• Non ci sono risultati.

Massimi e Minimi

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "Massimi e Minimi "

Copied!
17
0
0

Testo completo

(1)

Massimi e Minimi

Massimi e Minimi vincolati vincolati

Data Data

Si può avere la

Si può avere la necessitnecessitàà di di determinare i

determinare i MAX e i MIN relativiMAX e i MIN relativi di di f f NON SU TUTTO ANON SU TUTTO A ma su una ma su una

porzione di A,

porzione di A, individuata da individuata da unun’’equazione equazione

g(x,y)=0 g(x,y)=0

detta

detta

equazione del VINCOLO equazione del VINCOLO

:

n

0

f A ⊆ \ → R xA

⇓⇓ problema di

problema di MASSIMI e MINIMIMASSIMI e MINIMI

VINCOLATI

VINCOLATI

(2)
(3)

Definizione Definizione

Il punto

Il punto P P

00

≡ ≡ ( ( x x

00

, , y y

00

) ) ∈ ∈ H si dir H si dir à à di di MASSIMO

MASSIMO (MINIMO) (MINIMO) VINCOLATO VINCOLATO per f se

per f se

2 ( , ) 0

equazione del vincolo con

: ,

g definita s

u A g x y

f A ⊆ \ → R =

{ }

Sia H = ( , ) x yA g x y : ( , ) = 0

0

0 0 0

0 0

0

( , ) ( , ) ( , ) ( ,

( ( , ) ( , ) ( , ) ( ,

) )

( , )

) :

f x y f x y x

f x y f x y x y I P r H P

y P r H

r

I I

(4)

In generale i punti di

In generale i punti di

massimo e di massimo e di minimo vincolati

minimo vincolati

NON COINCIDONONON COINCIDONO con i massimi e minimi liberi

con i massimi e minimi liberi O meglio:

O meglio:

se Pse P00 soddisfa lsoddisfa lequazione del vincolo,equazione del vincolo,

•• PP0 0 p.top.to di max o di max o minmin liberolibero ⇒⇒ PP00 p.top.to di max o

di max o minmin vincolatovincolato

•• PP0 0 p.top.to di max o di max o minmin liberolibero ⇐⇐ PP00 p.top.to di max o di max o minmin vincolatovincolato

(5)
(6)

Definizione Definizione

Il punto P

Il punto P

00

≡ ≡ ( ( x x

00

, , y y

00

) di dir ) di dir à à

MAX MAX (MIN)

(MIN) assoluto vincolatoassoluto vincolato per f seper f se

2 ( , ) 0

equazione del vincolo con

: ,

g definita s

u A g x y

f A ⊆ \ → R =

{ }

Sia H = ( , ) x yA g x y : ( , ) = 0

0

0 0

0

( ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) )

f x y f x y x y H

f x yf x yx y H

∀ ∈

Come si determinano Come si determinano

i massimi e i minimi relativi vincolati?

i massimi e i minimi relativi vincolati?

(7)

I CASO I CASO

Il problema Il problema èè ricondotto alla determinazione ricondotto alla determinazione dei max e

dei max e minmin per funzioni di una sola variabileper funzioni di una sola variabile

( )

Siano e di classe 2

Supponiamo inoltre che si possa r

A

( , )

isolvere l'equazione ad es. rispetto ad y

( 0

)

f g C

x g x

y y

⇒ = y

=

CONSIDERARE LA FUNZI per trovare i MAX e

ONE ( , ) IN CO

MIN vincolati

RRISPONENZA DEL

di

V si

INCO p

LO ( ) ( , ( ))

( ) f

f x

F x f x y

y

y x

x

y

=

=

(8)

( , )

( , ) 2 3 5 0 (eq. del VINCOLO) f x y xy

g x y x y

=

= + − =

Esplicitando l'equazione del vincolo

rispetto a 5 2

( )

d y 3 x

y x = −

Esempio:

Esempio: massimi e minimi vincolati dimassimi e minimi vincolati di

g(x,y)=0

(9)

5 2 2

( , ( ))

3

2 5

3 x 3 x F ( )

x x

f x y x = ⋅x = + =

Si può considerare f(x,y) in corrispondenza del Si può considerare f(x,y) in corrispondenza del

vincolo vincolo

'( 5

4 5

'( ) ) 0 p

3 3 er

F x = x + F x = x = 4 5 p.to d

''( ) 4 0 i MAX REL

3 per ( )

F x = − < ∀x x = 4 F x

( , ( )) 5 5,

4 6 MAX RELATIVO V

punto di INCOLATO per ( , )f x y

x y x

= ⎜

(10)
(11)

Metodo dei Metodo dei

MOLTIPLICATORI di LAGRANGE MOLTIPLICATORI di LAGRANGE

( , , ) ( , ) ( , ) L x y λ = f x y − λ g x y

Questo metodo può essere molto Questo metodo può essere molto

utile quando

utile quando non si riesce ad non si riesce ad esplicitare il vincolo

esplicitare il vincolo.. Si scrive una

Si scrive una

FUNZIONE AUSILIARIA FUNZIONE AUSILIARIA

detta

detta FUNZIONE LAGRANGIANAFUNZIONE LAGRANGIANA

(12)

2 1

( , ) p.to di MAX o MIN rel. vincolato e

, : , , ( )

( , )

P x

f g A f g C

y

g

A

x y

R R

Vale la seguente condizione necessaria Vale la seguente condizione necessaria

( )

x x

y

L ( , ) 0 ( , ) 0

f ( , ) ( , ) 0 f ( , ) ( , ) 0

( ) 0

SOLUZI

(

ONE DEL SISTEMA

(*)

! . . , , è

o , ) 0

vvero

y

x y

x y L x y L x y

t c x

x y g x y

x y g

g y

x y x y

λ

λ

λ λ

λ

=

=

=

=

=

=

\

(13)

Potrebbero esistere soluzioni del Potrebbero esistere soluzioni del

sistema (*) che non sono però punti sistema (*) che non sono però punti

di massimo o di minimo di massimo o di minimo

La condizione data

La condizione data è è solo solo necessaria

necessaria

⇓ ⇓

(14)

Diamo una

Diamo una condizione condizione sufficiente

sufficiente affinch affinch é é una una

soluzione del sistema (*) sia soluzione del sistema (*) sia

punto di massimo (minimo) punto di massimo (minimo)

vincolato

vincolato

(15)

Sia ( , ) SOLUZIONE del sistema ( Si consideri la seguente matrice

, : , (

*)

, )

P x y

f g A f g C A

R R

0 ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( ,

0 ( ) ( )

(

)

) ( ) ( )

( ) ( )

) (

( )

,

x y

x xx xx xy xy

y yx

x y

x xx xy

y yx yy

yx yy yy

g x y g x y

g x y f x y g x y f x y g x y

g x y f x y g x y f x y g x

g P g P D g P L P L P

g P L P L P

y

λ λ

λ λ

=

=

= ⎜

Se Se detdet D<0D<0 allora P allora P èè punto di punto di MIN MIN REL. VINCOLATO

REL. VINCOLATO

Se Se detdet D>0D>0 allora P allora P èè punto di punto di MAX MAX REL. VINCOLATO

REL. VINCOLATO

(16)

2 2

( , ) 2 sotto la CONDIZIONE 5

f x y = x + y x + y =

Esempio:

Esempio: determinare gli estremi relativi dideterminare gli estremi relativi di

2 2

1

2

2

2

Le SOLUZIONI DEL SISTEMA 1 2 0

son

1 1

1, 2 ( , , )

2 2 0 5

, 1, 2,

5)

0

2

o (

2

2

L x y x y

x x

x

P x

P

y

y

λ λ

λ λ

⎧ − =

⎪ − =

⎨ ⎪ + − =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≡ ⎜ ≡ − − −

= + − + −

⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(17)

1 2 2 1

0 2 4

In 2 1 0

4 0

0 2 2

2 2 0

2

0 2 4

In 2 1 0

,

4

1 0

0 2

1

x y

D x

P P D

y

D

λ

λ

=

=

= −

2

1 20 0

(1,2) p.to di MAX REL vincola 20 0

( 1, 2) p.to di MIN REL vincol o

t t

a o D

D

= − > ⇒

− −

= > ⇒

Riferimenti

Documenti correlati

Supponiamo anche di avere gi` a dimostrato il teorema di Weirestrass (per una dimostrazione che non usa il teorema di Weierstrass, ma anzi lo include, si veda Weierstrass (con max

Supponiamo che Y non sia limitato superiormente (questo dovrebbe portarci a una contradizione).. Quindi Y `e limitato superiormente (e in particolare deduciamo che la f `e

Le alterazioni della superficie della placca o l’individuazione di “thin-fibrous cap” rappresentano una condizione di instabilità di placca e di maggiore rischio

Far from stigmatized views of media and protectionist ideas, Hobbs shows clearly how media literacy education should play a key role in fostering the development of an active

[r]

The Moran maps show two clusters, one of high AIDS incidence located around the State Capital and one of low to intermedi- ate incidence comprising municipalities located

Il seguente teorema fornisce le condizioni per stabilire se un punto critico ` e un massimo oppure un minimo..

Analisi Matematica 1 Analisi Matematica A – Primo modulo Corsi di Laurea in Fisica e Matematica. Università