Programma del corso TOPOLOGIA A.A. 2019-2020 Corso di Laurea in Matematica
A. Miranda
I. ARGOMENTI PROPEDEUTICI DI TOPOLOGIA GENERALE TOPOLOGIE
Spazi topologici Topologia su un insieme. Aperti. Topologia naturale. Topolo- gia di Sorgenfrey. Topologie delle semirette. Topologia cofinita. Con- fronto tra topologie. Basi. Chiusi. Chiusura e propriet`a. Interno e propriet`a. Intorni e propriet`a. Aderenza. Spazi pseudometrici. Spazi metrici. Un esempio di pseudometrica che non `e una metrica. Topologia indotta da una pseudometrica. Topologia indotta dalla metrica euclidea.
Topologie pseudometrizzabili. Metriche equivalenti. Basi locali. Conti- nuit`a puntuale (in ambito topologico). Legami con la continuit`a usuale.
Continuit`a in ambito metrico. Continuit`a globale e caratterizzazioni.
Continuit`a della composizione di applicazioni. Applicazioni aperte. Ap- plicazioni chiuse. Esempi. Omeomorfismi e caratterizzazioni. Classi di omeomorfismo degli intervalli di R. Omeomorfismo fra sfere e cubi eu- clidei. Omeomorfismo tra uno spazio euclideo ed un suo disco aperto.
Omeomorfismo tra una corona circolare ed un cilindro. La proiezione stereografica.
Sottospazi Topologia relativa. Continuit`a dell’inclusione. Topologia naturale indotta.
Quozienti Topologia quoziente. Aperti saturi. Applicazioni quoziente. Teo- rema di rappresentazione. Esempi di applicazioni quoziente. La rappre- sentazione parametrica standard della circonferenza. La circonferenza `e il quoziente che si ottiene dal segmento [0, 1] identificando gli estremi. La rappresentazione parametrica standard del cilindro. Esempi di quozienti del quadrato chiuso: il cilindro, il toro, il nastro di Moebius, il piano proiettivo reale. Riduzione di un chiuso ad un punto. Riduzione della circonferenza di bordo di un disco ad un punto. La sfera `e il quoziente che si ottiene dal disco chiuso mediante la riduzione ad un punto della circonferenza di bordo. Altri modelli topologici del piano proiettivo reale:
modello di Klein, modello di Grassman, quoziente della sfera, quoziente della semisfera, quoziente del cerchio chiuso.
Prodotti Topologia prodotto. Continuit`a delle proiezioni. Continuit`a di una funzione a valori in un prodotto.
PROPRIETA’ TOPOLOGICHE
Propriet`a di separazione Propriet`a T0, T1, T2. Gerarchia. Caratterizzazione della propriet`a T1. Unicit`a del limite di una successione in uno spazio di Hausdorff. Spazi pseudometrici e propriet`a di separazione. Eredita- riet`a, produttivit`a, delle propriet`a di separazione. Comportamento di tali propriet`a nel passaggio al quoziente.
Propriet`a di numerabilit`a I e II assioma di numerabilit`a. Separabilit`a. Inter- dipendenze. Spazi pseudometrizzabili e propriet`a di numerabilit`a. Con- dizioni per la metrizzabilit`a.
Compattezza Caratterizzazioni. Sottospazi di spazi compatti. Compattezza e propriet`a di separazione. Compattezza di una successione con l’aggiunta del proprio limite in uno spazio di Hausdorff. Compattezza e conti- nuit`a. Quozienti di spazi compatti. Il Teorema di Heine. Il Teorema di Weierstrass. Il Teorema di Cantor. Prodotti di spazi compatti. Il Teorema di Tychonoff. Compattezza negli spazi euclidei. Teorema di Heine-Pincherle-Borel.
Connessione Caratterizzazioni. Criteri di connessione. Sottospazi di spazi connessi. Connessione e continuit`a. Quozienti di spazi connessi. Prodotti di spazi connessi. Componenti connesse. Le componenti connesse sono chiuse e individuano una partizione. Criterio di connessione. Spazi to- talmente sconnessi. Cammini. Prodotto di cammini. Connessione per cammini. Il seno del topologo. Caratterizzazione dei connessi dell’asse reale.
Connessione negli spazi euclidei. Convessit`a. Convessit`a rispetto ad un punto. Connessione per poligonali. Equivalenza della connessione per poligonali, della connessione per cammini e della connessione in un aperto di uno spazio euclideo. Teorema degli zeri. Teorema del punto fisso di Brower.
II. ARGOMENTI DEL CORSO
TOPOLOGIA ALGEBRICA
Omotopia Omotopia tra funzioni. Propriet`a. Funzioni nullomotopiche. Funzioni a valori in una superficie sferica. Caratterizzazione delle funzioni nullomo- topiche mediante il cono topologico. Equivalenze omotopiche. Tipo di omo- topia di uno spazio topologico. Omotopia di funzioni relativamente ad un sottoinsieme. Omotopia di cammini. Lacci. Gruppo fondamentale in un punto. Gruppo fondamentale di uno spazio connesso per cammini. Gruppo fondamentale e continuit`a. Invarianza omotopica del gruppo fondamentale.
Retrazioni e retrazioni per deformazione. La circonferenza come retratto per deformazione del piano Euclideo privato di un punto, del cilindro, della corona circolare, del nastro di Moebius, di R2 − {0}. La figura otto come retratto per deformazioneR2− {P1, P2}.
Il gruppo fondamentale Determinazione del gruppo fondamentale della circonferenza.
Lacci fondamentali. La proiezione. Sollevamenti. Applicazioni di rivesti- mento. Numero di Lebesgue di un ricoprimento aperto di uno spazio metrico compatto. Sollevamenti di lacci e di omotopie. Lemma di unicit`a del solleva- mento di un cammino. Lemma di unicit`a del sollevamento di un’omotopia.
Applicazione grado. Invarianza del grado per omotopia. Isomorfismo tra il gruppo fondamentale della circonferenza e il gruppo additivo degli interi rel- ativi. Il teorema del punto fisso in dimensione 2. Il teorema fondamentale dell’algebra. Il Teorema di Borsuk-Ulam. Spazi semplicemente connessi. Cal- colo del gruppo fondamentale della sfera Sn con n ≥ 2. Il gruppo fondamen- tale di un prodotto. Il gruppo fondamentale del toro. Il gruppo fondamentale del piano proiettivo reale.
Spazi semplicemente connessi. Calcolo del gruppo fondamentale della sfera Sn con n≥ 2.
SUPERFICI
Superfici e classificazione topologica Definizione di superficie. Somma connessa di superfici. Triangolazioni di una superficie compatta. Orientabilit´a di una superficie. Caratteristica di Eulero-Poincar´e (E-P). La caratteristica di E-P di una somma connessa. Calcolo della caratteristica di E-P della sfera, del toro, del piano proiettivo reale, di una somma connessa di tori, di una somma connessa di piani proiettivi. Definizione di superficie con bordo. Componenti connesse del bordo.
Classificazione di superfici Teoremi fondamentali di classificazione topologica delle superfici connesse compatte (per le superfici e per le superfici con bordo).
Classificazione delle superfici in topologia: Teoremi di classificazione delle superfici connesse compatte mediante orientabilit`a e caratteristica di E-P (per le superfici (I) e per superfici con bordo (II)).
Superfici e classificazione in topologia algebrica Preliminari algebrici. Prodotto di- retto debole. Gruppi abeliani liberi. Prodotti liberi e gruppi liberi. Commu- tatori. Presentazione di un gruppo. Sottogruppo di torsione. Il Teorema di Seifert-Van Kampen. Prima e seconda applicazione del Teorema di Seifert- Van Kampen. Calcolo dei gruppi fondamentali di superfici applicando il Teo- rema di Seifert-Van Kampen. Classificazione delle superfici in topologia alge- brica: Teoremi di classificazione delle superfici connesse compatte mediante il gruppo fondamentale (per le superfici (I) e per le superfici con bordo(II)).
PROPRIETA’ LOCALI
Locale compattezza e compattificazioni Locale compattezza. Due definizioni equiv- alenti per spazi di Hausdorff. Indipendenza con la compattezza. Com- portamento della propriet`a di locale compattezza rispetto al passaggio al prodotto, ai sottospazi, al quoziente. Compattificazioni. Compattificazioni con l’aggiunta di un punto. La compattificazione di Alexandrov. Compatti- ficazioni della retta con l’aggiunta di un punto e di due punti. La sfera ed il piano proiettivo reale come compattificazioni del piano affine. La n-sfera come compattificazione dell’ n-spazio euclideo Rn.
Locale connessione Locale connessione. Indipendenza dalla la connessione e dalla connessione per cammini. Il pettine del topologo. Caratterizzazione. Com- portamento della propriet`a di locale connessione rispetto al passaggio al prodotto, al quoziente, ai sottospazi.
Locale connessione per cammini Equivalenza tra connessione e connessione per cammini per spazi localmente connessi per cammini. Comportamento delle propriet`a di connessione per cammini e di locale connessione per cammini rispetto al passaggio al prodotto, al quoziente, ai sottospazi.
TESTI CONSIGLIATI
• R. Engelking, General Topology , Ed. Heldermann Verlag Berlin.
• V. Checcucci, A. Tognoli, E. Vesentini, Lezioni di Topologia Generale, Ed. Zanichelli 1976.
• C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Ed. Zanichelli.
• J. R. Munkres, Topololgy, second Edition, Ed. Pearson College Div. or Ed.
Prentice- Hall.
• W.S. Massey, Algebraic Topology: An Introduction , Ed. Springer-Verlag.
• S. Willard, General Topology , Ed. Dover 2004.
