2 Teoremi di rigidit` a per le curve

Geometria Differenziale: Parte 3

Sommario

Isometrie dirette e inverse. Propriet`a delle matrici ortogonali. Teoremi di rigidit`a.

Superfici parametrizzate. Superfici date con equazione cartesiana. Esercizi.

1 Isometrie dirette e inverse

Ricordiamo che un’isometria di f : Rⁿ→ Rⁿsi scrive:

f (x) = Ax + b,

dove A `e una matrice ortogonale e b `e un vettore fissato. f si dice diretta se det A = 1, inversa se det A = −1. In R², una rotazione `e un’isometria diretta, mentre la riflessione attorno a una retta `e un’isometria inversa.

1.1 Matrici ortogonali

Ricordiamo che una matrice quadrata A, di tipo n × n, si dice ortogonale se

AA^t= I. (1)

Quindi una matrice `e ortogonale se e solo se `e invertibile, e l’inversa coincide con la trasposta.

Ne segue anche che A^tA = I. Applicando la formula di Binet ad ambo i membri della (1), e tenendo conto del fatto che det A = det(A^t), otteniamo che:

• se A `e una matrice ortogonale allora det A = ±1.

• L’insieme delle matrici ortogonali di ordine n si denota con O(n) (detto anche gruppo or- togonale di ordine n). Il sottoinsieme formato dalle matrici ortogonali aventi determinante 1 `e denotato con SO(n) (gruppo speciale ortogonale di ordine n).

Le seguenti propriet`a sono di facile verifica: I ∈ O(n); se A, B ∈ O(n) allora AB ∈ O(n) e se A ∈ O(n) allora A⁻¹ ∈ O(n).

Esempio. Introduciamo le seguenti matrici 2 × 2:

R_θ=cos θ − sin θ sin θ cos θ



, S_θ =cos θ sin θ sin θ − cos θ



, θ ∈ R.

Verificare che R_θR_φ = R_θ+φ; in effetti R_θ rappresenta (rispetto alla base canonica di R²) l’applicazione lineare data dalla rotazione di θ radianti intorno all’origine, in senso antiorario.

In particolare, se θ = π/2:

R_π/2 = J =0 −1

1 0

 . cosicch´e J² = −I. `E chiaro che si ha, per ogni θ:

det R_θ = 1.

D’altra parte, un calcolo mostra che S_θ² = I per ogni θ; in effetti, non `e difficile dimostrare che Sθ rappresenta la simmetria (riflessione) del piano attorno alla retta per l’origine che forma un angolo θ/2 con l’asse x. Si ha, per ogni θ:

det S_θ= −1.

Le matrici ortogonali di ordine 2 sono rotazioni R_θ o simmetrie S_θ, per qualche θ ∈ R:

Proposizione 1. Si ha:

O(2) = {R_θ, S_θ: θ ∈ R}, SO(2) = {R_θ: θ ∈ R}.

La propriet`a che segue mostra che una matrice `e ortogonale se e solo se conserva il prodotto scalare canonico di Rⁿ; poich`e il prodotto scalare determina la norma di vettori (quindi la distanza di due punti), risulta che una matrice ortogonale definisce, in particolare, un’isometria di R<sup>n</sup> (che, in piu’, `e lineare per la struttura di spazio vettoriale di Rⁿ).

Teorema 2.

a) Una matrice A ∈ Mat(n × n) `e ortogonale se e solo se hAu, Avi = hu, vi per ogni u, v ∈ Rⁿ.

b) Se A `e una matrice ortogonale, allora |Av| = |v| per ogni v ∈ Rⁿ; inoltre, per ogni u, v ∈ Rⁿ: d(Au, Av) = d(u, v).

Dimostrazione. Data una qualunque matrice A ∈ Mat(n × n), e dati due vettori u, v ∈ Rⁿ si ha sempre:

hAu, vi = hu, A^tvi. (2)

Infatti, sia a_ij l’elemento di riga i e colonna j della matrice A. Se (e₁, . . . , e_n) `e la base canonica di Rⁿ, allora le colonne di A sono Ae1, Ae2, . . . , Aen. Questo implica che:

hAe_i, e_ji = a_ij = he_i, A^te_ji

per ogni i, j. Dunque (2) `e vera per i vettori della base canonica. Scrivendo i vettori arbitrari u e v come combinazione lineare dei vettori della base canonica, e usando le propriet`a di bilinearit`a del prodotto scalare, si dimostra la (2) in generale.

Dimostriamo a). Supponiamo che A sia ortogonale; dunque A^tA = I e, per la (2):

hAu, Avi = hu, A^tAvi = hu, vi per ogni u, v.

Viceversa, supponiamo che si abbia hAu, Avi = hu, vi per ogni u, v: abbiamo allora hu, A^tAvi = hu, vi per ogni u. Di conseguenza A^tAv = v per ogni v, e dunque

A^tA = I.

Questo dimostra che A `e una matrice ortogonale.

Dimostriamo ora b). Sappiamo che |v| =phv, vi dunque, per la a), si ha

|Av| =phAv, Avi = phv, vi = |v|.

Riguardo alla seconda affermazione, ricordiamo che la distanza di due punti u, v di Rⁿsi ottiene come norma della differenza tra u e v:

d(u, v) = |u − v|.

Dunque, per quanto appena detto:

d(Au, Av) = |Au − Av| = |A(u − v)| = |u − v| = d(u, v).

La proposizione seguente `e una facile conseguenza della propriet`a precedente.

Proposizione 3.

a) Una matrice `e ortogonale se e solo se le sue colonne formano una base ortonormale di Rⁿ; quindi, A trasforma basi ortonormali in basi ortonormali.

b) Date due basi ortonormali B = (v1, . . . , vn), B⁰ = (w1, . . . , wn) esiste un’unica matrice A ∈ O(n) che trasforma B in B⁰, cio`e tale che Avi= wi per ogni i = 1, . . . n.

• Una base ortonormale (u₁, . . . , u_n) si dice positivamente (risp. negativamente) orientata se il determinante della matrice di colonne u₁, . . . , u_n vale 1 (risp. −1).

Esempio. In R², se v ha norma unitaria, allora la base ortonormale (v, J v) `e positivamente orientata. Infatti, se v =v₁

v2



allora J v =−v₂ v1



dunque det(v, J v) = v₁²+ v²₂ = 1.

• Date due basi ortonormali positivamente orientate esiste un’unica matrice ortogonale di determinante 1 che trasforma l’una nell’altra. Dunque A ∈ SO(n) se e solo se A trasforma basi ortonormali positivamente orientate in basi ortonormali positivamente orientate.

1.2 La curvatura `e invariante per isometrie

Sia ora α : [0, L] → R² una curva piana PAC, e sia f : R² → R² un’isometria diretta. Dunque f (x) = Ax + b

dove A ∈ SO(n) e b `e il vettore di traslazione. Otteniamo una seconda curva β : [0, L] → R² semplicemente componendo α con f :

β = f ◦ α.

Teorema 4. Nella notazione precedente, sia k_α(s) la curvatura di α in s, e sia k_β(s) la curvatura di β in s. Allora:

kα(s) = kβ(s).

Dimostrazione. Se scriviamo

α(s) =x(s) y(s)



abbiamo

β(s) = Ax(s) y(s)

 + b, dunque:

β⁰(s) = Ax⁰(s) y⁰(s)



= Aα⁰(s). (3)

Indichiamo con Tα(s), Tβ(s) i versori tangenti di α e β, e con Nα(s), Nβ(s) i rispettivi versori normali. La relazione (3) si scrive:

T_β(s) = AT_α(s).

Siccome f `e diretta, A conserva l’orientazione, dunque N_β(s) = AN_α(s).

Ora:

T_β⁰(s) = AT_α⁰(s) = k_α(s)AN_α(s) = k_α(s)N_β(s).

D’altra parte, per definizione abbiamo anche:

T_β⁰(s) = k_β(s)N_β(s), dunque kα(s) = k_β(s).

• Verificare che, se f `e un’isometria inversa, allora k_β(s) = −k_α(s) per ogni s.

2 Teoremi di rigidit` a per le curve

2.1 Curve piane

Teorema 5. Data una funzione ¯k : [0, L] → R, un punto α₀ = x₀ y₀



e un vettore unitario T0 =cos θ₀

sin θ0



esiste un’unica curva α : [0, L] → R² parametrizzata dall’ascissa curvilinea tale

che 









α(0) =x₀ y0

 α⁰(0) = T0

kα(s) = ¯k(s) per ogni s ∈ [0, L].

(4)

dove k_α(s) indica la curvatura di α in s.

Dimostrazione. Iniziamo dall’esistenza. Definiamo una funzione θ : [0, L] → R come segue:

θ(s) = Z s

0

¯k(u) du + θ₀. Siano:









 x(s) =

Z s 0

cos θ(u) du + x0

y(s) = Z s

0

sin θ(u) du + y₀ e si consideri la curva α : [0, L] → R² definita da:

α(s) =x(s) y(s)

 .

Vogliamo dimostrare che α soddisfa i requisiti del teorema. Ora `e chiaro dalla definizione di x(s) e y(s) che α(0) =x₀

y₀



. Inoltre:

α⁰(s) =x⁰(s) y⁰(s)



=cos θ(s) sin θ(s)



quindi α⁰(0) =cos θ0

sin θ₀



= T₀; inoltre α `e parametrizzata dall’ascissa curvilinea, poich`e |α⁰(s)| = 1 per ogni s. Si ha:

α⁰⁰(s) =− sin θ(s) · θ⁰(s) cos θ(s) · θ⁰(s)

 Dunque:

kα(s) = det(α⁰(s), α⁰⁰(s))

=    

cos θ(s) − sin θ(s) · θ⁰(s) sin θ(s) cos θ(s) · θ⁰(s)

= θ⁰(s)

= ¯k(s)

ed effettivamente α ha curvatura prescritta da ¯k.

Unicit`a. Supponiamo che β : [0, L] → R² sia una seconda curva che verifica (4), dunque, in particolare,

k_β(s) = ¯k(s)

per ogni s ∈ [0, L]. Sia T_α(s) (risp. T_β(s)) il versore tangente di α (risp. β). Notiamo che T_α(0) = T_β(0) = T₀.

Vogliamo dimostrare che Tα(s) = Tβ(s) per ogni s. A tale scopo, consideriamo la funzione ψ(s) = hTα(s), Tβ(s)i.

Si ha:

ψ(0) = 1;

se dimostriamo che ψ⁰(s) = 0 per ogni s allora ψ(s) = 1 per ogni s e questo implica che Tα(s) = T_β(s) per ogni s. Ora:

ψ⁰(s) = hT_α⁰(s), T_β(s)i + hT_α(s), T_β⁰(s)i

= ¯k(s)hNα(s), T_β(s)i + ¯k(s)hTα(s), N_β(s)i

Ora N_α(s) = J T_α(s) e N_β(s) = J T_β(s); la matrice di rotazione J soddisfa J² = −I, e inoltre, poich`e `e ortogonale, conserva il prodotto scalare, dunque hJ u, J vi = hu, vi per ogni u, v ∈ R². Dunque:

hN_α(s), T_β(s)i = hJ T_α(s), T_β(s)i

= hJ²Tα(s), J Tβ(s)i

= −hT_α(s), N_β(s)i

cio`e hN_α(s), T_β(s)i = −hT_α(s), N_β(s)i, quindi ψ⁰(s) = 0 e T_α(s) = T_β(s) per ogni s.

Infine, poich`e β(0) = α(0) otteniamo, per ogni s:

β(s) = Z s

0

T_β(u) du + β(0) = Z s

0

Tα(u) du + α(0) = α(s), e il teorema `e dimostrato.

Per una dimostrazione alternativa, vedere la sezione successiva.

2.2 Curve dello spazio

Risulta che curvatura e torsione di una curva dello spazio sono invarianti per isometrie dirette (vedi Esercizio 5). In questa sezione dimostreremo che, a meno di isometrie, esiste un’unica curva con curvatura e torsione assegnate.

Data una curva biregolare α : [0, L] → R sia (T (s), N (s), B(s)) il suo riferimento di Frenet in s.

Allora si ha:

(T⁰(s), N⁰(s), B⁰(s)) = (T (s), N (s), B(s))





0 −k_α(s) 0 k_α(s) 0 τ_α(s)

0 −τ_α(s) 0





Denotiamo con X(s) la matrice 3 × 3 di colonne T (s), N (s), B(s). La matrice X(s) `e ortogonale, e caratterizza il riferimento di Frenet in ciascun punto. Le formule di Frenet si esprimono in forma matriciale:

X⁰(s) = X(s)A(s) (5)

dove

A(s) =





0 −k_α(s) 0 kα(s) 0 τα(s)

0 −τ_α(s) 0





e dove X⁰(s) denota la matrice che si ottiene derivando le entrate di X(s). Nel linguaggio dell’analisi, la (5) `e un sistema omogeneo di equazioni differenziali lineari, e il riferimento di Frenet X(s) `e dunque una soluzione di tale sistema.

In effetti, il seguente lemma, che `e conseguenza della teoria delle equazioni differenziali, ci sar`a utile.

Lemma 6.

a) Sia A : [0, L] → Mat(n × n) una funzione matriciale di s ∈ [0, L], che assumeremo continua.

Allora, l’equazione differenziale

(X⁰(s) = X(s)A(s)

X(0) = X₀ (6)

nell’incognita X(s) ∈ Mat(n × n) e con dato iniziale X0 ∈ Mat(n × n), ammette un’unica soluzione X(s).

b) Se la matrice A(s) `e antisimmetrica per ogni s, e se il dato iniziale X<sub>0</sub> `e una matrice orto- gonale (risp. X₀ ∈ SO(n)) allora la soluzione X(s) `e una matrice ortogonale per ogni s ∈ [0, L]

(risp. X(s) ∈ SO(n) per ogni s).

Dimostrazione. a) L’esistenza e unicit`a della soluzione del problema (6) `e conseguenza della teoria delle equazioni differenziali.

b) Supponiamo ora che A(s) sia antisimmetrica per ogni s. Vogliamo dimostrare che X(s)X(s)^t= I

per ogni s. Ora, prendendo la trasposta ad ambo i membri di (6) otteniamo:

(X⁰(s))^t= A(s)^tX(s)^t.

Poich`e la trasposta della derivata `e uguale alla derivata della trasposta, si ha (X⁰(s))^t = d

ds(X(s)^t); siccome A(s) `e antisimmetrica (A(s)^t= −A(s)) otteniamo d

ds(X(s)^t) = −A(s)X(s)^t. Dunque:

d

ds(X(s)X(s)^t) = d

dsX(s) · X(s)^t+ X(s) · d

ds(X(s)^t)

= X(s)A(s)X(s)^t− X(s)A(s)X(s)^t

= 0.

Poich`e X(0)X(0)<sup>t</sup>= I, si ha in effetti X(s)X(s)<sup>t</sup>= I per ogni s, dunque X(s) `e ortogonale per ogni s. Infine, se det X(0) = 1 allora, per la continuit`a della funzione s 7→ det X(s), si deve avere det X(s) = 1 per ogni s.

Dimostriamo ora il seguente teorema di rigidit`a.

Teorema 7. Date due funzioni: ¯k : [0, L] → R, ¯τ : [0, L] → R (con ¯k > 0), dato un punto α₀ =



 x0

y₀ z₀



 e data una terna ortonormale (T₀, N₀, B₀) positivamente orientata, esiste un’unica curva biregolare α : [0, L] → R³ con α(0) = α0, avente riferimento di Frenet (T0, N0, B0) in s = 0 e tale che:

k_α(s) = ¯k(s), τ_α(s) = ¯τ (s) per ogni s ∈ [0, L]. (7) Dimostrazione. Consideriamo il sistema di equazioni differenziali nell’incognita X(s) ∈ Mat(3×

3):

X⁰(s) = X(s) ¯A(s), (8)

dove

A(s) =¯





0 −¯k(s) 0 k(s)¯ 0 τ (s)¯

0 −¯τ (s) 0



.

Dal lemma precedente, sappiamo che la soluzione X(s) di (8) esiste ed `e univocamente determi- nata dalle condizioni iniziali. Come condizioni iniziali imponiamo:

X(0) = (T0, N0, B0),

la matrice di colonne T₀, N₀, B₀. Dunque X(0) ∈ SO(3) e, ancora per il lemma precedente, X(s) ∈ SO(3) per ogni s. Indichiamo con

t(s), n(s), b(s)

le colonne di X(s) che dunque formano una base ortonormale positivamente orientata. Consi- deriamo ora la curva:

α(s) = Z s

0

t(u) du + α0.

Vogliamo dimostrare che α(s) `e l’unica curva che soddisfa i requisiti del teorema; in particolare α `e biregolare e, se indichiamo con (T (s), N (s), B(s)) il riferimento di Frenet di α, allora:

(T (s), N (s), B(s)) = (t(s), n(s), b(s))

per ogni s. Notiamo che α⁰(s) = t(s), che ha norma 1, e α(0) = α0 ; dunque α `e regolare, ed `e parametrizzata dall’ascissa curvilinea. Quindi:

T (s) = t(s).

Ora:

α⁰⁰(s) = t⁰(s) = ¯k(s)n(s).

Poich`e ¯k(s) > 0 per ogni s, risulta che α<sup>00</sup>(s) 6= 0; dunque α `e biregolare. Sappiamo che α⁰⁰(s) = k_α(s)N (s);

siccome ¯k(s) e’ positivo, si ha necessariamente

k_α(s) = ¯k(s)

per ogni s, e dunque N (s) = n(s). Infine, poich`e (T (s), N (s), B(s)) e (t(s), n(s), b(s)) sono entrambe positivamente orientate, abbiamo necessariamente

B(s) = b(s)

Dunque i riferimenti (T (s), N (s), B(s)) e (t(s), n(s), b(s)) coincidono in ogni punto; in altre parole, la terna (t(s), n(s), b(s)) `e il riferimento di Frenet di α. A questo punto, `e immediato verificare che τα(s) = ¯τ (s) per ogni s, e l’esitenza `e dimostrata. Infine, l’unicit`a `e conseguenza dell’unicit`a della soluzione con dato iniziale fissato. Il teorema `e dunque dimostrato.

Corollario 8. Date due funzioni differenziabili ¯k(s), ¯τ (s) definite su [0, L], con ¯k(s) > 0 per ogni s, esiste almeno una curva biregolare, parametrizzata dall’ascissa curvilinea, α : [0, L] → R³, avente curvatura e torsione prescritte, rispettivamente, da ¯k(s) e ¯τ (s). Se β : [0, L] → R³ `e un’altra tale curva, allora esiste un’isometria diretta f di R³ tale che β = f ◦ α.

Dimostrazione. L’esistenza `e stata dimostrata precedentemente. Dimostriamo l’unicit`a a meno di isometrie dirette. Detti Fα(s) = (Tα(s), Nα(s), Bα(s)) e F_β(s) = (T_β(s), N_β(s), B_β(s)) i riferimenti di Frenet di α e β, rispettivamente, sia A la matrice ortogonale che trasforma F_α(0) in F_β(0); notiamo che det A = 1, poich`e il riferimento di Frenet `e positivamente orientato per ogni s. Consideriamo l’isometria diretta

f (x) = Ax + b,

dove b = β(0) − Aα(0), e consideriamo la curva f ◦ α. Notiamo che, siccome f `e un’isometria diretta, f ◦ α ha curvatura e torsione uguali a quelle di α, quindi prescritte da ¯k e ¯τ . ora

f ◦ α(0) = f (α(0)) = β(0)

e, per costruzione, f ◦ α ha riferimento di Frenet in s = 0 uguale a quello di β: dunque per l’unicit`a nel teorema precedente, si deve avere f ◦ α = β.

3 Superfici

Una superficie parametrizzata dello spazio `e una funzione differenziabile Σ : Ω → R<sup>3</sup> dove Ω `e un dominio del piano R². Dette u, v le coordinate di un punto di D, possiamo dunque scrivere

Σ(u, v) =



 x(u, v) y(u, v) z(u, v)



 che spesso scriveremo anche







x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v)

, (u, v) ∈ Ω.

L’immagine di Σ `e dunque un pezzo di superficie dello spazio.

3.1 Superfici regolari

Consideriamo i vettori ottenuti derivando la funzione vettoriale Σ rispetto a u e a v:

Σ_u =



 xu

y_u zu



, Σ_v =



 xv

y_v zv



.

Notiamo che Σu, Σvassociano a ciascun punto di Ω un vettore di R³; sono quindi campi vettoriali sulla superficie. Se i vettori Σu, Σv sono linermente indipendenti diremo che la superficie Σ `e regolare in (u, v). In tal caso:

• il piano dello spazio passante per il punto P = Σ(u, v) parallelo ai vettori Σ_u e Σ_v `e detto piano tangente a Σ in P .

• il vettore Σ_u∧ Σ_v `e ortogonale sia a Σ<sub>u</sub> che a Σ<sub>v</sub>: dunque `e ortogonale al piano tangente. Il versore

N = 1

|Σ_u∧ Σ_v|Σu∧ Σ_v

`

e detto versore normale alla superficie Σ nel punto dato.

• Le curve u = c dove c `e una costante, sono curve regolari la cui traccia `e interamente contenuta nella superficie. Tali curve sono regolari poich`e il vettore tangente a u = c `e Σv. Stessa cosa per le curve v = c, con vettore tangente Σ_u. Tali curve sono dette linee coordinate della data parametrizzazione.

Dunque, data una superficie Σ, possiamo definire il piano tangente e il versore normale in ogni punto dove Σ `e regolare. Notiamo anche che la condizione di regolarit`a `e equivalente a richiedere che la matrice jacobiana di Σ:

JΣ=



 x_u x_v yu yv

z_u z_v





abbia rango massimo (cio`e due). Questo equivale a dire che il differenziale di Σ, in quanto applicazione lineare da R<sup>2</sup> a R<sup>3</sup>, `e iniettivo in ciascun punto.

4 Esempi

4.1 Sfera

Si consideri l’applicazione:







x = R cos u cos v y = R sin u cos v z = R sin v dove u ∈ [0, 2π), v ∈ (−^π₂,^π₂). Notiamo che

x(u, v)²+ y(u, v)²+ z(u, v)² = R²

dunque le formule descrivono una parametrizzazione della sfera di centro l’origine e raggio R.

Si ha:

Σ_u =





−R sin u cos v R cos u cos v

0



, Σ_v =





−R cos u sin v

−R sin u sin v R cos v



. Si vede che i tre minori della matrice jacobiana hanno determinante:

R²cos u cos²v, R²sin u cos²v, R²sin v cos v,

che si annullano contemporaneamente solo quando v = ±^π₂ (tali valori corrispondono ai poli (0, 0, 1), (0, 0, −1)).

• Le curve v = c sono mappate nella circonferenza (parallelo) di raggio ρ = R cos c, che giace sul piano z = R sin c. In particolare, per c = 0, otteniamo il cerchio massimo, intersezione della sfera con il piano z = 0, e per c = π/2.

• Le curve u = c sono meridiani, tutti passanti per il poli



 0 0 1



 e



 0 0

−1



.

4.2 Piano Le formule







x = 2 − u + 2v y = u + v z = 3 + 3v

dove (u, v) ∈ R² parametrizzano un piano; precisamente, il piano passante per P =



 2 0 3





parallelo ai vettori w1 =





−1 1 0



 e w2 =



 2 1 3



. Per ottenere la sua equazione cartesiana, basta eliminare i parametri u, v. Otteniamo l’equazione

x + y − z + 1 = 0.

In generale, l’applicazione dipendente da u, v:







x = x0+ a1u + a2v y = y₀+ b₁u + b₂v z = z₀+ c₁u + c₂v parametrizza un piano dello spazio.

4.3 Cilindro Le formule:







x = R cos u y = R sin u z = v

parametrizzano il cilindro circolare retto; eliminando i parametri, infatti, otteniamo l’equazione cartesiana

x²+ y² = R², nelle incognite x, y, z. Si ha:

Σu=





−R sin u R cos u

0



, Σv=



 0 0 1



 La matrice jacobiana `e:





−R sin u 0 R cos u 0

0 1





e si vede che ha rango 2 per ogni u, v (poich´e sin u e cos u non possono annullarsi contempora- neamente). Dunque Σ `e regolare per ogni u, v.

• Le linee coordinate u = c sono rette parallele all’asse z; le linee coordinate v = c sono circonferenze di raggio R che giacciono sul piano z = c.

4.4 Cono

Le formule: 





x = v cos u y = v sin u z = v parametrizzano il cono di equazione:

x²+ y² = z²,

ottenuta eliminando i parametri u e v. Abbiamo:

Σu =





−v sin u v cos u

0



, Σv =



 cos u sin u

1



.

Se v = 0 abbiamo Σu = 0 dunque Σ(u, 0) =



 0 0 0



 `e un punto singolare. Se v 6= 0 il minore formato dalle prime due righe e prime due colonne ha determinante

−v sin u cos u v cos u sin u    

= −v²

quindi diverso da zero. Ne segue che la superficie `e regolare per ogni v 6= 0, quindi in ogni punto dell’immagine diverso dall’origine.

Le linee coordinate u = c sono rette passanti per l’origine, che formano con l’asse z un angolo costante. Le linee coordinate v = c sono circonferenze di raggiop|c|, giacenti sul piano z = c.

• Vedere su quale dominio l’applicazione Σ `e iniettiva.

5 Superfici in equazione cartesiana

5.1 Grafici di funzioni

Una superficie si puo’ ottenere anche come grafico di una funzione delle variabili x, y:

z = f (x, y).

In tal caso, una parametrizzazione, su un dominio Ω dove f `e differenziabile, sar`a:





 x = u y = v z = f (u, v) e dunque la matrice jacobiana `e:

JΣ =





1 0

0 1

f_u f_v





che ha evidentemente rango 2 per ogni u, v. Dunque il grafico di una funzione si pu`o sempre parametrizzare in modo regolare.

5.2 Funzioni implicite

Data una funzione f delle variabili x, y, z e dato c ∈ R consideriamo la superficie di livello f⁻¹(c), di equazione:

f (x, y, z) = c,

Diremo che f⁻¹(c) `e regolare in un suo punto p, se, in un intorno di p, essa ammette una parametrizzazione regolare. ¹

Il seguente fatto generalizza l’analogo risultato per le curve:

• Sia p ∈ f⁻¹(c). Se ∇f (p) 6= 0 allora f⁻¹(c) `e regolare in p.

• Se c `e un valore regolare di f (nel senso che f<sup>−1</sup>(c) non contiene punti critici di f ) allora f<sup>−1</sup>(c) `e una superficie regolare in ogni suo punto.

Esempio. Consideriamo l’equazione

x²+ y²− z²= 0.

quindi f (x, y, z) = 0 con f (x, y, z) = x²+ y²− z². Ora il gradiente:

∇f =



 2x 2y

−2z





si annulla solo nell’origine; dunque l’unico valore critico `e c = 0, e di conseguenza le soluzioni di x²+ y²− z² = c, c 6= 0

definiscono una superficie regolare dello spazio. Inoltre l’insieme Γ = {(x, y, z) : x²+ y²− z²= 0} \ {(0, 0, 0)}

`

e, anch’esso, una superficie regolare.

6 Esercizi

Esercizio 1. a) Data la curva piana α : [0, 2π] → R² definita da α(t) = sin(2t) cos t sin(2t) sin t

 , stabilire i valori di t per i quali α `e regolare; per tali valori, determinare la curvatura di α.

b) `E vero che α `e iniettiva ? Disegnare la traccia di α.

c) Calcolare r(t), la distanza di α(t) dall’origine.

Esercizio 2. Data la curva α : [0, L] → R², parametrizzata dall’ascissa curvilinea, e dato un numero r > 0, si consideri la curva β_r: [0, L] → R² definita da:

β_r(s) = α(s) + rN (s), dove N (s) = J α⁰(s) `e il versore normale di α.

a) Per quali valori di r la curva βr `e regolare in s ? b) Per tali valori, calcolare la curvatura di βr.

1Questo significa che esiste  > 0 (eventualmente molto piccolo) tale che l’insieme f⁻¹(c) ∩ B(p, ) si pu`o parametrizzare in modo regolare, dove B(p, ) = {x ∈ R<sup>3</sup>: d(x, p) < } `e la palla aperta di centro p e raggio .

c) Se α parametrizza la circonferenza di raggio R, qual `e la traccia di β<sub>r</sub> ? d) In generale, qual `e la traccia di β_r ?

Esercizio 3. Si consideri la superficie parametrizzata:







x = v cos u y = v sin u z = u

(u, v) ∈ R².

a) Descrivere le linee coordinate u = c e v = c.

b) Determinare il piano tangente alla superficie nel punto (−2, 0, π) della sua immagine, corri- spondente ai valori u = π, v = 2 dei parametri.

c) Determinare il versore normale nel punto generico (u, v).

Esercizio 4. Sia A una matrice ortogonale di ordine 3. Dati u, v ∈ R³, dimostrare che:

Au ∧ Av =

(A(u ∧ v) se det A = 1,

− A(u ∧ v) se det A = −1.

(Suggerimento: dimostrare la formula per i vettori della base canonica, e poi estendere per linearit`a).

Esercizio 5. Sia α : [0, L] → R³ una curva parametrizzata dall’ascissa curvilinea, sia f un’iso- metria di R³ e sia β l’immagine di α tramite f , cio`e β = f ◦ α. Dimostrare che kβ(s) = kα(s) per ogni s, e inoltre:

τ_β(s) =

(τα(s) se f `e diretta,

− τ_α(s) se f `e inversa.

(Usare i risultati dell’esercizio precedente).

Esercizio 6. Si consideri la superficie

Σ = {(x, y, z) ∈ R³: det





1 x y x 1 z y z 1



= 0}.

Quali punti occorre rimuovere da Σ per avere una superficie regolare ?