(y), per x ! 0 ⁺ risulta

(cos x) ^↵ = (1 ^x ₂

+ o(x ² )) ^↵ = 1 ↵ ^x ₂

+ o(x ² )

mentre, essendo e ^y = 1 + y + o(y) per y ! 0, si ha e ^x

= 1 + x ² + o(x ² ). Quindi e ^x

(cos x) ^↵ = (1 + ^↵ ₂ )x ² + o(x ² )

Ricordando che sin y = y + o(y) e log(1 + y) = y + o(y) per y ! 0, per x ! 0 ⁺ otteniamo invece che

sin ² x log(1 + x ³ ) = x ² + o(x ² ) (x ³ + o(x ³ )) = x ² + o(x ² ) essendo x ³ = o(x ² ) per x ! 0. Ne segue che

x!0 lim

f ↵ (x) = lim

x!0

e ^x

(cos x) ^↵ )

sin ² x log(1 + x ³ ) = lim

x!0

(1 + ^↵ ₂ )x ² + o(x ² )

x ² + o(x ² ) = 1 + ^↵ ₂ , 8↵ 2 R e la funzione risulta infinitesima se e solo se ↵ = 2. La risposta esatta `e la c .

8. Calcoliamo l’ordine di infinitesimo della funzione f (x) = _{1 x} ^x

log(1 + tan x) per x ! 0.

Ricordando che per x ! 0 si ha tan x = x + o(x), abbiamo

log(1 + tan x) = tan x + o(tan x) = x + o(x) + o(x + o(x)) = x + o(x) mentre, osservato che _{1 x} ¹ = (1 x) ¹ = 1 + x + o(x) per x ! 0 otteniamo

x ²

1 x = x ² (1 + x + o(x)) = x ² + x ³ + o(x ³ ) Ne segue che per x ! 0

f (x) = x ²

1 x log(1 + tan x) = x ² + x ³ + o(x ³ ) x + o(x) = x + o(x) e quindi ord(f (x)) = 1. La risposta esatta `e quindi la a .

9. Determiniamo l’ordine di infinitesimo della funzione f ↵ (x) = log(cos ↵x) x sin x per x ! 0 al

variare di ↵ 2 R.

Dai limiti notevoli e dalle propriet` a degli “o” piccolo risulta

f _↵ (x) = log(cos(↵x)) x sin x = log(1 + (cos(↵x) 1)) x(x + o(x))

= (cos(↵x) 1) + o(cos(↵x) 1) x ² + o(x ² )

= ^(↵x) ₂

x ² + o(x ² ) = (1 + ^↵ ₂

)x ² + o(x ² )

Dato che 1 + ^↵ ₂

6= 0 per ogni ↵ 2 R ne segue che la funzione ha ordine di infinitesimo 2 per ogni

↵ 2 R e la risposta esatta `e la a .

10. Stabiliamo l’ordine di infinitesimo della f _↵ (x) = p

cos(↵x) cos ² x per x ! 0 al variare di ↵.

Per x ! 0 risulta

p cos(↵x) = p

(cos(↵x) 1) + 1 = 1 + ¹ ₂ (cos(↵x) 1) + o(cos(↵x) 1)

= 1 + ¹ ₂ ( ^↵

₂ ^x

+ o(x ² )) + o( ^↵

₂ ^x

+ o(x ² )) = 1 ^↵ ₄

x ² + o(x ² ) mentre

cos ² x = (1 ^x ₂

+ o(x ² )) ² = 1 x ² + o(x ² ) Ne segue che

f ↵ (x) = 1 ^↵ ₄

x ² + o(x ² ) (1 x ² + o(x ² )) = ( ^↵ ₄

+ 1)x ² + o(x ² )

e dunque ord(f (x)) = 2 per ogni ↵ 2 R. La risposta esatta `e b .