In particolare, nel capitolo 1 è stata fornita la formulazione generale del MoM, introducendo il concetto di funzione base e di funzione peso.

(1)

CONCLUSIONI

Questo lavoro di tesi ha riguardato in modo specifico l’applicazione del Metodo dei Momenti nel dominio della frequenza per lo studio di antenne in trasmissione.

In particolare, nel capitolo 1 è stata fornita la formulazione generale del MoM, introducendo il concetto di funzione base e di funzione peso.

Successivamente è stata illustrata la formulazione del MoM nel caso di funzioni di base RWG definite su coppie di elementi triangolari.

Nel capitolo 2 è stato trattato il problema della modellizzazione della sorgente, illustrando i modelli del “frill generator” e del “delta gap”.

Quest’ultimo viene analizzato in dettaglio, con particolare riferimento alla sua integrazione nella formulazione del MoM data nel capitolo 1, ai fini di una analisi delle antenne in trasmissione; in particolare, si illustra la procedura da seguire per valutare l’impedenza d’ingresso ed il campo irradiato in zona lontana.

Nel capitolo 3 è stata data una descrizione del simulatore implementato, e del solver iterativo utilizzato per ridurre i tempi calcolo.

Nel capitolo 4 sono stati infine riportati i risultati numerici ottenuti

analizzando alcune antenne in trasmissione tramite l’algoritmo presentato

nel capitolo 3; in particolare, sono stati calcolati i seguenti parametri:

(2)

- impedenza d’ingresso;

- campo irradiato in zona lontana;

- distribuzione di densità di carica;

- distribuzione di densità di corrente.

Il confronto dei dati ottenuti con quelli presenti in letteratura è risultato soddisfacente.

(3)

APPENDICE A

APPROFONDIMENTI SULLE FUNZIONI BASE

A.1 DEFINIZIONE DELLE FUNZIONI BASE

Richiamiamo la definizione di funzione base data nel paragrafo 1.3.

Consideriamo l’n-esimo spigolo del modello a piastre triangolari;

nell’ipotesi che non si tratti di uno spigolo di bordo, la funzione base sulle due facce T

_n^±

è definita come segue:

dove:

l

_n

è la lunghezza del generico spigolo (necessariamente non di bordo);

T

_n⁺

e T

_n^-

sono la faccia positiva e la faccia negativa connesse allo spigolo;

A

n+

e A

n-

sono, rispettivamente, l’area della faccia positiva e l’area di (A.1)

altrove

0 )

2 (

)

2 ( )

(

_n

n

 





 







∈

=

₋ ⁻ ⁻

+ +

+

T r r

ρ

T r r

ρ r

f

_n

n n

n n n

n

A

l

A

l

(4)

ρ

n-

(r

₂

) ρ

n+

(r

₁

)

quella negativa;

ρ

n+

è il vettore che congiunge il vertice libero della faccia T

_n⁺

con il generico punto di essa;

ρ

n-

è il vettore che congiunge il generico punto della faccia T

_n^-

con il suo vertice libero;

O è l’origine del sistema di riferimento.

r

1

fig. A.1 - Visualizzazione della funzione base O

r

2

T

_n^-

T

_n⁺

l

n

(5)

A.2 PROPRIETA’ DELLE FUNZIONI BASE

1) La densità di corrente superficiale ha componente normale nulla ai bordi della regione (T

_n⁺

_U T

_n^-

).

Per renderci conto del perchè basta osservare la figura A.1, considerando la funzione di base sui bordi della regione suddetta

2) La componente normale della funzione base relativa all’n-esimo spigolo è costante e continua.

Poichè vogliamo calcolare la componente normale al lato l

n

, moltiplichiamo scalarmente entrambi i membri della (A.1) per il versore ˆn :

 



 





=

⋅

=

⋅

=

⋅ ₋

−

+ +

2 1 ˆ 2

) 2 (

2 1 ˆ 2

) 2 (

) ˆ (

n n n

n n n n

n n n

n n

n

l A A

l A

l

l A A

l A

l

n r ρ

n r ρ n

r

f (A.2)

ed otteniamo esattamente quanto affermato nell’enunciato della proprietà.

3) La componente normale della densità di corrente superficiale

(6)

relativa all’n-esimo spigolo è costante e continua attraverso lo spigolo stesso

Per dimostrare questa proprietà, consideriamo l’espressione della densità di corrente superficiale relativa all’n-esimo lato:

J(r ln )=Ι _n f n (r ln ), (A.3)

dove r

_ln

è un generico punto appartenente a ln, come mostrato in figura A.2. Nella (A.3) non consideriamo i contributi delle funzioni base relativi ai quattro spigoli che costituiscono i confini della

regione (T

_n⁺

∪ T

n-

): questo perchè, per la proprietà 1, tali contributi risultano nulli.

Poichè siamo interessati alla componente normale al lato n-esimo della J(r

_ln

), dalla proprietà 2) otteniamo:

 



 



=

⋅

=

⋅

=

⋅

−

− + +

n n

ln

ˆ I ) 2 (

I

ˆ I ) 2 (

I ) ˆ

(

n r ρ

n r ρ n

r J

n n n

A l

(A.4)

Da questa proprietà discende immediatamente la seguente:

4) I coefficienti I

_n

rappresentano la densità di corrente superficiale

normale al lato n-esimo.

(7)

Figura A.2: Riferimenti geometrici per la proprietà 2

A.3 DEFINIZIONE DI PRODOTTO SCALARE TRA DUE FUNZIONI BASE

Dato uno spazio vettoriale V si definisce prodotto scalare un’applicazione (V x V) → R che gode delle seguenti proprietà:

i. u , v = v , u ∀ u, v ∈V;

ii. ( ^u + ^v ) ^, ^w = ^u ^, ^w + ^v ^, ^w ∀ u, v, w ∈V;

iii. ( ) λ u , v = λ u , v ∀ u ∈V, λ ∈ R;

iv. u , u ≥ 0 ∀ u ∈V;

v. u , u = 0 ⇔ u = 0 ∀ u ∈V.

l

n

nˆ

ρ

_n^-

ρ

n+

T

_n⁺

T

n-

n n

l A

⁺

2

n

l

A

⁺

2

(8)

Definiamo dunque il prodotto scalare fra due generiche funzioni base f

_n

(r) e f

_m

(r) secondo la seguente espressione:

f ⁿ ⁽ r ^), f ^m ⁽ r ⁾ = ∫∫ f ⁿ ⁽ r ′ ⁾ ⋅ f ^m ⁽ r ′ ⁾ ^d r ′

S

(A.5)

ed essa soddisfa le proprietà enunciate in precedenza.

(9)

APPENDICE B

CONDIZIONE DI IMPEDENZA SULLA SUPERFICIE DEL CORPO

Se l’indice di permettività relativa ε

r

o di permeabilità relativa µ

r

di un corpo scatterante sono elevati, allora, per semplificare il problema della reirradiazione elettromagnetica, può essere utilizzata un’approssimazione:

la condizione d’impedenza sulla superficie del corpo (Impedance Boundary Condition – IBC).

Assumere che ε

r

o µ

r

siano elevati equivale ad affermare che l’indice di rifrazione N

_s

= ε

_s

µ

_s

sia in modulo molto maggiore di 1; quindi, per la legge di Snell, se un raggio di campo elettromagnetico incide sul corpo scatterante secondo un angolo qualsiasi, allora lo stesso campo incidente viene trasmesso all’interno del corpo secondo un angolo molto stretto sulla normale alla superficie nel punto d’incidenza.

L’IBC impone la seguente uguaglianza [11]:

K ( r ) = η

_s

( r ) J ( r ) × n ˆ (B.1)

(10)

dove K e J sono le densità superficiali di corrente magnetica ed elettrica indotte sulla superficie del corpo, r è il vettore posizione che individua un particolare punto della superficie scatterante, η

s

è l’impedenza intrinseca dello scatteratore ed nˆ è la normale uscente alla superficie del corpo.

In realtà, perché sia valida l’IBC non basta che l’indice di rifrazione sia elevato: occorre pure che sia presente nello scatteratore una perdita sufficiente a garantire che i campi decadano all’interno del corpo e non fuoriescano dal lato opposto. E’ necessario, dunque, che la conducibilità σ

s

sia grande.

In conclusione l’approssimazione IBC può essere ritenuta valida se sono verificate le seguenti due condizioni [12]:

|N

s

| ≥ 10 (B.2) Im{N

s

} ≥ 2.3 / (k a

min

) (B.3)

dove k è la costante di propagazione (ovvero il numero d’onda) del mezzo

esterno ed a

min

è il raggio minimo di curvatura della superficie del corpo

scatterante.

(11)

APPENDICE C

ESPRESSIONE DEL CAMPO ELETTRICO SCATTERATO

Vediamo come giungere all’espressione del campo elettrico generato dalla distribuzione delle densità di corrente ottenuta tramite il metodo dei momenti. Consideriamo la seguente relazione:

E

^s

(r) = -jωA

^s

(r) - ∇Φ

^s

(r) - (1/ε

M

)∇xF

^s

(r) ,

in cui il campo elettrico irradiato è scritto in funzione dei potenziali vettore elettrico e magnetico, e del potenziale scalare:

S'

) R ' 4π (

) µ (

S

kR -

S M

e

^j

d

∫∫

= J r

r

A

,

, R S'

πε σ 4 ) 1 ( Φ

S

kR -

M

S

e

^j

d

∫∫

= r

R S' ) ' 4π (

) ε (

S

kR -

S M

e

^j

d

∫∫

= K r

r F

(C.1)

(C.2)

(C.3)

(C.4)

(12)

dove:

S’ è la superficie esterna del corpo;

R=||r-r’|| è la distanza tra il punto d’osservazione r ed il punto sorgente r’∈S’;

µ

M

ed ε

M

sono le costanti magnetica e dielettrica del mezzo esterno;

σ è la densità di carica superficiale [C/m

²

].

Tenendo conto dell’equazione di continuità della corrente:

∇⋅ J = -jωσ ,

la (C.3) diventa:

S'

R ω

) ' ( πε

4 ) 1 ( Φ

S

kR -

M

S

e d

j

∫∫ ^∇ ^⋅

j

−

= J r

r ,

mentre, utilizzando la condizione di impedenza sulla superficie del corpo riportata in appendice B, la (C.4) può essere scritta come:

.

(C.5)

(C.6)

R S' ) ˆ

' ( ) ' 4π (

) ε (

S

kR -

S M

e

^j

d

∫∫ ^η

s

^×

= r J r n

r

F (C.7)

(13)

Poichè la densità superficiale di corrente sul corpo in funzione dei coefficienti I

_n

vale:

J(r)= ∑

= N n 1

Ι _n f _n (r) ,

le (C.2), (C.6) e (C.7) diventano

S' ) R

' ( 4π I

) µ (

S

kR -

1

S M

e

^j

d

n N

n

∫∫

∑

=

= f r

r

A ,

S'

R ω

) ' I (

πε 4 ) 1 ( Φ

S

kR -

M 1

S

e d

j

j n

N

n

∫∫

∑ ^∇ ^⋅

−

=

r

r f ,

S'

) R ' ( ) ' ( η 4π I

) ε (

S

kR - n S

1

S M

e

^j

d

n N

n

∫∫

∑ ^×

=

r i r f r

F ,

Ricordando che le funzioni di base da noi utilizzate sono non nulle solo sulla coppia di elementi triangolari sulla quale sono definite, e separando gli integrali sulle facce positive da quelli sulla facce negative, otteniamo:

(C.8)

(C.9)

(C.10)

(C.11)

(14)

( )

^N

I [ ( )

^s_n

( )]

1 n

s n n

s

r e r e r

E

₋

= +

+

= ∑ ^,

dove:

e ^s _n _± ( r ) = C ₁ _n _± ( r ) + C ₂ _n _± ( r ) + C ₃ _n _± ( r ) _.

I tre addendi del termine di destra sono legati, nell’ordine, al potenziale scalare, al potenziale vettore elettrico ed al potenziale vettore magnetico:

∫∫

_±

^∇ ^⋅ ⁻

∇

±

=

Tn

n M

1n

'

R jkR) ) exp(

' πε (

4 1 jω ) 1

( r f r S

C d _,

∫∫

_±

⁻

−

±

=

Tn

n M

2n

'

R jkR) ) exp(

' π (

jω 4 )

( r f r S

C µ d

,

∫∫

±

× −

×

∇

−

±

=

Tn

s n

n

3n

'

R jkR) ) exp(

' ( )]

' ( ) ' ( π [

4 ) 1

( r f r i r r S

C η d _.

(C.12)

(C.13)

(C.14)

(C.15)

(C.16)

(15)

BIBLIOGRAFIA

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