Teorema di Talete e similitudine
Prof. Daniele Ippolito
Liceo “Filippo Buonarroti” di Pisa
Geometria piana euclidea
Secondo anno
Presentazione n. 5
Due grandezze geometriche si dicono omogenee se tra esse è possibile stabilire:
1) un criterio di confronto;
2) un'operazione di addizione che goda delle proprietà commutativa e associativa.
Esempi di insiemi di grandezze omogenee sono quello dei segmenti, quello degli angoli, quello delle superfici.
Date due grandezze omogenee A e B, scelta un'unità di misura u, tale che A = hu e B = ku, con h e k numeri reali positivi, si definisce rapporto tra A e B quello tra le loro misure: A / B = h / k.
Grandezze omogenee e rapporti
Quattro grandezze A, B, C e D si dicono in proporzione se il rapporto tra A e B, omogenee tra loro, è uguale a quello tra C e D, omogenee tra loro: A : B = C : D.
Valgono le proprietà:
1) fondamentale: A · D = B · C;
2) dell'invertire: B : A = D : C;
3) del permutare: A : C = B : D oppure D : B = C : A;
4) del comporre: (A + B) : A = (C + D) : C;
5) dello scomporre: (A - B) : A = (C - D) : C;
(purché abbiano significato) Proporzioni tra grandezze
Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, il rapporto tra due segmenti individuati su una trasversale è uguale al rapporto tra i segmenti corrispondenti sull'altra.
Teorema di Talete
Teorema di Talete in un triangolo
In un triangolo, una retta parallela ad un lato che intersechi gli altri due stacca su di essi segmenti in proporzione.
In un triangolo, una retta che intersechi due lati, staccando su di essi segmenti in proporzione, è parallela al terzo lato.
Inverso del teorema di Talete in un triangolo
Teorema sulla proprietà di una bisettrice in un triangolo La bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato
opposto in segmenti
proporzionali agli altri due lati.
Due poligoni si dicono simili se hanno tutti gli angoli ordinatamente congruenti e i lati ad essi opposti in proporzione.
In simboli, P ~ P'.
Poligoni simili
Il rapporto k tra lati corrispondenti è detto rapporto di similitudine.
Il rapporto tra i perimetri di due triangoli simili è k.
Il rapporto tra le aree di due triangoli simili è k2.
La relazione di similitudine è una relazione di equivalenza.
Criteri di similitudine dei triangoli Due triangoli sono simili se hanno:
Primo criterio:
due coppie di angoli ordinatamente congruenti
Terzo criterio:
le tre coppie di lati in proporzione
Secondo criterio:
due coppie di lati in proporzione e gli angoli compresi congruenti
Dato un segmento AB e un punto C su di esso, il segmento AC si dice sezione aurea di AB se è medio proporzionale tra AB e la parte restante CB:
AB : AC = AC : CB.
Sezione aurea di un segmento
Con alcuni conti, si ricava che, posto AB = 1, la sezione aurea è:
Il rettangolo aureo è un rettangolo i cui lati sono l'uno sezione aurea dell'altro.
Il triangolo aureo è un triangolo isoscele la cui base è sezione aurea del lato obliquo.
Il lato di un decagono regolare è sezione aurea del raggio della circonferenza ad esso circoscritta.
In un pentagono regolare,
1) il lato è sezione aurea della diagonale;
2) due diagonali si dividono in due segmenti di cui il minore è sezione aurea del maggiore.
