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Dinamica del tether
2.1 Equazioni della dinamica (sistema di co- ordinate cartesiane)
Per studiare la dinamica di un tether `e opportuno scomporre il “sistema tether” in due sottosistemi (cfr. [4]): inizialmente si considera la dinamica delle due masse di estremit`a, considerando nulla la massa del tether stesso, ed in seguito, si studia il moto del centro di massa del tether. Le due masse del tether sono tali che:
mB >> mA (2.1)
in modo da poter considerare il centro di massa dell’intero sistema coincidente con il punto B e che l’orbita descritta dal centro di massa del sistema sia un’ellisse imperturbata. Si introduca quindi un sistema di riferimento xyz di centro B solidale con il satellite, in cui gli assi sono orientati come segue:
Bx`e diretto come il raggio vettore di B, By lungo la componente orizzontale della velocit`a orbitale vH (cfr. Fig.2.1) e Bz ortogonale al piano dell’orbita.
Rispetto a questo sistema di riferimento, l’equazione del moto del sotto- satellite A `e:
mA
·
¨rA+ ˙eω × rA+ 2eω × ˙rA+ eω × (eω × rA) + ¨RB+ µRA R3A
¸
= TA+ FA
(2.2)
A y x
z
B
O r
vH
Tether
Figura 2.1: Sistema di riferimento solidale con il satellite Bxyz
dove:
• rA = RA− RB
• RA e RB sono i raggi vettori di A e B relativi al sistema geocentrico equatoriale
• eω `e la velocit`a angolare orbitale xyz
• µ `e la costante di gravitazione terrestre
• TA `e la forza di tensione del tether
• FA sono le accelerazioni di tipo non gravitazionale sul satellite
Si riporta di seguito l’equazione del moto per il punto B rispetto al siste- ma geocentrico equatoriale OXYZ. Se si assume che il punto B compia un moto kepleriano:
R¨B = −µRB
R3B (2.3)
Figura 2.2: Posizione degli elementi del tether rispetto al sistema geocentrico OXYZ
Se si linearizza il vettore differenza tra i raggi vettori RA e RB, si ottiene:
RA
R3A − RB RB3 ∼= rA
R3B − 3(rA· RB)RB
R3B (2.4)
Si pu`o quindi scrivere le tre equazioni scalari del moto del sotto-satellite A rispetto al sistema di riferimento Bxyz :
¨
x − 2 ˙yeω − ˙eωy − (1 + 2χ−1)eω2x = (Tx+ Fx)
mA (2.5)
¨
y + 2 ˙xeω + ˙eωx + (1 − χ−1)eω2y = (Ty+ Fy)
mA (2.6)
¨
z + χ−1ωe2z = (Tz+ Fz)
mA (2.7)
dove:
• (x,y,z) = rA
• χ , 1 + e cos ν
• eω = ˙ν = χ2p µ/p3 in cui:
• e `e l’eccentricit`a dell’orbita descritta dal sottosatellite
• p `e il semilato retto dell’orbita descritta dal sottosatellite
• ν `e l’anomalia vera dell’orbita descritta dal sottosatellite
• Fx,Fy,Fz sono le componenti della forza perturbativa FA
Poich´e si `e considerato il caso di tether privo di massa, saranno nulle le forze gravitazionali che agiscono su di esso e cos`ı pure le accelerazioni di tipo non gravitazionale:
FA = 0
Cos`ı facendo, il tether esteso sar`a sempre allineato nella direzione della congiungente AB e la forza di tensione avr`a componenti:
Tx Ty
Tz
= −T r
x y z
(2.8)
dove:
• T = E∗(Lr − 1) `e la forza di tensione agente lungo il tether
• r =p
x2+ y2+ z2
in cui sono stati indicati con L la lunghezza del tether e con E∗ il modulo di elasticit`a del tether.
2.2 Equazioni della dinamica (sistema di co- ordinate sferiche)
Si utilizza ora il sistema di coordinate sferiche Brθφ indicato in figura:
Figura 2.3: Posizione relativa del sotto-satellite del tether
Il precedente sistema di coordinate sferiche `e legato al sistema di coordi- nate cartesiane solidale al satellite Bxyz, nel modo che segue:
x = −r cos θ cos φ (2.9)
y = −r sin θ cos φ (2.10)
z = −r sin φ (2.11)
che sostituite nelle precedenti fornisce:
¨
r − 2 ˙re sin ν
χ + r(λ − u) = Qr (2.12)
θ + 2( ˙θ + 1)¨ µ˙r
r −e sin ν
χ − ˙φ tan φ
¶
+3 sin θ cos θ
χ = Qθ (2.13)
φ + 2 ˙φ¨ µ˙r
r −e sin ν χ
¶
+ sin φ cos φ
·
( ˙θ + 1)2 +3cos θ2 χ
¸
= Qφ (2.14)
dove:
u = ˙φ2+ ( ˙θ + 1)2cos φ2+ 3cos φ2cos θ2− 1 χ
Qr = − Fr mAω2 Qθ = − Fθ
mAω2r cos φ Qφ = − Fφ
mAω2r
λ = T
mAω2r ≥ 0
Infine la matrice di rotazione tra il sistema di coordinate cartesiano e quello di coordinate sferiche, risulta essere:
Fr Fθ
Fφ
=
cos θ cos φ sin θ cos φ sin φ
− sin θ cos θ 0
− cos θ sin φ − sin θ sin φ cos φ
Fx Fy
Fz
(2.15)
2.3 Dinamica del centro di massa del tether
Si considera adesso il moto del centro di massa C del tether rispetto ad un sistema di riferimento XYZ di origine O geocentrico equatoriale; l’equazione della dinamica `e:
MT otR¨C = G + Φ + WA+ WB+ Wad (2.16) dove:
MT ot = mA+ mB (2.17)
G = −µ µ
mARA
R3A + mBRB
R3B
¶
(2.18)
Φ = FA+ FB+ ZB
A
Fds (2.19)
Wad = ¨mA0(RA−RC)+ ¨mB0(RB−RC)+2 ˙mA0( ˙RA− ˙RC)+2 ˙mB0( ˙RB− ˙RC) (2.20) dove:
• WA e WB sono le forze di spinta agenti sui corpi di estremit`a A e B
• Φ `e al sommatoria di tutte le forze perturbative agenti sul centro di massa del satellite
• MT ot `e la somma delle due masse di estremit`a del satellite
• Wad`e la forza addizionale di reazione dovuta allo scarico dei propellenti bruciati dai propulsori di estremit`a del satellite
La forza G differisce dalla forza agente su una massa M posta nel centro di massa C del sistema, poich´e la forza di gravit`a varia con l’inverso del cubo della distanza dal centro di massa C:
g = −µR
R3 = −µRC
R3C + g1+ g2+ g3
g1 = µ R3C
2x
−y
−z
g2 = 3µ R4C
y2
2 +z22 − x2 xy xz
dove (x,y,z) rappresentano le componenti del vettore r = R − RC
rispetto al sistema di riferimento solidale con il satellite. Le armoniche di ordine superiore forniscono contributi trascurabili rispetto alle prime due ar- moniche. Integrando le precedenti lungo la lunghezza del tether, si ottiene:
dove:
G2 = 3µ R4C
Jyy
2 +Jzz2 − Jxx
Jxy Jxz
Jxx, Jxy, Jxz, Jzz, Jyy sono i momenti d’inerzia del satellite rispetto agli assi del sistema di riferimento solidale Bxyz. I termini lineari proporzionali a g1 scompaiono nell’integrazione per definizione di centro di massa, mentre il termine legato a G2 pu`o essere espresso dalla:
G2 ≈ 3µ R4C
1
2 −32 cos2θ cos2φ sin θ cos θ cos2φ
cos θ sin φ cos φ
