Manuale di Goniometria e Trigonometria

Manuale di Goniometria e Trigonometria

di Simone Camosso

“E’ solo con la Trigonometria che le cause dei fenomeni e dei cambiamen- ti che avvengono possono con certezza essere scoperte. La conoscenza dei movimenti dei corpi celesti non pu`o essere desunta con il semplice studio dei fenomeni e dei movimenti del mondo se non mediante quelle semplici figu- re, come i triangoli, la cui misurazione `e pensata dalla Trigonometria. Con questo sostegno gli ingegneri calcolano le distanze accessibili e quelle inac- cessibili... i geografi misurano le distanze dei luoghi situati sulla superficie della Terra e gli astronomi la lontananza di quelle stelle le cui longitudini e latitudini sono conosciute. Anche l’arte della navigazione dipende intera- mente dalla Trigonometria. L’utilizzo della Trigonometria `e cos`ı ampio in tutte le branche della Matematica che sarebbe impossibile farne a meno. A tal punto che anche le pi`u importanti e utili parti della conoscenza sarebbero completamente perse se l’umanit`a la ignorasse.”

Jacques Ozanam

“Trigonometria `e l’arte di misurare triangoli, o di calcolare i lati di ogni triangolo cercato, e questa pu`o essere piana o sferica.”

Dizionario di Inglese di Samuel Johnson (1755)

“Visto che stai studiando la geometria e la trigonometria, ti sottopongo un problema. Una nave sta navigando in mezzo all’oceano. Ha lasciato Boston con un carico di lana di circa 200 tonnellate ed `e diretta a Le Havre.

Il timone principale `e rotto, un mozzo `e sul ponte e con lui ci sono gli altri 12 passeggeri a bordo. Il vento soffia in direzione Est Nord-Est. L’orologio segna le tre e un quarto del pomeriggio. Siamo al mese di maggio. Quanti anni ha il capitano?”

Flaubert alla sorella Caroline

Indice

1 La nascita della Trigonometria 1

2 Nozioni fondamentali di goniometria 7

2.1 L’angolo . . . 7

2.2 Misura degli angoli . . . 10

2.3 Funzioni goniometriche . . . 12

2.4 Angoli notevoli per le funzioni goniometriche . . . 17

2.5 Formule notevoli . . . 18

2.6 Applicazioni: Area di un triangolo, teorema dei seni, teorema di Carnot . . . 20

3 Nozioni fondamentali di trigonometria 25 3.1 Formule di addizione e sottrazione . . . 25

3.2 Formule di duplicazione . . . 27

3.3 Formule di bisezione . . . 28

3.4 Formule di prostaferesi . . . 28

3.5 Formule di Werner . . . 29

3.6 Calcolare l’altezza di una torre, il cui piede appoggia sul piano orizzontale ove opera l’osservatore . . . 30

3.7 Il piano inclinato . . . 30

3.8 Area di un triangolo conoscendo i tre angoli e un lato . . . 32

3.9 Calcolo di una distanza . . . 32

3.10 Formule di Briggs . . . 34

3.11 Dimostrazione della formula di Erone . . . 36 5

3.12 Raggio della circonferenza inscritta . . . 37

3.13 Raggio circonferenza circoscritta . . . 38

3.14 Formule di triplicazione . . . 38

3.15 Formule parametriche . . . 39

3.16 Eguaglianza del parallelogramma . . . 40

3.17 Risoluzione di un triangolo rettangolo . . . 41

3.18 Risoluzione di un triangolo qualunque . . . 42

3.19 Fenomeni ondulatori . . . 43

3.20 Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi . . . . 44

3.21 La relazione di Eulero . . . 45

3.22 Funzioni secante e cosecante . . . 46

3.23 Equazioni goniometriche elementari . . . 46

3.24 Equazioni lineari in seno e coseno . . . 48

3.25 Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno . . . . 49

4 Cenni sulla goniometria cubica 51 4.1 Le funzioni della goniometria cubica . . . 51

4.2 Derivabilit`a periodica dei coseni cubici . . . 52

4.3 Espressione dei coseni cubici in forma reale . . . 53

4.4 Formule inverse . . . 53

4.5 Formule di scambio . . . 54

4.6 Formule di addizione . . . 55

4.7 Formule di duplicazione . . . 55

4.8 Formule cubiche di Moivre . . . 55

5 Questioni trigonometriche 57 5.1 Teorema di Pitagora . . . 57

5.2 Teorema delle tangenti . . . 58

5.3 Diseguaglianza trigonometrica . . . 61

5.4 Misura del raggio terrestre . . . 62

5.5 Identit`a per angoli costanti . . . 63

5.6 Funzione sinc(x) . . . 64

INDICE 7

5.7 La tangente e i polinomi elementari simmetrici . . . 65

6 Trigonometria sferica 67 6.1 Sfere, geodetiche e lune . . . 67

6.2 Triangoli sferici . . . 68

6.3 Il teorema di Pitagora sferico . . . 70

6.4 Distanza tra due punti . . . 72

6.5 Teorema del coseno . . . 73

Bibliografia 75

Capitolo 1

La nascita della Trigonometria

In epoca molto antica gli Egizi misuravano l’inclinazione di un piano ri- spetto a un altro (pensiamo per esempio all’inclinazione delle facce di una piramide, rispetto alla base) con un rapporto tra segmenti che oggi potremmo paragonare alla cotangente (questo si capisce ad esempio dal problema 56 del papiro di Rhind, scritto intorno al 1650 a.C.). L’uso delle funzioni trigono- metriche nasce per`o principalmente in astronomia (ad esempio i Babilonesi, si dedicano parecchio alle osservazioni astronomiche). Da ci`o si pu`o capire perch´e nasce prima la trigonometria sferica e dopo quella piana. Parliamo ora prevalentemente di quest’ultima. Qui entrano in scena i Greci. L’astro- nomia presso i greci diventa una scienza ed `e molto legata alla matematica, al punto di essere considerata parte integrante di essa. La prima opera si- stematica sulle funzioni trigonometriche di cui si ha notizia `e correlata alle corde del cerchio ed `e dovuta all’astronomo greco Ipparco di Nicea, vissuto nel II secolo a.C. Dato un cerchio di raggio fissato, ci si pone il problema di calcolare la lunghezza della corda relativa a un dato angolo al centro (per un cerchio di raggio unitario, la lunghezza della corda relativa a un angolo di ampiezza θ, con le notazioni attuali `e data da 2 sin<sub>2</sub><sup>θ</sup>). Ipparco tabula i valori delle corde degli archi circolari e per questo `e ricordato come il fondatore della trigonometria. Nel I secolo d.C. il matematico greco Menelao produce altre tabelle riportanti i valori delle corde; quest’opera `e andata perduta,

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mentre una sua opera sulla trigonometria sferica si `e conservata ed `e la pi`u antica opera nota su tale argomento. In quest’opera si dimostra un famoso teorema di trigonometria sferica, noto ora come teorema di Menelao, che nel caso piano (forse gi`a noto ai suoi predecessori) afferma che se i lati AB, BC, AC di un triangolo (o i loro prolungamenti) sono tagliati da una trasversale rispettivamente nei punti D, E, F , allora `e verificata l’uguaglianza:

AD · BE · CF = BD · CE · AF.

L’opera trigonometrica pi`u influente e significativa dell’antichit`a `e la Sin- tassi Matematica (o Almagesto) del famoso astronomo alessandrino Tolomeo (circa II secolo d.C.), che riporta delle tavole sulle corde molto accurate. Se- guendo la tradizione dei Babilonesi, probabilmente seguita anche da Ipparco, Tolomeo divide il cerchio in 360 parti uguali e il diametro in 120 parti. Egli, come i suoi predecessori, usa per il calcolo delle corde una variante della rela- zione fondamentale che ora indichiamo con sin<sup>2</sup>θ + cos<sup>2</sup>θ = 1 (che deriva dal teorema di Pitagora). Nei calcoli delle corde di Tolomeo ha un ruolo centrale una propriet`a dei quadrilateri detta oggi teorema di Tolomeo (la somma dei prodotti dei lati opposti di un quadrilatero inscrittibile in un cerchio `e uguale al prodotto delle diagonali). Da essa si possono oggi ricavare le 4 formule per calcolare seno e coseno della somma e della differenza di due angoli, oggi dette formule di Tolomeo. Egli conosceva anche la propriet`a che attualmente si esprime con le uguaglianze: _{sin α}^a = _{sin β}^b = _{sin γ}^c (dove a, b, c sono i lati di un triangolo opposti agli angoli α, β, γ). Tolomeo inscrive nel cerchio poli- goni di 3, 4, 5, 6 e 10 lati e ci`o gli permette di calcolare le corde sottese da angoli di 120, 90, 72, 60 e 36 gradi. Poi utilizza nelle sue tavole le formule per la corda della somma e della differenza di due angoli (paragonabili a quelle attuali per il seno della somma e della differenza) e applica un metodo per trovare la corda sottesa dalla met`a dell’angolo di una corda data. In questo modo, con un’interpolazione, riesce a calcolare corde con un buon grado di approssimazione. Passiamo ora agli Indiani o Ind`u. La prima apparizione

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dell’attuale seno di un angolo si ha nell’opera del matematico indiano Arya- bhata (circa nel 500), che tabula i valori di mezze corde, che egli indica con il simbolo jiva. Le stesse tabelle appaiono nell’opera del matematico india- no Brahmagupta (nel 628), mentre il matematico indiano Bhaskara nel 1150 descrive in un suo testo un metodo dettagliato per il calcolo di tabelle di seni per ogni angolo. Tuttavia i matematici indiani non facevano trattazio- ni sistematiche. Vediamo ora cosa fanno gli Arabi. Essi, dopo un primo periodo in cui proseguono con l’uso delle corde fatto da Tolomeo, adottano l’uso indiano di lavorare con la funzione seno. Nel 980 con Abu’l-Wafa la trigonometria riassume una forma pi`u sistematica, in cui vengono dimostrati risultati come le formule di bisezione e di duplicazione (per le funzioni tri- gonometriche). Il termine ind`u jya (per l’attuale seno) viene trasformato in arabo, per assonanza, in jiba, parola senza significato. In seguito, per`o, gli Arabi adottano il termine jaib, che significava piega. Quando gli autori eu- ropei traducono le opere matematiche in latino, questa parola diventa sinus, che significava appunto anche piega. A volte si usava il termine sinus rectus arcus. Per inciso, bisogna dire che le funzioni tangente e cotangente (delle quali sembra arduo attribuire una paternit`a precisa) si sono sviluppate nei contesti in cui era utile calcolare la lunghezza di un’ombra proiettata da un oggetto (per esempio nelle meridiane e per calcolare l’altezza di un edificio;

ricordiamo che Talete, nel VII-VI secolo a.C. misura l’altezza delle pirami- di proprio paragonando la loro ombra con quella proiettata da un bastone piantato per terra). Le pi`u antiche tavole di ombre di cui si ha notizia sono quelle prodotte dagli Arabi nel 860 circa. In latino, per indicare tali valori si usano poi i termini umbra recta e umbra versa. L’astronomo tedesco Jo- hannes M¨uller (1436-1476), detto Regiomontano, pubblica nel 1533 l’opera De triangulis omnimodis, un’esposizione sistematica dei metodi per risolve- re problemi relativi a triangoli, che contiene risultati di trigonometria piana e sferica e che segna la rinascita della trigonometria. In particolare tratta il seno e la sua funzione inversa. Essa pare abbia influenzato, attraverso i contatti con il matematico prussiano Georg Joachim Rheticus, l’astronomo

polacco Niccol`o Copernico (1473-1543) che nel suo famoso trattato De re- volutionibus orbium coelestium (1543) riporta ampie parti di trigonometria.

Rheticus scrive inoltre il trattato di trigonometria pi`u elaborato fino allora prodotto, l’Opus Palatinum de triangulis (pubblicato postumo nel 1596), in cui riporta tutta la trigonometria utile per l’astronomia. Qui egli abbandona la tradizionale considerazione delle funzioni rispetto all’arco del cerchio e con- centra l’attenzione sui lati del triangolo rettangolo, usa tutte e sei le funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante) e produce tavole molto elaborate. Da questo momento la trigonometria si svi- luppa prevalentemente in Europa, con un costante sviluppo, fino al secolo XVIII. Dopo il seno, la funzione trigonometrica pi`u usata in tutto questo periodo `e il seno verso, che ora non si usa pi`u, definibile in notazioni attuali come segue: versin(θ) = 1 − cos θ. Essa corrisponde al seno ruotato di 90 gradi. Per indicare il coseno di un angolo, il matematico francese Fran¸cois Vi`ete (1540-1603) usa il termine sinus residuae (ricordiamo che la lingua di comunicazione scientifica ufficiale, almeno fino al XVIII secolo, era il lati- no), mentre l’inglese Edmund Gunter suggerir`a nel 1620 il termine cosinus.

Quanto alla notazione per il seno di un angolo, Gunter, nel 1624, `e il primo ad usare l’abbreviazione sin in un disegno, mentre nel 1634 il matematico francese Pierre H´erigone la usa in un libro. Il termine tangente viene usato per primo dal matematico danese Thomas Fincke nel 1583 e cotangente da Gunter nel 1620. Fincke `e il primo a pubblicare la formula della legge delle tangenti. Vi`ete pu`o essere considerato il padre di quel metodo analitico per trattare la trigonometria che viene anche detto goniometria. Egli deriva, con un metodo diverso da quello consistente nell’applicare ricorsivamente le for- mule di Tolomeo, le formule per determinare sin nθ e cos nθ. Inoltre applica la trigonometria a problemi aritmetici ed algebrici, tra cui quello della trise- zione dell’angolo. Ricava anche alcune delle formule dette oggi di prostaferesi (formule che trasformano il prodotto di due funzioni trigonometriche in una somma) o di Werner (dal nome di Johann Werner, 1468-1522, matematico tedesco); pare che tali formule fossero gi`a note parzialmente agli Arabi, ma

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l’uso generale di esse prevale solo verso la fine del XVI secolo. Alla fine del XVI secolo e all’inizio del XVII secolo si ha un grosso entusiasmo per la trigo- nometria, con la conseguente produzione di manuali e compendi. Il termine trigonometria appare per la prima volta nel titolo del libro Trigonometria di Bartholomaeus Pitiscus (1561-1613) nel 1595. Proprio in quegli anni si inventano i logaritmi; uno dei principali artefici della nascita dei logaritmi

`e lo scozzese John Napier (1550-1617), affascinato pare proprio dal metodo di prostaferesi. Nel XVIII secolo si cominciano a studiare le funzioni trigo- nometriche di variabile complessa. I matematici svizzeri Johann Bernoulli (1667-1748) e Jakob Bernoulli (1654-1705) riscoprono le serie per sin(nx) e cos(nx) gi`a note a Vi`ete e le estendono (senza pensarci troppo su) anche a valori razionali di n. Nel 1702 Johann Bernoulli trova la relazione tra l’arco- tangente e il logaritmo in campo complesso. Nello stesso periodo il francese Abraham De Moivre stabilisce la formula che oggi porta il suo nome:

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ,

e che lega la trigonometria all’analisi. Il matematico svizzero Leonhard Eu- ler (1707-1783) dimostra la formula: e^iθ = cos θ + i sin θ, equivalente a quella forse gi`a nota al matematico inglese Roger Cotes (1682-1716), nella versio- ne: iθ = log (cos θ + i sin θ) e grazie a tale relazione Euler chiarisce varie propriet`a dei logaritmi in campo complesso. Le funzioni trigonometriche iperboliche vengono infine introdotte grazie al matematico italiano Vincenzo Riccati (1707-1775) e successivamente dal tedesco Johann Heinrich Lambert (1728-1777). Bisogna infine dire che il termine radiante appare per la pri- ma volta stampato nel 1873, da parte di James Thomson, fratello di Lord Kelvin. Altri matematici del periodo avevano proposto altri termini. Per quel che riguarda, per`o, la storia del concetto di misura in radianti di un angolo, qualunque nome avesse prima, non `e molto chiara. L’uso di misurare gli angoli in gradi perdura per un certo tempo tra i matematici della prima met`a dell’Ottocento, accanto a quello di misurarli in radianti: un po’ come era accaduto per la notazione numerica romana accanto a quella indo-araba.

Capitolo 2

Nozioni fondamentali di goniometria

2.1 L’angolo

Il termine goniometria significa misura dell’angolo, per studiare le pro- priet`a di tale ente occorrer`a prima definirlo. Consideriamo quindi un piano euclideo orientato:

Definizione 2.1. Si chiama angolo ciascuna delle due parti del piano in cui esso `e diviso da due semirette uscenti da uno stesso punto O (incluse le due semirette). Cio`e pi`u precisamente esso si identifica conoscendo la coppia ordinata di semirette ∠(s1, s₂) aventi l’origine in comune.

Il punto O si dice vertice dell’angolo. Le due semirette ∠(s1, s₂) si dicono lati o contorno dell’angolo.

Definizione 2.2. Si definisce arco di circonferenza la parte di circonferenza inclusa in un angolo al centro della circonferenza stessa.

I punti A e B di intersezione dei lati dell’angolo al centro con la cir- conferenza, si dicono estremi dell’arco. Un arco di estremi A e B si indica con:

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Arc(AB).

Definizione 2.3. Un angolo avente come lati delle rette si dice angolo piatto.

Definizione 2.4. Un angolo con i lati coincidenti si dice angolo nullo.

Per poter confrontare gli angoli in modo da poterli poi addizionare occorre considerare opportune classi di angoli.

Definizione 2.5. Due insiemi di punti M1 e M2 si dicono congruenti nello stesso senso, in simboli M₁ ∼= M₂, se `e possibile portare M<sub>1</sub> in M<sub>2</sub> attraverso un movimento rigido pari, si dicono congruenti, in simboli M<sub>1</sub> ≡ M<sub>2</sub>, se M<sub>1</sub> pu`o essere portato in M₂ attraverso un movimento rigido.

Si verifica che le precedenti relazioni sono relazioni di equivalenza. Attra- verso le precedenti relazioni si generano nell’insieme degli angoli che indico con A delle classi di equivalenza. Pertanto:

A/ ≡ .

Se A bSB `e un angolo la sua classe di equivalenza si indica con [A bSB].

Mentre per la seconda relazione:

A/ ∼= .

In questo caso la classe di equivalenza di A bSB si indica con A bSB. Tutti gli angoli nulli appartengono alla stessa classe chiamata 0 e lo stesso vale per gli angoli piatti.

Osservazione 1. Nella geometria si parla di angoli, anche se in realt`a, si intenderebbero le classi di angoli. Nella geometria scolastica si tratta di classi h

A bSB i

, inseguito anche delle classi A bSB, per le quali si adoperano delle lettere greche.

Nell’esempio, riportato in figura, gli angoli A bSB, A⁰Sb⁰B⁰ appartengono alla stessa classe A bSB mentre l’altro appartiene alla classe inversa.

2.1 L’angolo 9

Tutti per`o rappresentano la stessa classe [A bSB].

Per addizionare due classi di angoli α, β si scelgono due rappresentanti con lo stesso vertice, per i quali il secondo lato del primo angolo si sovrapponga al primo lato del secondo. Si definisce:

α + β = ∠(s1, s₂) + ∠(s2, s₃) = ∠(s1, s₃).

Le classi di angoli costituiscono rispetto all’addizione appena definita un gruppo commutativo, isomorfo al gruppo di rotazioni rispetto ad un punto.

In base alla orientazione assegnata sul piano posso vedere quale `e il lato positivo e negativo di s, con s lato di un angolo.

Definizione 2.6. Un angolo che non sia n´e quello nullo, n´e quello piatto, si dice positivo (negativo) se il secondo lato giace sul lato positivo (negativo) del primo.

Esempio 2.1. Un angolo piatto `e positivo.

Posso poi trasportare la definizione da angoli a classi di angoli tramite i rappresentanti.

Definizione 2.7. Siano α e β positivi, allora α si dice maggiore di β(analogamente α < β), se α − β `e positivo.

Definizione 2.8. Un angolo ∠(s1, s₂) ∈ α si dice angolo retto, se α `e positivo e α + α viene rappresentato mediante un angolo piatto.

Definizione 2.9. Un angolo si dice acuto (ottuso) se α `e minore (maggiore) di un angolo retto.

Definizione 2.10. Si definisce angolo giro la somma di due angoli piatti.

2.2 Misura degli angoli

Per misurare un angolo occorre fissare l’unit`a di misura che chiamiamo il grado.

Definizione 2.11. Un grado `e la 360^a parte di un angolo giro.

In molte questioni di matematica per`o si impone una misura diversa da quella in gradi. E’ noto infatti dalla geometria che in due circonferenze, di raggi rispettivamente r ed r⁰, due archi l, l⁰ che corrispondono ad angoli al centro di eguale ampiezza, sono proporzionali ai rispettivi raggi.

Infatti:

l = α

180πr, (2.1)

ed

l⁰ = α

180πr⁰, (2.2)

dividendo membro a membro ho:

l : l⁰ = r : r⁰. (2.3)

Se inoltre due circonferenze sono concentriche e se un angolo al centro individua un arco l di lunghezza pari al raggio r nella prima circonferenza, allora lo stesso angolo individuer`a un arco l⁰ di lunghezza pari al raggio r⁰ sulla seconda circonferenza. Possiamo dare una definizione alternativa di angolo:

2.2 Misura degli angoli 11

Definizione 2.12. Si definisce angolo radiante l’angolo al centro di una circonferenza di raggio arbitrario, che sottende un arco di lunghezza eguale al suo raggio.

Poich´e la misura di circonferenza `e espressa da:

C

r = 2π. (2.4)

Segue che l’angolo giro, in radianti, misura 2π. Analogamente l’ango- lo piatto π, retto ^π₂, ... Riportiamo la misura in radianti di alcuni angoli notevoli:

0^◦ = 0 18^◦ = π

10 30^◦ = π

6 45^◦ = π 4 60^◦ = π 3 90^◦ = π 2 120^◦ = 2π

3 135^◦ = 3π

4 150^◦ = 5π

6 180^◦ = π 270^◦ = 3π

2 360^◦ = 2π

La proporzione che permette il passaggio dalla misura in radianti a quella in gradi e viceversa `e:

360 : 2π = g : r, (2.5)

con r misura in radianti e g misura in gradi.

2.3 Funzioni goniometriche

Consideriamo una circonferenza di raggio r centrata per comodit`a nell’ori- gine del piano. Consideriamo inoltre un angolo θ orientato in senso antiorario, come mostra la figura:

Si definiscono seno e coseno dell’angolo θ i rapporti:

sin θ = QP

OP, (2.6)

e

cos θ = OQ

OP. (2.7)

Osservazione 2. Dalle definizioni date risulta evidente che il seno ed il coseno di un angolo sono numeri relativi.

Osservazione 3. Le funzioni seno e coseno sono funzioni dell’angolo.

Osservazione 4. Se consideriamo una circonferenza di raggio unitario avremo che le definizioni di seno e coseno si riducono alle proiezioni sui due assi cartesiani:

sin θ = QP cos θ = OQ. (2.8)

Teorema 2.3.1. La somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso angolo `e uguale ad 1. Cio`e:

sin²θ + cos²θ = 1. (2.9)

2.3 Funzioni goniometriche 13

Dimostrazione.

sin²θ + cos²θ = QP OP

2

+ OQ OP

2

= QP²+ OQ²

OP² =

utilizzo il teorema di Pitagora:

= OP² OP² = 1.

Riportiamo alcuni valori fondamentali del seno:

sin 0^◦ = sin 0 = 0, sin 90^◦ = sin

π 2



= 1, sin 180^◦ = sin π = 0, sin 270^◦ = sin 3π

2



= −1, sin 360^◦ = sin 2π = 0.

esso risulta essere positivo per gli angoli compresi tra π + 2kπ > θ > 0 + 2kπ, nullo per θ = 0 + kπ e negativo per gli altri con k ∈ Z. Riportiamo alcuni valori fondamentali del seno:

cos 0^◦ = cos 0 = 1, cos 90^◦ = cosπ

2



= 0, cos 180^◦ = cos π = −1, cos 270^◦ = cos 3π

2



= 0, cos 360^◦ = cos 2π = 1.

esso risulta essere positivo per gli angoli compresi tra ^π₂ + 2kπ > θ ≥ 0 e

3π

2 + 2kπ < θ ≤ 2π , nullo per θ = ^π₂ + kπ e negativo per gli altri con k ∈ Z.

Osservazione 5. Il seno e coseno di un angolo sono sempre compresi tra −1 e 1. Sono numeri che appartengono all’intervallo chiuso [−1, 1]. Ovvero:

−1 ≤ sin θ ≤ 1, (2.10)

e

−1 ≤ cos θ ≤ 1. (2.11)

Sia il seno che il coseno sono entrambe funzioni periodiche di periodo 2π, ovvero f (θ + 2π) = f (θ). Questo comporta inoltre che assumono infiniti zeri, come mostra la loro rappresentazione sul grafico considerando x = θ:

f (x) = sin x

f (x) = cos x

2.3 Funzioni goniometriche 15

E’ possibile anche definire altre due importanti funzioni goniometriche, la tangente e la cotangente come:

tan θ = sin θ

cos θ, (2.12)

e

cot θ = cos θ

sin θ. (2.13)

A differenza del seno e del coseno queste due funzioni non sono continue ovvero presentano delle singolarit`a cio`e, dei punti dove non sono definite. La tangente risulta infatti non essere definita in tutti i punti dove si annulla il denominatore cio`e il coseno, analogamente la cotangente. Se prendiamo in considerazione la tangente in questi punti abbiamo una discontinuit`a di 2^◦ specie cio`e un asintoto verticale:

f (x) = tan x

f (x) = cot x

Riportiamo alcuni valori fondamentali della tangente e cotangente:

tan 0^◦ = tan 0 = 0, tan 180^◦ = tan π = 0,

cot 90^◦ = cotπ 2



= 0, cot 270^◦ = cot 3π

2



= 0.

Per il valore ^π₂ la tangente non esiste. Si esprime questo dicendo che quando θ tende a ^π₂ la tangente cresce a ∞. Anche le funzioni tangente e

2.4 Angoli notevoli per le funzioni goniometriche 17

cotangente sono periodiche ma il loro periodo invece di essere 2π `e π, anche loro possiedono infiniti zeri tutti distanti multipli di π.

2.4 Angoli notevoli per le funzioni goniome- triche

Ci sono degli angoli con particolari valori di seno e coseno che si utilizzano molto spesso. Consideriamo la circonferenza goniometrica considerata in precedenza questa volta con il segmento OP = 1. Consideriamo l’angolo di 45^◦ cio`e ^π₄ ho che OQ = QP e per il teorema di Pitagora, indicando con l = OQ = QP ho:

2l² = 1, da cui l =

√2

2 , quindi OQ = QP =

√2 2 cio`e:

sinπ 4



=

√2

2 = cosπ 4



. (2.14)

Mentre:

tanπ 4



= 1 = cotπ 4



. (2.15)

Consideriamo adesso l’angolo di 30^◦ cio`e <sup>π</sup><sub>6</sub>, ho che QP = <sup>1</sup><sub>2</sub>OP = <sup>1</sup><sub>2</sub>, cio`e

`e la met`a del triangolo equilatero di lato OP . Anche qui applico Pitagora:

OQ = r

1 − 1 4 =

√3 2 , cio`e:

cos

π 6



=

√3

2 sin

π 6



= 1

2. (2.16)

Mentre

tanπ 6



= 1

√3, cotπ 6



=√

3. (2.17)

Con un ragionamento analogo trovo per ^π₃:

cosπ 3



= 1

2, sinπ 3



=

√3

2 . (2.18)

Mentre

tan

π 3



=√

3, cot

π 3



= 1

√3. (2.19)

2.5 Formule notevoli

Fino ad ora si sono viste due importanti relazioni che legano le grandezze goniometriche:

tan θ = sin θ

cos θ, (2.20)

e

sin²θ + cos²θ = 1. (2.21)

La seconda `e detta relazione fondamentale e da essa possiamo ricavare altre espressioni del tipo:

cos θ = ±p

1 − sin²θ, (2.22)

oppure:

sin θ = ±√

1 − cos²θ, (2.23)

sostituendo queste nella tangente ottengo:

tan θ = sin θ

±p

1 − sin²θ

, (2.24)

e

tan θ = ±√

1 − cos²θ

cos θ . (2.25)

2.5 Formule notevoli 19

Inoltre se suppongo noto il valore della tangente ho che posso riscrivere la relazione fondamentale come:

sin²θ

cos²θ + 1 = 1

cos²θ (2.26)

da cui:

tan²θ + 1 = 1

cos²θ, (2.27)

da cui si ricava:

cos θ = 1

±√

1 + tan²θ. (2.28)

Dividendo poi membro a membro di questa equazione sin θ = sin θ per quella sopra ottengo:

tan θ = sin θ(±p

1 + tan²θ), (2.29)

da cui:

sin θ = tan θ

±√

1 + tan²θ. (2.30)

Osservazione 6. Per le formule goniometriche valgono anche importanti rela- zioni che si ottengono in maniera immediata dal disegno della circonferenza goniometrica:

del tipo:

sinπ 2 + θ

= cos θ,

sinπ 2 − θ

= cos θ, sin (π + θ) = − sin θ, sin (π − θ) = sin θ, sin (−θ) = − sin θ.

Analogamente per le altre funzioni goniometriche.

2.6 Applicazioni: Area di un triangolo, teo- rema dei seni, teorema di Carnot

Consideriamo un triangolo qualunque ∆_ABC

supponiamo note le misure di a, b dei lati BC, AC e la misura di γ l’angolo fra essi compreso. Sia h la misura dell’altezza, dal triangolo ∆_ACH si ha:

h = b sin γ.

E l’area A = ¹₂ah, quindi:

A = 1

2ab sin γ, (2.31)

similmente:

A = 1

2ac sin β A = 1

2bc sin α. (2.32)

Teorema 2.6.1 (della corda). In un triangolo qualunque, il rapporto fra la misura di un lato e il seno dell’angolo opposto `e eguale alla misura del diametro della circonferenza circoscritta al triangolo.

2.6 Applicazioni: Area di un triangolo, teorema dei seni, teorema di

Carnot 21

Dimostrazione. Consideriamo il triangolo:

di raggio R, vogliamo dimostrare ad esempio che:

a

sin α = 2R.

Consideriamo i due casi.

1) L’angolo α `e acuto, si tracci il diametro BD e si congiunga D con C.

Il triangolo BCD cos`ı ottenuto `e rettangolo poich´e B bCD `e inscritto in una semicirconferenza. Si osservi inoltre che l’angolo acuto B bDC

`e eguale all’angolo B bAC del triangolo dato perch´e angoli sulla circon- ferenza che insistono su di uno stesso arco Arc(BD). Dal triangolo rettangolo ho:

BC = BD sin α, ricordo che BC = a,BD = 2R, dunque:

a = 2R sin α.

2) L’angolo α `e ottuso, si procede allo stesso modo anche se la figura risulta essere diversa con l’accorgimento che B bDC = 180^◦ − α ma sin 180^◦− α = sin α dunque:

BC = BD sin α, e

a = 2R sin α.

Teorema 2.6.2 (dei seni). In un triangolo qualunque le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.

Dimostrazione. Dal teorema precedente si procede in modo analogo per gli altri due lati ed ottengo:

a

sin α = 2R, b

sin β = 2R, c

sin γ = 2R, (2.33)

dalle quali segue:

a

sin α = b

sin β = c

sin γ. (2.34)

Teorema 2.6.3 (Carnot). In un triangolo qualsiasi, il quadrato della misura di ogni lato `e uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due, diminuita del doppio delle misure di questi due lati per il coseno dell’angolo da essi compreso.

Dimostrazione. Si utilizza il metodo vettoriale, ovvero considero il triangolo dove i lati sono costituiti da vettori, quindi ho che:

2.6 Applicazioni: Area di un triangolo, teorema dei seni, teorema di

Carnot 23

considero ~c = ~b − ~a ed elevo al quadrato ambo i membri, ottenendo:

~c · ~c = (~b − ~a) · (~b − ~a),

c² = a² + b²− 2ab cos γ.

Analogamente sugli altri lati del triangolo:

a² = b²+ c²− 2bc cos α, b² = a²+ c² − 2ac cos β.

Capitolo 3

Nozioni fondamentali di trigonometria

3.1 Formule di addizione e sottrazione

Consideriamo:

e i vettori ~u = cos α~i + sin α~j e ~v = cos β~i + sin β~j. Facendo il prodotto scalare ottengo:

~

u · ~v = cos α cos β + sin α sin β, ma per definizione si ha:

25

~

u · ~v = cos (α − β), confronto le due:

cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β, (3.1) detta formula di sottrazione del coseno. Sostituendo β con −β e conside- rando il fatto che sin (−β) = − sin (β) e cos (−β) = cos (β) ho la formula di addizione del coseno:

cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β. (3.2) Per la formula di sottrazione del seno, ricordo che sin (α − β) = cos_π

2 − (α − β) = cos _π

2 + β
− α) quindi:

sin (α − β) = cosπ 2 + β

cos α + sinπ 2 + β

sin α, (3.3) essendo cos ^π₂ + β
= − sin β , sin ^π₂ + β
= cos β ho:

sin (α − β) = cos β sin α − sin β cos α, (3.4) analogamente sostituendo β con −β e ricordando alcune relazioni tra angoli:

sin (α + β) = cos β sin α + sin β cos α. (3.5) Per la tangente ho che:

tan (α − β) = sin (α − β)

cos (α − β) = cos β sin α − sin β cos α cos α cos β + sin α sin β,

divido i due termini dell’ultima frazione ottenuta per cos α cos β supponendo cos α 6= 0 e cos β 6= 0 e si ha:

tan (α − β) = tan α − tan β

1 + tan α tan β, (3.6)

anche in questo caso per la formula di addizione sostituisco β con −β ed ottengo:

3.2 Formule di duplicazione 27

tan (α + β) = tan α + tan β

1 − tan α tan β (3.7)

(cambiano i segni poich´e nella tangente c’`e il seno).

3.2 Formule di duplicazione

Ponendo α = β ottengo le formule di duplicazione:











sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α cos (α + α) = cos α cos α − sin α sin α tan (α + α) = tan α+tan α

1−tan α tan α

da cui:

sin 2α = 2 sin α cos α, (3.8)

cos 2α = cos²α − sin²α, (3.9) e

tan 2α = 2 tan α

1 − tan²α, (3.10)

per la validit`a di questa ultima formula bisogna supporre α 6= ^π₂ + kπ.

Osservazione 7. Ricordando la formula fondamentale possiamo esprimere la formula di duplicazione del coseno anche come:

cos 2α = 1 − sin²α − sin²α = 1 − 2 sin²α, oppure

cos 2α = −1 + cos²α + cos²α = −1 + 2 cos²α.

3.3 Formule di bisezione

Considero la formula di duplicazione del coseno:

cos 2α = 1 − 2 sin²α, sostituisco ^α₂ al posto di α ed ho che:

cos α = 1 − 2 sin²

α 2

 , da cui ricavo

sinα 2



= ±

r1 − cos α

2 , (3.11)

analogamente partendo dall’altra formula di duplicazione si ottiene:

cosα 2



= ±

r1 + cos α

2 , (3.12)

e per la tangente:

tanα 2



= ±r 1 − cos α

1 + cos α. (3.13)

3.4 Formule di prostaferesi

Permettono di trasformare in prodotto, la somma o differenza dei seni e la somma o differenza dei coseni. Considero le formule di addizione:

sin (α + β) = cos β sin α + sin β cos α,

sin (α − β) = cos β sin α − sin β cos α,

prima le sommo membro a membro e poi ne faccio la differenza membro a membro ottenendo:

3.5 Formule di Werner 29

( sin (α + β) + sin (α − β) = 2 sin α cos β

sin (α + β) − sin (α − β) = 2 sin β cos α (3.14) Analogamente partendo dalle altre formule di addizione e sottrazione del coseno si ottiene:

( cos (α + β) + cos (α − β) = 2 cos α cos β

cos (α + β) − cos (α − β) = −2 sin β sin α . (3.15) per dare una espressione pi`u semplice di queste formule si pone α + β = p, α − β = q da cui sommandole e sottraendole dopo a membro a membro ho α = ^p+q₂ , β = ^p−q₂ . Sostituendo nelle precedenti ho le formule di prostaferesi:

sin p + sin q = 2 sinp + q

2 cosp − q

2 , (3.16)

sin p − sin q = 2 cosp + q

2 sinp − q

2 , (3.17)

cos p + cos q = 2 cosp + q

2 cosp − q

2 , (3.18)

e

cos p − cos q = −2 sinp + q

2 sinp − q

2 . (3.19)

3.5 Formule di Werner

Si ricavano direttamente dai sistemi 3.14 e 3.15 ottenendo:

sin α sin β = 1

2[cos (α − β) − cos (α + β)] , (3.20)

cos α cos β = 1

2[cos (α + β) + cos (α − β)] , (3.21) e

sin α cos β = 1

2[sin (α + β) + sin (α − β)] . (3.22)

3.6 Calcolare l’altezza di una torre, il cui pie- de appoggia sul piano orizzontale ove ope- ra l’osservatore

Se si suppone che il piede della torre sia accessibile, abbiamo la situazione illustrata in figura:

Si prenda sul terreno un punto C; si misuri la base AC = a; si collochi in C il teodolite, e sia CC⁰ la sua altezza. Sul piano verticale ABC⁰, si misura l’angolo α di elevazione che il raggio visuale C⁰B forma con il raggio orizzontale C⁰D. Dopo di ci`o dal triangolo si ricava:

DB = a tan α.

A questa misura si aggiunge la misura di AD, che `e uguale all’altezza CC<sup>0</sup> dello strumento, e si avr`a l’altezza cercata.

3.7 Il piano inclinato

Il piano inclinato `e una macchina semplice costituita da un piano rigido che forma un certo angolo di inclinazione α rispetto al piano orizzontale. Un corpo messo sul piano inclinato tende a spostarsi sotto l’azione del proprio peso di intensit`a P . Per mantenerlo in equilibrio occorre applicargli una certa forza R.

3.7 Il piano inclinato 31

Nel caso di forza parallela al piano, si ha equilibrio quando la forza equi- librante `e uguale ed opposta alla componente T del peso, agente nella stessa direzione. Il peso P del corpo, che agisce verticalmente, si scompone nelle forze N e T , rispettivamente perpendicolare e parallela al piano. Essendo α l’angolo di inclinazione all’orizzontale, si avr`a:

N = P cos α, T = P sin α, T = N tan α. (3.23)

Quando siano note le dimensioni b, h, l dei tre lati del triangolo rettangolo che rappresenta la sezione del piano inclinato, si ha:

cos α = b

l, sin α = h

l, (3.24)

per cui la condizione di equilibrio:

F = T = P sin α, (3.25)

diventa:

F = T = Ph

l. (3.26)

3.8 Area di un triangolo conoscendo i tre an- goli e un lato

Supponiamo di conoscere la misura di un lato, per esempio a e, le misure dei tre angoli del triangolo. Dal teorema dei seni si ha:

b

sin β = a sin α, da cui:

a sin β sin α = b,

sostituendo questo valore al posto di b nella formula dell’area:

A = 1 2

a²sin β

sin α sin γ. (3.27)

3.9 Calcolo di una distanza

3.9 Calcolo di una distanza 33

Ci si pone il problema di calcolare la distanza che separa due punti sul- l’altra sponda impiegando le nozioni del calcolo trigonometrico del triangolo.

Supponiamo di dover calcolare la distanza tra i punti A e B rappresentati in figura:

Conosciamo la lunghezza del segmento CD e degli angoli α, β, γ e δ. Nel triangolo ACD si ha:

AD

sin β = CD

sin (180^◦− (β + δ − γ)), (3.28) cio`e:

AD

sin β = CD

sin (β + δ − γ). (3.29)

Applicando il teorema del seno otteniamo la lunghezza del segmento AD.

Si ripete la stessa procedura considerando il triangolo BCD:

BD

sin (β − α) = CD

sin (β + δ − α). (3.30)

Si utilizza poi Carnot:

AB² = AD²+ BD²− 2AD · BD · cos γ, (3.31) cio`e:

AB =p

AD²+ BD²− 2AD · BD · cos γ. (3.32)

3.10 Formule di Briggs

Grazie a queste formule `e possibile procedere alla risoluzione di un trian- golo conoscendo solo le misure dei tre lati. Sono le seguenti:

Teorema 3.10.1. Per un triangolo qualunque aventi noti i lati valgono le seguenti formule relative al triangolo rappresentato in figura:

sinα 2



=

r(p − b)(p − c)

bc , sin β 2



=

r(p − a)(p − c)

ac , sinγ 2



=

r(p − b)(p − a) ba (3.33)

cosα 2



=

rp(p − a)

bc , cos β 2



=

rp(p − b)

ac , cosγ 2



=

rp(p − c) ba

(3.34)

tan

α 2



= s

(p − b)(p − c)

p(p − a) , tan β 2



= s

(p − a)(p − c) p(p − b) , tan

γ 2



= s

(p − b)(p − a) p(p − c) (3.35)

Dimostrazione. Si dimostreranno solo le prime di ciascuno dei tre gruppi: si pone p semiperimetro del triangolo. Si consideri l’uguaglianza a + b + c = 2p

3.10 Formule di Briggs 35

si sottragga ad ambo i membri una volta 2a, una volta 2b, una volta 2c, e si ottiene

−a + b + c = 2(p − a),

a − b + c = 2(p − b), e

a + b − c = 2(p − c).

Considero le due formule di bisezione:

sinα 2



=

r1 − cos α

2 ,

e

cosα 2



=

r1 + cos α

2 .

Per Carnot opero la sostituzione: cos α = ^(−a2+b_2bc^2+c2), quindi:

sin

α 2



=

r1 − cos α

2 =

s

1 −^(−a2+b_2bc^2+c2)

2 =

=

r(2bc + a²− b²− c²)

4bc =

r(+a² − (b − c)²)

4bc =

r(a + b − c)(a − b + c)

4bc =

=

r2(p − c)2(p − b)

4bc =

r(p − c)(p − b)

bc ,

e per il coseno:

cos

α 2



=

r1 + cos α

2 =

s

1 + ^(−a2+b_2bc^2+c2)

2 =

=

r(2bc − a²+ b²+ c²)

4bc =

r(−a² + (b + c)²)

4bc =

r(a + b + c)(−a + b + c)

4bc =

=

r2(p)2(p − a)

4bc =

rp(p − a) bc ,

infine per la tangente basta eseguire il rapporto tra il seno ed il coseno semplificando.

3.11 Dimostrazione della formula di Erone

Teorema 3.11.1. Dato un triangolo di lati a, b, c e angoli α, β, γ, mostrato in figura:

vale la formula per il calcolo dell’area:

A =p

p(p − a)(p − b)(p − c), (3.36) detta anche formula di Erone.

Dimostrazione. Considero la formula di duplicazione del seno

sin α = 2 sinα 2



cosα 2



= uso le formule di Briggs ed ho:

sin α = 2

r(p − b)(p − c) bc

p(p − a)

bc =

= 2 bc

pp(p − a)(p − b)(p − c)

3.12 Raggio della circonferenza inscritta 37

quindi:

A = bc

2 sin α = p

p(p − a)(p − b)(p − c).

3.12 Raggio della circonferenza inscritta

Si consideri il triangolo:

La circonferenza ha raggio r, l’area del triangolo `e data dai contributi dei triangoli indicati in figura:

A = 1

2ar + 1 2br +1

2cr = a + b + c

2 r = pr, da cui segue che:

r = A

p. (3.37)

Ricordando la formula di Erone e una delle formule di Briggs, si pu`o scrivere:

r = A p =

s

(p − a)(p − b)(p − c)

p = (p − a)

s

(p − b)(p − c)

p(p − a) , (3.38) e quindi se si conosce ad esempio la misura di un angolo del triangolo α:

r = (p − a) tanα 2



, (3.39)

ragionando analogamente trovo:

r = (p − b) tan β 2



, r = (p − c) tan

γ 2



. (3.40)

3.13 Raggio circonferenza circoscritta

Teorema 3.13.1. La misura R del raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo `e data dal rapporto tra il prodotto delle misure dei suoi lati, per il quadruplo dell’area A del triangolo. Sussiste la relazione:

R = abc

4A. (3.41)

Dimostrazione. Dal teorema della corda sappiamo che il raggio della circon- ferenza circoscritta ad un triangolo `e dato da:

R = c

2 sin γ. Moltiplico ambo i termini per ab ed ho:

R = abc 2ab sin γ, riconosco che A = ¹₂ab sin γ quindi segue:

R = abc 4A.

3.14 Formule di triplicazione

Utilizzando l’identit`a fondamentale e del formule di duplicazione ho:

3.15 Formule parametriche 39

sin 3θ = sin (θ + θ + θ) = sin 2θ cos θ + cos 2θ sin θ =

= 2 sin θ cos²θ + (cos²θ − sin²θ) sin θ =

= 3 sin θ cos²θ − sin³θ = 3 sin θ − 4 sin³θ, ovvero

sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin³θ. (3.42) In modo analogo si dimostrano:

cos 3θ = 4 cos³θ − 3 cos θ tan 3θ = 3 tan θ − tan³θ

1 − 3 tan²θ . (3.43)

3.15 Formule parametriche

Altre formule trigonometriche importanti sono le formule parametriche che esprimono il sin θ, cos θ il funzione razionale di tan ^θ₂
. Ricordiamo le formule di duplicazione del seno e del coseno, sotto la seguente formule:

sin α = 2 sinα 2



cosα 2



, (3.44)

e

cos α = cos²α 2

− sin²α 2



. (3.45)

Ricordando la formula fondamentale della trigonometria possiamo riscri- vere quelle sopra come:

sin α = 2 sin ^α₂
cos ^α₂

cos^{2 α}₂
+ sin^{2 α}₂
, (3.46) e

cos α = cos^{2 α}₂
− sin^{2 α}₂

cos^{2 α}₂
+ sin^{2 α}₂
, (3.47) poich´e: cos^{2 α}₂
+ sin^{2 α}₂
= 1. Dividendo numeratore e denominatore dei secondi membri, per cos^{2 α}₂
, supponendo α 6= π + 2kπ, si ottengono:

sin α = 2 tan ^α₂

1 + tan ^α₂
, (3.48)

e

cos α = 1 − tan^{2 α}₂

1 + tan^{2 α}₂
, (3.49)

si pu`o poi ulteriormente porre:

t = tanα 2

 , avr`o:

sin α = 2t

1 + t², (3.50)

e

cos α = 1 − t²

1 + t². (3.51)

3.16 Eguaglianza del parallelogramma

Proposizione 3.16.1. Dato un parallelogramma ho che la somma dei qua- drati delle diagonali `e uguale a due volte la somma dei quadrati dei lati.

Dimostrazione. Si utilizza anche in questo caso il calcolo vettoriale (la lun- ghezza dei lati risulta essere uguale ai moduli dei vettori) e si considera il parallelogramma con i vettori:

3.17 Risoluzione di un triangolo rettangolo 41

ho che:

|~a + ~b|²+ |~a − ~b|² = (~a + ~b) · (~a + ~b) + (~a − ~b) · (~a − ~b) =

= ~a · ~a + ~b · ~b + 2~a · ~b + ~a · ~a + ~b · ~b − 2~a · ~b = 2~a · ~a + 2~b · ~b =

= 2|~a|²+ 2|~b|².

3.17 Risoluzione di un triangolo rettangolo

Dato un triangolo rettangolo come illustrato in figura lo si vuole risolvere ovvero, riuscire a determinare tutti i lati e gli angoli a seconda dei dati forniti.

I CASO: noti due cateti b e c.

Da b = c tan β si ottiene tan β = ^b_c da cui ricavo β. Poi γ = 90^◦− β. Per il valore dell’ipotenusa a, ricordo b = a sin β da cui ricavo:

a = b sin β.

II CASO: noti ipotenusa e un cateto a e b.

Da b = a sin β si ottiene sin β = ^b_a da cui ricavo β. Poi γ = 90^◦ − β. Per il valore del cateto c, ricordo c = a sin γ.

III CASO: noti il cateto b e un angolo acuto β.

Si ha γ = 90^◦− β e c = b tan γ.

IV CASO: noti l’ipotenusa a e un angolo acuto β.

Si ha γ = 90^◦− β e b = a sin β e c = a cos β.

3.18 Risoluzione di un triangolo qualunque

Dato un triangolo qualunque come illustrato in figura lo si vuole risolvere ovvero, riuscire a determinare tutti i lati e gli angoli a seconda dei dati forniti.

I CASO: noti due angoli α e β e un lato a. Si ha γ = 180^◦ − (α + β) inoltre, per il teorema dei seni:

b = sin β a

sin α, (3.52)

e

c = sin γ a

sin α. (3.53)

3.19 Fenomeni ondulatori 43

II CASO: noti due lati a e b l’angolo compreso γ. Dal teorema di Carnot o del coseno:

c =p

a²+ b²− 2ab cos γ, (3.54) poi da quello dei seni:

sin β = b

csin γ, (3.55)

e si trova β ed infine α = 180^◦− (β + γ).

III CASO: dati i tre lati a, b, c. Dal teorema del coseno:

cos α = b² + c²− a²

2bc , (3.56)

trovo α poi per il teorema dei seni trovo γ, cio`e:

sin γ = c

asin α, (3.57)

ed infine β = 180^◦− (α + γ).

IV CASO: due lati ed un angolo opposto ad uno di essi. Per il teorema dei seni:

sin β = b

asin α. (3.58)

Se _a^b sin α > 1 il triangolo non `e risolubile, perch`e non pu`o mai essere sin β > 1. Se _a^bsin α ≤ 1, allora posso ricavare β. Si ha poi γ = 180^◦−(α+β) e per il teorema dei seni si ricava ancora:

c = asin γ

sin α. (3.59)

3.19 Fenomeni ondulatori

Suppongo di avere due oscillazioni che giungono in uno stesso punto, abbiano la medesima frequenza e la medesima ampiezza, e corrispondano alle equazioni:

ψ₁ = a cos ωt, ψ₂ = a cos (ωt + ϕ₀). (3.60) Per trovare il moto composto si ricorre alla formula di prostaferesi del coseno ed ho che:

ψ = ψ₁+ ψ₂ = a cos ωt + a cos (ωt + ϕ₀) = 2a cosϕ₀ 2



cos ωt +ϕ₀ 2

 . (3.61) Quindi si ottiene un nuovo moto di frequenza ω eguale a quella dei moti componenti, la fase iniziale di questo moto `e ^ϕ₂⁰, mentre l’ampiezza vale A = 2a cos ^ϕ₂⁰
.

3.20 Rappresentazione trigonometrica dei nu- meri complessi

Se al posto del piano ordinario di considera il piano di Gauss, ovvero il piano avente come asse delle ascisse l’asse reale e come asse delle ordinate quello immaginario, possiamo rappresentare ogni numero complesso con la trigonometria. Infatti consideriamo un generico numero complesso:

z = a + ib,

consideriamo il modulo del numero complesso ρ = √

a²+ b², ho che posso considerare il triangolo di lati a, b, ρ e affermare che:

a = ρ cos θ, (3.62)

3.21 La relazione di Eulero 45

e

b = ρ sin θ, (3.63)

pertanto:

z = ρ(cos θ + i sin θ). (3.64)

3.21 La relazione di Eulero

Si pu`o osservare inoltre che le funzioni trigonometriche oltre ad essere funzioni periodiche ammettono derivate periodiche, infatti:

d sin θ

dθ = cos θ, (3.65)

d²sin θ

dθ² = − sin θ, (3.66)

d³sin θ

dθ³ = − cos θ, (3.67)

d⁴sin θ

dθ⁴ = sin θ, (3.68)

analogamente per il coseno. Esiste inoltre una importante relazione che lega le funzioni trigonometriche con l’esponenziale ed `e la relazione di Eulero:

e^iθ = cos θ + i sin θ. (3.69)

Questa risulta essere una relazione molto curiosa oltre che di enorme utilit`a soprattutto per l’analisi complessa, infatti se pongo θ = π ottengo:

e^iπ = −1, (3.70)

La formula di Eulero si dimostra facilmente ricorrendo agli sviluppi in serie di seno e coseno.

3.22 Funzioni secante e cosecante

Esistono altre funzioni trigonometriche che sono la secante, cos`ı definita:

sec θ = 1

cos θ, (3.71)

e la cosecante:

sin⁻¹θ = 1

sin θ, (3.72)

ovviamente nei punti in cui il denominatore sia diverso da 0.

3.23 Equazioni goniometriche elementari

Consideriamo:

sin x = b, (3.73)

significa determinare tutti i valori degli angoli il cui seno vale b. Osservando la figura:

posso concludere che questi angoli sono due:

x = α + k360^◦, x = (180^◦− α) + k360^◦ (3.74) dove con α indico l’angolo tra l’asse x e il segmento OA. Analogamente per il coseno:

cos x = a, (3.75)

3.23 Equazioni goniometriche elementari 47

significa determinare tutti i valori degli angoli il cui seno vale a. Osservando la figura:

posso concludere che questi angoli sono due:

x = ±α + k360^◦. (3.76)

Per la tangente invece:

tan x = c, (3.77)

osservo la figura:

Le soluzioni saranno date da:

x = α + k180^◦. (3.78)

Esempio 3.1. Risolvere:

sin x =

√2 2 . Risoluzione.

Si ha che:

x = ^π₄ + 2kπ e x = ^3π₄ + 2kπ, ovviamente ∀k ∈ Z.

Esempio 3.2. Risolvere:

sin 2x = sin 3x.

Risoluzione.

Deve risultare 2x = 3x + k2π oppure 2x = π − 3x + k2π, da cui: x = −k2π , x = ^π+k2π₅ .

3.24 Equazioni lineari in seno e coseno

Definizione 3.1. Una equazione goniometrica si dice lineare in seno e coseno se si presenta sotto la forma:

a sin x + b cos x = c, (3.79)

con a 6= 0 e b 6= 0.

Se c = 0 allora procedo in questo modo:

a sin x = −b cos x,

poi divido per il coseno supponendo che non si annulli:

tan x = −b a , procedo come le elementari.

Se c 6= 0 sostituisco al posto di seno e coseno le formule parametriche ottenendo:

a 2t

1 + t² + b1 − t²

1 + t² = c, (3.80)

supponendo in questo caso che x 6= (2k + 1)π e, eseguendo i calcoli ho che:

(b + c)t²− 2at + c − b = 0, (3.81) trovo t₁, t₂ e mi riconduco ad equazioni elementari che so risolvere:

3.25 Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno 49

t1 = tan

x 2



, (3.82)

e

t₂ = tanx 2



. (3.83)

3.25 Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno

Definizione 3.2. Una equazione goniometrica di secondo grado omogenea

`e del tipo:

a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = d, (3.84) con a, b, c, d 6= 0.

divido per cos²x avendolo supposto diverso da 0. Inoltre ricordo l’iden- tit`a:

1

cos²x = tan²x + 1, (3.85)

con queste sostituzioni ottengo:

a tan²x + b tan x + c = d(tan²x + 1), (3.86) si risolve l’equazione di secondo grado e le due elementari che ottengo da quest’ultima.

(Le formule di duplicazione)

Tavola: DIMOSTRAZIONE GRAFICA DELLE FORMULE TRIGONOMETRICHE

(Le formule di addizione)

Cenni sulla goniometria cubica

La goniometria cubica o tetragoniometria, `e una nuova trigonometria, avente per riferimento fondamentale la superficie cubica (sfera cubica) :

x³+ y³+ z³ − 3xyz = 1,

anzich´e il cerchio o l’iperbole equilatera. La goniometria conserva quella simmetria delle formule che la trigonometria usuale perde nel passare dal piano allo spazio. Essa `e caratteristica per uno spazio, che soddisfi al teorema cubico di Pitagora a<sup>3</sup> + b<sup>3</sup> + c<sup>3</sup> − 3abc = d<sup>3</sup>, per questo le sue applicazioni concrete, allo stato attuale delle conoscenze fisiche, sono forse modeste, ma le sue applicazioni astratte sono innumerevoli e molto interessanti. Essa `e stata inventata dal professor Lando Degoli nel 1961.

4.1 Le funzioni della goniometria cubica

Diremo coseni cubici le funzioni a due variabili:

A(θ, ϕ) = 1 3



e^θ+ϕ+ e^εθ+ε2ϕ+ e^ε2θ+εϕ



, (4.1)

B(θ, ϕ) = 1 3



e^θ+ϕ+ εe^εθ+ε2ϕ+ ε²e^ε2θ+εϕ

, (4.2)

51

52 4. Cenni sulla goniometria cubica

C(θ, ϕ) = 1 3



e^θ+ϕ + ε²e^εθ+ε2ϕ+ εe^ε2θ+εϕ



, (4.3)

dove e `e la base dei logaritmi naturali ed ε, ε<sup>2</sup> sono radici cubiche dell’unit`a.

Da queste tre equazioni di ottengono:

A + B + C = e^θ+ϕ, (4.4)

A + εB + ε²C = e^ε2θ+εϕ, (4.5)

A + ε²B + εC = e^εθ+ε2ϕ. (4.6) Moltiplicando membro a membro le equazioni sopra si ottiene:

A³+ B³+ C³ − 3ABC = 1, (4.7)

ossia:

A B C

C A B

B C A

= 1. (4.8)

Le prime sei formule vengono dette formule cubiche di Eulero, mentre la 4.7 viene detta espressione fondamentale della goniometria solida. Con la sfera cubica si indica la superficie x³+ y³ + z³− 3xyz = 1.

4.2 Derivabilit` a periodica dei coseni cubici

I coseni cubici sono funzioni indefinitivamente derivabili negli argomenti θ, ϕ, le derivate sono periodiche di periodo 3. Si vede subito che:

dA

dθ = B dA

dϕ = C, (4.9)

d²A

dθ² = C d²A

dθdϕ = A d²A

dφ² = B, (4.10)

d³A

dθ³ = A d³A

dϕdθ² = B d³A

dϕ²dθ = Cd³A

dφ³ = A. (4.11) Osservazione 8. Osservo che:

• A(0, 0) = 1,

• B(0, 0) = 0,

• C(0, 0) = 0.

4.3 Espressione dei coseni cubici in forma rea- le

Ricordando che ε = ⁻¹⁺ⁱ

√3

2 e ε² = ⁻¹⁻ⁱ

√3

2 , si possono eliminare gli immaginari dall’espressione di A, B, C Si ottiene:

A = 1 3

"

e^θ+ϕ+ 2e^−θ+ϕ2 cos

√3 2

!#

, (4.12)

B = 1 3

"

e^θ+ϕ − e^−θ+ϕ2 cos

√3 2

!

−√

3e^−θ+ϕ2 sin

√3 2

!#

, (4.13)

B = 1 3

"

e^θ+ϕ− e^−θ+ϕ2 cos

√3 2

! +√

3e^−θ+ϕ2 sin

√3 2

!#

. (4.14)

Osservazione 9. Per tutti i valori di θ e ϕ reali i coseni cubici sono reali.

4.4 Formule inverse

Dalle formule di Eulero si ottiene:

θ = ε log (εx + ε²y + z) − ε²log (ε²x + εy + z)

ε² − ε , (4.15)

54 4. Cenni sulla goniometria cubica

ϕ = ε log (ε²x + εy + z) − ε²log (εx + ε²y + z)

ε²− ε , (4.16)

con x = A, y = B, z = C.

Osservazione 10. E’ possibile eliminare l’immaginario applicando la nota formula:

log (u + iv) = log√

u²+ v²+ i^v_u.

4.5 Formule di scambio

Ho che:

A(θ, ϕ) = A(ϕ, θ), B(θ, ϕ) = C(ϕ, θ),

C(θ, ϕ) = B(ϕ, θ).

In particolare:

• A(0, ϕ) = A(ϕ, 0) = A(ϕ),

• A(θ, 0) = A(0, θ) = A(θ),

• B(0, ϕ) = C(ϕ, 0) = C(ϕ),

• B(θ, 0) = C(0, θ) = B(θ),

• C(0, ϕ) = B(ϕ, 0) = B(ϕ),

• C(θ, 0) = B(0, θ) = C(θ).

4.6 Formule di addizione

Si dimostra che valgono le seguenti formule di addizione:

A(θ + λ, ϕ + µ) = A(θ, ϕ)A(λ, µ) + B(θ, ϕ)C(λ, µ) + C(θ, ϕ)B(λ, µ), (4.17)

B(θ + λ, ϕ + µ) = C(θ, ϕ)C(λ, µ) + A(θ, ϕ)B(λ, µ) + B(θ, ϕ)A(λ, µ), (4.18)

C(θ + λ, ϕ + µ) = B(θ, ϕ)B(λ, µ) + A(θ, ϕ)C(λ, µ) + C(θ, ϕ)A(λ, µ). (4.19)

4.7 Formule di duplicazione

Usando l’addizione si dimostra:

A(2θ, 2ϕ) = A²− 2BC, (4.20)

B(2θ, 2ϕ) = C²− 2AB, (4.21)

C(2θ, 2ϕ) = B²− 2AC. (4.22)

4.8 Formule cubiche di Moivre

In analogia con la formula di de Moivre, valgono:

[A(θ, ϕ) + B(θ, ϕ) + C(θ, ϕ)]ⁿ= A(nθ, nϕ) + B(nθ, nϕ) + C(nθ, nϕ), (4.23)

[A(θ, ϕ) + εB(θ, ϕ) + ε²C(θ, ϕ)]ⁿ = A(nθ, nϕ) + εB(nθ, nϕ) + ε²C(nθ, nϕ), (4.24)

56 4. Cenni sulla goniometria cubica

[A(θ, ϕ) + ε²B(θ, ϕ) + εC(θ, ϕ)]ⁿ = A(nθ, nϕ) + ε²B(nθ, nϕ) + εC(nθ, nϕ).

(4.25)

Questioni trigonometriche

5.1 Teorema di Pitagora

Teorema 5.1.1 (Pitagora). Dato un triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa `e eguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti.

Dimostrazione. Si consideri la figura:

57