UN IVERSIT Á d egli STUDI d i FERRARA
SCUOLA DI SPECIALIZZAZION E PER L IN SEGN AMEN TO SECONDARIO
GRAVITAZION E,
CAMPO GRAVITAZION ALE, N OZION I IN TRODUTTIVE DI
RELATIVITÁ GEN ERALE
ELABORATO DI FISICA AN N O 2007/2008
RIEZZO VITTORIO
Prof. Fabiano Minni, L.C. Ariosto , Ferrara Prof. David e N eri, L.S. Sabin , Bologna Prof. Lu igi Tom asi, L.S. Galilei , Ad ria I c o m p ute r so no inc re d ib ilm e nte ve lo c i, a c c ura ti e stup id i.
Gli uomini sono incredibilmente lenti, inaccurati e intelligenti.
Insieme sono una potenza c he sup e ra l'im m a g ina zio ne . Albert Einstein
re sta il fa tto c he a lc uni uo m ini so no le nti, ina c c ura ti e stup id i.
DESTINATARI
Second o le vigenti d irettive d el Ministero d ella Pu bblica Istru zione qu esto argom ento p u ò essere introdotto nel corso del quarto o quinto anno dei licei scientifici di ordinamento.
Orario:
Liceo scientifico MATERIA
I II III IV V
Lingua e lettere italiane 4 4 4 3 4
Lingua e lettere latine 4 5 4 4 3
Lingua e letteratura straniera 3 4 3 3 4
Storia 3 2 2 2 3
Geografia 2 - - - -
Filosofia - - 2 3 3
Scienze naturali, chimica e geografia - 2 3 3 2
Fisica - - 2 3 3
Matematica 5 4 3 3 3
Disegno 1 3 2 2 2
Religione 1 1 1 1 1
Educazione fisica 2 2 2 2 2
Totali 25 27 28 29 30
TEMI P.N .I. (Piano Nazionale per l Informatica)
Proposte dell UMI
Prerequisiti:
È necessario possedere i seguenti requisiti Moto di un punto
Sistemi di riferimento inerziali e non inerziali Nozione di campo e di campo conservativo
Velocità e accelerazione come grandezze vettoriali e scalari
Moto rettilineo uniforme, accelerato, circolare e circolare uniforme Centro di massa e centro di forze applicate ad un sistema semplice Equilibrio dei corpi rigidi
Equazioni di Newton Energia potenziale
Conservazione d ell energia
Obiettivi generali:
Acqu isire le conoscenze, com p etenze e cap acità p reviste d all U.D.
Affinare le capacità logiche e di comprensione dei fenomeni celesti procedimenti di astrazione
ragionare induttivamente e deduttivamente
com p rend ere l im p ortanza storica che il concetto di forza di gravità ha portato nella società scientifica e non scientifica
comprensione della legge di gravitazione universale u tilizzo almeno parziale dei software didattici presentati
Obiettivi trasversali:
Svilu p p are attitu d ine alla com u nicazione e ai rap p orti interp ersonali favorend o lo scambio di opinioni tra docente e allievo e tra gli allievi.
Prosegu ire ed am p liare il p rocesso d i p rep arazione scientifica e cu ltu rale d egli studenti
Contribu ire a svilu p p are lo sp irito critico e l attitu d ine a riesam inare criticam ente ed a sistemare logicamente le conoscenze acquisite.
Contribuire a sviluppare capacità logiche ed argomentative Acquisire abilità di studio.
Comunicare in modo efficace
Obiettivi specifici:
Conoscenze:
Conoscere la storia d ell evolu zione d el p ensiero scientifico d op o le p rim e formulazioni delle leggi sulla gravità
Conoscere com e qu este teorie hanno rivolu zionato la società antica e contemporanea
Conoscere la legge di gravitazione universale Conoscere le leggi di Keplero
Conoscere le interazioni d ei corp i celesti Terra Lu na Sole e loro p rincip ali fenomeni
Conoscere la storia della nascita della teoria della relatività Conoscere come questa vanga applicata al mondo reale
Conoscere le ap p licazioni tecnologiche legate alle nozioni che si sono ap p rese in questa unità didattica
Competenze:
Saper spiegare come nasce la formulazione della legge di gravitazione universale Saper spiegare la legge di gravitazione universale
Saper enunciare le leggi di Keplero
Saper spiegare di cosa tratta la relatività generale Capacità:
saper comprendere il perché del moto degli oggetti in un sistema di masse Saper condurre una osservazione del cielo diurno e notturno
Riu scire a fare u na lezione d inam ica u tilizzand o il softw are StarryN ight® Pro spiegand o il m oto d ei p ianeti le forze che interagiscono tra d i essi e la teoria appresa in questa unità didattica
Contenuti:
Introduzione
Cenni sulla evoluzione d ell astronom ia
Breve storia dello studio della gravità sulla Terra Newton, una mela e la legge di gravitazione universale Leggi di Keplero
Energia potenziale gravitazionale
Leggi di Newton e teoria della relatività generale
Cenni sulla teoria della relatività di Einstein e curvatura spazio tempo Applicazioni al mondo fisico e alla tecnologia
Laboratorio virtuale di fisica (scoprire nuove relazioni)
Strumenti utilizzati:
Libro di testo Dispense
Lavagna e gesso
Software didattico ( Excel©, Starry Night® Pro , Gravitation)
Au sp icabile visita d istru zione in u n p lanetario od osservatorio astronom ico Video e documentari (National Geographic, PSSC, Ulisse, SuperQuark, etc)
Tem p i d ell intervento d id attico
Previste 9 ore, qu ind i 3 settim ane. Un p aio d ore p er il laboratorio con esercizi d i calcolo del valore di g e altro.
Metodologia:
La legge d i gravitazione u niversale è argom ento affascinante e p overo d i form u le e d im ostrazioni. I calcoli che sfru ttano le p oche relazioni sp iegate qu i si rid u cono a m oltip licazioni e d ivisioni, ecco p erché cred o si d ebba stim olare p iù che il calcolo, il ragionamento fisico.
Lo svolgim ento d ell attività d id attica avverrà attraverso lezioni d ialogate e interattive, con au sp icabili osservazioni, d om and e flash p oste ai singoli alu nni. È fond am entale che ogni qu al volta si p resenti la necessita d i richiam are concetti che sono stati già sp iegati, vengano richiesti agli alu nni. N on d are m ai p er scontato ciò che si è sp iegato le volte precedenti. L ap p roccio storico è u n bu on m od o (sop rattu tto su argom enti che generano fascino com e qu esto) p er introd u rre l argom ento. L u so d i softw are è au sp icabile p er la su a grand e cap acità d i interattività ed im m ed iatezza. Inoltre p u ò essere u tile l au silio d i vid eo o d ocu m entari che hanno u n grand e im p atto scenico, qu ind i stim olano interesse e curiosità.
Verifica e valutazione:
La fase d i verifica e valutazione è p arte integrante d el p rocesso ed u cativo e p erm ette d i m onitorare sia il raggiu ngim ento d egli obiettivi p refissati, sia l efficacia d ella strategia didattica attuata.
Le modalità principali di verifica sono:
domande e risposte dal banco verifiche scritte
lezione simulata da parte dei ragazzi o tesina su di un particolare aspetto
Attività di recupero:
Recu p ero d a effettu are in classe d u rante le ore cu rricolari, attraverso la rip resa d ei concetti non ben compresi e lo svolgimento di esercizi riguardanti tali argomenti Assegnazione a singolo studente di tesine mirate.
CONTENUTI
Introduzione:
La sc ie nza c he ind ivid uia m o c o n il te rm ine a stro no m ia in re a ltà te rm ine a b b a sta nza recente, è una particolare sezione della fisica che si occupa degli oggetti che si evolvono ne ll unive rso .
Pa rtia m o d a q ue sta p a rtic o la re sc ie nza p e r a ffro nta re un p e rc o rso c he ha inte re ssa to q ua si tutta la sto ria d e ll a ttività um a na p e r a rriva re p o i a q ue lla c he c hia m ia m o : le g g e d i g ra vita zio ne unive rsa le . Atte nzio ne p e rò , il fa tto c he sia unive rsa le no n vuo l d ire c he inte re ssa so lo l unive rso1 m a c he va le universa lm e nte p e r tutti g li o g g e tti d o ta ti d i m a ssa c he si tro vino in una q ua lunq ue re g io ne d e ll unive rso . Q uind i è ra g io nevo le p e nsa re c he la Te rra , no i c he la a b itia m o e q ua lsia si c o sa m a te ria le (c o m p o sta d i m a te ria o vve ro d i m a ssa ) visib ile e no n2 è inte re ssa ta d a una fo rza c he se g ue la le g g e d i g ra vita zio ne universale. Pe r c o m o d ità o ltre c he p e r ra g io ni sto ric he , q ue sta le g g e sulla Te rra la c hia m ia m o se m p lic e m e nte g ra vità e ne a ttrib uia m o un va lo re num e ric o p a ri a 9,822 m / s2 con il q ua le si ind ivid ua il va lo re d e lla a c c e le ra zio ne a lla d ista nza m e d ia d i 6300 Km , la q ua le e sse nd o un ve tto re ha una d ire zio ne e un ve rso . Infa tti q ue sta a c c e le ra zio ne ha
1 L unive rso e g li o g g etti in e sso c o nte nuti risp etta no a nc h essi q ue sta leg g e m a non ne so no c e rto g li unic i b ene fic ia ri .
2 Vedremo più avanti che anche ciò che non vediamo con i nostri occhi è soggetto alla forza di gravità. Per esempio la radiazione che sappiamo essere visibile ma che invisibile è interessata dal campo gravitazionale. La relatività generale ha spiegato che la radiazione elettromagnetica dal radio ai raggi gamma viene deflessa o deviata dalla presenza di un corpo dotato di massa.
verso diretto verso il centro di massa del pianeta e direzione ortogonale alla superficie. Per q ua nto q ue sta no n sia una d e finizio ne c o rre tta né d i fo rza d i g ra vità né d i le g g e d e lla g ra vita zio ne , p e r a d e sso b a sti c a p ire c he il va lo re d e ll a c c e le ra zio ne d i g ra vità sulla Te rra deriva (e poi calcoleremo) direttamente dalla legge di gravitazione universale.
Cenni sulla evoluzione dell a stronomia :
Una b re ve intro d uzio ne a lla sto ria d e lla a stro no m ia se rve p e r a vere un q ua d ro un p o p iù c o m p le to e q uind i per c o m p re nd e re m e g lio l im p a tto c he le va luta zio ni d e ll uo m o ha nno avuto c irc a lo stud io d e lla vo lta c e le ste e d e ll universo.
L o sse rva zio ne d e l c ie lo è sta to se m p re d i g ra nd e im p o rta nza p e r tutte le c iviltà d e l pianeta che in epoche diverse hanno cercato di interpretare quello che accadeva sopra le lo ro teste , sfrutta nd o la c ic lic ità d e i fe no m e ni e inte rp re ta nd o ne il sig nific a to . L a stro no m ia m o d e rna ha a vuto uffic ia lm e nte inizio3 ne l 1600 c o n l im p ulso d a to d a llo stud io so e sc ie nzia to G a lile o Ga lilei. In re a ltà no n vi è una d e m a rc a zio ne ne tta tra un astronomia a ntic a e una m o d e rna , b a sti p ensa re a d a stro no m i c o m e Nicolò Co p e rnic o 1473-1543 (c he svilup p a la te o ria d e l siste m a e lio c e ntric o ) c he p o rta a lla c o sid d e tta rivo luzio ne c o p e rnic a na o a nc he Tyc ho Bra he o G io va nni Ke p le ro . Infa tti a lo ro m o d o tutti q ue sti sc ie nzia ti e m o lti p rim a d i lo ro c o ntrib uiro no c o n g li stud i c o nd o tti a fo rm ula re te o rie nuo ve e se m p re p iù c o rre tte p e r inte rp re ta re i fe no m e ni c e le sti. Ca p ire c he g li o g g e tti c he si vend e va no p ro ietta ti sulla vo lta c e le ste a ve sse ro una d ista nza (G a lile o ) o ltre c he una e ste nsio ne , e c he si m uo ve sse ro c o n o rb ite e llittic he (Ke p le ro ) into rno a d una ste lla (Co p e rnic o ), p o ne va fo nd a m e nta li d o m a nd e sul p e rc hé si o sse rva va no q ue g li o g g e tti e q ua li e ra no le fo rze e le le g g i c he re g o la m e nta va no i lo ro m o ti. In re a ltà p o c hi a nni d o p o a lc une d i q ue ste d o m a nd e tro va ro no una g iustific a zio ne ra g io nevo le e a b b a sta nza so d d isfa c e nte . La te o ria d e lla g ra vita zio ne unive rsa le fu fo rm ula ta d a l m a te m a tic o e fisic o ing le se Isa a c Ne w to n c he p ub b lic ò Philosophiae Na tura lis Princ ip ia Ma the m a tic a ne l 1687 c he c o nte neva no tra l'a ltro le le g g i d e lla dinamica con le quali spiegò le leggi di Keplero sul moto dei pianeti.
No n c re d o c he si p o ssa c o no sc e re la p e rso na c he p e r la p rim a vo lta si sia c hie sto o c hie sta c o m e m a i so no a p p o g g ia to sul suo lo d e lla Te rra ? Co sa m i tra ttiene sa ld a m e nte
3 Questa è c e rta m e nte una c o nve nzio ne , d o vuta a ll utilizzo d e l tele sc o p io d a p a rte d i G a lile o Galilei che nei primi anni del 1600 condusse approfondite osservazioni della volta celeste e studi scientifici sul moto dei pianeti del cielo e sulle proprietà cicliche delle stagioni e delle fasi lunari.
lim ita to a l te rre no ? . Isa a c Ne w to n fo rm ulò una te o ria c he p o te sse sp ie g a re il p e rc hé di questa d o m a nd a . L'o p e ra p iù influe nte d i Ne w to n fu se nza d ub b io , p e r i suc c e ssivi trecento anni valido e attendibile testo scientifico. La loro pubblicazione è considerata da m o lti la na sc ita d e lla fisica m o d e rna . Pe r la p rim a vo lta la meccanica viene tra tta ta in modo siste m a tic o e m a te m a tic o . Ne i Principia Ne w to n tra tta lo spazio e il tempo c o m e e nti a sso luti m a , c o m e g ià a veva fa tto Galilei, ric o no sc e in una c e rta m isura la relatività del moto, inte sa c o m e re la tivism o risp e tto a un siste m a d i rife rim e nto . G li stud i c o nd o tti p o rta no Ne w to n a d e finire la c o sid d e tta le g g e d e ll inve rso d e l q ua d ra to , c he si p uò sintetizzare matematicamente in questo modo
C è d a a g g iung e re c he la c o sta nte k e le c o nsid e ra zio ni sulle m a sse no n furo no im m e d ia te . Le tre le g g i d e lla d ina m ic a e la le g g e d e ll inve rso d e l q ua d ra to a p riro no la strada a quasi tutte le scoperte della fisica moderna.
Questa le g g e c o sa c i d ic e ? a ffe rm a c he la fo rza F c he inte ra g isc e tra d ue m a sse q ua lunq ue m1 e d m2 è d ire tta m e nte p ro p o rzio na le a d una c o sta nte k, a l p ro d o tto d e lle d ue m a sse e d è inve rsa m e nte p ro p o rzio na le a l q ua d ra to d e lla d ista nza c he inte rc o rre tre le d ue m a sse . Biso g na fa re una se rie o p p o rtune c o nsid e ra zio ni. La fo rza è a p p lic a ta in ugual misura a tutti e due i corpi ma in verso opposto lungo la loro congiungente.
La c o sta nte k c he p iù c o m une m e nte è ind ivid ua ta d a lla le tte ra G no n fu tro va ta d a Ne w to n c o n p re c isio ne infa tti si b a sa va p iù su o sse rva zio ni e q ue ste ne l 1700 no n potevano essere certo accurate come quelle che oggi permettono di verificare che
G= (6,67428±0,0007)x10-11m3kg-1s-2
Co m e d e tto q ue sto è il va lo re sp e rim e nta le d e lla c o sta nte d i g ra vita zio ne unive rsa le , e ssa no n d ip e nd e né d a lle p ro p rie tà dei c o rp i c he si a ttra g g o no , né d a lla lo ro p o sizio ne . Il valore di questa costante fu misurato per la prima volta dal fisico inglese Henry Cavendish nel 1798 p e r m e zzo d i una b ila nc ia d i to rsio ne4. Da l p unto d i vista o p e ra tivo , e ssa si p uò d e finire c o m e l'inte nsità d e lla fo rza d i inte ra zio ne tra d ue c o rp i a sim m e tria c e ntra le , ciascuno di massa pari a 1 kg e posti a distanza di 1 m l'uno dall'altro.
4 L e sp e rim ento c o nd otto d a Ca ve nd ish è sp ie g a to nell a p p e nd ic e A
Co m e a b b ia m o d e tto la fo rza d i g ra vità c he ind ic hia m o c o n la le tte ra g deriva direttam e nte d a lla fo rm ula vista p rim a . Infa tti b a sta inse rire nella fo rm ula i va lo ri d e lla m a ssa d e lla Te rra e il va lo re d e l ra g g io m e d io p e r o tte ne re p ro p rio il no to va lo re d i 9,822 m/s2.
Per convincerci di ciò proviamo a fare il calcolo.
Esercizio:
Calcolare il valore medio5 d e ll a c c e le ra zio ne te rre stre sulla sup e rfic ie . Diametro equatoriale medio 12 756,274 km
Diametro polare medio 12 713,504 km Densità media 5,5153 × 103 kg/m³ Volume 1,083 207 3 × 1021 m³
Co n i d a ti in p o sse sso q uind i è p o ssib ile c a lc o la re la m a ssa d e lla Te rra e q uind i tra m ite la fo rm ula d e lla g ra vita zio ne unive rsa le e d e l va lo re d i G è p o ssib ile c a lc o la re il va lo re num e ric o d i g . Co m e ve d ia m o d a i va lo ri so p ra c ita ti il ra g g io m e d io d e lla Te rra a i p o li è c irc a 21 km p iù p ic c o lo d i q ue llo a ll e q ua to re . Que sto q uind i vuo l d ire c he se si m isura il va lo re d i g a i p o li si o tte rrà un va lo re m a g g io re risp etto a q ue llo o tte nuto a ll e q ua to re , il c he è c o m e d ire c he una m a ssa d i 1 kg p e sa to in Ita lia è p iù p e sa nte in G ro e nla nd ia e più leggero in Mauritania. Infatti è proprio così. Il peso di un oggetto dipende da quanto è a c c e le ra to d a lla Te rra e q ue sto no n è d a c o nfo nd e rsi c o n la m a ssa d e ll o g g e tto c he o vvia m e nte no n c a m b ie rà . Infa tti c o nvenzio na lm e nte c hia m ia m o p e so la fo rza c o n c ui siamo attratti dalla Terra confondendola purtroppo con la massa.
Se il sig no r Ma rio a ffe rm a d i p e sa re 89 kg in re a ltà vuo le d ire c he è a ttra tto ve rso il c e ntro d i m a ssa d e lla Te rra c o n una fo rza p a ri a 9,8 m / s2 x 89 kg = 872,2 N. q uind i p o ssia m o d ire c he se c i p e sia m o su una b ila nc ia e le ttro nic a a d e se m p io , la b ila nc ia m isure rà la no stra fo rza p e so in ne w to n e la d ivid e a uto m a tic a m e nte p e r 9,8. m a se il sig no r Ma rio si p e sa c o n la ste ssa b ila nc ia a l p o lo no rd e la sua m a ssa no n è c a m b ia ta a llo ra la b ila nc ia m isure rà un va lo re p a ri a 9,84 x 89 kg = 875,76 N c he d ivid e rà (a c a usa d e lla sua ta ra tura ) p e r il va lo re 9,8, sul d isp la y a p p a rirà un p e so p a ri a 89,36. Quind i c o m e a b b ia m o ve rific a to p e sa rsi c o n una b ila nc ia no n sig nific a c o no sc e re la p ro p ria m a ssa . Il sig no r
5 Calcoliamo il valore media perché abbiamo a disposizione i valori medi sia per il raggio che della densità. Bisogna però sapere che la Terra non è una sfera omogenea e che quindi ha densità diverse che cambiano da regione a regione. Ma per il calcolo che dobbiamo fare queste approssimazioni sono più che sufficienti.
Ma rio no n e sse nd o un fisic o sa rà c o nvinto c he d i e sse re ing ra ssa to d i 360 g ra m m i e no n riuscirà a capire perché.
Esercizio
Se il sig no r Ma rio p o rta sse la ste ssa b ila nc ia ta ra ta sulla Te rra sulla Luna , c o sa le g g e re b b e sul display?
Diametro equatoriale 3476,2 km Diametro polare 3472,0 km Massa Luna 7,347 673 × 1022 kg
Newton, una mela e la legge di gravitazione universale:
Co m e q ua si tutti sa nno , Ne w to n a ffe rm a in d ive rsi sa g g i d ivulg a tivi e in a lc uni inc o ntri sc ie ntific i d i a ve r inizia to a p e nsa re a lla le g g e d i g ra vita zio ne isp ira to d a lla c a d uta d i una m e la d a un a lb e ro , m e ntre p re nd e va il tè c o n d e g li a m ic i. In re a ltà è o ra m a i no to c he q ue sta a ltro no n è c he una le g g e nd a c he si d iffuse e c he lo ste sso Ne w to n fe c e sua p e r d a re un to c c o d i fa sc ino a lla sua sc o p e rta e p e r d im o stra re a tutti il suo g ra nd e intuito e g e nio . Sa p p ia m o inve c e c he il g io va ne Isa a c la vo rò m o lto d ura m e nte a llo stud io d e i c o rp i e p e r m o lti a nni p e r te nta re d i d a re una fo rm ula zio ne d ina m ic a m e nte c o rre tta e d esauriente della teoria della gravitazione universale.
Ci si p o treb b e c hie d e re q ua li sia no sta ti g li stud i e g li e sp e rim enti c o nd o tti d a l g io va ne Ne w to n p e r a rriva re a d e d urre le g g e d e ll inve rso d e l q ua d ra to . L o sse rva zio ni d e g li sp o sta m e nti p e rio d ic i d e lla Luna e d e i p ia ne ti furo no fo nd a m e nta li. Infa tti è p o ssib ile c a lc o la re l a c c e le ra zio ne d e lla Luna risp e tto a lla Te rra , m isura nd o il p e rio d o d i rivoluzione e la distanza che erano due parametri ben noti. Si ha che a=v2/ r = 2r = 4 r/ T2 dove con T si indica il periodo di rivoluzione e con r la distanza media Terra-Luna
Esercizio
Ca lc o lo d e ll a c c e le ra zio ne d e lla Luna risp etto a lla Te rra . Periodo di rivoluzione della Luna 27,3 giorni
Ra g g io m e d io d e ll o rb ita into rno a lla Terra 3,82 x 105 km
Da i se g ue nti c a lc o li si o ttie ne un va lo re d i a = 0,0027 m / s2 e se lo si c o nfro nta c o n il va lo re tro va to p rim a p e r g si p o sso no fa re o p p o rtune c o nsid e ra zio ni. Ne w to n o sse rvò c he q ue sto va lo re e ra inte rp reta b ile c o n la le g g e d e ll inve rso d e l q ua d ra to6. Ino ltre fe c e una o sse rva zio ne m o lto im p o rta nte ed inno va tiva . Infa tti o sse rvò c he p e r un o g g e tto e ste so con composizione omogenea e simmetria centrale gli effetti gravitazionali (ovvero le forze tra le p a rtic e lle c o stitue nti l o g g e tto ) si a nnulla va no p e r iso tro p ia7. Quind i si d o veva c o nsid e ra re la m a ssa d e ll o g g e tto c o m e c o nc e ntra ta in un unic o p unto c he c o inc id e sse proprio con il centro di massa del corpo8.
Ec c o p e rc hé q ua nd o a b b ia m o c a lc o la to le a c c e le ra zio ni a b b ia m o usa to c o m e va lo re del ra g g io la d ista nza tra il c e ntro d i m a ssa d e ll o g g e tto e la m a ssa d i p ro va unita ria . Allo ste sso m o d o q uind i no ti i p a ra m e tri si p o sso no c a lc o la re a nc he l a c c e le ra zio ne m ed ia c he la Te rra ha risp e tto a lla ste lla p iù vic ina . Inso m m a la c o sa c he d e ve e sse re c hia ra e c he la ste ssa le g g e p uò e sse re a p p lic a ta a d una m e la , a p ia ne ti o ste lle , c o sì c o m e a delle galassie senza che si debbano apportare sostanziali modifiche.
Ci si p uò c hie d e re fino a c he d ista nza si p o ssa sp ing e re la fo rza d i g ra vità o m e g lio a c he d ista nza l inte ra zio ne g ra vita zio na le è im p o rta nte .
Inta nto è utile o sse rva re c he ne lla se m p lic ità d e lla fo rm ula zio ne d e lla le g g e d i g ra vita zio ne unive rsa le no n a p p a io no lim ita zio ni sulla d ista nza , q ue sto p e rc hé no n ve ne so no . Infa tti l inte ra zio ne g ravitazionale d i d ue o p iù c o rp i a vvie ne a nc he q ua nd o la d ista nza è g ra nd issim a , m a ve d re m o d o p o c he a l te nd e re d e lla d ista nza a ll infinito l inte nsità d e lla fo rza te nd e a ze ro . Po ssia m o d ire c he d ue ste lle a g ra nd issim a d ista nza o c o m unq ue im m e nsa m e nte g ra nd e risp e tto a lle lo ro d im e nsio ni, se nto no l una la p re se nza d e ll a ltra a nc he se no n si ve d o no . Ovvia m e nte b iso g na no ta re c he l inte nsità c o n la q ua le un c o rp o a ttra e o è a ttra tto d a un a ltro d ip e nd e , c o m e d e tto , d a ll inve rso d e lla distanza al quadrato e per capire questo facciamo un semplice esperimento numerico.
Esercizio con EXCEL
Ca lc o lia m o l a nd a m e nto d e ll inte nsità d e lla fo rza g ra vita zio na le tra la Te rra e un sa te llite artificiale valutandone il grafico ottenuto.
6 I dati ricavati erano ben interpolati da una legge di questo tipo.
7 Per la legge di Gauss nel caso di una sfera cava si fanno le stesse considerazioni. Bisognerà ricordare che il campo elettrico generato da una carica puntiforme o da una sfera con densità di carica uniforme sulla superficie esterna ha un andamento simile al campo gravitazionale e che a nc h esso è iso tro p o .
8 Pic c o li a c c e nni a ll e q uilib rio d e i c o rp i rig id i
Co m e a b b ia m o visto , g ià a d una d ista nza no n tro p p o g ra nd e , l inte nsità d e lla fo rza g ra vita zio na le c he la Te rra e se rc ita sul sa te llite è d a vve ro infinite sim a le . Infa tti se no i c a lc o lia m o il lim ite p e r r d e lla le g g e d i g ra vita zio ne unive rsa le o tte nia m o , c o m e prevedibile, che la forza F tende a zero a prescindere dal valore delle masse.
Osservazione Importante
Si p uò fa re una o sse rva zio ne . Sulla m e la , c he a b b ia m o c o nsid e ra to d i m a ssa unita ria , a g isc e una fo rza d ire tta ve rso il c e ntro d i m a ssa d e l siste m a Te rra -m e la c he fa sì c he la mela cada sulla superficie terrestre con una accelerazione pari a g . Notiamo inoltre che il centro di massa del sistema composto dai due corpi coincide con il centro di massa della Terra a causa del fatto che la massa della Terra è molto maggiore della massa della mela o vve ro MT >> mm 9. Pe rò d a lla d e finizio ne sa p p ia m o c he e ntra m b i i c o rp i c o nsid e rati c a d o no c o n a c c e le ra zio ni id e ntic he ve rso il c e ntro d i m a ssa d e l siste m a , ra g io n p e r c ui è le c ito p e nsa re c he a nc he la Te rra c a d e sulla m e la c o n la ste ssa a c c e le ra zio ne . Que sta affermazione per quanto sconvolgente è assolutamente vera. Infatti la caduta della mela è un e ffe tto b e n visib ile d e ll inte ra zio ne g ra vita zio na le m e ntre p ro p rio a c a usa d e lle g ro sse d iffe re nze d i m a ssa , la c a d uta d e lla Terra sulla m e la è un fe no m e no c he no n si riesce ad osservare e quindi viene trascurato.
9 Anche nel caso del sistema Sole-Terra o Sole-Venere ad esempio il centro di massa del sistema coincide praticamente con il centro di massa del Sole.
Per convincerci di questo facciamo un esperimento numerico con Excel e vediamo come c a m b ia il c e ntro d i m a ssa d i un siste m a in funzio ne d e lla d ista nza e d e lla m a ssa d e i partecipanti.
Esercizio con Excel.
Osservazione Importante
Ab b ia m o d e tto c he il p e so d i un o g g e tto p uò va ria re a se c o nd a c he si tro vi sul p o lo o sull e q ua to re te rre ste e si p uò ve rific a re c o n se m p lic i c a lc o li c he la d iffe re nza è m ino re d e l 0,004 %. De tto q ue sto p e rò ve d ia m o un a ltra p a rtic o la rità c he no n a b b ia m o c o nsid e ra to : c io è la ro ta zio ne te rre stre . Infa tti l a c c e le ra zio ne c e ntrip e ta sub ita d a un c o rp o a ll e q ua to re è d a ta d a a = 2rT , m e ntre a i p o li l a c c e le ra zio ne c e ntrip eta è nulla . È fa c ile c a lc o la re c o m e q ue sto influisc a sulla fo rza d i a ttra zio ne , e si c a lc o la c he influisc e so lo p e r lo 0,35%.
Le Leggi di Keplero e la legge di gravitazione universale.
Ke p le ro c o m e g ià si è d e tto in p re c e d e nza ha il m e rito d i a ve r fo rm ula to tre le g g i p a ssa te p o i a lla sto ria c o m e le p rim e le g g i sul m o to d ei p ia ne ti d e d o tte p e r via m e c c a nic a .
Osservando il moto dei pianeti, le posizioni e la loro periodicità ed interpolando questi dati con la matematica enunciò le seguenti leggi.
Prima legge di Keplero (forma delle orbite)
Le orbite dei pia neti intorno a l Sole sono degli ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.
Que sta le g g e a ffe rm a q uind i, c o ntra ria m e nte a q ua nto p rim a si c re d e va c he i p ia neti ne l lo ro m o d o d i rivo luzio ne into rno a l So le c o m p io no o rb ite e llittic he e no n c irc o la ri. L e llisse è una fig ura p ia na p a rtic o la re e si d e finisc e c o m e il luo g o g e o m e tric o d e i p unti ta li c he la so m m a d e lle d ista nze d a i fuo c hi è c o sta nte . Ag g iung ia m o c he il p a ra m e tro d e ll e llisse è la sua e c c e ntric ità d e finita c o m e il ra p p o rto tra la se m id ista nza fo c a le e il se m ia sse m a g g io re . L e c c e ntric ità c i d ic e q ua nto è sc hia c c ia ta l e llisse . C è d a te ne re p re se nte che le orbite dei pianeti hanno una eccentricità molto piccola dell o rd ine d i e = 0,1-0,01 il ché implica che sono quasi delle circonferenze.
Seconda legge di Keplero (legge delle aree)
Il raggio vettore che congiunge il Sole con il pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Que sta le g g e è d i g ra nd e inte re sse p ro p rio p e rc hé rife rita a lla velo c ità d e i p ia neti c he q uind i q ua nd o so no p iù vic ini (p e rie lio )10 a l So le ha nno una ve lo c ità m a g g io re risp etto a quando sono più lontani da esso (afelio).
10 Ricordiamo: periastro, perigeo, etc.
Terza legge di Keplero (legge della costante di rivoluzione)
Il ra pporto tra il cubo del ra ggio dell orbita e il qua dra to del periodo di rivoluzione è costante per rutti i pianeti.
Que sta le g g e è fo rse q ue lla c he m e no si ric o rd a d e lle tre , m a c he in re a ltà è d i g ra nd issim a im p o rta nza , infa tti p ro p rio d a q ue sta è p o ssib ile ric a va re la le g g e d e ll inve rso d e l q ua d ra to vista p rim a , e d è q ue sta c he Ne w to n ha c o nfe rm a to c o n la sua te o ria d e lla g ra vita zio ne unive rsa le . Ino ltre q ue sta le g g e sp ie g a il m o to d iffe re nzia le d e g li a ne lli d i Saturno o delle galassie a spirale ed ellittiche11.
R ra p p re se nta il d ista nza m e d ia tra il So le e il p ia ne ta , m e ntre T è il p e rio d o o rb ita le o ssia il tempo necessario al pianeta per percorrere un orbita completa intorno al Sole12.
Esercizio
Quanto vale il periodo orbitale di Giove?
Esercizio
Ve rific a re la te rza le g g e d i Ke p le ro utilizza nd o i va lo ri o rb ita li e le d ista nze d e i p ia ne ti d e l siste m a o rb ita le , c o n l a usilio d i un fo g lio d i c a lc o lo e d e ll a p p e nd ic e 2.
11 Bisogna ovviamente apportare alcuni cambiamenti, ma in linea di massima Keplero ha dato un forte impulso allo studio del moto dei corpi.
12 Per la Terra ad esempio T vale circa 365 giorni. Vedi appendice
Calcolo della legge di gravitazione universale dalla terza legge di Keplero.
È p o ssib ile ric a va re la le g g e d i g ra vita zio ne unive rsa le d iretta m e nte d a lla te rza le g g e d i Ke p le ro utilizza nd o la fo rm ula d e ll a c c e le ra zio ne c e ntrip e ta . Co nsid e ria m o p e r se m p lic ità c he le o rb ite d e i p ia ne ti sia no c irc o la ri (è una a p p ro ssim a zio ne g iustific a ta d a l fa tto c he l e c c e ntric ità d e lle o rb ite re a li è p ic c o lissim a ) e c he q uind i il ra g g io d e ll o rb ita (o il ra g g io m e d io ) sia Rp e il p e rio d o d i rivo luzio ne sia Tp a llo ra sc rivia m o la fo rm ula d e ll a c c e le ra zio ne c entrip eta c o m e se g ue
Da lla te rza le g g e d i Ke p le ro ric a via m o il q ua d ra to d e l p e rio d o o rb ita le d o ve c o n K si ind ic a la c o sta nte va lid a p e r i p ia ne ti13. So stitue nd o la se c o nd a e sp re ssio ne nella prima si ha
Se, c o m e sa p p ia m o , la fo rza tra d ue o g g e tti (in q ue sto c a so So le -Pia ne ta ) p uò sc rive rsi come F=ma, allora sostituendo si ha
13 È da tener presente che la costante K varia di pochissimo per alcune classi di oggetti, ovvero per asteroidi di piccole medie dimensioni la costante è lievemente diversa rispetto a quella da usare per pianeti che sarà diversa da quella che si usa quando si considerano galassie o oggetti più massivi.
Il c o e ffic ie nte 4 2 K ha va lo re c o sta nte , q uind i c o m e si ve d e la fo rza è p ro p o rzio na le a d una c o sta nte p e r la m a ssa d e l p ia ne ta e d inve rsa m e nte p ro p o rzio na le a l q ua d ra to d e lla distanza14.
Energia potenziale gravitazionale:
Qua nd o si è p a rla to d i e ne rg ia p o te nzia le g ra vita zio na le a b b ia m o c o nsid e ra to c a si fisic i c he si rife riva no a lla Te rra e in c ui la va ria zio ne d i a lte zza tra il p unto d i e leva zio ne m a ssim a e q ue llo in c ui c o nsid e ra va m o l e ne rg ia p o te nzia le nulla , e ra p ic c o la , p ic c o la a b b a sta nza d a c o nsid e ra re l a c c e le ra zio ne d i g ra vità c o sta nte . Ino ltre si fa nno d e lle valutazioni p re lim ina ri c o m e a d e se m p io , c o nsid e ra re la sup e rfic ie te rre stre il ground d o ve a p p unto l e ne rg ia p o te nzia le è nulla . La fo rm ula c he si usa in q ue sti c a si è U=Ub- Ua=-Lab o vve ro : la va ria zio ne d i e ne rg ia p o te nzia le è ug ua le a l la vo ro c o m p iuto p e r sp o sta re un c o rp o d o ta to d i m a ssa d a l p unto a a l p unto b . Si sa b e ne c he il la vo ro è lo ste sso a ttra ve rso q ua lsia si p e rc o rso e c he q ue sta p ro p rie tà è ve ra ne l c a m p o gravitazionale p e rc hé è un c a m p o c o nse rva tivo . Quind i p e r una c o nve nzio ne si sc e g lie c o m e va lo re m a ssim o d e ll e ne rg ia p o te nzia le il va lo re d a to d a l p ro d o tto d e lla m a ssa d e l c o rp o p e r il va lo re c o sta nte d e ll a c c e le ra zio ne d i g ra vità p e r l a lte zza d e ll o g g e tto d a l suolo, ovvero : mgh
Si d eve riso lve re il p ro b le m a d i c o no sc e re il va lo re d e ll e ne rg ia p o te nzia le g ra vita zio na le nel caso più generale, quando cioè, si hanno due corpi di massa Ma ed Mb a distanza r.
Co nsid e ria m o q uind i d ue m a sse g e ne ric he c he si tro va no ne lla c o nfig ura zio ne inizia le a d una d ista nza c he c hia m ia m o r0 e una fina le c he c hia m e re m o r1. Il la vo ro a nc he in q ue sto c a so sa rà d a to d a ll inte g ra le solito
c i d a la fo rm ula g e ne ra le p e r c a lc o la re il la vo ro ne c e ssa rio p e r p o rta re d ue c o rp i, d a una d ista nza a d un a ltra .
Biso g na fa re a lc une c o nsid e ra zio ni. Sa p p ia m o c he il la vo ro è ug ua le a lla va ria zio ne d i e ne rg ia p o te nzia le q uind i ve d ia m o c he U(r)=-GMaMb / r. Ino ltre si no ta c he il se g no m e no indica che il potenziale è sempre negativo e al più uguale a zero se la distanza tra le parti
14 Fa c c ia m o una osse rva zio ne c ritic a su q ua nto fa tto . La fo rm ula trova ta m a nc a d i un ele m e nto o ssia d i una d elle d ue m a sse , m a q ue sta fo rm ula a ltro no n è c he la fo rza c he un p ia neta o un oggetto esercita su una massa unitaria.
è infinita15. La fo rm ula no n c i d ic e se è il c o rp o a c he si a vvic ina a l c o rp o b o vic eve rsa , q ue sto vuo l d ire q uind i c he p uò a c c a d e re c he il p rim o si a vvic ini a l se c o nd o o c he si m uo va no e ntra m b i l uno ve rso l a ltro se no n so no vinc o la ti. Ino ltre d e ve e sse re c hia ro c he sui c o rp i no n d e ve a g ire ne ssun a ltra fo rza , q uind i p e r d irla a lla ne w to nia na i c o rp i d e vo no e sse re in q uie te . Biso g na a nc he sa p e re c he l e ne rg ia p o te nzia le g ra vita zio na le d ip e nd e d a ll inve rso d i r e q uind i se la d ista nza te nd e a infinito l e ne rg ia si a nnulla m e ntre sa rà m a ssim a (in va lo re a sso luto ) q ua nd o i c e ntri d i m a ssa d e i d ue c o rp i so no sovrapposti16. Il se g no m e no ind ic a c he l e ne rg ia è se m p re ne g a tiva , q ua lsia si sia la d ista nza tra i c o rp i e c he d im inuisc e a l d im inuire d e lla d ista nza . Rip re nd e nd o l e se m p io fa tto p rim a p e r l inte nsità d e lla fo rza c a lc o lia m o l intensità d e l p o te nzia le g ra vita zio na le tra Terra e satellite artificiale con un esempio grafo-numerico fatto con Excell.
Si d eve no ta re che se i d ue c o rp i so no a d e se m p io d i m a ssa ug ua le e si tro va no a d ista nza r la lo ro m a ssa influe nza l a ltra e q uind i se lib e ri d i m uo ve rsi a c q uiste ra nno ug ua le energia c ine tic a e si sp o ste ra nno l uno ve rso l a ltro inc o ntra nd o si c o n p a ri ve lo c ità e ne llo
15 Il fa tto c he la fo rza g ra vita zio na le è se m p re d i tip o a ttra ttivo d ip end e p ro p rio d a l fa tto c he il p otenzia le g ra vita zio na le è sem p re ne g a tivo . Ne l c a so d e l c a m p o e lettric o si ve d rà c he il potenziale può essere sia positivo che negativo a seconda del segno delle caric he in g io c o . Si p uò infine c he una m a ssa p o sta nello sp a zio c re a se m p re una b uc a d i p ote nzia le , c he è q uella c he si d ise g na a rtistic a m ente c o n la g rig lia d e fo rm a ta . Ne l c a so d e l p otenzia le elettric o inve c e le cariche possono creare o buche o barriere di potenziale.
16 Questa ovviamente è una condizione ideale, perché non esistono corpi realmente puntiformi.
ste sso te m p o ne l p unto m e d io d e lla lo ro c o ng iung e nte c he ra p p re se nte rà il c e ntro d i m a ssa d e l siste m a . Pe nsia m o p e rò a d ue situa zio ni p a rtic o la ri. Il siste m a m e la -Te rra e il siste m a Te rra -So le . Ne l p rim o c a so a b b ia m o d e tto c he sia la m e la c he la Te rra a vve rto no la p re se nza d e lle risp e ttive m a sse m a l e ffe tto c he o sse rvia m o e c he la m e la a c q uista e ne rg ia c ine tic a e c a d e sulla sup e rfic ie d e lla Te rra , q ue sto a c c a d e p e rc hé la massa inerziale17 d e lla Te rra è m o lto m a g g io re d i q ue lla d e lla m e la . Ne l se c o nd o la situa zio ne no n è m o lto d ive rsa , infa tti la m a ssa d e l So le è m o lto m a g g io re d i q ue lla d e lla Te rra e q uind i è la Te rra c he a c q uiste re b b e e ne rg ia c inetic a c a d e nd o sul So le p ro p rio c o m e fa una m e la sulla Te rra . In tutte le c o nsid e ra zio ni c he a b b ia m o fa tto no n si è p a rla to volutamente dei moti relativi dei corpi in questione, considerandoli fermi nello spazio.
Esercizio guidato
Quanto impiegherebbe la Terra a cadere sul Sole se questi fossero fermi tra loro?
Ora c he a b b ia m o visto le re la zio ni d i e ne rg ia c he inte rc o rro no tra d ue o g g e tti d o ta ti d i m a ssa , o sse rvia m o c he g li ste ssi ra g io na m e nti p o sso no e sse re fa tti a nc he q ua nd o g li o g g e tti d e l siste m a so no in num e ro m a g g io re d i d ue . I c a lc o li d ive nta no m o lto p iù c o m p lic a ti e d infa tti p e r riso lve rli si utilizza no c a lc o la to ri p o tentissim i c he o p e ra no su a p p ro ssim a zio ni. Infa tti no n è p o ssib ile c a lc o la re c o n p re c isio ne a sso luta lo sp o sta m e nto di N corpi contemporaneamente18.
Esercizio guidato
17 Ric o rd ia m o c he l ine rzia è la te nd e nza c he ha nno g li o g g etti d ota ti d i m a ssa d i rim a ne re nel lo ro sta to d i m oto . Quind i ne l c a so d e lla Te rra c he c o nsid e ria m o (in q ue sto e se m p io ) fe rm a te nd e rà a restare ferma rispetto alla mela che ha una massa molto minore.
18 In astrofisica si utilizzano le cosiddette simulazioni N-Body che consentono di calcolare la posizione di N corpi massivi quando interagiscono simultaneamente c on altri corpi massivi. Come detto queste simulazioni operano i calcoli con alcune approssimazioni.
Qua le d e ve e sse re la ve lo c ità m inim a c he un sa te llite a rtific ia le d i m a ssa m d e ve p o sse d e re p e r re sta re in o rb ita a d una d ista nza r d a lla Te rra ? Qua nto influisc e la m a ssa d e l sa te llite a rtific ia le sulla ve lo c ità ? Ca lc o la re la ve lo c ità d i un sa te llite o rb ita le (Hub b le Sp a c e Te le sc o p e H. 600 km ) e la d ista nza d e ll o rb ita d i un sa te llite g e o sta zio na rio (COSPAS )19
Le leggi di Newton e la relatività di Einstein nei nostri cellulari e navigatori satellitari20.
Il siste m a G PS21 e q ue llo p e r il sup p o rto d e lle c o m unic a zio ni (c e llula ri e no n so lo ) è b a sa to su una c o m p le ssa re te d i sa te lliti c he o rb ita no a d una d ista nza d i c irc a 22.000 km d a lla sup e rfic ie d e lla Te rra . I sa te lliti d e d ic a ti a ta le sc o p o so no a lc une d e c ine , m a sa p p ia m o c he p e r d e te rm ina re la p o sizione di un segnale ricevente o emittente sulla superficie della Te rra è ne c e ssa rio c he sia no a lm e no tre . Infa tti tra m ite la tria ng o la zio ne22 è p o ssib ile ind ivid ua re univo c a m e nte un p unto sulla sup e rfic ie c o no sc e nd o ne q uind i p o sizio ne (latitudine, lo ng itud ine e a ltitud ine ) e d inte rp o la nd o p iù p o sizio ni in funzio ne d e l te m p o , anche la velocità.
19 Si ricorda che un satellite geostazionario punta sempre sulla stessa area della Terra.
20 Questo paragrafo è da intendersi come approfondimento e necessita di conoscenze generiche di relatività generale e ristretta.
21 Global Positioning System o più precisamente NAVSTAR GPS, acronimo di NAVigation System Time And Ranging Global Position System. Ricordiamo che esiste il sistema di posizionamento Galileo che è la risposta europea al GPS ma che purtroppo per una serie di inefficienze e ritardi è stato superato.
22 La triangolazione è una tecnica usata in diversi campi e settori dalla localizzazione d e ll e p ic e ntro ed ipocentro di un terremoto alla rilevazione altimetrica di strutture naturali e non. È una tecnica geometrica che permette, intersecando tre cerchi (nel piano) o quattro sfere (nello spazio 3-D) di individuare un punto preciso univocamente.
Tecnica della triangolazione caso bidimensionale
I sa te lliti c o m e visto si m uo vo no su o rb ite q ua si c irc o la ri c he so no sta te c a lcolate appositamente utilizza nd o la le g g e d i g ra vita zio ne unive rsa le . Co m e a b b ia m o visto p e rò q ue sti sa te lliti a rtific ia li p e r re sta re in o rb ita d e vo no p o sse d e re ve lo c ità e no rm i. G li o ro lo g i satellitari sono soggetti alle conseguenze della teoria della relatività e alla limitatezza della velo c ità d e lla luc e , Infa tti, a c a usa d e g li e ffe tti c o m b ina ti d ella ve lo c ità re la tiva , c he ra lle nta il te m p o sul sa te llite d i c irc a 7 m ic ro se c o nd i a l g io rno , e d e lla m ino re c urva tura d ello spazio a livello d e ll'o rb ita d e l sa te llite , il te m p o sul sa te llite sc o rre a d un ritm o le g g e rm e nte p iù velo c e c he sulla Te rra , c a usa nd o un a ntic ip o d i c irc a 38 m ic ro se c o nd i a l g io rno , e re nd e nd o ne c e ssa ria una c o rre zio ne a uto m a tic a d a p a rte d e ll'e le ttro nic a d i b o rd o . Q ue sta o sse rva zio ne fo rnisc e un'ulte rio re p ro va d e ll'e sa tte zza d e lla te o ria in un'a p p lic a zio ne d e l m o nd o re a le . L'e ffe tto re la tivistic o rileva to è infa tti e sa tta m e nte c o rrisp o nd e nte a q ue llo c a lc o la b ile te o ric a m e nte , a lm e no ne i lim iti d i a c c ura te zza fo rniti d a g li strum e nti d i m isura a ttua lm e nte d isp o nib ili. Si c a lc o la infa tti c he se no n si a p p o rta sse ro a d e g ua te c o rre zio ni la p re c isio ne (o riso luzio ne ) d e l siste m a G PS sa re b b e d e ll o rd ine d i a lc une c e ntina ia d i m e tri, il c he re nd e re b b e d e l tutto ine ffic a c e tutto il siste m a . Ste ssa c o sa a c c a d e ne lle tele c o m unic a zio ni, infa tti se no n si a p p o rta sse ro le correzioni relativistiche i cellulari non riuscirebbero ad essere rintracciati con precisione.
Teoria della relatività generale e curvatura dello spazio-tempo
Fino a q ue sto m o m e nto a b b ia m o tra tta to la te o ria d e lla g ra vita zio ne utilizza nd o la m e c c a nic a c la ssic a e o sse rva nd o c he e ssa sp ie g a b e ne il m o to d e g li o g g e tti d o ta ti d i massa c he inte ra g isc o no tra lo ro . Ab b ia m o visto c he la le g g e d e ll inve rso d e l q ua d ra to è utile p e r il c a lc o lo d ina m ic o (fo rze e sp o sta m e nto ) su d ive rsa sc a la , infa tti è p o ssib ile c a lc o la re la fo rza c he inte ra g isc e tra una m e la e la Te rra , tra la Te rra e il So le , tra So le e a ltre ste lle , tra ste lle e g a la ssia , tra g a la ssie e a m m a ssi d i g a la ssie . Inso m m a si rie sc e a
sp ie g a re l inte ra zio ne g ra vita zio na le da 10-3 fino a 1025 metri23. Al disotto di questo range le fo rze e le ttric he d ive nta no tro p p o im p o rta nti e no n p o sso no e sse re tra sc ura te e q uind i si interviene con calcoli che richiedono teoria elettrostatica e la meccanica quantistica.
Do b b ia m o fa rc i una d o m a nd a fo nd a m e nta le : Co m e si g e ne ra l inte ra zio ne gravitazionale?
La risp o sta no n è im m e d ia ta ne d i se m p lic e fo rm ula zio ne , infa tti b a sti p e nsa re c he l intera c o m unità sc ie ntific a m o nd ia le ha d ub ita to a lung o p rim a d i a c c e tta rla . In q ue sto p a ra g ra fo c e rc hia m o d i d a rne una fo rm ula zio ne se m p lic e , a ste ne nd o c i o vvia m e nte d a l rigore e dal formalismo matematico che sono necessari solo per studi di fisica superiore.
Ne l 1916 Alb e rt Einstein p ro p o ne un nuo vo m o d o d i inte rp re ta re il m o nd o fisic o sp ie g a nd o che la materia è legata allo spazio e che la presenza della materia modifica tutto ciò che le sta into rno , o vve ro sia lo sp a zio c he il te m p o . In p a rtic o la re Einstein a ffe rm a va c he la materia modifica la geometria dello spazio il quale si incurva. La curvatura dello spazio è il p unto c e ntra le d e lla re la tività g e ne ra le , la q ua le d e tta d e lle re g o le p e r c a lc o la re le tra ietto rie e i m o ti d i o g g e tti m a ssivi nello sp a zio e le c o rre zio ni d a a p p o rta re in lo ro presenza. L a na lo g ia p iù utilizza ta è c e rta m e nte m a g g io rm e nte e ffic a c e è q ue lla d i un o g g e tto p o sto su una m e m b ra na e la stic a . L o g g e tto a p p o g g ia to sulla m e m b ra na la d e fo rm a a c a usa d e l suo p e so , q uind i q ue llo c he p o ssia m o c o nsta ta re e c he lo sp a zio into no a ll o g g e tto si è d e fo rm a to e c he q uind i o g ni a ltro o g g e tto into rno a d e sso te nd e rà a sc ivo la re sulla m e m b ra na , c a d e nd o sull o g g e tto c he l ha d e fo rm a ta . Que sta d e fo rm a zio ne inte re ssa a nc he g li o g g e tti ste ssi c he o c c up a nd o p o rzio ni d i sp a zio si deformano.
23 Il lim ite sup erio re d i q ue sto inte rva llo è d etta to d a lla g ra nd e zza p re sunta d e ll unive rso c o no sc iuto che si stima essere di 15 miliardi di anni luce.
Ne ll im m a g ine si ve d e una ste lla d i g ra nd e m a ssa c he si tro va in una re g io ne d e llo sp a zio . Lo spazio in questa figura è rappresentato con la griglia bianca e si vede che in prossimità d e lla ste lla m a ssic c ia la g rig lia si d e fo rm a , c urva nd o si m a g g io rm e nte ne lle im m e d ia te vic ina nze d e lla ste lla . In e ffe tti p o ssia m o d ire c he la c urva tura se g ue la le g g e d e ll inve rso d e l q ua d ra to . Og ni a ltro o g g e tto te nd e rà q uind i a sc ivo la re in q ue sto im b uto a nd a nd o a c a d e re sulla ste lla . Biso g na fa re a q ue sto p unto d e lle o sse rva zio ni: la c urva tura d e llo spazio è proporzionale alla quantità di massa, quindi maggiore è la massa, maggiore sarà la c urva tura e q uind i m a g g io re sa rà la fo rza d i a ttra zio ne tra i c o rp i. ino ltre , a nc he se d iffic ile d a a c c e tta re si d e ve sa p e re c he a nc he la luc e , q uind i la ra d ia zio ne e le ttro m a g ne tic a , sub isc e g li e ffe tti d e lla g ra vità , c o sa c he la m e c c a nic a c la ssic a no n p re ve d eva a sso luta m e nte . Q ue sto fe no m eno è d o vuto p ro p rio a lla d e fo rm a zio ne d e llo sp a zio , infa tti il ra g g io lum ino so a ttra ve rsa nd o uno sp a zio c urvo , d e sc rive rà necessariamente una traiettoria curva. Ne ll im m a g ine infa tti è d ise g na to un ra g g io d i luc e c he viene c urva to d a lla p re se nza d e lla ste lla . Q ue sto e ffe tto è sta to utilizza to d a ll e q uip e diretta da Artur Eddington per provare la teoria della relatività24.
G li e ffe tti d e lla c urva tura d e llo sp a zio so no b e n visib ili so lo ne l c a so d i o g g e tti m o lto m a ssic c i m a è c hia ro c he a nc he p e r m a sse p iù p ic c o le va le la ste ssa le g g e , so lo c he g li e ffe tti so no p iù c he tra sc ura b ili. Alla luc e d i q ua nto d e tto p o ssia m o e sa m ina re il sistem a mela-Te rra in un a ltro m o d o . La m e la q ua nd o c a d e sulla Te rra è c o m e se sc ivo la sse ne ll inc urva tura sp a zia le g e ne ra ta d a lla m a ssa d e lla Te rra ste ssa . Anc he la m e la , c o m e
24 Infatti, durante una eclissi di sole del 29 maggio 1919, venne misurata la posizione di alcune stelle proiettate dietro il sole, queste risultavano essere in una posizione differente da dove si dovevano trovare in realtà. Usando i calcoli relativistici Einstein spiego in modo esauriente la deflessione provocata dalla massa del sole. Le osservazioni venne ro fatte in due posti distinti , in Brasile a So b ra l e nell iso la d i Princ ip e .
d e tto p e rò , c urva lo sp a zio into rno a se , m a lo sc ivo la m e nto d e lla Te rra ne lla c urva tura spaziale generata dalla mela è impossibile da osservare a c a usa d e ll e ffe tto infinita m e nte piccolo.
L e ffe tto d e lla c urva tura d e llo sp a zio è in re a ltà d iffic ile d a o sse rva re , q ue sto p e rc hé l inte ra zio ne g ra vita zio na le è una fo rza a ssa i d e b o le e p e r m a nife sta rsi ha b iso g no d i grandi m a sse . Pe r re nd e rsi c o nto d i q ue sto si p uò fa re il fa m o so e sp e rim e nto c he m e tte a c o nfro nto d ue fo rze fo nd a m e nta li d e lla na tura : la fo rza g ra vita zio na le e q ue lla e le ttro sta tic a . Ba sta stro fina re una b a c c he tta d i p la stic a c o n un p a nno d i la na , in m o d o d a p ro d urre un e c c e sso d i c a ric a su una e stre m ità , d o p o d i c he se si a vvic ina la b a c c he tta a p ic c o la d ista nza d a un p ic c o lo p e zzo d i c a rta si ve d e c he il p e zzetto d i c a rta si so lleva d a te rra e viene a ttra tto d a lla b a c c he tta p o ic hé si è c a ric a to p e r induzione. Que sto fa tto re nd e c hia ra una c o sa , o vvero c he il p ic c o lo e c c e sso d i c a ric a g e ne ra to d a llo stro finio d e lla b a c c he tta è sta to suffic ie nte a vinc e re la fo rza d i a ttra zio ne gravitazionale c he l inte ra Te rra e se rc ita sul p e zze tto d i c a rta . Que sto fa c o m p re nd ere che la forza gravitazionale è piccolissima rispetto alle altre forze fondamentali.
Ne ll unive rso però c i so no m a sse g ig a nte sc he c he re nd o no g li e ffe tti d e lla g ra vità m o lto im p o rta nti e q uind i p o sso no e sse re o sse rva ti c o n un c e rta fa c ilità . Le m a sse e sistenti ne ll unive rso possono essere miliardi di volte più grandi di quelle del Sole.
Una va rietà d i o g g e tti c o sm ic i m o lto e so tic i e d a ffa sc ina nti so no i b uc hi ne ri, i q ua li so no c o sì d e nsi d i m a te ria c he c urva no lo sp a zio fino a l p unto d i im b rig lia re la ra d ia zio ne visibile25. Ac c a d e q uind i c he la luc e vie ne a ttra tta d a l b uc o ne ro re nd e nd o lo invisib ile : d a q ui il no m e b uc o (b uc a d i p o te nzia le ) nero (no n e m e tte ra d ia zio ne visib ile). Co m e d e tto p e rò il fa sc io lum ino so no n viene a ttra tto p e r g ra vità , visto c he la luc e no n p o ssied e m a ssa e l inte ra zio ne g ra vita zio na le si e se rc ita tra m a sse , m a la c urva tura d e llo sp a zio è tale che la traiettoria si avvolge a spirale nella buca di potenziale creata dal buco nero.
Ad e sso b iso g na fa re un p ic c o lo sfo rzo p e r a c c e tta re q ua nto se g ue . No i tutti sia m o imm e rsi in uno sp a zio c urvo , c io è sia m o a ll inte rno d e lla b uc a d i p o te nzia le g e ne ra ta d a lla Te rra , d i q ue sto no n c i a c c o rg ia m o se no n fa c e nd o a c c ura tissim i esp e rim e nti e ra ffina te inte rp re ta zio ni. Allo ste sso m o d o b iso g na c a p ire c he il ra g g io lum ino so d i c ui si p a rla va p rim a è c o nvinto d i p e rc o rre re una tra ietto ria rettiline a e q uind i no n si a c c o rg e della curvatura dello spazio generata dal buco nero, tanto più perché i fotoni non sono in grado di interpretare la loro condizione!
25 Ma a nc he la ra d ia zio ne in a ltre lung he zza d o nd a .
Ne l tito lo d i q ue sto p a ra g ra fo è c o nte nuto il te rm ine sp a zio -te m p o , q ue sto te rm ine indica che nella teoria della relatività einsteiniana lo spazio è legato al tempo e viceversa.
Questo vuol dire che quando una massa curva lo spazio circostante, influenza il tempo che quindi si modifica. Il fenomeno è di difficile interpretazione come la relatività del resto e questo è dovuto al fatto che è una teoria contro intuitiva26.
Cosa è un buco nero
Un b uc o ne ro è un o g g e tto e stre m a m e nte m a ssivo . Si tro va no q ua si in tutte le g a la ssie d i g ra nd i d im e nsio ni e p iù p re c isa m e nte ve rso il c e ntro g a la ttic o d e tto a nc he b ulg e . So no c iò c he rim a ne d i ste lle m o lto m a ssic c e c he d o p o a ve r a vuto un c o lla sso g ra vita zio na le vio le nto inizia no a ing lo b a re e d a ttra rre tutta la m a te ria c he lo c irc o nd a . In q ue sto m o d o l o g g e tto a c q uista se m p re p iù m a te ria a um e nta nd o la sua m a ssa e a um e nta nd o d i c o nse g ue nza a nc he l inte nsità d e l suo c a m p o g ra vita zio na le . Si p e nsa c he q ue sto p ro c e sso no n si a rre sti m a i c he il b uc o ne ro a ttra g g a m a te ria se nza lim iti. Q ua nd o la m a ssa d e ll o g g e tto è a b b a sta nza g ra nd e a c c a d e c he l inte nsità d e l c a m p o g ra vita zio na le è c o sì im p o rta nte d a no n p e rm e tte re ne a nc he a lla ra d ia zio ne27 d i usc ire , q uind i si re nd o no invisib ili. L unic o m o d o d i o sse rva rli e q ue llo d i ve d e re c o m e interagiscono con la materia (gas, stelle) circostante.
Ab b ia m o visto c he la m a ssa c urva lo sp a zio e c he p o ssia m o im m a g ina re la c urva tura c o m e una m e m b ra na e la stic a c he si d e fo rm a in p re se nza d i una m a ssa . Be ne , p e r un b uc o ne ro si c re d e c he la m a ssa sia c o sì g ra nd e c he q ue sta d e fo rm a zio ne a ssum a la forma di un imbuto. Nella figura possiamo avere una idea di ciò che si vuole dire.
26 Bisogna accettare che non essendo alla portata della percezione sensoriale non può essere compresa se non con il mezzo dell inte rp reta zione ra zio na le. Anc he il m o nd o d e lle p a rtic elle elementari, non può essere visto né toccato a causa delle piccolissime dimensioni, ma può essere inte rp reta to ra g io na nd o sug li e ffetti visib ili e m isura b ili. Si ve d a a d e sem p io l e ffetto foto e lettrico.
27 In realtà in rarissimi casi si osservano emissioni MASER e di raggi gamma nelle immediate vic ina nze d i b uc hi ne ri, q uesto è d ovuto c o n tutta p ro b a b ilità a ll a vvenuta fa g o c ita zio ne d i grandi masse. I buchi neri emetto flussi di antiparticelle che prendono il nome di radiazione di Hawking.
Una p re c isa zio ne c he b iso g na fa re è la se g ue nte : q ua nd o la luc e c he p ro vie ne d a ll e ste rno d e l b uc o ne ro p a ssa ne lle sue vic ina nze , vie ne c a ttura ta e c o m inc ia a p e rc o rre re o rb ite se m p re più fitte into rno a l nuc le o c e ntra le , m e ntre se il ra g g io lum ino so p a ssa a d una d ista nza m a g g io re , e sso , ve rrà so lo d e fle sso . Il fa sc ino c he c irc o nd a q ue sti o g g e tti d e ll unive rso è le g a to o ltre c he a lla lo ro p e c ulia re p a rtic o la rità d i no n e m e tte re ra d ia zio ne a c a usa d e lla im m e nsa m a ssa , anche p e r l im p o ssib ilità d a p a rte no stra d i riusc ire a c o m p re nd e rne la na tura e il loro funzio na m e nto , q ue sto p e rc hé la fisic a c he conosciamo potrebbe non essere più valida nelle sue immediate vicinanze.
Esercizio
Ric a va re la m a ssa m inim a d i un b uc o ne ro (b la c k ho le ), sa p e nd o c he la fo rm ula p e r la velocità di fuga è v=(2GM/R)1/2. Motivare la risposta.
Esercizio
Descrivere cosa possono rappresentare gli oggetti a, c ed ,e nella figura descrivendo le sostanziali differenze tra loro.
Software per la didattica
I so ftw a re so no se m p re un o ttim o strum e nto d id a ttic o e p o te nte m e zzo p e r fa r c o m p re nd e re visiva m e nte e in m o d o o p e ra tivo q ua li so no i fe no m e ni c he si sta nno stud ia nd o . I p ro g ra m m i c he si tro va no lib e ra m e nte sulla re te e c he q uind i p o sso no e sse re sc a ric a ti g ra tuita m e nte , so no d ive rsi m a tutti c o n una ste ssa struttura d ina m ic a . Que sti software sono dei simulatori che utilizzando le leggi della dinamica e in particolar modo la le g g e d i g ra vita zio ne unive rsa le , re stituisc o visiva m e nte i m o ti d i c o rp i a i q ua li si p o sso no a ttrib uire d ive rsi p a ra m e tri, d a lla m a ssa a lla d ista nza e a nc he velo c ità e d ire zio ne . Ho utilizza to i so ftw a re G ra vito rium e G ra vity Sim ula to r ne lla ve rsio ne Tria l, i q ua li so no d i fa c ile utilizzo e hanno una buona grafica.
Ino ltre ho utilizza to un fo g lio d i c a lc o lo p re fe risc o p e rc hé m o lto ve rsa tile e ra p id o e c o n il q ua le è p o ssib ile fa re una g ra nd e va rietà i e se rc izi a nc he q ue sti a ssa i utili. Mi p ia c e re b b e utilizza re a fine le zio ne se c i fo sse te m p o un so ftw a re p re tta m e nte a stro no m ic o (Sta rry Nig ht Pro ) c o n il q ua le fa re una b re ve le zio ne (una o d ue o re ) sul siste m a so la re e sul c ie lo notturno.
Materiale ausiliario
È a usp ic a b ile l uso d i film a ti o p p o rtuna m e nte se le zio na ti c o m e a d e se m p io d o c um e nta ri p e r intro d urre o a c c o m p a g na re la le zio ne . Ho se le zio na to d ue d o c um e nta ri uno d ella BBC e d e l Na tio na l G e o g ra p hic c he intro d uc o no la g ra vita zio ne unive rsa le c o n
spettacolari e re c e nti im m a g ini d e l c o sm o , ino ltre c è un film a to d e l PSSC sp e c ific a ta m e nte d e d ic a to a q ue sto a rg o m e nto . Q ue st ultim o vid e o sp ie g a in m o d o o rig ina le la le g g e d i g ra vita zio ne p a rte nd o d a c o nsid e ra zio ni sp e rim e nta li e g iung e nd o poi alla formulazione della legge.
È a nc he re p e rib ile in re te una p unta ta d e lla tra sm issio ne te levisiva Sup e r Q ua rk d e d ic a ta a lla sto ria d e lla g ra vità : La lo tta c o ntro la g ra vità . in m o d o se m p lic e e c o m e se m p re e sa urie nte vie ne p e rc o rsa la sto ria d e ll uo m o in funzio ne d e lla g ra vità , d a l q uo tid ia no fino ad arrivare alla teoria della relatività generale.
Appendice 1
L esperimento di Ca vendish
Il p ro b le m a e ra a ssa i a rd uo p e rc hé si tra tta va d i m isura re fo rze p ic c o lissim e , infe rio ri a un m ilio ne sim o d i ne w to n, in p re se nza d i una no tevo le fo rza d i d isturb o , q ue lla g e ne ra ta dalla Terra.
Lo rd Ca ve nd ish p o sse d e va tutta via no tevo li d o ti d i sp e rim e nta to re e insie m e d i m e tro lo g o , c o sì d a riusc ire , c o n g li strum e nti e le tec nic he d e l te m p o , a d o tte ne re un va lo re d i G c he b e n p o c o si d isc o sta va d a l va lo re o g g i a c c e tta to . L a p p a re c c hia tura usa ta d a C a ve nd ish era c o stituita d a d ue m a sse id e ntic he m1 e m2 fissa te a lle e stre m ità d i un a sta le g g e ra , a sua vo lta so sp e sa ne l c e ntro a d un filo d o ta to d i rig id e zza to rsio na le p ic c o la m a no ta . Le d ue m a sse id e ntic he M1 e M2, p o ste a lle e stre m ità d i un b ra c c io rig id o in g ra d o d i ruo ta re a l c e ntro into rno a d un a p p o g g io fisso , p o sso no e sse re a llo nta na te o vve ro a c c o sta te a lle m a sse m1 e m2. Q ua nd o le m a sse so no a c c o sta te , si ha una ro ta zio ne d e ll a sta c he so stie ne le d ue m a sse m1 e m2, ro ta zio ne il c ui va lo re è ta nto m a g g io re q ua nto m ino re è la rig id e zza to rsio na le d e l filo d i so ste g no . L a ng o lo d i ro ta zio ne vie ne le tto c o n il c la ssic o m e to d o d e lla le va o ttic a , c io è c o n la deflessio ne d i un ra g g io d i luc e a d o p e ra d i uno sp e c c hie tto fissa to in p ro ssim ità d e l c e ntro d e ll a sta d i so ste g no .
Nella figura si vede lo schema sperimentale utilizzato.
Il valore trovato da Cavendish è stato
GCavendish= (6,75 ± 0,05) x 10-11 m3 kg-1s-2
Appendice 2
Tabella Pianeti del sistema solare:
Pianeta Mercurio Venere Marte Giove Saturno Urano Nettuno
Massa 0,0553 0,815 0,107 317,8 95,2 14,5 17,1
Diametro 0,383 0,949 0,533 11,21 9,45 4,01 3,88
Densità 0,984 0,951 0,713 0,240 0,125 0,230 0,297
Gravità 0,378 0,907 0,377 2,36 0,916 0,889 1,12
Velocità di fuga 0,384 0,926 0,450 5,32 3,17 1,90 2,10
Rotazione 58,8 -244 1,03 0,415 0,445 -0,720 0,673
Giorno 175,9 116,8 1,03 0,414 0,444 0,718 0,671
Distanza dal Sole 0,387 0,723 1,52 5,20 9,58 19,20 30,05
Perielio 0,313 0,731 1,41 5,03 9,20 18,64 30,22
Afelio 0,459 0,716 1,64 5,37 9,96 19,75 29,89
Periodo orbitale 0,241 0,615 1,88 11,9 29,4 83,7 163,7
Velocità orbitale 1,61 1,18 0,810 0,439 0,325 0,229 0,182
Eccentricità 12,3 0,401 5,60 2,93 3,38 2,74 0,677
Satelliti 0 0 2 63 56 27 13
N.B. - Dati posti in relazione a quelli della Terra, considerati pari ad 1 (fonte NASA/NSSDC)
Tabella dati dei pianeti
Pianeta Mercurio Venere Marte Giove Saturno Urano Nettuno
Massa (1024 kg) 0,3302 4,8685 0,64185 1898,6 568,46 86,832 102,43
Volume (1010 km3) 6,083 92,843 16,318 143128 82713 6833 6254
Raggio Equatoriale (km) 2439,7 6051,8 3397 71492 60268 25559 24764
Raggio Polare (km) 2439,7 6051,8 3375 66854 54364 24973 24341
Densità (kg/m3) 5427 5243 3933 1326 687 1270 1638
Gravità (m/sec2) 3,70 8,87 3,69 23,12 8,96 8,69 11
Velocità di fuga (km/sec) 4,3 10,36 5,03 59,5 35,5 21,3 23,5
Min Distanza Terra (106 km) 77,3 38,2 54,5 588,5 1195,5 2581,9 4305,9
Max Distanza Terra (106
km) 221,9 261 401,3 968,1 1658,5 3157,3 4687,3
Max Diametro apparente
(") 13 66 25,7 49 20,1 4,1 2,4
Min Diametro apparente
(") 4,5 9,7 3,5 29,8 14,5 3,3 2,2
Magnitudine massima -1,9 -4,6 -2,9 -2,94 0,43 5,32 7,78
Diametro apparente Sole 1°22' 44,3' 21' 6,2' 6,2' 1,7' 1,1'
Semiasse maggiore (106
km) 57,91 108,21 227,92 778,57 1433,53 2872,46 4495,06
Periodo orbitale (giorni) 87,969 224,701 686,980 4332,589 10759,22 30685,4 60189
Perielio (106 km) 46 107,48 206,62 740,52 1352,55 2741,30 4444,45
Afelio (106 km) 69,82 108,94 249,23 816,62 1514,50 3003,62 4545,67
Vel. orbitale media
(km/sec) 47,87 35,02 24,13 13,07 9,69 6,81 5,43
Vel. orbitale max (km/sec) 58,98 35,26 26,50 13,72 10,18 7,11 5,50
Vel. orbitale min (km/sec) 38,86 34,79 21,97 12,44 9,09 6,49 5,37
Inclinazione orbitale (°) 7 3,39 1,85 1,304 2,485 0,772 1,769
Eccentricità 0,2056 0,0067 0,0935 0,0489 0,0565 0,0457 0,0113
Periodo rotazione (ore) 1407,6 -5832,5 24,6229 9,9250 10,656 -17,24 16,11
Lunghezza giorno (ore) 4222,6 2802 24,6597 9,9259 10,656 17,24 16,11
Inclinazione asse (°) 0,01 177,36 25,19 3,13 26,73 97,77 28,32
Temperatura (C°) 400/150 480/-30 -23 -150 -180 -210 -220
Pianeta Mercurio Venere Marte Giove Saturno Urano Nettuno
fonte NASA/NSSDC
Tabella dati dei pianeti nani
Pianeta Nano
Diametro (km)
Rotazione (ore)
Per.
Orbitale (anni)
Semiasse maggiore (UA)
Eccentricità Inclinazione
orbitale (°) Satelliti
Ceres 960x932 9 4,6 2,767 0,078 10,58 -
Plutone 2390 -153 247,9 39,48 0,244 17,2 3
Eris 2400 ? 556,7 67,7 0,44 44 1
Laboratorio virtuale di fisica.
Cercare delle possibili cross-relations usando i parametri dei pianeti del sistema solare.
Verifica somma tiva
La ve rific a so m m a tiva ve rte rà sug li a rg o m e nti tra tta ti c o n e se rc izi sim ili a q ue lli fa tti d ura nte il c o rso . Ve rra nno va luta ti tra m ite una g rig lia d i va luta zio ne a p p o sita m e nte stud ia ta p e r la ve rific a . Ad o g ni ese rc izio ve rrà a ttrib uito un punteggio in base alla difficoltà e alle richieste. Sommando in fine tutti i punteggi si c o nve rtirà il to ta le in vo ta zio ne d e c im a le . Sa rà p e rm e sso l uso i c a lc o la tric i sc ie ntific he e d i una ta b e lla ria ssuntiva c o n tutti i p a ra m e tri fisic i d ei p ia ne ti d e l sistema solare e di altri oggetti particolari.
Eco un esempio:
