IDRAULICA APPLICATA PARTE 3 Trasporto solido. Fonti: appunti prof. S. Franzetti, Prof. A. Guadagnini, Prof. F. Ballio

PARTE 3 – Trasporto solido

Fonti: appunti prof. S. Franzetti , Prof. A. Guadagnini, Prof. F. Ballio

Nella trattazione delle correnti a pelo libero si considera la geometria dell’alveo come fissata a priori. Nella realtà questa condizione spesso non risulta corretta in quanto avvengono fenomeni di erosione e deposito di materiale costitutivo del fondo e delle sponde mosso dalla corrente.

Nel caso di alvei costituiti alle pareti da materiale incoerente, sotto le spinte idrodinamiche della corrente i granelli del fondo possono essere messi in movimento.

Si parla di trasporto di fondo quando i granelli si muovono al fondo con moti rotatori e/o di strisciamento.

Si parla di trasporto in sospensione quando il solido percorre lunghi tratti trascinato all’interno della corrente in modo solidale alla corrente stessa.

In relazione a questi fenomeni l’alveo può mutare nel tempo in termini di pendenza, sezione, granulometria e di conseguenza scabrezza. Questi mutamenti possono essere graduali nel tempo o legati ad eventi bruschi (alluvioni etc.)

I fenomeni possono essere inoltre distribuiti, che coinvolgono cioè l’intera sezione dell’alveo su tratti estesi longitudinalmente, oppure concentrati, limitati a zone specifiche della sezione.

La movimentazione del fondo è legato fondamentalmente a:

- Caratteristiche della corrente (come già visto)

- Caratteristiche dei sedimenti, distribuzione granulometrica, caratteristiche di coesività (non trattati)

Consideriamo gli schemi concettuali che possono descrivere il movimento di fondo delle particelle a causa della corrente (forze attive per il movimento) e del peso delle particelle e gli attriti (forze resistive al movimento).

A parità di tutti gli altri parametri, all’aumento della velocità del fluido, le forze attive riescono a vincere le forze stabilizzanti mettendo in movimento le particelle.

Le condizioni di flusso in cui ci si trova nelle condizioni limite di inizio movimento vengono definite «critiche» o di «incipiente movimento».

Strisciamento (attrito)

La particella striscia al fondo e le forze idrodinamiche devono vincere la reazione vincolare di attrito radente.

Ribaltamento (senza attrito)

Particella parzialmente incastrata al fondo, le forze idrodinamiche devono farla ruotare rispetto al punto di appoggio.

Saltelli

Particella parzialmente incastrata sul fondo, le forze idrodinamiche devono sollevarla rispetto al fondo

Condizione di incipiente movimento, schema di attrito radente

L = lift portanza D = drag resistenza

G = spinta di Archimede P =peso

R = reazione vincolare normale

A = reazione vincolare tangenziale (attrito) d= dimensione del granello

In condizione di equilibrio statico

𝑅 = 𝑃 − 𝐺 cos 𝜃 − 𝐿 𝐴 = 𝑃 − 𝐺 sin 𝜃 + 𝐷 Il massimo valore della forza tangenziale

𝐴_𝑚𝑎𝑥 = 𝑅 tan 𝛽 𝛽 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑖 𝑎𝑡𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜

La condizione di incipiente movimento è raggiunta quando 𝐴 = 𝐴_𝑚𝑎𝑥

Esplicito i vari termini delle reazioni vincolari normali e tangenziali 𝐷 = 0,5 𝜌 𝑢_𝑑² 𝐶_𝐷𝑆

𝐿 = 0,5 𝜌 𝑢_𝑑² 𝐶_𝐿𝑆 = 𝐾_𝐿𝐷 𝑃 − 𝐺 = 𝜌_𝑠 − 𝜌 𝑔𝑊

Dove u_d velocità della corrente

S superfice frontale del granello S=α₁d² W volume del granello W= α₁d³

C_D e C_L coefficienti di drag e lift, dipendono dalla forma del granello e dal numero di Reynolds, si approssima il rapporto L/D=K_L come costante I coefficienti α e C_L e C_D sono legati alla forma del granulo e sono considerati costanti e caratteristici della granulometria del sedimento

imponendo

𝐴 = 𝐴_𝑚𝑎𝑥

𝑃 − 𝐺 sin 𝜃 + 𝐷 = 𝑃 − 𝐺 cos 𝜃 − 𝐿 tan 𝛽 𝐷 + 𝐿 tan 𝛽 = 𝑃 − 𝐺 cos 𝜃 tan 𝛽 − tan 𝜃

1 + 𝐾_𝐿 tan 𝛽 0,5𝜌𝑢_𝑑²𝐶_𝐷𝛼₁𝑑² = 𝜌_𝑠 − 𝜌 𝑔𝛼₃𝑑³ cos 𝜃 tan 𝛽 − tan 𝜃 𝑢_𝑑,𝑐²

𝑔 𝜌_𝑠 − 𝜌

𝜌 𝑑

= 2𝛼₃

1 + 𝐾_𝐿 tan 𝛽 𝐶_𝐷𝛼₁ tan 𝛽 cos 𝜃 1 − 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑡𝑎𝑛𝛽

La velocità u_d è una velocità efficace agli effetti delle forze fluidodinamiche, valutata ad un altezza dal fondo proporzionale alle dimensioni del granulo. Il pedice c fa riferimento alla situazione critica.

Dato il profilo di velocità nello strato limite

𝑢_𝑑 = 𝑢(𝜁 = 𝛼₄𝑑)

𝑢 𝜁

𝑢^∗ = 𝑓 𝜁 𝑑

𝑢_𝑑

𝑢^∗ = 𝑓 𝛼₄ = 𝛼₅

𝑢_𝑐^∗2 𝑔 𝜌_𝑠 − 𝜌

𝜌 𝑑

= 2𝛼₃

1 + 𝐾_𝐿 tan 𝛽 𝐶_𝐷𝛼₁𝛼₅² tan 𝛽 cos 𝜃 1 − 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑡𝑎𝑛𝛽

Avendo introdotto la friction velocity, più facilmente calcolabile rispetto alla u_d, il termine a destra dell’uguale dipende dal numero di Reynolds attraverso i coefficienti C_D e K_L.

𝜙_𝑐 = 𝑢_𝑐^∗2 𝑔 𝜌_𝑠 − 𝜌

𝜌 𝑑

= 𝑓(𝑅𝑒) cos 𝜃 1 − 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑡𝑎𝑛𝛽

Il termine adimensionale

𝜙 = 𝑢_𝑐^∗2

𝑔Δ𝑑 = 𝜏/𝜌

𝑔Δ𝑑 𝑐𝑜𝑛 Δ = 𝜌_𝑠 − 𝜌 𝜌

Numero indice di Shields, che può essere letto come il rapporto tra le forze di trascinamento della corrente (τd²/ρ), e le forze stabilizzanti (peso g(ρ_s-ρ)d³).

Date le caratteristiche della corrente (τ, ρ) e dei sedimenti (Δ, ρ_s,d), per valutare la stabilità del granulo si deve confrontare il valore di Φ con la soglia critica, in relazione alla funzione f(Re):

Φ<Φc granello stabile

Φ>Φc granello in movimento Il valore di Φ si calcola a partire dagli sforzi al fondo

𝜙 = 𝜏/𝜌

𝑔Δ𝑑 = 𝑅𝑖𝐽

Δ𝑑 𝑐𝑜𝑛 𝜏 = 𝜌𝑔𝑅𝑖𝐽

Condizione di incipiente movimento, schema di rotolamento

L = lift portanza D = drag resistenza

G = spinta di Archimede P =peso

D = dimensione del granello

Si impone l’equilibrio alla rotazione rispetto al punto C di contatto. Considero b_t il braccio rispetto al punto di contatto della risultante di Lift e Drag, considero b_GP il braccio della risultante tra peso e spinta di Archimede. In condizioni limite di ribaltamento risulta.

𝑃 − 𝐺 𝑏_𝐺𝑃 = 𝑇𝑏_𝑇

I bracci vengono espressi attraverso coefficienti legati a forma e disposizione dei granelli

𝑏_𝐷 = 𝛽₁𝑑 𝑏_𝐿 = 𝛽₁𝑑 𝑏_𝐺𝑃 = 𝛽₃𝑑

Le forze di D, L, P e G si esplicitano come già fatto per lo schema di trascinamento.

𝜌_𝑠 − 𝜌 𝑔𝛼₃𝑑³𝑏_𝐺𝑃 = 𝐶_𝐷𝛼₁𝑑² 0,5𝜌𝑢_𝑑² 1 + 𝐾_𝐿^{2 0,5}𝑏_𝑇 ottenendo

𝑢_𝑑,𝑐² 𝑔 𝜌_𝑠 − 𝜌

𝜌 𝑑

= 2𝛼₃𝑏_𝐺𝑃

1 + 𝐾_𝐿^{2 0,5}𝐶_𝐷𝛼₁𝑏_𝑇

Analoga a quanto ottenuta per il caso di attrito radente, la dipendenza dalla pendenza del fondo entra nella valutazione del braccio b_GP (=0 per pendenza nulla), mentre è indipendente per b_T.

Analogamente a prima si può relazionare la velocità u_d allo stress al fondo

Stabilità del granello legata allo stress alla parete rispetto ad una soglia critica in dipendenza del numero di Reynolds e della granulometria del sedimento.

Ipotizziamo la condizione di:

- Pendenza nulla i=0

- Granulometria uniforme d=cost

I valori di soglia critica sono stati analizzati in via sperimentale da Shields in funzione del numero di Reynolds

𝑅𝑒^∗ = 𝑢^∗𝑑 𝜐

𝜙_𝑐⁰ = 𝑢_𝑐^∗2 𝑔 𝜌_𝑠 − 𝜌

𝜌 𝑑

= 𝑓(𝑅𝑒)

Osservazioni:

1) Bassi Re*, la soglia di incipiente movimento risulta dipendente da Re*, mentre risulta indipendente da Re* per alti valori di Re*, la viscosità non ha più effetto.

Nella pratica la maggior parte delle volte Re*>100 ed è pertanto lecito assumere Φc=cost

2) Nei campi applicativi di Re* il valore di Φc=0,04-0,06 con punte a 0,1. La dispersione notevole di punti è legata a diversi fattori di indeterminazione, tipo forma e disposizione dei sedimenti.

Granulometria non uniforme.

Si assume di poter confrontare il parametro di mobilità Φ con il valore di soglia selettivamente per ogni frazione granulometrica.

𝜙 𝑑 = 𝑅𝑖𝐽

Δ𝑑 ; 𝜙_𝑐(𝑅𝑒^∗)

Fissata la condizione di flusso, quindi Ri e J, la mobilità è inversamente proporzionale al diametro, esiste un minimo d al di sotto del quale i granelli vengono trasportati

Si instaura un trasporto selettivo e quindi erosione selettiva, si modifica di conseguenza la distribuzione granulometrica in superfice, che tende ad essere caratterizzato in media da diametri maggiori.

Fenomeno denominato corazzamento, in quanto il fondo aumenterà la propria resistenza all’erosione.

La soglia di incipiente movimento va corretta anche in considerazione della protezione che sedimenti di grande dimensione possono esercitare verso sedimenti a diametro inferiore (e fenomeno opposto)

Pendenza diversa da 0

𝜙_𝑐 = 𝑢_𝑐^∗2 𝑔 𝜌_𝑠 − 𝜌

𝜌 𝑑

= 𝑓 𝑅𝑒 cos 𝜃 1 − 𝑡𝑎𝑛𝜃

𝑡𝑎𝑛𝛽 = 𝜙_𝑐⁰ cos 𝜃 1 − 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑡𝑎𝑛𝛽 𝜙_𝑐⁰ = 𝑢_𝑐^∗2

𝑔 𝜌_𝑠 − 𝜌

𝜌 𝑑

= 𝑓(𝑅𝑒)

Pendenza diversa da zero, si riduce la stabilità dei granelli in funzione della riduzione dell’effetto stabilizzante della gravità.

Caso limite θ=β → Φc=0 ed il granello si sposta per valori di stress pari a zero

h/d ridotti (basso grado di sommergenza)

Abaco di Shields costruito nelle ipotesi che la dimensione del granello sia molto inferiore all’altezza della corrente. Per valori di sommergenza h/d<6 il grafico va corretto.

La soglia di incipiente movimento è inversamente proporzionale a h/d. Tale aspetto è legato alla deformazione dei profili di velocità, varia il legame tra u_d e u*, in particolare per h/d ridotti, questo legame si discosta da leggi ‘universali’

𝜙_𝑐⁰ = 0,0851 ℎ 𝑑₅₀

−0,266

𝜙_𝑐⁰ = 0,06 1 + 0,67 𝑑 ℎ

Suszka 1991

Armanini e Scotton 1994

Prima abbiamo determinato la condizione di incipiente movimento, ovvero abbiamo definito la condizione critica che separa un granello dalla condizione ferma a quella in movimento.

Ora, quando la soglia è stata superata , va determinata la quantità di solido movimentato. Può essere schematizzato con diversi approcci:

Strato limite di solido in movimento

Uno strato di spessore più o meno profondo è messo in moto dagli sforzi tangenziali. Le velocità si riducono negli strati più profondi.

Moto superficiale.

Solo uno strato superficiale di solido è in movimento.

Saltelli.

Non è schematizzabile come un fenomeno continuo, ma come successione di salti finiti delle particelle superficiali, seguiti da tempo di riposo

Per i diversi schemi si determinano varie formulazioni che legano la quantità di solido trasportato ai parametri di flusso.

Portata solida q_s (portata volumetrica unitaria di solido per unità di larghezza) viene legata a valori di riferimento critici.

In situazione di incipiente movimento q_s=0 Si adimensionalizza

𝜙 = 𝑞_𝑠 𝑑³𝑔Δ

Formule di trasporto solido, sempre legate alla condizione di incipiente movimento

Formule di trasporto solido, sempre legate alla condizione di incipiente movimento, se non determinata in laboratorio bisogna utilizzare le formule pratiche

Formule di trasporto solido – dispersione dei risultati

Formule di incipiente movimento – dispersione dei risultati

→ Vanno associate in modo omogeneo secondo i modelli concettuali su cui sono state derivate

Formule di trasporto, di norma sono derivate per pendenze trascurabili e rapporti di sommergenza h/d elevati, eventuali correzioni per forte pendenza e basse sommergenze vanno applicati alle formule di incipiente movimento.

Consideriamo il confronto nei risultati ottenuti usando diverse formulazioni, considerando sezioni larghe e condizione di moto uniforme per la corrente, perdite di carico valutate con formule di Chézy

Si veda figure prossime slide

Canale

Confronto tra due pendenze

Ovviamente trend crescente per qs col crescere di q

Risultati molto diversi, in parte imputabili alle soglie di incipiente movimento.

Trasporto anche per valori bassi di q H0=0,8 e V=1,25m/s

Per avere stabilità servono pendenze molto basse

Fiume di montagna

Confronto tra due diametri di sedimento

Sedimenti di diametri inferiori trasportati più facilmente anche a portate basse

q_s misurato

q_s calcolato

Prove laboratorio

Accordo di massima tra misure e calcoli, ma con possibili forti discrepanze, in particolare per valori bassi di portata solida

Dati di campo

q_s

q-qc Notevoli differenze, anche di ordini di grandezza

Cosa ne ricaviamo?

- Non si possono fornire dati precisi, ma nel migliore dei casi solo l’ordine di grandezza

- I modelli di calcolo vanno adattati e calibrati ai valori di campo del tratto di interesse

Forme di fondo

conseguenza dei fenomeni di trasporto di fondo → forme di fondo, secondo ondulazioni di diversa forma, misura e disposizione (ripples, dune, antidune)

Le forme di fondo si muovono, in relazione ai parametri della corrente Determinano:

- Macroscabrezze che influiscono sulla scabrezza dell’alveo

- Richiedono modifiche alle formule di trasporto, proprio per tener conto delle variate condizioni di scabrezza

- In caso di acque basse, possono determinare ondulazioni sulla superfice libera della corrente (possibile mutua esaltazione degli effetti)

Forme di fondo sono caratteristiche dei fiumi, meno dei torrenti.