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(1)

Metodi Matematici II Test di Algebra Lineare

a cura di Gianluca Fusai e Gianni Longo SEMEQ - Università del Piemonte Orientale

Anno Accademico 2003-04

DOMANDA 1 (Vecchio ordinamento)

Indicare quale tra le seguenti costituisce una base di R 2 : a

µ· 2 1

¸ ,

· 1

−1

¸¶

; b µ· 2

1

¸ ,

· 1

−1

¸ ,

· 1 1

¸¶

; c

µ· 2 1

¸ ,

· 0 0

¸¶

; d

µ· −2 1

¸ ,

· 4

−2

¸¶

; DOMANDA 2

I seguenti vettori x 1 =

· 1 2

¸ , x 2 = α

· 1 2

¸

con α ∈ R, sono:

a l.i. se α 6= 1; b l.i. ∀α; c l.d. ∀α; d l.d. solo se α = 1;

DOMANDA 3 La matrice A =

· 1 α 2 α

¸

, α ∈ R, ha:

a r (A) = 1 se α = 2; b r (A) = 1, ∀α; c r (A) = 2 se α 6= 0; d r (A) = 2, ∀α;

DOMANDA 4 La matrice A =

· 1 2 α α

¸

, α ∈ R, ha:

a r (A) = 1 se α = 2; b r (A) = 1, ∀α; c r (A) = 2 se α 6= 0; d r (A) = 2, ∀α;

DOMANDA 5

Siano date le seguenti matrici: A=

· 1 0 1 0 1 −1

¸ , B=

· 0 −1 1 1

¸ , C =

 0 1

−1

. Allora il risultato del prodotto matriciale B A C è:

1

DOMANDA 6

Sia data la seguente matrice di transizione A=

· 0.7 0.4 0.3 0.6

¸

. Se il sistema al tempo 0 è x 0 =

· 10 20

¸

, allora x 1 = ...

DOMANDA 7

Sia data la seguente matrice di transizione A=

· 0.8 0.1 0.2 0.9

¸

. Se il sistema al tempo 0 è x 0 =

· 10 10

¸

, allora x 2 = ...

DOMANDA 8 La matrice A=

· α − 1 α α α − 1

¸

, α ∈ R, ha:

a r (A) = 1, ∀α; b r (A) = 2, ∀α; c r (A) = 2 se α 6= 1/2; d r (A) = 1 se α 6= 1/2;

DOMANDA 9 La matrice A =

· α α

α α

¸

, α ∈ R, ha:

a r (A) = 1, ∀α; b r (A) = 0, ∀α; c r (A) = 2 se α 6= 0; d r (A) = 1 se α 6= 0;

DOMANDA 10 La matrice A=

· 1 α 2 4

¸

, α ∈ R, ha:

a r (A) = 1, ∀α; b r (A) = 1 se α = 2; c r (A) = 2 se α 6= 0; d r (A) = 2, ∀α;

DOMANDA 11 La matrice A =

· 1 −1 α −1

¸

, α ∈ R, ha:

a r (A) = 2 se α 6= 0; b r (A) = 2, ∀α;

c r (A) = 1 se α = 1; d r (A) = 1, ∀α;

DOMANDA 12 Data la matrice A =

· 1 2 3 α

¸

, con α ∈ R:

a r (A) = 1; b r (A) = 2 se α 6= 6; c r (A) = 2 ; d det(A) = 6 − α;

DOMANDA 13 La matrice seguente A =

 1 2 3 2 2 4 3 4 3

 ha rango:

(2)

a r (A) = 0; b r (A) = 1; c r (A) = 2; d r (A) = 3;

DOMANDA 14 La matrice seguente A=

 1 2 1 2 2 0 3 4 1

 ha rango:

a r (A) = 2; b r (A) = 1; c r (A) = 0; d r (A) = 3;

DOMANDA 15 La matrice A=

· 1 2 0 3

¸

, ha inversa A −1 =

· 1 − 2 3

0 1 3

¸

. La matrice B=

· 1 1 1 0

¸

ha inversa B −1 =

· 0 1 1 −1

¸

. Allora il prodotto matriciale 2 (AB) −1 è pari a:

R:

DOMANDA 16 Sia A=

· 1 0 0 2

¸

. L’inversa di A è:

a A −1 =

· 0 2 1 0

¸

; b A −1 =

· 0 -2 -1 0

¸

; c A −1 =

· 1 0 0 1/2

¸

; d A −1 =

· 1/2 0

0 1

¸

; DOMANDA 17

Sia A=

· 3 0 0 2

¸

. L’inversa di A è:

a A −1 =

· 0 3 2 0

¸

; b A −1 =

· 0 -3 -2 0

¸

;

c A −1 =

· 1/3 0 0 1/2

¸

; d A −1 =

· 1/2 0 0 1/3

¸

; DOMANDA 18

Se A ∈ R 4,4 ha determinante pari a 5:

a det(2A) = 2 4 ∗ 5; b det(2A) = 2 3 ∗ 5; c det(2A) = 2 ∗ 5; d det(2A) = 0;

DOMANDA 19

La forma ridotta, dopo il procedimento di eliminazione Gaussiana, della matrice A =

· 4 2 2 3

¸ è:

a

· 1 1 2 0 0

¸

; b

· 1 1 2 0 1

¸

;

c 1 2 ; d

· 2 1 2 0 1

¸

; DOMANDA 20

Il Sistema Lineare Omogeneo con matrice A =

· −1 1 0

0 1 1

¸ : a ha l’origine come unica soluzione; b non ammette soluzione;;

c ha ∞ 2 soluzioni; d ha soluzioni (t, t, −t), con t ∈ R;

DOMANDA 21

Il Sistema Lineare con matrice completa: A|B =

1 0 0 2

0 0 0 0

0 1 1 1

:

a ha ∞ 1 soluzioni; b non ammette soluzione;

c ha soluzione (2, 1, t), con t ∈ R; d ha ∞ 2 soluzioni;

DOMANDA 22

Il Sistema Lineare Omogeneo con matrice A =

 0 0 1 0 1 0 1 0 1

:

a ha soluzioni (c, c, −c), con c ∈ R; b non ammette soluzione;;

c ha ∞ 2 soluzioni; d ha l’origine come unica soluzione;

DOMANDA 23

Le soluzioni del sistema lineare avente matrice orlata

 1 0 −1

−3 0 3

2 1 0

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

−2 6 0

, sono:

a una; b infinite; c nessuna; d due.

DOMANDA 24

Il Sistema Lineare con matrice completa: A|B =

1 0 0 1

1 1 0 1

1 1 1 1

:

a ha ∞ 1 soluzioni; b non ammette soluzione;

c ha un’unica soluzione; d ha ∞ 2 soluzioni;

DOMANDA 25

(3)

Il Sistema Lineare Omogeneo con matrice A =

1 −1 0

0 0 0

0 −1 −1

:

a ha soluzioni (c, c, −c), con c ∈ R; b non ammette soluzione;

c ha ∞ 2 soluzioni; d ha l’origine come unica soluzione;

DOMANDA 26

Il Sistema Lineare ½

2x + 1y = 2 4x + 2y = 1 a ha ∞ 1 soluzioni; b non ammette soluzione;

c ha un’unica soluzione data da (1, 0); d ha un’unica soluzione;

DOMANDA 27

Il Sistema Lineare con matrice completa

1 0 1 2

0 1 0 2

0 0 0 0

:

a non ammette soluzione; b ha soluzione (2, 2, t), t ∈ R;

c ha ∞ 1 soluzioni; d ha ∞ 2 soluzioni;

DOMANDA 28

Risolvendo un sistema lineare si è arrivati alla seguente forma ridotta della matrice completa

1 0 2 2

0 1 0 2

0 0 0 0

Il sistema lineare:

a non ammette soluzione; b ha soluzione (2,2,1);

c ha ∞ 1 soluzioni; d ha ∞ 2 soluzioni;

DOMANDA 29

Risolvendo un sistema lineare si è arrivati alla seguente forma ridotta della matrice completa

1 0 2 3

0 1 0 4

0 0 0 0

Il sistema lineare:

a ha ∞ 2 soluzioni; b ha soluzione (3,4,0);

c non ammette soluzione; d ha ∞ 1 soluzioni;

DOMANDA 30

Siano A ∈ R 3,2 e B ∈ R 3 ; il sistema Ax = B ha un’unica soluzione se e solo se

a r(A) = 1 e r(A|B) = 1; b r(A) = 3 e r(A|B) = 3;

c r(A) = 1 e r(A|B) = 2; d r(A) = 2 e r(A|B) = 2;

DOMANDA 31

Risolvendo un sistema lineare si è arrivati alla seguente struttura della ma- trice completa

0 0 -1 2

0 1 0 0

2 0 0 1

Il sistema lineare:

a non ammette soluzione; b ha un’unica soluzione;

c ha ∞ 1 soluzioni; d ha ∞ 2 soluzioni;

DOMANDA 32

Sia A ∈ R 3,3 e si sappia che il sistema lineare Ax = 0 ha una sola soluzione.

Allora il sistema lineare Ax = b:

a è possibile solo se r (A|b) = 2; b ammette unica soluzione ∀b;

c è impossibile, ∀b; d ammette ∞ soluzioni, ∀b;

DOMANDA 33

Sia A ∈ R 3,3 e si sappia che il sistema lineare Ax = 0 ha ∞ 2 soluzioni.

Allora il sistema lineare Ax=b

a è sempre possibile; b è possibile se r (A|b) = 1 c ammette ∞ 2 soluzioni, ∀b; d è sempre impossibile, ∀b;

DOMANDA 34

Risolvendo un sistema lineare si è arrivati alla seguente forma ridotta della

matrice completa 

1 0 1 2

0 1 0 0

0 0 0 0

Il sistema lineare:

(4)

a non ammette soluzione; b (2, 0, 0) è soluzione;

c ha una sola soluzione; d ha ∞ 2 soluzioni;

DOMANDA 35

Siano A ∈ R 2,3 e b ∈ R 2 ; il sistema Ax = b ha un’unica soluzione se e solo se

a r(A) = r(A|b); b r(A) = 3;

c r(A) = r(A|b) = 2; d mai;

DOMANDA 36

Siano A ∈ R 3,3 e b ∈ R 3 ; il sistema Ax = b ha un’unica soluzione se e solo se

a r(A) = r(A|b); b r(A) = 3;

c r(A) = r(A|b) = 2; d r(A) = r(A|b) = 1;

DOMANDA 37 Il seguente sistema lineare

½ 2x + y = 3 4x + 2y = 6

a ha un’unica soluzione x = 1, y = 1; b ha infinite soluzioni;

c non ammette soluzione; d non si può dire nulla;

DOMANDA 38

Il seguente sistema lineare con matrice completa

A |b =

-1 0 1 2

0 1 2 0

0 0 0 -2

a ha soluzione (0,-4,2); b non ammette soluzione;

c ha ∞ 1 soluzioni; d ha ∞ 2 soluzioni;

DOMANDA 39

Il sistema lineare avente la seguente matrice completa

1 0 1 2

0 1 0 2

0 0 0 0

 :

a non ammette soluzione; b ha soluzione (2,2,t),t ∈ R c ha ∞ 1 soluzioni; d ha ∞ 2 soluzioni;

DOMANDA 40

Il sistema avente matrice completa:

 1 2 0 0 3 6 0 1 2

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯ 0 3 α

 :

a è possibile ∀α; b è impossibile ∀α;

c se α = 1, è determinato; d se α 6= 1, è impossibile;

DOMANDA 41 Data la matrice T = 10 1

· 9 8 1 2

¸

, allora la distribuzione stazionaria con somma delle componenti pari a 1, è data da:

a non esiste; b è x =

· 1

9 8 9

¸

; c è x =

· 8 1

¸

; d x =

· 8

9 1 9

¸

; DOMANDA 42

Un gestore ha un patrimonio investito in 3 titoli le cui sensibilità rispetto ad un dato fattore di rischio sono rispettivamente 1.4, 0.9 e 0.8. Le quantità investite sono 20, 50 e 30. Allora la sensibilità del portafoglio rispetto al fattore di rischio è:

a 97; b 96; c 95; d 94;

DOMANDA 43

Si sono individuati 2 fattori di rischio. Un portafoglio è formato da 10 unità di un titolo avente sensibilità ai due fattori di rischio rispettivamente pari a 2 e −1 e da 5 unità di un altro titolo avente sensibilità pari a −1 e 2 rispetto ai 2 fattori di rischio. La sensibilità del portafoglio ai due fattori di rischio è pari a:

a 0 e 15; b −15 e 0; c 15 e 0; d 1 e 1;

DOMANDA 44

Un gestore con un capitale di 100 e in presenza di un solo fattore di rischio, deve costruire un portafoglio con sensibilità pari ad 1. Se i due titoli hanno sensibilità al fattore di rischio pari a 2 e −3 e che i loro prezzi sono pari a 4 e 5, le quantità da acquistare dei due titoli sono:

a n 1 = 13, 86, n 2 = 8, 9; b n 1 = 12, 5, n 2 = 10;

c n 1 = 8, 9, n 2 = 13, 86; d n 1 = 25 4 , n 2 = 15 4 ; DOMANDA 45

Un gestore con un capitale di 100 e in presenza di un solo fattore di rischio,

deve costruire un portafoglio immune al fattore di rischio. Se i due titoli

hanno sensibilità al fattore di rischio pari a 2 e −3 e che i loro prezzi sono

pari a 4 e 5, le quantità da detenere dei due titoli sono:

(5)

a n 1 = 13, 86, n 2 = 8, 9; b n 1 = 150 11 n 2 = 100 11 ; c n 1 = 100 11 , n 2 = 150 11 ; d n 1 = 8, 9, n 1 = 13, 86;

DOMANDA 46

Un gestore con un capitale di 100 e in presenza di un solo fattore di rischio, deve costruire un portafoglio immune al fattore di rischio. Se i due titoli hanno sensibilità al fattore di rischio pari a −1.5 e 1 e che i loro prezzi sono pari a 5 e 4, le quantità da detenere dei due titoli sono:

a n 1 = 13, 86, n 2 = 8, 9; b n 1 = 150 11 = n 2 = 100 11 ; c n 1 = 100

11 , n 2 = 150

11 ; d n 1 = 8, 9, n 1 = 13, 86;

DOMANDA 47

Un gestore con un capitale di 100 e in presenza di un solo fattore di rischio, deve costruire un portafoglio con sensibilità pari ad 0. Se i due titoli hanno sensibilità al fattore di rischio pari a 2 e −3 e che i loro prezzi sono pari a 4 e 5, le quantità da acquistare dei due titoli sono:

a n 1 = 0, n 2 = 9; b n 1 = 150, n 2 = 100;

c n 1 = 0, n 2 = 0; d n 1 = 150 11 , n 2 = 100 11 ; DOMANDA 48

Un gestore con un capitale di 100 euro deve costruire un portafoglio im- munizzato in presenza di un solo fattore di rischio. Se i due titoli hanno sensibilità al fattore di rischio pari a 5/10 e -3/10 e che i loro prezzi sono pari a 10 euro, la quantità da acquistare dei due titoli è:

a n 1 = 0, n 2 = 0; b n 1 = 1, n 2 = 1; c n 1 = 25 4 , n 2 = 15 4 ; d n 1 = 15 4 , n 2 = 25 4 ; DOMANDA 49

Un gestore che dispone di un capitale di 40 deve costruire un portafoglio immunizzato ad un fattore di rischio, sapendo che i due titoli hanno sensi- bilità ad un fattore di rischio di 5 e -3 e che i loro prezzi sono pari a 10. La quantità da acquistare dei due titoli è:

a n 1 = 0, n 2 = 0; b n 1 = 3 2 , n 2 = − 5 2 ; c n 1 = 5 2 , n 2 = 3 2 ; d n 1 = 3 2 , n 2 = 5 2 ; DOMANDA 50

Un gestore con un capitale di 100 deve costruire un portafoglio immunizzato in presenza di un solo fattore di rischio. Se i due titoli hanno sensibilità al fattore di rischio pari a 1 e -2 e che i loro prezzi sono pari a 10, le quantità da acquistare dei due titoli sono:

a n 1 = 0, n 2 = 0; b n 1 = 10 3 , n 2 = 20 3 ; c n 1 = 2, n 2 = 1; d n 1 = 20 3 , n 2 = 10 3 ;

DOMANDA 51

Il polinomio caratteristico della matrice A =

· 4 2 2 3

¸ , è:

a λ 2 + 7λ + 8; b λ 2 − 7λ + 8;

c λ 2 − 7λ − 8; d λ 2 + 7λ − 8;

DOMANDA 52

Il polinomio caratteristico della matrice A =

· 3 2 2 4

¸ , è:

a λ 2 + 7λ + 8; b λ 2 − 7λ + 8; c λ 2 − 7λ − 8; d λ 2 + 7λ − 8;

DOMANDA 53

Se A ∈ R 4,4 ha eq. caratteristica λ 4 + 3λ 3 − λ 2 + 2λ + 1 = 0, allora:

a det(2 ∗ A) = 2 4 ; b A non ha inversa; c det(2 ∗ A) = 2; d det(2 ∗ A) = 1;

DOMANDA 54

Se A ∈ R 3,3 ha eq. caratteristica −λ 3 − λ 2 + 2λ + 2 = 0, allora:

a A −1 non esiste; b det(2 · A) = 2;

c det(2 · A) = 4; d det(2 · A) = 16;

DOMANDA 55

Se A ∈ R 3,3 ha eq. caratteristica −λ 3 − λ 2 + 2λ + 1 = 0, allora:

a A −1 non esiste; b det(2 · A) = 2;

c det(2 · A) = 1; d det(2 · A) = 8;

DOMANDA 56

Se A ∈ R 4,4 ha eq. caratteristica λ 4 + 3λ 3 − λ 2 + 2λ = 0, allora:

a det(A) = 1; b A non ha inversa; c A ha inversa; d det(A) = 2;

DOMANDA 57 La seguente matrice A =

· 4 2 2 3

¸

ha autovalori:

a 1, 1; b 7 2 + 1 2 √ 17, 7 21 2

√ 17;

c 7 2 , 7 2 ; d 1 2 √ 17, 1 2

17;

DOMANDA 58 La matrice A = 10 1

 9 0 0 0 6 4 1 4 6

 con equazione caratteristica

¡ λ − 10 9

¢ ¡ λ 26 5 λ + 1 5 ¢

= 0, ha autovalori:

(6)

a λ 1 = 1, λ 2 = 9, λ 3 = −1; b λ 1 = 1 5 , λ 2 = 10 9 , λ 3 = 1;

c λ 1 = 1, λ 2 = 9, λ 3 = 1; d λ 1 = 1, λ 2 = 10 9 , λ 3 = 10 1 ; DOMANDA 59

La matrice A = 10 1

 9 0 0 1 6 5 0 4 5

 con eq. caratt. ¡ λ − 10 9

¢ ¡ λ 211 10 λ + 10 1 ¢

= 0, ha autovalori

a λ 1 = 1, λ 2 = 9, λ 3 = 1; b λ 1 = 0.1, λ 2 = 10 9 , λ 3 = 10 1 ; c λ 1 = 1, λ 2 = 9, λ 3 = 1; d λ 1 = 1, λ 2 = 10 9 , λ 3 = 10 1 ; DOMANDA 60

L’eq. caratteristica di una matrice A ∈ R 3,3 è (λ − 0.5) ¡

λ 2 + 2λ − 1 ¢

= 0;

allora gli autovalori di A sono:

a λ 1 = 0.5, λ 2 = −1 + √

2, λ 3 = −1 − √

2; b λ 1 = 0.5, λ 2 = 1, λ 3 = −3;

c λ 1 = 1, λ 2 = 9, λ 3 = −1; d λ 1 = 1, λ 2 = 9, λ 3 = 1;

DOMANDA 61 Sia A =

· −1 2 1 0

¸

. Dato l’autovettore di A, v =

· −2 1

¸

, stabilire quale tra i seguenti numeri reali sia l’autovalore di A associato all’autovettore v:

a 2; b 1; c -1; d -2;

DOMANDA 62 Siano dati la matrice A =

2 0 0

0 1 0

0 −1 −2

 ed il vettore v = £

0 −3 1 ¤ T

, autovettore di A. Allora l’autovalore associato a v è (si usi la definizione di autovalori-vettori)

a 1; b −1; c 2; d −2;

DOMANDA 63 Sia data la matrice A=

1 0 0

0 5 0

−3 6 1

 . Tutti gli autovalori di A sono:

a 0, 1,5; b 1, 5; c 1; d 0, 1;

DOMANDA 64 (Vecchio ordinamento) La matrice A =

· 1 3 2 3

¸ :

a ha rango pari a 1; b non è diagonalizzabile;

c ha determinante pari a 3 d ha autovalori distinti ;

DOMANDA 65 (Vecchio ordinamento) La matrice A =

· 5 4 5 6

¸

ha eq. caratteristica (λ − 1) (λ − 10) = 0. Allora:

a è diag. con A =

· −1 2 1 5 4

¸ · 1 0 0 10

¸ · − 13 5 8 4 13

13 4

13

¸

b non è diag.;

c è diag. con A =

· −1 4

1 5

¸ · 1 0 0 10

¸ · − 5 9 4 9

1 9

1 9

¸

; d è diag. con A =

· −1 4 1 5

¸ · 0 10 1 0

¸ · − 5 9 1 4 9 9

1 9

¸

; DOMANDA 66 (Vecchio ordinamento)

La matrice A =

· −1 1

−5 1

¸

ha eq. caratteristica λ 2 + 4. Allora:

a è diag. con A =

· −1 4 1 5

¸ · 2 0 0 2

¸ · − 5 9 1 4 9

9 1

9

¸

b è diag. con A =

· −1 2 1 5 4

¸ · 0 2 2 0

¸ · − 13 5 8 4 13

13 4

13

¸

c è diag. con A =

· −1 4 1 5

¸ · 2 0 0 −2

¸ · − 5 9 4 1 9

9 1

9

¸

d non è diagonalizzabile;

DOMANDA 67 Sia data la matrice A=

1 0 0

0 5 0

−3 6 1

 di cui 5 è un autovalore. Quale tra i seguenti vettori è un autovettore di A associato all’autovalore 5?

a

 0 0 1

; b

 0 1 1

; c

 0 2 3

; d

 1 1 1

;

DOMANDA 68 (Vecchio ordinamento) La matrice A =

· 1 3 3 2

¸ :

a ` e diagonalizzabile; b non è diag.;

c ha r (A) = 1; d non ammette inversa;

DOMANDA 69 (Vecchio ordinamento) La matrice A =

· 9 2 1 8

¸

ha eq. caratteristica (λ − 7) (λ − 10) = 0. Allora:

(7)

a ` e diag. con A =

· −1 2 1 1

¸ · 7 0 0 10

¸ · − 1 3 2 1 3 3

1 3

¸

b non è diag.;

c ` e diag. con A =

· −1 2 1 1

¸ · 7 0 0 10

¸ · − 2 3 2 3

2 3 2 3

¸

; d ` e diag. con A =

· −1 2 1 1

¸ · 0 10 7 0

¸ · − 1 3 2 1 3

3 1

3

¸

; DOMANDA 70

Si consideri il sistema lineare Ax = b, dove: A =

 1 2 3 2 0 4 3 4 1

 , b =

 1 0 1

 .Allora

la seconda componente del vettore soluzione è: R...

DOMANDA 71 La matrice A=

· α 2α

2 2

¸

, α ∈ R, ha:

a r (A) = 2, ∀α; b r (A) = 1 , ∀α; c r (A) = 1, se α 6= 0; d r (A) = 2 se α 6= 0;

DOMANDA 72

Il Sistema Lineare con matrice completa

1 0 1 2

0 1 1 2

0 1 0 1

:

a non ammette soluzione; b ha soluzione (1,1,1) c ha ∞ 1 soluzioni; d ha ∞ 2 soluzioni;

DOMANDA 73 Sia P =

· 9

10 2 1 10 10

8 10

¸

una matrice di transizione per un sistema con 100 elementi. Allora lo stato stazionario del sistema è descritto dal vettore:

D = £

... ... ¤ T

DOMANDA 74 Data la matrice A =

· 9 1 0 6

¸

, determinare gli autovettori di A associati all’autovalore più piccolo, al variare del parametro reale t ∈ R/0:

x = £

... ... ¤ T

t ∈ R/0 DOMANDA 75

Un gestore ha in portafoglio 10 unità ciascuno di due titoli. I due titoli hanno prezzo di mercato pari a 10E. Il gestore desidera costruire un portafoglio immunizzato ad un fattore di rischio. Considerato che i due titoli hanno sensibilità al fattore di rischio pari a 0.1 e -0.9 rispettivamente, la quantità da detenere dei due titoli è:

a n 1 = 2, n 2 = 18; b n 1 = 18, n 2 = 2; c n 1 = 10, n 2 = 10; d n 1 = 18, n 2 = 18;

DOMANDA 76

Un gestore ha ottenuto una performance dell’8% gestendo un portafoglio descritto dalla seguente composizione: £

0.4 0.6 ¤ T

. Indici di mercato con composizione £

1 0 ¤ T

e £

0.2 0.8 ¤ T

hanno registrato una performance rispettivamente del 4% e del 10%. La performance del fondo non spiegata dal mercato (ex) è data da:

a ex = 0.5%; b ex = 8.5% ; c ex = 8%; d ex = −0.5%;

DOMANDA 77

Se A ∈ R 4,4 ha polinomio caratteristico λ 4 + 3λ 3 − λ 2 + 2λ + 1, allora:

a det(2 ∗ A) = 2 4 ; b A non ha inversa; c det(2 ∗ A) = 2; d det(2 ∗ A) = 2 3 ; DOMANDA 78

Un gestore con un capitale di 100 e in presenza di un solo fattore di rischio, deve costruire un portafoglio con sensibilità pari ad 1. Se i due titoli hanno sensibilità al fattore di rischio pari a 2 e −3 e che i loro prezzi sono pari a 4 e 5, le quantità da acquistare dei due titoli sono: R:

DOMANDA 79

La matrice A raccoglie il costo in Euro per ora derivante dall’utilizzo di diverse materie prime (MP 1 , MP 2 ) per ciascun impianto (I 1 , I 2 ). Le materie prime sono le etichette di riga, gli impianti di colonna: A =

I 1 I 2 M P 1 2 3 M P 2 3 1 . Nella matrice B si raccolgono tre diverse ipotesi di ore di utilizzo dei diversi impianti B =

Hyp 1 Hyp 2 Hyp 3

I 1 2 3 4

I 2 3 1 3

. Sotto quale ipotesi, il costo di utilizzo della materia prima M P 1 risulta maggiore?

a Hyp 1 ; b Hyp 2 ; c Hyp 3 ; d sono tutte uguali;

DOMANDA 80 La matrice A =

· 1 2 3 2

¸

, ha inversa: A

1

=

· ... ...

... ...

¸

DOMANDA 81 La matrice A =

· 1 α 2 α

¸

, α ∈ R, ha:

a r (A) = 1 se α = 2; b r (A) = 1, ∀α; c r (A) = 2 se α 6= 0; d r (A) = 2, ∀α;

DOMANDA 82

La matrice A raccoglie il profitto in Euro per unità derivante dalla ven- dita di diversi prodotti (Libri e DVD) a seconda del fornitore (F 1 , F 2 ). I prodotti sono le etichette di colonna, i fornitori di riga: A =

Libri DV D

F 1 2 3

F 2 3 1

.

(8)

Nella matrice B si raccolgono tre diverse ipotesi di rifornimento dei due prodotti (quindi B ha in colonna le quantità acquistate di ciascun prodotto) B =

Hyp 1 Hyp 2 Hyp 3

Libri 3 4 4

DVD 3 4 3

. Sotto quale ipotesi, il profitto comp- lessivo risulta maggiore?

a Hyp 1 con F 1; b Hyp 2 con F 1; c Hyp 1 con F 2; d Hyp 3 con F 1;

DOMANDA 83 Sia P =

· 7

10 3 3 10 10

7 10

¸

una matrice di transizione per un sistema con 100 elementi. Allora lo stato stazionario del sistema è descritto dal vettore:

R: [ ]

DOMANDA 84

Il sistema lineare Ax = b, con A =

 1 2 3 2 0 4 3 4 1

 , b =

 1 1 2

 , ammette

come seconda componente del vettore soluzione: R:

DOMANDA 85 La matrice A =

· 1 3 3 2

¸

, ha autovalori: R. λ 1 = ...; λ 2 = ...

DOMANDA 86

Sia A∈ R 3,3 e si sappia che il sistema lineare Ax = 0 ha un’unica soluzione. Allora il sistema lineare Ax = b

a può non ammet-

tere soluzioni ; ; b è possibile ed ammette

una sola soluzione; ; c è possibile ed ammet-

te infinite soluzioni; d non è possibile;

DOMANDA 87 Siano A∈ R 4,3 =

 

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

 

 e B∈ R 3,5 =

1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7

 e

C∈ R 4,3 = AB. Allora l’elemento c 4,4 di C è pari a:

a 200; b 167; c 122; d 77;

DOMANDA 88

La matrice A =

· 4 2 1 2

¸

, ha inversa: R: A

1

=

 

 

DOMANDA 89 Data la matrice A =

· 4 2 1 2

¸ e b =

· 0 1

¸

, il sistema lineare Ax=b ha soluzione:

R:

DOMANDA 90 Data la matrice A =

· 7 0 0 2

¸

gli autovettori associati all’autovalore più

piccolo, al variare di t ∈ R/ {0} sono dati da: R: [ ] T

DOMANDA 91

Un gestore ha ottenuto una performance dell’8% gestendo un portafoglio descritto dalla seguente composizione: f ondo = £

0.2 0.8 ¤ T

. Indici di mercato puri hanno registrato una performance rispettivamente del 4% e del 10%. La performance del fondo si scompone in r f ondo = r mkt + ex, dove r mkt e ex sono rispettivamente: R: r mkt = ...

ex = ...

DOMANDA 92

Il sistema lineare Ax = b dove A =

 1 0 0 2 1 2

, e b =

 1 1 1

:

a non ha

soluzioni ; b è possibile ed ammet-

te una sola soluzione; c è possibile ed ammet-

te infinite soluzioni; d è possibile ed ammet- te due sole soluzioni;

DOMANDA 93

Sia A ∈ R 3,3 e si sappia che il sistema lineare Ax = 0 ha ∞ soluzioni.

Allora il sistema lineare Ax = b a può non ammet-

tere soluzioni ; ; b è possibile ed ammette

una sola soluzione; ; c è possibile ed ammet-

te infinite soluzioni; d non è possibile;

DOMANDA 94

Un gestore ha ottenuto una performance dell’8% gestendo un portafoglio descritto dalla seguente composizione: £

0.5 0.5 ¤ T

. Indici di mercato con composizione £

1 0 ¤ T

e £ 0 1 ¤ T

hanno registrato una performance

(9)

rispettivamente del 4% e del 10%. La performance del fondo non spiegata dal mercato (ex) è data da:

a ex = 1%; b ex = 7% ; c ex = 8%; d ex = −1%;

DOMANDA 95 La matrice A =

· 4 0 1 2

¸

, ha inversa: A

1

=

DOMANDA 96 Data la matrice A =

· 4 8 1 2

¸ e b =

· −4

−1

¸

, le soluzioni del sistema lineare Ax = b sono:

R:

DOMANDA 97 Data la matrice A =

· 7 −1 0 2

¸

gli autovettori associati all’autovalore più

grande, al variare di t ∈ R/ {0} sono dati da: R: [ ] T

DOMANDA 98 Si consideri la matrice A =

· 1 −2

k 3

¸ . Allora:

a se k 6= −1, 5 allora r(A) = 2 b se k = −1, 5 allora A −1 esiste c se k 6= −1, 5 allora r(A) = 1; d se k 6= −1, 5 A −1 non esiste;

DOMANDA 99

Siano date le seguenti matrici: A=

· −1 0 2

0 −1 1

¸ , B=

· 0 −1 1 1

¸ , C=

· 2

−1

¸ . Allora il risultato del prodotto matriciale C T BA è:

...

DOMANDA 100

Il Sistema Lineare Omogeneo con matrice A =

 0 0 1 0 1 1 1 0 1

:

a ha soluzioni (c, c, −c), con c ∈ R; b non ammette soluzione;;

c ha ∞ 2 soluzioni; d ha l’origine come unica soluzione;

DOMANDA 101

La matrice A =

· α 2 α

α α

¸

, α ∈ R, ha:

a r (A) = 1, ∀α; b r (A) = 2, ∀α; c r (A) = 2 se α 6= 0; d r (A) = 1 se α = 1;

DOMANDA 102

Un gestore ha un patrimonio investito in 3 titoli i cui prezzi presentano rispetto ad un dato fattore di rischio una sensibilità rispettivamente di 1, 0.5 e 1.3. I quantitativi presenti in portafoglio dei tre titoli sono 20, 40 e 30.

La sensibilità del portafoglio rispetto al fattore di rischio è perciò:

...

DOMANDA 103 Data la matrice A =

· 1 −2

−1 2

¸

ed un suo autovettore v =

· 2 1

¸ , qual è l’autovalore cui è associato v?

λ = ...

DOMANDA 104

Le soluzioni del sistema lineare avente matrice orlata

1 0 −1

−3 0 3

1 −2 0

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

−2 6 3

, sono:

a una; b ∞ 1 ; c nessuna; d ∞ 2 . DOMANDA 106

Un gestore con un capitale di 100 e in presenza di un solo fattore di rischio, deve costruire un portafoglio con sensibilità pari ad 0.5. Se i due titoli hanno sensibilità al fattore di rischio pari a 2 e −3 e che i loro prezzi sono pari a 4 e 5, le quantità da acquistare dei due titoli sono: R:

DOMANDA 106 La matrice A =

· 1 2k

2 k

¸

, k ∈ R, ha:

a r (A) = 1 se k = 1; b r (A) ≥ 1, ∀k; c r (A) = 2 se k = 0; d r (A) = 2, ∀k;

DOMANDA 107

La matrice A raccoglie il costo in Euro per unità di 2 diversi semilavorati (S1, S2) classificati a seconda del fornitore (F 1 , F 2 ). I prodotti sono le etichette di colonna, i fornitori di riga: A =

S1 S2

F 1 2 3

F 2 3 1

. Nella matrice

B si raccolgono tre diverse possibilità di utilizzo dei due semilavorati per

(10)

la produzione di un’unità di un certo bene (B ha in colonna le quantità acquistate di ciascun semilavorato): B =

p 1 p 2 p 3

S1 3 4 6

S2 5 4 3

. Col vincolo che non è possibile ripartire tra i due fornitori l’acquisto dei due semilavorati, quale combinazione produttiva associata a quale fornitore garantisce il minor costo di produzione?

a p 2 con F 1; b p 1 con F 1; c p 1 con F 2; d p 3 con F 1;

DOMANDA 108 Sia P =

· 8

10 3 2 10 10

7 10

¸

una matrice di transizione per un sistema con 1000 elementi. Allora lo stato stazionario del sistema è descritto dal vettore:

R: [ ]

DOMANDA 108

Il sistema lineare Ax = b, con A =

1 2 3

2 0 4

−1 0 −1

 , b =

 1 1 2

 , ammette

come terza componente del vettore soluzione: R:

DOMANDA 109 Sia A =

· 1 −1

0 2

¸

. L’inversa di A è:

R:

· . . . .

¸

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