Massimi e Minimi
Massimi e Minimi vincolati vincolati
Data Data
Si può avere la
Si può avere la necessitnecessitàà di di determinare i
determinare i MAX e i MIN relativiMAX e i MIN relativi di di f f NON SU TUTTO ANON SU TUTTO A ma su una ma su una
porzione di A,
porzione di A, individuata da individuata da unun’’equazione equazione
g(x,y)=0 g(x,y)=0
detta
detta
equazione del VINCOLO equazione del VINCOLO
:
n0
f A ⊆ \ → R x ∈ A
⇓⇓ problema di
problema di MASSIMI e MINIMIMASSIMI e MINIMI
VINCOLATI
VINCOLATI
Definizione Definizione
Il punto
Il punto P P
00≡ ≡ ( ( x x
00, , y y
00) ) ∈ ∈ H si dir H si dir à à di di MASSIMO
MASSIMO (MINIMO) (MINIMO) VINCOLATO VINCOLATO per f se
per f se
2 ( , ) 0
equazione del vincolo con
: ,
g definita s
u A g x y
f A ⊆ \ → R =
{ }
Sia H = ( , ) x y ∈ A g x y : ( , ) = 0
0
0 0 0
0 0
0
( , ) ( , ) ( , ) ( ,
( ( , ) ( , ) ( , ) ( ,
) )
( , )
) :
f x y f x y x
f x y f x y x y I P r H P
y P r H
r
I I
≤
∈
∃
∀ ∈
≥ ∩
∩
∀
In generale i punti di
In generale i punti di
massimo e di massimo e di minimo vincolati
minimo vincolati
NON COINCIDONONON COINCIDONO con i massimi e minimi libericon i massimi e minimi liberi O meglio:
O meglio:
se Pse P00 soddisfa lsoddisfa l’’equazione del vincolo,equazione del vincolo,
•• PP0 0 p.top.to di max o di max o minmin liberolibero ⇒⇒ PP00 p.top.to di max o
di max o minmin vincolatovincolato
•• PP0 0 p.top.to di max o di max o minmin liberolibero ⇐⇐ PP00 p.top.to di max o di max o minmin vincolatovincolato
Definizione Definizione
Il punto P
Il punto P
00≡ ≡ ( ( x x
00, , y y
00) di dir ) di dir à à
MAX MAX (MIN)(MIN) assoluto vincolatoassoluto vincolato per f seper f se
2 ( , ) 0
equazione del vincolo con
: ,
g definita s
u A g x y
f A ⊆ \ → R =
{ }
Sia H = ( , ) x y ∈ A g x y : ( , ) = 0
0
0 0
0
( ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) )
f x y f x y x y H
f x y ≤ f x y ∀ x y H
∀ ∈
∈
≥
Come si determinano Come si determinano
i massimi e i minimi relativi vincolati?
i massimi e i minimi relativi vincolati?
I CASO I CASO
⇒⇒ Il problema Il problema èè ricondotto alla determinazione ricondotto alla determinazione dei max e
dei max e minmin per funzioni di una sola variabileper funzioni di una sola variabile
( )
Siano e di classe 2
Supponiamo inoltre che si possa r
A
( , )
isolvere l'equazione ad es. rispetto ad y
( 0
)
f g C
x g x
y y
⇒ = y
=
CONSIDERARE LA FUNZI per trovare i MAX e
ONE ( , ) IN CO
MIN vincolati
RRISPONENZA DEL
di
V si
INCO p
LO ( ) ( , ( ))
uò
( ) f
f x
F x f x y
y
y x
x
y
⇒
=
=
⇒
⇒
( , )
( , ) 2 3 5 0 (eq. del VINCOLO) f x y xy
g x y x y
=
= + − =
Esplicitando l'equazione del vincolo
rispetto a 5 2
( )
d y 3 x
y x = −
⇒
Esempio:
Esempio: massimi e minimi vincolati dimassimi e minimi vincolati di
g(x,y)=0
5 2 2
( , ( ))
3
2 5
3 x 3 x F ( )
x x
f x y x = ⋅x − = − + =
Si può considerare f(x,y) in corrispondenza del Si può considerare f(x,y) in corrispondenza del
vincolo vincolo
'( 5
4 5
'( ) ) 0 p
3 3 er
F x = − x + ⇒ F x = x = 4 5 p.to d
''( ) 4 0 i MAX REL
3 per ( )
F x = − < ∀x ⇒ x = 4 F x
( , ( )) 5 5,
4 6 MAX RELATIVO V
punto di INCOLATO per ( , )f x y
x y x ⎛ ⎞
= ⎜⎝ ⎟⎠
⇒
Metodo dei Metodo dei
MOLTIPLICATORI di LAGRANGE MOLTIPLICATORI di LAGRANGE
( , , ) ( , ) ( , ) L x y λ = f x y − λ g x y
Questo metodo può essere molto Questo metodo può essere molto
utile quando
utile quando non si riesce ad non si riesce ad esplicitare il vincolo
esplicitare il vincolo.. Si scrive una
Si scrive una
FUNZIONE AUSILIARIA FUNZIONE AUSILIARIA
detta
detta FUNZIONE LAGRANGIANAFUNZIONE LAGRANGIANA
2 1
( , ) p.to di MAX o MIN rel. vincolato e
, : , , ( )
( , )
P x
f g A f g C
y
g
A
x y
⊆
∇
→
≡
⇓
≠
∈
R R
Vale la seguente condizione necessaria Vale la seguente condizione necessaria
( )
x x
y
L ( , ) 0 ( , ) 0
f ( , ) ( , ) 0 f ( , ) ( , ) 0
( ) 0
SOLUZI
(
ONE DEL SISTEMA
(*)
! . . , , è
o , ) 0
vvero
y
x y
x y L x y L x y
t c x
x y g x y
x y g
g y
x y x y
λ
λ
λ λ
λ
⎧ =
⎪ =
⎨⎪ =
− =
⎧⎪ − =
∃
⎪ =
∈
⎨
⎩ ⎩ −
\
Potrebbero esistere soluzioni del Potrebbero esistere soluzioni del
sistema (*) che non sono però punti sistema (*) che non sono però punti
di massimo o di minimo di massimo o di minimo
La condizione data
La condizione data è è solo solo necessaria
necessaria
⇓ ⇓
Diamo una
Diamo una condizione condizione sufficiente
sufficiente affinch affinch é é una una
soluzione del sistema (*) sia soluzione del sistema (*) sia
punto di massimo (minimo) punto di massimo (minimo)
vincolato
vincolato
Sia ( , ) SOLUZIONE del sistema ( Si consideri la seguente matrice
, : , (
*)
, )
P x y
f g A f g C A
≡
⊆ R → R ∈
0 ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( ,
0 ( ) ( )
(
)
) ( ) ( )
( ) ( )
) (
( )
,
x y
x xx xx xy xy
y yx
x y
x xx xy
y yx yy
yx yy yy
g x y g x y
g x y f x y g x y f x y g x y
g x y f x y g x y f x y g x
g P g P D g P L P L P
g P L P L P
y
λ λ
λ λ
=
=
⎛ ⎞
⎜ − − ⎟
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎜ − − ⎟
⎝ ⎠
•• Se Se detdet D<0D<0 allora P allora P èè punto di punto di MIN MIN REL. VINCOLATO
REL. VINCOLATO
•• Se Se detdet D>0D>0 allora P allora P èè punto di punto di MAX MAX REL. VINCOLATO
REL. VINCOLATO
2 2
( , ) 2 sotto la CONDIZIONE 5
f x y = x + y x + y =
Esempio:
Esempio: determinare gli estremi relativi dideterminare gli estremi relativi di
2 2
1
2
2
2
Le SOLUZIONI DEL SISTEMA 1 2 0
son
1 1
1, 2 ( , , )
2 2 0 5
, 1, 2,
5)
0
2
o (
2
2
L x y x y
x x
x
P x
P
y
y
λ λ
λ λ
⎧ − =
⎪ − =
⎨ ⎪ + − =
⎩
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
≡ ⎜ ≡ − − −
= + − + −
⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 2 2 1
0 2 4
In 2 1 0
4 0
0 2 2
2 2 0
2
0 2 4
In 2 1 0
,
4
1 0
0 2
1
x y
D x
P P D
y
D
λ
λ
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⇒ = ⎜ − ⎟
⎜
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ − ⎟
⎜
− ⎟
⎝ ⎠
− −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⇒ = −⎜ ⎟
⎜ − ⎟
⎝
⎠
⎠
− ⎟
⎝
2
1 20 0
(1,2) p.to di MAX REL vincola 20 0
( 1, 2) p.to di MIN REL vincol o
t t
a o D
D
= − > ⇒
− −
= > ⇒