Prima prova parziale di Calcolo delle probabilit` a Laurea Triennale in Matematica

Prima prova parziale di Calcolo delle probabilit` a Laurea Triennale in Matematica

12/12/2018

COGNOME e NOME ...

N. MATRICOLA...

Esercizio 1.

Sia {X_n}_n≥1 una successione di variabili aleatorie indipendenti supponiamo inoltre:

X_n∼ Geom

 p = 1

3



Y_n := X_n− X_n+1 Z_n:= Πⁿ_k=1Y_k

(a) Studiare la convergenza in distribuzione, in probabilit`a e quasi certa di Z_n per n che tende all’infinito.

(Per la distribizione geometrica vale P (Xn = k) = p(1 − p)^k−1 per ogni k ≥ 1 intero)

Svolgimento

Osserviamo prima di tutto che la probabilit`a che Y<sub>n</sub> sia uguale a zero `e positiva e non dipende da n:

P (Y_n= 0) =

∞

X

k=1

P (X_n = k, X_n+1= k) > P (X_n = 1, X_n+1 = 1) = p² > 0

Volendo la probabilit`a P (Yn = 0) si pu`o anche calcolare in maniera esatta (ma non `e necessario):

P (Y_n= 0) =

∞

X

k=1

P (X_n= k, X_n+1 = k) =

∞

X

k=1

p²(1 − p)^2(k−1) =

= p² (1 − p)²

∞

X

k=1

(1 − p)²
k

= p

2 − p = 1 5 Le variabili {Y_n}_{n pari} sono indipendenti e valeP

n pariP (Y_n= 0) = ∞ quindi per il secondo lemma di Borel Cantelli per quasi ogni ω ∈ Ω esiste n tale che Y_n(ω) = 0 quindi per ogni n ≥ n vale Z_n(ω) = 0 quindi lim_nZ_n(ω) = 0. In conclusione allora vale:

Z_n−−−→^q.c.

n→∞ 0

1

Esercizio 2.

Siano {X_n}_n≥1 e {Y_n}_n≥1 variabili aleatorie indipendenti. Supponiamo:

X_n∼ Esp(λ_n) P (Y_n= −1) = P (Y_n= +1) = 1 2 Z_n:= X_n· Y_n

T_n :=

n²

X

k=n

Z_k con λ²_n= n log n

(a) Calcolare media e varianza di Z_n.

(b) Calcolare media e varianza di Tn e il limite limn→∞V ar(Tn).

(c) Calcolare le funzioni caratteristiche di Z_ne T_n.(Per T_n basta la produttoria) (d)* La successione T_nconverge in distribuzione? Se si, a quale distribuzione

converge.

Suggerimenti utili:

(Se S ∼ Esp(λ) allora E[S] = ¹_λ, V ar[S] = _λ¹2, ϕ_S(t) = _λ−it^λ ) (R ₁

x log xdx = log(log(x)) + c)

(_1+x¹ = 1 − x − o(x)), log(_1+x¹ ) = −x + o(x)) (Se S ∼ N (µ, σ²) allora ϕ_S(t) = e^{iµt−σ2t22} )

Svolgimento

(a) E[Zn] = E[XnY_n] = E[Xn]E[Yn] = _λ¹

n · 0 = 0

V AR[Z_n] = E[Zn²] − (E[Zn])² = E[Xn²]E[Yn²] − 0 = (V AR[X_n] + (E[Xn])²) · 1 V AR[Z_n] = 2

λ²_n = 2 n log(n) (b) E[Tn] =Pn²

k=nE[Zk] = 0 V AR[T_n] =Pn²

k=nV AR[Z_k] V AR[T_n] =

n²

X

k=n

2 λ²_k =

n²

X

k=n

2 k log(k)

Per calcolare il limite possiamo stimare la somma con l’integrale:

Z n²+1 n

2

x log(x)dx ≤ V AR[Tn] ≤ Z n²

n−1

2

x log(x)dx (1) L’integrale tra n e n² si calcola facilmente:

Z n² n

2

x log(x)dx = 2 (log(2) + log(log(n)) − log(log(n))) = 2 log(2)

2

La disequazione (1) diventa:

2 log(2) +

Z n²+1 n²

2

x log(x)dx ≤ V AR[T_n] ≤ 2 log(2) + Z n

n−1

2 x log(x)dx I due integrale nell’equazione precedente tendono evidentemente a zero e dunque per il teorema dei due carabinieri si ha:

n→∞lim V AR[T_n] = 2 log(2)

(c)

ϕZn(t) = E[e^itXnYn] = E[I^Yn=1e^itXnYn+ IYn=−1e^itXnYn] =

= E[I^Yn=1e^itXn+ IYn=−1e^−itXn] == E[I^Yn=1]E[e^itXn] + E[I^Yn=−1]E[e^−itXn] =

= 1

2ϕ_Xn(t) + 1

2ϕ_Xn(−t) = 1 2

 λ_n

λ_n+ it + λ_n λ_n− it



= λ²_n

λ²_n+ t² = 1 1 + _{n log(n)}^t2

ϕ_Tn(t) = Πⁿ_k=n² 1 1 + _{k log(k)}^t2

!

(d) Vogliamo utilizzare il teorema di L´evy. Occorre calcolare il limite lim ϕ_Tn(t).

Sia t 6= 0.

n→∞lim ϕ_Tn(t) = lim

n→∞Πⁿ_k=n² 1 1 + _{k log(k)}^t2

!

= lim

n→∞e

Pn2 k=nlog



 ¹

1+ t2 k log(k)





=

= lim

n→∞e⁻

Pn2 k=n

t2 k log(k)+o

 t2 k log(k)



= e^−t2log(2) nell’ultima uguaglianza `e stato utilizzato lim_nPn²

k=n 1

k log(k) = log(2) ottenuto in maniera analoga a quanto fatto nella parte finale del quesito (b). ( La funzione o detta ” o piccola” utilizzato nell’ultima equazione precedente `e una funzione tale lim<sub>x→0</sub> <sup>o(x)</sup><sub>x</sub> = 0 ed `e la stessa funzione in tutti gli addenti della sommatoria.)

3

Esercizio 3.

Sia {X_n}_n≥1 una successione di variabili aleatorie indipendenti supponiamo inoltre:

X_n∼ Geom

 p = 1

3



Z_n:= Πⁿ_k=1X_k Tn := pⁿ

Zn

(a) Studiare la convergenza in distribuzione, in probabilit`a e quasi certa di Tn per n che tende all’infinito.

(Sugg: per α ∈ (0, 1) vale P∞

k=1α^klog(k) = C_α < ∞ ) Svolgimento

T_n = (X₁· X₂· · · X_n)ⁿ¹ = e^{log(X1·X2···Xn)}

n1

= elog(X1)+log(X2)+···+log(Xn) n

Sia Yn:= log(Xn) e Wn := ^{Y1+Y2+···+Y}_n ⁿ cosicch `e:

T_n= eY1+Y2+···+Yn

n = e^Wn

Le variabili {Y_n}_n∈N sono i.i.d. e vale E[Yⁿ] = E[log(Xⁿ)] = X

k≥1

log(k)p(1 − p)^k−1 = p

1 − pC1−p< ∞ Per la legge forte dei grandi numeri allora vale

Wn

−−−→q.c.

n→∞

pC1−p

1 − p

infine poich´e l’esponenziale `e una funzione continua allora vale:

T_n−−−→^q.c.

n→∞ e^pC1−p1−p

4