Teorema di Pitagora

(1)

geometria piana

Teorema di Pitagora

In un triangolo rettagolo, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti

dimostrazione

costruiamo un quadrato di lato uguale alla somma dei cateti e

congiungiamo gli estremi dei segmenti e ottenendo quattro triangoli rettangoli ed un quadrilatero

tutti e quattro i triangoli rettangoli hanno come cateti e e quindi sono tra loro congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.

Di conseguenza anche il loro terzo lato, cioè l’ipotenusa, sarà congruente.

Chiamiamo l’ipotenusa

A B

C

(2)

geometria piana

Teorema di Pitagora

il quadrilatero inscritto ha i quattro lati congruenti (di lunghezza ) per la congruenza dei triangoli rettangoli

il quadrilatero inscritto ha i quattro angoli retti perché osservando la figura si ha che:

1. la somma dell’angolo interno del quadrilatero e dei due angoli ad esso consecutivi è un angolo piatto

2. la somma dei soli due angoli consecutivi è un angolo retto perché essi sono angoli acuti di un triangolo rettangolo

calcoliamo l’area del quadrato grande di lato con la formula classica dell’area del quadrato

l’area del quadrato grande può anche essere calcolata come somma dell’area del quadrato di lato e delle aree dei quattro triangoli rettangoli

uguagliamo le due espressioni dell’area

sviluppiamo il quadrato del binomio al secondo membro

semplificando al primo e al secondo membro otteniamo la tesi

(3)

G. Sammito, A. Bernardo, Formulario di matematica Geometria solida F. Cimolin, L. Barletta, L. Lussardi

………

………www.matematicamente.itȱ………ȱ 1

14. GEOMETRIA SOLIDA

Nel seguito: V volume,A_l area laterale, A_b area di base, A_t area totale, 2p_b perimetro di base, C circonferenza, d diagonale, h altezza, l lato, r raggio, ri raggio della sfera inscritta, rc raggio della sfera circoscritta, a apotema (in alcuni casi può essere un semplice spigolo).

1. Parallelepipedo rettangono

c b a c A

V = _b = A_l =2p_bc A_b =ab

= 2 2

t b l

A A A ab bc ac d = a²b²c²

b t

l A A

A = 2 =

2

t l

b

A A V

A c

c p_b = A^l 2

Il baricentro è il punto di intersezione delle diagonali.

2. Cubo

= l3

V A_l = l4 ² A_t = l6 ² d = l 3

i 2

r l 3

c 2

r l =³

6 4

t l

A A

l V

3. Prisma retto

Il prisma retto ha la superficie inferiore congruente e parallela alla superficie superiore, le facce laterali sono rettangoli.

h A

V = _b A_l =2p_bh A_t = A_l2A_b

h p_b = A^l 2

= 2

l

b b

A V

h p A A^l = A^t2A^b

= ^t 2 ^l

b

A A A

h A_b =V

4. Prisma obliquo

h A

V = _b A_t = A_l2A_b

5. Piramide retta

=1 3 ^b

V A h 2

= 2

b l

A p a

A_t = A_bA_l

h A_b 3V

= 2 _b =2A^l

p a

= 2 2

l b

a A

p A_b

h 3V

=

6. Tronco di piramide

) 3 (

=1 h A_b A_b A_b A_b V _c _c

2 ) 2

= (2p p a A_l c

p p a A^l

2 c 2

= 2 A_t = A_lA_bA_b_c

h

(4)

………

7. Poliedri regolari

Area e volume si possono calcolare in maniera approssimata utilizzando i numeri fissi ĳ e ı

= 2

A M l V =V l³

Poliedro ^Tetraedro ^Esaedro

o cubo

Ottaedro Dodecaedro Icosaedro

Numero fisso per

l’area ĳ 1,73 6 3,464 20,64 8,66

Numero fisso per

il volume ı 0,118 1 0,471 7,663 2,182

Tetraedro: formato da 4 triangoli equilateri

3 2

12

V l A_t l² 3 6

i 12

r l 6

c 4 r l

Esaedro: formato da 6 quadrati è il cubo

Ottaedro: formato da 8 triangoli equilateri

3 2

3

V l A_t 2l² 3 6

i 6

r l 2

c 2 r l

Dodecaedro: formato da 12 pentagoni regolari

3 15 7 5 4 l

V

3 2 5 5 2 5

At l ^{10 25 11 5}

i 20 l

r ^{3 1}

⁵

c 4 l

r

Icosaedro: formato da 20 triangoli equilateri

5 3 3 5 12 l

V ₂

5 3

At l ^{3 3}

⁵

i 12 l

r

2 5 5

c 4

r l

8. Cilindro

h r h A

V = _b =S ² A_b = rS ² ^Al ⁼^C^h⁼²S^rh

= 2 = 2 ( )

t l b

A A A Sr h r

h A_b =V

= 2 A^l

C r

S h = ₂

2

Al V

h Sr Sr ⁼² ^l

A V

r Sh Sh

9. Cono

= 3

2 h r h

V A^b S _A ^C ^a _ra

l ⁼S

= 2 A_b = rS ² ra

r A A

A_t = _b _l =S ²S

r a A^l

=S 3

= A^l V

r Sa Sh ²

=3 V h Sr

l h

l l l

tetraedro

(5)

………

10. Tronco di cono

¹² ^{1 2} ²²

=1

V 3hS r r r r A_l =Sa(r₁r₂) ^A^b ⁼S^r¹²S^r²²

²

2

1 2

a h r r

11. Sfera

3

= 4 r

V S ^A⁼⁴S^r² ⁼ ³ ³

4 4

A V

r S S

Calotta sferica e segmento sferico Settore sferico ad una base o sezione sferica

) 3 (3

=1 h² r h

V S ^A⁼²S^rh ^A^l ^S^{r r}

¹²^h

1 2

r h rh 2 ²

V 3Sr h

Zona sferica e segmento sferico a due basi Fuso sferico e spicchio sferico

¸¸¹·

¨¨©§

2

2 2 1 2

3

= 2h h r r

V S _A⁼²S_rh ⁼ ³

270

V S Dr_q ⁼ ²

l 90

A S Dr_q ^,

12. Altre figure particolari

Cilidro circolare retto a sezione obliqua Corona cilindrica

2

V Sr a b ^A^l ^S^{r a b}

^V ^S^{h r}

¹²^r²²

^A^l ²^S^{h r}

¹^r²

2 2

t 2

A Sr a b r^¨^§©¨ r ¨©^§a b ¸^·¹ ^¸¸^·¹

^A^t ²^S

^r¹^r²

^h^r¹ ^r²

r1

r2

a r

b

r h r1

Į è misurato in gradi Al è la parte di superficie sferica

Į r

(6)

………

Obelisco Cuneo

Le superfici laterali sono trapezi, le superfici Superficie di base rettangolare, le superfici laterali superiore e inferiore sono rettangoli non simili. sono triangoli e trapezi isosceli.

²

6

V hª¬ ac b ca dº¼ ^V ^bh₆

²^a^c

Toro Prisma obliquo triangolare

2 2

2 2 1

V S r r A_t 4S²r r1 2

b 3

a b c V A

r₁

r2

A_b

a b c

a

b c

h

a

b c

d h

(7)

11/5/2019 Math.it - Formulario: Geometria Solida. Solidi di rotazione. Cilindro, cono, tronco di cono, sfera

https://www.math.it/formulario/solidi_rotazione.htm 1/3

S o l i d i d i r o t a z i o n e

Sono solidi ottenuti dalla rotazione di una figura piana intorno ad una retta (a s s e d i r o t a z i o n e).

superficie laterale superficie totale volume Cilindro

Cono

Tronco di cono

Sfera

C i l i n d r o

Il cilindro è un solido ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo intorno ad un suo lato.

C i l i n d r o e q u i l a t e r o

È un cilindro in cui l’altezza è lunga quanto il diametro della base.

L’area della s u p e r f i c i e l a t e r a l e di un cilindro si ottiene moltiplicando la lunghezza della circonferenza di base per la misura dell’altezza:

L’area della s u p e r f i c i e t o t a l e di un cilindro si ottiene sommando la superficie laterale e l’area delle due basi:

Il v o l u m e di un cilindro si ottiene moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza:

C o n o

Il cono è un solido ottenuto dalla rotazione di un triangolo intorno ad un suo cateto.

C o n o e q u i l a t e r o

È un cono in cui l’apotema è lungo quanto il diametro della base.

L’area della s u p e r f i c i e l a t e r a l e di un cono si ottiene moltiplicando la lunghezza della circonferenza di base per la misura dell’apotema e dividendo tale prodotto per due:

, dove l’apotema è la lunghezza del lato obliquo del cono .

L’area della s u p e r f i c i e t o t a l e di un cono si ottiene sommando la superficie laterale e l’area della base:

.

P r o p r i e t à

Math.it

Formulario: Geometria Solida. Solidi di rotazione. Cilindro, Cono, Tronco di cono, Sfera

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(8)

Il cono è equivalente a un terzo di un cilindro avente base ed altezza congruenti rispettivamente alla base e all’altezza del cono.

Il v o l u m e di un cono si ottiene moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza e dividendo tale prodotto per tre:

.

T r o n c o d i c o n o

Consideriamo un cono e tagliamolo con un piano parallelo al piano della base:

otteniamo due figure, una è ancora un cono, l’altra è un t r o n c o d i c o n o.

Il tronco di cono è un solido attenuto dalla rotazione di un trapezio rettangolo attorno al lato perpendicolare alle basi.

La s u p e r f i c i e l a t e r a l e di un tronco di cono è equivalente a un trapezio avente per basi le due circonferenze di base del tronco e per altezza il suo apotema.

L’area della superficie laterale di un tronco di cono si ottiene moltiplicando la somma delle misure delle lunghezze delle due circonferenze di base per la misura dell’apotema e dividendo tale prodotto per due:

, dove l’apotema è la lunghezza del lato obliquo del tronco di cono:

.

L’area della s u p e r f i c i e t o t a l e di un tronco di cono si ottiene sommando la superficie laterale e l’area delle

due basi: .

In modo equivalente si può scrivere in funzione dei raggi: .

Per il principio di Cavalieri, un tronco di cono e un tronco di piramide aventi basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti.

Il v o l u m e di un tronco di cono si ottiene moltiplicando la misura dell’altezza per la somma delle aree delle due basi con la radice quadrata del loro prodotto, e dividendo tale prodotto per tre:

.

In modo equivalente il volume si può scrivere in funzione dei raggi: .

S f e r a e s u p e r f i c i e s f e r i c a

La s f e r a è un solido ottenuto dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al proprio diametro, il raggio e il centro del semicerchio sono il raggio e il centro della sfera.

La s u p e r f i c i e s f e r i c a è l’insieme di tutti e solo i punti dello spazio che hanno la stessa distanza da un punto interno detto centro.

La s u p e r f i c i e s f e r i c a è equivalente alla superficie laterale del cilindro equilatero circoscritto ad essa.

L’a r e a della superficie sferica si ottiene moltiplicando per quattro l’area del suo cerchio massimo:

Una s f e r a è equivalente a un cono avente per altezza il raggio della sfera e per raggio di base il diametro della sfera.

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(9)

Il v o l u m e della sfera si ottiene moltiplicando per il cubo del suo raggio:

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(10)

SOLIDI DI ROTAZIONE

1. CILINDRO

Def:

si dice cilindro un solido ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad un suo asse.

Raggio del cilindro = raggio della circonferenza di base Altezza = distanza tra le due basi

Perimetro di base = circonferenza Area di base = cerchio

Def:

un cilindro si dice EQUILATERO se il diametro di base è congruente all’altezza:

PERIMETRO DI BASE:

AREA DI BASE:

AREA LATERALE:

AREA TOTALE:

VOLUME:

(11)

2. CONO

Def:

è un solido di rotazione ottenuto dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei suoi cateti .

r = raggio di base = AB (cateto)

a = apotema del cono = BC (ipotenusa del triangolo)

h = altezza del cono = AC (cateto su cui ruota)

Per il triangolo generatore, vale il Teorema di Pitagora:

Def:

si dice CONO EQUILATERO un cono che ha il DIAMETRO congruente

all’APOTEMA, ovvero il triangolo è un triangolo EQUILATERO, ovvero il

triangolo generatore è RETTANGOLO con un angolo di (e uno di ).

(12)

AREA E VOLUME

Formule inverse à

à à

à

(13)

3. Rotazione completa di un TRIANGOLO ISOSCELE intorno alla base

Si genera un solido composto da due coni CONGRUENTI con la base in comune:

raggio del cono = altezza triangolo isoscele

apotema del cono = lato obliquo del triangolo

altezza del cono = metà base del triangolo

Volume del solido =

Area totale del solido =

Formule inverse

à

_à

(14)

4. Rotazione completa di un TRIANGOLO RETTANGOLO intorno all’ipotenusa.

Il solido è formato da due coni diversi tra loro, che hanno la stessa base.

Cono 1: ACC’

altezza del triangolo

= cateto minore del triangolo proiezione del cateto minore sull’ipotenusa.

Cono 2: BCC’

altezza del triangolo

= cateto maggiore del triangolo

proiezione del cateto maggiore sull’ipotenusa.

(15)

4/6/2019 Ortocentro, circocentro, baricentro, incentro di un triangolo - WeSchool

https://library.weschool.com/lezione/punti-notevoli-di-un-triangolo-circocentro-baricentro-incentro-ortocentro-12547.html 1/11

5' Baricentro, circocentro, ortocentro, incentro, excentro di un triangolo

In questa lezione, diamo la definizione e mostriamo alcune importanti proprietà dei cosiddetti punti notevoli di un triangolo. Questi punti si ricavano a partire dal triangolo considerato tramite alcune operazioni geometriche. Di solito si tratta di intersecare alcuni segmenti e/o rette opportunamente scelti.

Per seguire al meglio questa lezione, è necessario avere chiara la nozione di triangolo e i principali concetti della geometria euclidea di base.

Mediane e baricentro

Consideriamo un triangolo ed individuiamo il punto medio di ciascun lato. Ogni punto medio così ottenuto può essere collegato con un segmento al vertice opposto.

Definizione

Si chiama mediana relativa ad un lato di un triangolo il segmento ottenuto collegando il punto medio del lato considerato con il vertice opposto al lato.

ABC

Corso: La Geometria Eucli… ^8/30 ^LOGIN

(16)

Nel disegno precedente abbiamo tracciato il segmento , che è la mediana relativa a nel triangolo . A seconda del lato scelto, otteniamo una mediana: quindi ogni triangolo ha sempre tre mediane.

Le mediane hanno le seguenti proprietà:

Ogni mediana divide il triangolo in due triangoli equivalenti.

Riferendoci alla figura precedente, abbiamo quindi .

Le mediane di un triangolo si incontrano tutte nello stesso punto.

Definizione

Il punto di incontro delle tre mediane di un triangolo è detto baricentro del triangolo.

AM

BC ABC

Area(ABM ) = Area(M AC)

(17)

Elenchiamo qui alcune proprietà del baricentro:

esso divide la mediana in due segmenti: il segmento che ha per estremo un vertice del triangolo è il doppio dell’altro (nella figura precedente, ad esempio: ).

è sempre un punto interno al triangolo.

Altezze e ortocentro

Dato un triangolo consideriamo le tre possibili altezze che possiamo costruire relativamente a ciascun lato. Si dimostra che le altezze si incontrano tutte in un medesimo punto.

Definizione

Si chiama ortocentro di un triangolo il punto di incontro delle altezze relative ai lati del triangolo considerato.

AO≅ 2OM

ABC

(18)

La posizione dell’ortocentro può essere messa in relazione con le caratteristiche degli angoli di un triangolo.

L’ortocentro è un punto interno al triangolo se e solo se il triangolo è acutangolo.

L’ortocentro è un punto esterno al triangolo se e solo se il triangolo è ottusangolo.

L’ortocentro coincide con uno dei vertici del triangolo se e solo se il triangolo è rettangolo (e in questo caso l’ortocentro coincide con il vertice corrispondente all’angolo retto).

(19)

Assi e circocentro

Consideriamo nuovamente un triangolo e costruiamo i tre assi relativi ai tre lati del triangolo. Queste tre rette si intersecano nello stesso punto (fatto non banale, ma che si può dimostrare).

Definizione

Si chiama circocentro di un triangolo il punto di incontro delle assi relative ai lati del triangolo considerato.

ABC

(20)

Tra le proprietà del circocentro, ricordiamo che:

è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo;

è equidistante dai vertici del triangolo (segue dalla proprietà precedente).

Come accade per l’ortocentro, la sua posizione determina le caratteristiche degli angoli del triangolo. In particolare:

il circocentro è un punto interno al triangolo se e solo se il triangolo è acutangolo;

il circocentro è un punto esterno al triangolo se e solo se il triangolo è ottusangolo;

il circocentro è il punto medio di uno dei lati se e solo se il triangolo è rettangolo (ed in questo caso il lato in questione è l’ipotenusa del triangolo).

(21)

Curiosità.

Il circocentro, il baricentro e l'ortocentro di un triangolo equilatero sono coincidenti. Se il triangolo non è equilatero, tuttavia, questi tre punti notevoli hanno una interessante proprietà: essi sono sempre allineati, ovvero giacciono sulla medesima retta. Questa retta viene chiamata retta di Eulero.

Bisettrici e incentro

Nel triangolo consideriamo le tre bisettrici degli angoli

e . È possibile dimostrare che esse si incontrano in un solo punto.

Definizione

Si chiama incentro di un triangolo il punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni al triangolo considerato.

ABC ,

BAC ABC BCA

(22)

Elenchiamo alcune proprietà dell’incentro.

È sempre un punto interno al triangolo.

È il centro della circonferenza inscritta nel triangolo.

Come conseguenza della proprietà precedente, la

distanza dell’incentro da un lato del triangolo è la stessa,

indipendentemente da lato scelto.

Ogni bisettrice divide il triangolo considerato in due triangoli più piccoli. Consideriamone uno (per esempio nella figura qui sopra) e prendiamo il lato costituito dalla bisettrice. L’incentro divide questo lato in due segmenti. La proporzione tra questi segmenti è la stessa che c’è tra gli altri due lati del triangolo considerato. Nel caso del triangolo : . Lo stesso discorso può essere ripetuto per il triangolo ,

ottenendo .

Curiosità.

L'incentro di un triangolo equilatero coincide con gli altri tre punti notevoli. Inoltre, l'incentro di un triangolo isoscele giace sulla retta di Eulero (definita più sopra). Se consideriamo un triangolo che non sia né equilatero né isoscele, invece, l'incentro non è mai allineato con

circocentro, baricentro e ortocentro.

BCP

BCP BI : IP = BC : CP ABP BI : IP = AB : AP

(23)

Gli excentri

In un triangolo , consideriamo le bisettrici di due angoli esterni al triangolo (per esempio l’angolo esterno a e quello esterno a ).

Queste due bisettrici si incontrano in un punto esterno al triangolo (nel nostro esempio, il punto ). Per questo punto passa anche la bisettrice dell’angolo interno non adiacente agli angoli presi in considerazione (nel nostro caso ). Tale punto viene detto excentro.

Possiamo fare alcune osservazioni.

A seconda della scelta degli angoli che consideriamo, abbiamo un excentro diverso. Infatti, a ogni triangolo possiamo associare tre differenti excentri.

Ogni excentro è equidistante dalle rette determinate dai lati del triangolo (questa proprietà è del tutto analoga a quella

dell’incentro).

Ogni excentro è il centro di una circonferenza che ha per tangenti un lato del triangolo e i prolungamenti degli altri due (anche qui, in analogia con l’incentro).

ABC

ABC BCA

E

CAB

(24)

Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino

VAI ALLA PROSSIMA LEZIONE 9

Testo su Geometria euclidea

Relatori

Michele Ferrari

Letteratura Italiana Matematica Biologia

(25)

4/6/2019 Area del trapezio

www.lezionidimatematica.net/Area_poligoni/lezioni/area_lezione_21.htm 1/3

Disegniamo un TRAPEZIO ABCD_:

Ora disegniamo un trapezio ad esso congruente che chiamiamo A'B'C'D'_:

Ritagliamo i due trapezi e li posizioniamo uno accanto all'altro nel modo seguente:

Abbiamo ottenuto un PARALLELOGRAMMA.

Ora osserviamo attentamente il parallelogramma e confrontiamolo con il trapezio di partenza:

Il TRAPEZIO ha altezza DH_. Il PARALLELOGRAMMAha altezza DH_.

La base minore

del TRAPEZIO è DC_{, la base} maggiore è AB_.

(26)

La base

del PARALLELOGRAMMAè uguale a AB + D'C'_.

Ma D'C' è congruo con DC. Quindi la base del

parallelogramma è AB + DC_.

Il nostro PARALLELOGRAMMA quindi ha:

per altezza la STESSA ALTEZZA del trapezio;

per base la SOMMA delle BASI del trapezio.

L'AREA DEL TRAPEZIO è esattamente la META' dell'area del parallelogramma.

In altre parole un TRAPEZIO è EQUIVALENTE alla META' di un PARALLELOGRAMMAche ha per altezza la STESSA ALTEZZA del trapezio e per base la SOMMA DELLE BASI del trapezio.

Quindi, l'AREA del TRAPEZIO si ottiene MOLTIPLICANDO la SOMMA delle misure delleBASI per la misura dell'ALTEZZA e DIVIDENDO il prodotto ottenuto per 2.

La formula sarà:

dove

A é l'area del trapezio h è l'altezza b₁ è la base maggiore

b₂ è la base minore.

Esempio:

calcolare l'area di un trapezio le cui basi misurano rispettivamente m 5 e m 7 e la cui altezza misura m 3.

Applichiamo la formula:

(27)

L'area del trapezio è di m² 18_.