Moti einsteiniani di un mezzo disgregato con simmetria sferica.

M o t i e i n s t e i n i a n i di un m e z z o d i s g r e g a t o con s i m m e t r i a sferica.

Memoria di Hxl~RY Lr~rY (*) (a Zurigo).

L ' o g g e t t o di q u e s t o l a v o r o 6 di c o n s i d e r a r e il moto einsteiniano di un mezzo indefinito n e l l ' i p o t e s i c h e c o r r i s p o n d e al caso n e w t o n i a n o della m u t u a g r a v i t a z i o n e delle p a r t i c e l i e m a t e r i a l i c h e lo costituiscono. S u p p o n i a m o in p a r t i c o l a r e c h e il s i s t e m a sia dotato di s i m m e t r i a a t t o r n o ad un centro, cio6 c h e ta d e n s i t h p. e la velocit~ v siano funzioni s o l a m e n t e del t e m p o e della d i s t a n z a dal centro.

L a f b r m a q u a t e r n a r i a c h e c o n g l o b a le m i s u r e dello spazio e del t e m p o 6 riducibile, q u a u d o sussiste u n a tale s i m m e t r i a , alla f o r m a (~)

(1) d s ~ ~ :¢dt ~ -4- 2 ~ d t d r - - 7 d r ~ - - TrY(d0 * -4- sen'* Od¢~'%

essendo ~', 0, ~ c o o r d i n a t e sferiche, :¢ e ~ funzioni delle due variabili t e d r , 7 d e l l a r sola.

I n t r o d u c i a m o ora, al posto delle t ed r , d u e loro c o m b i n a z i o n i indipen- d e n t i qualsivogliono,

~(x0,

~') ~ o,

Xo - - X o ( t , r ) , x ~ - - x , ( t ,

r), ] - - ~(t,

di cui ci r i s e r v i a m o di d i s p o r r e in m o d o o p p o r t u n o ; di pid p o n i a m o x~ ~ 0, x 3 ~ % P o s s i a m o in c o n f o r m i t h s c r i v e r e la (1) sotto la f b r m a

(2)

od a n c h e (2')

1 0

d s ~ - - e ~ ds~

(*) National Research Fellow (U. S. A.).

(t) Cfr. LEvI-CIvITA~ •Ul moto dei sistemi eon h'e 9radi di libert& Rendiconti delPAeea- demia doi Lincei~ vol. V~ (5a), p. 1701 oppure PALATINI~ J~O spostame,nto del perietio di Mer- e~trio. II (( Nuovo Cimento ~>, tomo XIV, (aerie 6 a, I917), p. 20.

108 H. L~:v~: Moti e i n s t e i n i a n i

ove, p e r b r e v i t h , si p o n g a

(3) Us ° - - "~ E g ~ ) d x i d x ~ __ d x . , . - - sen ~ x~dx:~. ,,

o

O s s e r v i a m o infine che la f o r m a b i n a r i a

1 0

(4) d ~ =- E g ~ ) d x i d x j

0

d e v e e s s e r e indefinita.

L e equazioni e i n s t e i n i a n e q m m d o si t r a t t a di m a t e r i a d i s g r e g a t a in moto, (ciod, col l i n g u a g g i o ordinario, s o g g e t t a u n i c a m e n t e a l l ' a t t r a z i o n e m u t u a dellc p a r t i c e l l e c h e l a costiluiscono) sono (')

[ [~-- , 1 , 2 , 3 ) ,

(5) R ~ - - ~ R g ~ == ~),~),[~ (% ' 0

e s s e n d o ga~ i coefficienti della f o r m a f o n d a m e n t a l c (2), R~[~ il t e n s o r e di Rmc~

ed R la c u r v a t u r a m e d i a delia s t e s s a (2). Infine [~ 5 la densit~'~ della m a t e r i a nel posto e n e l l ' i s t a n t e c o n s i d e r a t o e Xz sono i m o m e n t i (in quel posto e in quel- l ' i s t a n t e ) della linea o r a r i a d e s c r i t t a dalla g e n e r i c a p a r t i c e l l a (che lo occupa).

D a l l a (2) si h a

~s.~(0)

c o l l ' i n t e s a che g(O) (p, q __ 2, 3) sono d a t e dalla

(6) E g ~ d x ~ d x q ~ - - dx~ - - sen ~ x o d x ~ .

2

P o s s i a m o quindi c a l c o l a r e R~t~ ed R per m e z z o delle relazioni fra d u e spazi in r a p p r e s e n t a z i o n e c o n f o r m e .

D(0)

Infatti se si d e s i g n a con ~ il t e n s o r e di RICCI rispetto alla (3), con R (~) la c u r v a t u r a m e d i a delia (3) stessa, si ha ('0):

(7)

R ~ ---- R 0 --I- z('c0 - - ~:Sj) + y~J ~'~t " -F- R~q "-- ,~pq "4- gpq(Za~ • A- ~(o> (o).~.(o) h,(,0)~)

R t v R p , R('°)

R - - e -0"~ (R (°, + 6~(~°>z + 6~°)~)

(i, j --- O, 1 ; p , q ~ 2, 3)

(l) Cfr. WnIL It., Raum, Zeit, Materie, (Springer, Berlin), p. 217.

(e) Vedasi LEvFCIvlT.% Lezioui di ealeolo differeuziale assoluto. (A. S~;ock, Romn, 1925), p. 241 i oppure EISENHART~ Riemamdan Geometry. (Princeton, University Press~ Princeton, U. S. A, 1926~, p. 90.

di u n mezzo disgregato con $ i m m e t r i a s f e r i c a 109

~'~ (0)

d o v e ":, ~ la d e r i v a t a ~ - ~ ; ":o sono le d e r i v a t e c o v a r i a n t i di ~ , ~o),: il para- m e t r o differenziale p r i m o di ":, h(2°)': il secondo, tutti rispetto ai ds~o (3) oppure (essendo la (3) s e p a r a b i l e e x i n d i p e n d e n t e delle x~, x~) al do~ (4).

D(0)

L e espressioni delle ~t~ si o t t e n g o n o f a c i l m e n t e sotto la f o r m a

~?(.o) ~ (o) ,~(o) (0)

(8) ~"~ ~--- - - a ° g o ' ~ q - - g~q' (i, j - - O, 1 ; p , q - - 2, 3) R(.O) ~(o) __

essendo h o la c u r v a t u r a di GAuss della f o r m a b i n a r i a (4).

D u n q u e

R (°) - - - - 2 h o -{- 2 ed a b b i a m o cosi 4alle (7) ed (8)

1 (o> h(lo)~ + ~,.<o) , co)

R ~ - - -~ R g o = 2 ( ~ - - ~5.~) - - (1 + za,~ ":)go

1 A~0),: o A ( o ) , (o)

(9) Rpq - - ~ R g p q --_ (h o - - - - ~ ,:)gpq (i, j - - - O , 1", p, q----P~, 3).

1

D a l l ' i p o t e s i che il m o t e resti s i m m e t r i c o a t t o r n o al c e n t r e c o n s e g u c d x 2 d x 3

c h e - - - - - - - - 0.

d s d s

3 d x J

P e r t a n t o a n c h e le ),~-~2ogj~.= - d s si a n n u l l a n o , ( p - - - 2 , 3), e le dieci equa- zioni f o n d a m e n t a l i (5) si r i d u c o n o alle q u a t t r o s e g u e n t i :

l

(o)

(10) h 0 - - 5 1 x - - 2 h ~ " : = 0 ( i , j - - ' O , 1).

~.. (0)

zi'~j - - z~'cj) - - (1 -I- ho)g~ °) - -

p, XiJkj

F i n e a questo punto le variabili Xo, x i d e s i g n a n o funzioni qualsiasi di r e di t. P o s s i a m o facilitare lo studio delle (10) se s u p p o n i a m o di a s s u m e r e c o m e linee p a r a m e t r i c h e d x o - ~ 0 le linee o r a r i e del m o t e di m o m e n t i ),~ e c o m e c u r v e d x ~ . = 0 le lore truiettorie ortogonali. Si a n n u l l a con ci5 g.(~i! ed a n c h e )'o, e le (10) d i v e n t a n o

,;:(o) _ _ "g0~t __,. 0

I

-, (0)

,. ,_(o)

p,X~.

~(.:~o> __ .~) _ (1 + , , . o J ~ , = ( l l )

110 H. LEVY: Moti eiusteiniani

La c u r v a t u r a K della tbrma

t

(12) d¢~" = Y, g i f l x ~ d x j - - a.~d%'Z data du (~)

(13) h o = e ~ ( K + A.,z)

d o v e A.~: 5 il p a r a m e t r o differenziale secondo di z rispetto alla (12).

Siano z~ le d e r i v a t e covarianti di z, rispetto alla~ (12) s t e s s a ; ~ atlora (~)

(14) _(o)

essendo 5 ~ il p a r a m e t r o differenziale primo di ~ rispetto alia (12), e dunque

'*'t

(15) h~% - - e" 5~:.

Di pifl, dalle (14)

'~'t:

(15') 5'~ : e" ,X~.

Poich~ le linee d x o - - 0 souo linee orarie delle particelle materiali, esse devono a p p a r t e n e r e a.1 cono delle direzioni spaziali, cio~ g~ ~ 0 (3), a cui goo 2> 0. Ponendo

V~ - - goo, H " - - - - g ~

le (11) si possono s c r i v e r e per mezzo delle (13), (14), (15) e (15')sotto la forma K - - 5 , _ h . 2 , = 0

zoi -I- ~:o'ci = 0

"2 3,1:9

2 3_- % H i - - e - ~

(11') H~ - - V~ + 0

2 V o _ V2 H ~ + e - ' ~ = ~ H o .

0 s s e r v i a m o che, pur a v e n d o fissato le linee coordinate, si pu6 ancora disporre dei loro p a r a m e t r i x0 ed x~.

Nel sistema delle coordinate che a b b i a m o introdotto ; ~ - - - g , , - - - H " e d a l l ' u l t i m a delle (11') od (11) si pu6 r i c a v a r e la densitL'~ l~. Resta pertanto da c o n s i d e r a r e un sistema di tre equazioni in cui figurano tre flmzioni incognite

(~) Cfr. EISENHAR% loc. cir., p. 90~ dove /~ = - 2K.

('z) Vedasi Ll~vvCIvrrA, Lezioni~ p. 239.

(~) Cfr. L~vI-CIvlTA, Zezioui. p. 162: oppnre E D D I N G T O N ~ The Mathematical Theory of Relativity. (Cambridge University Press, 192¢), p. 22.

di un mezzo disg).egato eoa simmet,~ia sferiea 111

(di due w~riabili) e le loro d e r i v a t e prime e seconde. O v v i a m e n t e l ' i n t e g r a l e generale di uu tal sistema contiene funzioni arbitrarie. Cerchiamo prima di t r o v a r n e alcune soluzioni particolari.

Supponiamo che -: dipenda soltanto da xo (tempo), cio~ % - - 0 . P e r soddi- slate alia s e c o n d a delle (11'), anche V d e v e essere una funzione della sola Xo, e le altre due delle (11') divengono

K ('c')~ ~:" I-- "c'V' "c' H ' : 0

V" V 2 V :~ V" H

(16).

2H' V"e -''~

" ( + - ~ - + . - - - r - - == 0

dove gli apici indicano derivazioni rispetto a l l ' a r g o m e n t o x0. La c u r v a t u r a di una forma binaria (nell'ipotesi che V dipenda da, lla sola xo) ~ (~)

- - H " H ' V'

(17) K = ~ + - H V -~"

Sostituendo q u e s t a espressione det valore di K nella prima delle (16) e semplificando il risultato p e r mezzo delia seconda delle (16), otteniamo (18) i ( z , ) 2 + V e e _ ~ l l z , , + l . ~ ] v e - + ~ ( ' : ) " ~ 3 ,0 z~-~'l--O.

Poieh~ V e z dipendono dalla sola xo, possiamo scegliere il p a r a m e t r o xo in tal modo che V : ~ 4 e * L L a (18) quindi divieue

da cui

2"d' + (~')~ + 4 - - O,

• ' = -- 2 tan (xo -t-- c),

dove c ~ la costante d' integrazione. Con ulteriore integrazione, si ha la z stessa, e ~ = A ~ cos 4 (xo + c),

essendo A ~ costante. Dalla s e c o n d a delle (16), mediaute integrazione semplice, r i c a v i a m o

H ~ - - B tan ~ (Xo + c)

essendo B a priori una funzione arbitraria di x~; la possiamo per6 porre uguale ad 1/A ~ per mezzo di uno scelto conveniente del p a r a m e t r o x~.

(t) V. BIANCm, Lezio)d di geometrh~ differenziale,. (Zaniehelli~ Bntogna, ]922), vol. I, p. 124.

112 H. LEVY: Moti einsteiniani

(19)

R a c c o g l i e n d o q u e s t i risultati, a b b i a m o e h e il ds ~ 5 dato d a ds ~" = 4A ~ cos ~ (xo "+- c)dso - - tan °" (xo + c)d:v~

- - A ~ c o s ~ (xo + c)(dx~ +- s e a ~- x~dx'~).

D a l l a (17) a b b i a m o

K ~ - - 1

A e c o s 6 ( x o q- v) '

ed a v e n d o r i g u a r d o all' u l t i m a delle (11') s e g u e (dopo u n a s e m p l i c e ealcola- zione) t h e la d e n s i t g 1' e u g u a l e a z e r o , cio8 Io s p a z i o ~ v u o t o .

V e d i a m o e h e l a (19) ~ la f o r m a pifi g e n e r a l e s o d d i s f a e e n t e alle (11') p e r la q u a l e • ~ una f u n z i o n e della sola :vo.

C e r c h i a m o o r m a i di r i s o l v e r e le (11') n e l l ' i p o t e s i c h e ": sia u n a f u n z i o n e d e l l a sola x~,

(20) • = ~(x~), % ~ 0.

U n a soluzione, in q u e s t o easo, s a r a la i b r m a b e n n o t a di SCHWARZSCIIILD

(~)

(21)

la q u a l e c o r r i s p o n d e al caso fisico di uno s p a z i o in cui la m a t e r i a 'e d i s t r i b u i t a s i m m e t r i c a m e n t e i n t o r n o ad un punto, o in p a r t i c o l a r e c o n c e n t r a t a in q u e l punto, il c e n t r o di s i m m e t r i a . Noi t r o v e r e m o che, n e l l ' i p o t e s i (20), p o t r e m o i n t e g r a r e le (11') e r i c a v a r n e la s o l u z i o n e g e n e r a l e ; v e d r e m o i n o l t r e c h e l a (21) u n a soluzione p a r t i c o l a v e ; e s s a ~ p e r b la s o l u z i o n e g e n e r a l e se si a g g i u n g e alla (20) la c o n d i z i o n e c h e l a d e n s i t g ~ si a n n u l l i (~).

I n f a t t i d a l l a s e c o n d a delle (11') s e g u e ( a t t r a v e r s o la (20)) c h e H~ a n c h e essa~ d i p e n d e d a l l a sola x~; con cib la p r i m a e la t e r z a delle (1t') si r i d u c o n o alle

V q - (~:~)~ --" 0 (22) 1 2 ~ , , _ 2 ~ t ~ + 3(':') 2 - H ~ e - ~ = O

(l) Vedasi; per es., WEYL~ |OC. cir., p. 231.

(~) Cib /~ gig stato osservato da BIRKHOFF, Relativity and Moder~ Physics. (Harvard, University Press~ Cambridg% U. S. A.), p. 210. Veda si anche BUINI{~A~N~ Sohetions of the

Ei~s/ei~ eq~,ation.+ for era:pry .~paee, lavoro presentato alia ~ American Mathematical Society ~>

ed annunciato nel << Bulletin Am. Math. Soc. ~, vol. 32~ (1926)~ p. 70.

di u u mezzo disgregato con s i m m e t r i a s f e r i c a l l B

dove gli apici indicano derivazioni rispetto a l I ' a r g o m e n t o x~. L a seconda delle (22) si pub s c r i v e r e

(23) ~" ~ ^{d ( e ~} k ~ ] + ~ (~ + ~ ' ) ^{e "-; , -} i = o.

5foltiplicando da -:'e ~ ed integrando, r i c a v i a m o

(24) H" - - - ~

e ~ - - a

essendo a la costante d'integrazione.

La prima delle (22) si pub semplificare sostituendo al posto di K il suo valore (~).

(173 K - - V" H ' V'

- - V I I ~ H 3 V

ed eliminando H per mezzo della (24). 0 t t e n i a m o

(25) v" - - V' ~' + ~'~ - - 2 ci~ - - a J t e~(~') ~" = O.

- - (~')"--+-2e~ a

Le (24) e (25) definiscono V ed H come funzioni di z essendo ~ arbitraria.

Ma x I 6 un p a r a m e t r o qualsiasi lungo le linee orarie e possiamo quindi sce- gliere x, in ta[ modo che si dia alia (25) un aspetto semplice. Ponendo pertanto

(26) z - - log :vi, x ,

a b b i a m o dalla (24)

(24') H . z ^__ x - - a ,

x e la (25) si riduce alia

i ' ' } I 1 1, o

(25') V" - - V' ~ - b 2(x~ - - a) -1- V 2 x ~ ( x ~ - - a) - - 2 x ~ i

Possiamo integrare la (25')pill facilmente se introduciamo come variabile

Q) Cfr. BIASC~ZI~ loc. cit.~ p. 124.

Amzali dl Mat~matica, 8erio I V , 'l'omo I V .

H. LEVY: M o t i e i n s t e i n i a n i

indipendente (81 posto della X~) le y definita dalla

(27)

L a (25') cosi diviene (25")

! ] = H F x~ "

8 2 l( 8 V

(1 - : f ) # + 2 ¢ = o .

Vediamo subito che V - = y , cio6

(28)

[[" X l e t t n a soluzioue

t e l l e r e ponendo

(29)

particolare della (25"). La sua soluzione generale si pub ot- V - - y V

con ei6 si passa dalla (25"), equazione del seeondo ordine~ alla

, 8 ' V ~ V

(:30) (1 - - !fi)y ~ : i + 2(1 - - 27f) ~ - - O,

ta quale 6 essenzialmente del primo ordine. Nella (30) le variabili sono sepa- rabili~ e si ha p e r integrazione

~ i z ~

~y y" 1 - - y'~

essendo a la costante d'integrazione, eio6 una funzione della Xo. Con seconda integrazione si ottiene V, e dalla (29) si ha V,

- (

l+v

(31) V - - y V - - - ~ - - 1 + ~ l - - y ]

UTla

dove ~ 6 una funzione qualsiasi di xo. 1~ necessario distinguere le due even- tualiff~, o: uguate o d i v e r s a da zero. N;el primo ease (e---0) possiamo disporre del p a r a m e t r o xo in tal mode ehe ~ = 1; e sostituendo al posto di y il sue valore date dalla (27), a b b i a m o

V~--- - 1 - - - - a ')gt

e la forma q u a t e r n a r i a non 6 altro ehe le~ (20). Si pub verificare con una semplice calcolazione per mezzo d e l l ' u l t i m a delle (11') che la densitit t~ si mmulla,

di uu mezzo disgregato coa simmetria sferica t15

S e a 6 d i v e r s a da zero, possiamo (mediante una scelta c o n v e n i e n t e dell' xo) uguagliarla ad I. Abbiamo d u n q u e dalle {31) e (27) che

I / X _, - ff

(3~) v = - 1 +

,- -~i-

~)

d s ~ = I, - - 1 + [ - - - ~ - - - - log [~(.~co) (V.~-t 4- V x---~ ~--a)] t) dxT,°

(33) Xi dx", "~ 'z

- - x,(dw~ + sen" xflx~).

x i - - a

Dall' ultima delle (11') r i c a v i a m o la densitk 1~

(34) lz ^-- 1

x ~ - - V x ~ ( x , - a ) l o g ~ (Vx-~ --I-- V x , - - a)"

Corn'4 naturale, il centro (x i - - 0 ) ~ un punto critico, cio+ la densit/t vi 6 infinita. Ma esistono degli altri punti critici definiti dalla

(.'V)) V.T, -- V x , - - a log ~ ( V ~ + V ~ , ) = 0.

Siccome le due c u r v e

h a n n o un solo punto d ' i n t e r s e z i o n e p e r il quale 6 x ~ a, segue c h e l a (35) ha un' unica soluzione p e r ogni ~.

L a ma.ssa totale del sistema esterno ad una sfera fissa sarebbe (t)

M - - 4 ~ l x H x , ~ d x

R

dove R, il valore di x t p e r la sfera data, 5 m a g g i o r e del valore critico di x~

ottenuto dalla (35). Dalla (27) si ha

,, x t 1

xTl~H

, , ~ - ~ ~ - ~og ~(V~, + V.~-7-- a)

(t) Cfr. EDDINGTON, |oC. cir., p. 110.

116 H . L E V Y : ~h~ti einMeini, ni

oppure

8 x~

Dnnque

1/

M =- - - 8 ~ x d x ~ a ) log - - . . ,

R ' p ' X t - - (¢~

Se x~ 6 nbbastnnz~ grande, d[ciamo x ~ > N

- - - - + log ~(V~ + V . , - a) i.

+ log ~(VG + V a)i dx,.

- - - X i - -

1' espressioue sotto .il segno d ' i n t e g r a z i o n e 6 positiva, e quindi

o I O . . .

, •

R t X I _ _ a ~.

Segue pertnnto che la massa totale inte~'na ad una c'rosta sferiea e,~'esee indefinitau~ente a l crescere del raggio della sfe.ra che la limita esteJ'namente.

Il nostro favor% fin qui, mostrn che ogni soluzione delle (11') p e r lee quale z d i p e n d e da u n a sola eariabile b riducibile ad ~o~a delle l~'e f o r m e (19), (20), o (33). Resta pertanto da considerare il caso che ~ sin una fuuzione di a m b e d u e le vfixiabili ~0 ed x~. Unn tale soluzione si p o t r e b b e ottenere direttnmente dalle (11') se supponessimo che H dipenda solnmente dalla w~.

Mn prima mostrinmo t h e ci6 6 un'ipotesi naturale.

[nfatti dnlla prima delle (ll'), a t t r a v e r s o le seconda e terza, possiamo r i c a v a r e a l g e b r i c a m e n t e la d e r i v a t a secondn covn, riante zoo. A v r e m o poi tre equazioni che definiramm esplicitamente le tre d e r i v a t e seconde cow~rianti -%: (/, j = l, 2) come funzioni delle d e r i v a t e prime di z e delle attrc inco- gnite (V ed H), da eui potremo ottenere due nitre equazioni, le condizioni d'integrnbilith. Vedremo che si potr~ soddisfare unn di queste due condizioni col p r e n d e r e H come flmzione della soIn x~.

Introduciamo U

(36) U -= e ~ , "~ = tog U.

(37)

A b b i a m o dunque (i)

z ~ - - g ] , ~ J = U - - U ~ , A : A , U ~ A2 z A2U A,U

' - - U U ~ "

(i'~ C, fr. L E v I - C [ v I T A ~ loe, cit., I). 241.

di un mezzo disgregato con simmetria sferica I17 Dalle (11') possiamo esprimere Utj come funzioni delle altre incognite; le troviamo senza difficolth:

(38-1) Uoo - - ( A'U'+" I 2 ~ -t-- K U) V "2

(38-2) l,roi = 0

A, UA- 1 .

(38-3) Ui, - - (--2-U --)/-/ .

Le condizioni d'integrabilit/~ sono (i)

1

(39) U u a - - U ~ k j - - - E U ,x=o ¢'Rqlt ' ¢'

dove Ui~h sono le deriwtte terze covarianti rispetto alia (12) ed R ~ i simboli di RIEMANN della (I2) stessa.. Questi sono (essendo ht (12) a due dimensioni) della forma

r if, *'{l

(40)

dove, come solito, ~ : _I¢ 0, :¢ ~ h, ~ - - 1 , _a e le gij sono i coefficienti della. (12), oppure

(4l) g o o - - V ~, g o , : 0 , gjt --- - - H L Le (39) si possono quindi scrivere

(39') U~jk - - Uik.~ - - K( U:jgla "-- Uagij).

Per derivazione covariante delle (38) ed etiminazione delle derivate seconde per mezzo delle (38) stesse possiamo ricavare le espressioni di Utja; sostituen- dole helle (39') troviamo le due equazioni seguenti:

(42.1) { U'K-4- A, U + 1 1 ~ Olt = O,

logV -bvU~ (AiU q_ 1) - - 0

(42.2) I u'Grc'-I- A, U.+- 1 l--~C[-- -+- 2 UU, K -4- U~K~ - - essendo K, la derivatao-~,:. OK

Le soluzioni delle (11'), oppure delle (38), devono soddisfiu'e alle (4_'2); sup- poniamo che H dipenda dalla sola x~,

(43) OH

~x---~o = O, H - - H(x,).

Q) V,.dasi LI~'VI-C[VITA, loc. cir., p. 212.

118 [~. LEVY: Moti einsteiniani

Con ci6 la (38.2) si riduce alia

~Uo Uo a V

~ x , - - V ~x--~, = O, e per integrazione abbiamo

Uo = V~(x0).

Se fosse ~ = 0 , a v r e m m o un c~so gi'~ tratt~to; possiamo dunque disporre del p a r a m e t r o x o in tal modo che

(44) Uo --- V;

P e r mezzo deUe (43) e (44) possiamo semplificare le (38.1)e (38.3), oppure i n t e g r a r e l'ultima. Infatti~ datla (38.3) si r i c a v a subito

U~ _ U~ (8 log H a 2 ~X, ax ~ -- - -

U~ U

Dope moltiplicazio~m per //~--, questa

~ ) ~" I/r'~

z 2 7 - = 0 .

espressione diviene un differenziale esatto e noi troviamo per integrazione rispetto alia x~

Ha ] = f(x0)

essendo f(x0) la costante d'integrazio~m, cioS una flmzioue arbitraria della xo.

Possiamo scrivere la (45) sotto la forma

UU, 1t,

V 2 u ~ - f u cd una seconda integrazione rispetto alla x~ dit

(46) V 2 U ~ - - f U - i ~ - - ~ e o s h - - f = 2 d x i -l-- F(Xo), dove F(x~) ~ una funzione arbitraria della xo.

Resta da t r a t t a r e la (38.1). Sostituendo al posto di K il sue valore date da 07') e semplificandola per mezzo delle (44) e (45) troviamo

(47) ~X~ \ ~ ] "+- - - ~ == O.

Supponiamo chc f sia c o s t a n t e ; noi abbiamo ,quindi p e r derivazione

di uu mezzo disgregato con aim,inertia sferica 119

della (46) che

(48)

U - - F ' ( x o ) "]0--

U, -- H(x,)

V 2 u " - " t~]

2U V2U" - f U

U

(49)

Essendo V - - U o , segue dalle (48) che f H F '

e la (47) vieue soddisfatta identicamente. Intanto se noi prendiamo H come funzione arbitraria della x j , F della x0~ ed f una costante e se definiamo

U " - U ( x o ~ x~) implicitamente dalle (46) e V - - - V ( x , , x~) dalla (44), la forma (50) ds~ = V~dx~ - - H~dx~' - -

- - U'Z(dx'~ -b sen ~ x~dx~) soddisfa alte condizioni fbndamentali (11').

A t t r a v e r s o la (17') troviamo che la c u r v a t u r a K (della forma binaria xox~)

- f

K : U3-

e segue dall'ultima delle (11') che la densith ~t si annulla, cio6 che lo spazio 6 vuoto.

Tengo a ringraziare i! prof. LEVI-CIVITA per l ' i n t e r e s s e che Egli ha preso alla p r e p a r a z i o n e di questo lavoro.

Zur, igo, 17 g~-ttguo 1996.