CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
PROVA SCRITTA DEL 16/2/2010
PRIMA PARTE
Esercizio 1
Uno studente universitario, dovendo recarsi presso il proprio Ateneo per seguire le lezioni, utilizza l’autobus nel 65% dei casi, la metropolitana il 20% delle volte ed il treno in tutti gli altri casi. Lo studente arriva in orario a lezione con probabilità 0.35 quando si serve dell’autobus, con probabilità 0.75 quando fa uso della metropolitana e con probabilità 0.55 quando prende il treno. Definiti gli eventi
A = {lo studente prende l’autobus}, M = {lo studente prende la metropolitana}, T = {lo studente prende il treno}, O = {lo studente arriva in orario a lezione}, (1.1) si stabilisca se A e M sono indipendenti, motivando la risposta;
(1.2) si stabilisca se T e O sono incompatibili, motivando la risposta;
(1.3) si calcolino P(A ∩ O) e P(A – O);
(1.4) si determini con quale probabilità lo studente arriva in orario a lezione, motivando la risposta;
(1.5) si calcoli la probabilità che lo studente non si sia servito della metropolitana dato che è arrivato in orario a lezione, motivando la risposta;
Soluzione
Sono date P( A ) = 0.65, P( M ) = 0.20, P( O | A ) = 0.35, P( O | M ) = 0.75 e P( O | T ) = 0.55.
(1.1) A e M sono incompatibili ⇒ A e M non sono indipendenti.
(1.2) Gli eventi T e O non sono incompatibili, perché se lo fossero si avrebbe P( O | T ) = 0.
(1.3) P(A ∩ O) = P( O | A ) P( A ) = (0.35)(0.65) = 0.2275;
P(A – O) = P( A ) – P(A ∩ O) = 0.65 – 0.2275 = 0.4225.
(1.4) Per la legge delle alternative P( O ) = P( O | A ) P( A ) + P( O | M ) P( M ) + P( O | T ) P( T )
= (0.35)(0.65) + (0.75)(0.20) + (0.55)(1-0.65-0.20) = 0.2275 + 0.15 + 0.0825 = 0.46.
(1.5) P(M | O ) = 1 – P( M | O ) = 1 – P( O | M ) P( M ) / P( O ) = 1 – 0.15 / 0.46 = 1 – 0.3261
= 0.6739, grazie alla formula di Bayes.
Quesito
Si dimostri che se A, B e C rappresentano tre eventi qualsiasi, allora vale la formula seguente:
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A∩B) − P(A∩C) − P(B∩C) + P(A∩B∩C).
Soluzione
P(A∪B∪C) = P(A∪B)+P(C)−P[(A∪B)∩C] = P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P[(A∩C)∪(B∩C)]
= P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C)+P(A∩B∩C).
Esercizio 2
Si consideri un’urna contenente 10 palline, delle quali 7 sono verdi e 3 rosse.
Sia X la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 4 estratto con reinserimento dall’urna.
(2.1) Si specifichi la distribuzione della v.c. X (con particolare riferimento al valore dei parametri che la caratterizzano) e si calcoli P(0.5 < X < 2.5).
Sia Y la v.c. che rappresenta il numero di palline rosse estratte dall’urna prima di ottenere la prima pallina verde, supponendo che le estrazioni avvengano sempre con reinserimento.
(2.2) Si specifichi la distribuzione della v.c. Y e si calcoli P(Y > 2).
(2.3) Si determinino E(Y) e Var(Y).
(2.4) Si verifichi che la v.c. Y gode della proprietà di assenza di memoria.
Sia Z la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 4 estratto senza reinserimento dall’urna considerata.
(2.5) Si specifichi la distribuzione della v.c. Z (con particolare riferimento al valore dei parametri che la caratterizzano) e si calcoli la probabilità che la metà delle palline estratte siano rosse.
Soluzione
Si consideri un’urna contenente 10 palline, delle quali 7 verdi e 3 rosse.
Sia X la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 4 estratto con reinserimento.
(2.1) X ha distribuzione Binomiale(n,θ) con n = 4 e θ = 0.7;
P(0.5 < X < 2.5) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0.0756 + 0.2646 = 0.3402.
Sia Y la v.c. che rappresenta il numero di palline rosse estratte prima di ottenere la prima pallina verde estraendo con reinserimento.
(2.2) Y ha distribuzione Geometrica(θ) con θ = 0.7;
P(Y > 2) = P(Y ≥ 3) = (1 − θ)3 = (0.3)3 = 0.027.
(2.3) E(Y) = (1 − θ) / θ = 0.3 / 0.7 = 0.4286; Var(Y) = (1 − θ) / θ2 = 0.3 / 0.49 = 0.6122.
(2.4) P(Y ≥ t + u | Y ≥ t) = P(Y ≥ u) [...].
Sia Z la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 4 estratto senza reinserimento.
(2.5) Z ha distribuzione Ipergeometrica(n,K,N) con n = 4, K = 7 e N = 10;
P(Z = 2) =
4 10 2 3 2
7 =
2 3 4
7 8 9 10 1 3 2
6 7
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ =
10
3 = 0.3.
SECONDA PARTE
Esercizio 3
(3.1) Si verifichi che ϕ(x,y) = e−2x (x>0, 0<y<2) rappresenta la funzione di densità di una v.c.
bidimensionale (X,Y).
(3.2) Si determinino le funzioni di densità delle v.c. marginali.
(3.3) Si stabilisca se X e Y sono indipendenti e/o identicamente distribuite, motivando le risposte.
Siano X1 e X2 v.c. indipendenti e distribuite come X e sia S = X1 + X2. (3.4) Si determini la distribuzione della v.c. S e si calcoli Cov(X1,S).
Siano Y1,…,Yn v.c. indipendenti e distribuite come Y e sia Tn = Y1 + … + Yn.
(3.5) Per n = 300 si calcoli P(295 < Tn < 310), giustificando la risposta con un opportuno teorema (di cui si richiede l’enunciato completo di tutte le ipotesi).
Esercizio 3
(3.1) ϕ
( )
x,y =e−2x >0(
x>0< y<2)
;( )
,[ ]
0[ ]
20 12 2 1 0
2
0 2 0
2
0
2 = =− =
=+∞ − +∞ − − +∞
+∞
∞
− +∞
∞
−
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
ϕ x y dxdy e xdxdy e xdx dy e x y .(3.2) Le funzioni di densità delle v.c. marginali sono date da:
ϕ(x) = 2e-2x (x>0) e ψ(y) = 1/2 (0<y<2).
(3.3) X e Y sono indipendenti e non sono identicamente distribuite […].
Le v.c. X1 e X2 sono indipendenti e distribuite come X ∼ Gamma(1,2).
(3.4) S = X1 + X2 ∼ Gamma(2,2) per la proprietà riproduttiva della distribuzione Gamma;
Cov(X1,S) = Cov(X1, X1) + Cov(X1, X2) = Var(X) = 1/4.
Le v.c. Y1,…,Yn sono indipendenti e distribuite come Y ∼ Uniforme(0,2) che ha media µ = 1 e varianza σ2 = 22 / 12 = 1/3.
(3.5) In virtù del Teorema centrale del limite Tn = Y1 + … + Yn ≈ N(n,n/3), cosicché per n = 300 P(295<Tn<310) ≅ P(-0.5<Z<1) = Φ(1) − Φ(-0.5) = 0.8413 – 0.3085 = 0.5328.
