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(a) d(x, y) := |x 2 − y 2 | per x, y ∈ R;

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Geometria 1 – Foglio di esercizi n. 1

3 Ottobre 2013

1. Stabilire quali delle seguenti funzioni sono distanze sugli insiemi indicati.

(a) d(x, y) := |x 2 − y 2 | per x, y ∈ R;

(b) d(x, y) := |x 3 − y 3 | per x, y ∈ R;

(c) d(x, y) := | sin(x) − sin(y)| per x, y ∈ R;

(d) d(x, y) := min{|x − y|, 1} per x, y ∈ R;

(e) d(x, y) := |e x − e y | per x, y ∈ R;

(f) d (x 1 , . . . , x n ), (y 1 , . . . , y n ) := max

i=1,...,n {|x i −y i |} per (x 1 , . . . , x n ), (y 1 , . . . , y n ) ∈ R n ; (g) d (x 1 , . . . , x n ), (y 1 , . . . , y n ) := min

i=1,...,n {|x i −y i |} per (x 1 , . . . , x n ), (y 1 , . . . , y n ) ∈ R n ; (h) d (x 1 , . . . , x n ), (y 1 , . . . , y n ) :=

n−1

X

i=1

|x i − y i | per (x 1 , . . . , x n ), (y 1 , . . . , y n ) ∈ R n ;

(i) d (x 1 , . . . , x n ), (y 1 , . . . , y n ) :=

n

X

i=1

|x i − y i | per (x 1 , . . . , x n ), (y 1 , . . . , y n ) ∈ R n .

2. Sia X un insieme, sia d una pseudometrica su X e per ogni x, y ∈ X poniamo x ∼ y se e solo se d(x, y) = 0.

(a) Provare che ∼ ` e una relazione di equivalenza su X.

(b) Se X 0 := X/∼ (cio` e X 0 ` e l’insieme delle classi di equivalenza di elementi di X rispetto a ∼) si definisca

δ : X 0 × X 0 −→ R, δ([x], [y]) := d(x, y).

Si verifichi che δ ` e ben posta e si provi che (X 0 , δ) ` e uno spazio metrico.

3. Sia (Y, d Y ) uno spazio metrico e sia X un insieme. Sia poi f : X → Y un’applicazione fra insiemi e si definisca

d X : X × X −→ R, d X (x 1 , x 2 ) := d Y f (x 1 ), f (x 2 ).

Si dimostri che

(a) d X ` e una pseudometrica su X;

(b) d X ` e una metrica su X se e solo se f ` e iniettiva.

4. Sia f : X → Y un’applicazione fra spazi metrici. Provare che f ` e continua se e solo se f −1 (C) ` e chiuso in X per ogni chiuso C di Y .

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(2)

5. Sia X un insieme finito e sia P(X) la famiglia di tutti i sottoinsiemi di X. Si ponga d : P(X) × P(X) −→ R, d(A, B) := |A| + |B| − 2|A ∩ B|.

Si provi che d ` e una distanza su P(X).

6. Sia f : [0, +∞) → [0, +∞) una funzione continua tale che (a) f −1 ({0}) = {0},

(b) f (c) ≤ f (a) + f (b) per ogni c ≤ a + b.

Sia poi (X, d) uno spazio metrico. Si dimostri che la funzione d 0 : X × X −→ R, d 0 (x, y) := f d(x, y) 

` e una metrica su X topologicamente equivalente a d.

7. Sia X un insieme e sia d : X × X → R una funzione tale che (a) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

(b) d(x, z) ≤ d(y, x) + d(y, z) per ogni x, y, z ∈ X.

Si provi che d ` e una distanza su X.

8. Determinare le isometrie di R con la metrica euclidea in se stesso.

9. Sia (X, d) uno spazio metrico e sia x 0 ∈ X un punto fissato. Dotiamo R della distanza euclidea. Mostrare che la funzione

x

0

: X −→ R, ∆ x

0

(x) := d(x, x 0 )

` e continua.

10. Sia (X, d) uno spazio metrico. Dimostrare che

|d(x, y) − d(x, z)| ≤ d(y, z) per ogni x, y, z ∈ X.

11. Sia (X, d) uno spazio metrico. Consideriamo l’applicazione d 0 : X × X → R definita nel modo seguente:

d 0 (x, y) :=

1 se d(x, y) > 1, d(x, y) se d(x, y) ≤ 1.

Si dimostri che d 0 ` e una metrica su X topologicamente equivalente a d.

2

(3)

12. Si consideri la funzione d : R 2 × R 2 → R definita da

d (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) :=

|y 1 − y 2 | se x 1 = x 2 ,

|y 1 | + |x 1 − x 2 | + |y 2 | se x 1 6= x 2 .

Provare che (R 2 , d) ` e uno spazio metrico. Disegnare nel piano cartesiano i dischi aperti D R

2

(2, 0), 1, D R

2

(1, 2), 1, D R

2

(1, 1), 2 rispetto alla distanza d.

13. Sia (X, d) uno spazio metrico. Dimostrare che

|d(x, y) − d(z, w)| ≤ d(x, z) + d(y, w) per ogni x, y, z, w ∈ X.

14. Dire quali tra i seguenti sono sottoinsiemi aperti di R 2 dotato della metrica euclidea:

(a) (x, y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 < 1 ∪ {(1, 0)};

(b) (x, y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 1 ; (c) (x, y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 > 1 ; (d) (x, y) ∈ R 2 | y − x 2 = 2 ;

(e) (x, y) ∈ R 2 | x 4 + y 4 ≤ −1 ; (f) (x, y) ∈ R 2 | x 4 + y 2 < 1 .

15. Due metriche d 1 e d 2 su un insieme X si dicono lipschitzianamente equivalenti se esistono costanti C 1 , C 2 > 0 tali che

C 1 d 1 (x, y) ≤ d 2 (x, y) ≤ C 2 d 1 (x, y) per ogni x, y ∈ X.

Siano d 1 e d 2 metriche lipschitzianamente equivalenti su X.

(a) Dimostrare che d 1 e d 2 sono topologicamente equivalenti.

(b) Il viceversa del punto (a) ` e vero? Ossia: ` e vero che due distanze topologicamente equivalenti su X sono lipschitzianamente equivalenti?

16. Sia (X, d) uno spazio metrico e sia R la retta reale con la distanza euclidea.

(a) Siano f, g : X → R continue in x 0 ∈ X. Allora:

i. f ± g e f · g sono continue in x 0 ; ii. f g ` e continua in x 0 se g(x 0 ) 6= 0.

(b) Siano f, g : X → R continue su X. Allora:

i. f ± g e f · g sono continue su X;

ii. A := x ∈ X | g(x) 6= 0 `e aperto in X e f g : A → R `e continua su A.

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