• Costruire un campo con 3 elementi.

(1)

Tutorato 1

Gruppi e campi

• Costruire due gruppi diversi con 4 elementi.

• Costruire un campo con 3 elementi.

Spazi vettoriali

• Siano v

1

, v

₂

, v

₃

∈ R

³

i seguenti vettori di R

³

:

v

₁

:=



 1 0 0



 , v

₂

:=



 1 2 0



 , v

₃

:=



 3 2 0



 .

Calcolare 3v

₁

+ (−1)v

₂

+ v

₃

, 2v

₁

+ v

₂

, 2v

₁

+ v

₂

− v

₃

.

Esistono tre numeri reali k

1

, k

2

, k

3

tali che k

1

v

1

+ k

2

v

2

+ k

3

v

3

=



 1 1 1



?

• Sia R il campo dei numeri reali, quanti elementi ha R

ⁿ

?

• Sia K un campo con tre elementi, quanti elementi ha K

ⁿ

?

• Sia K un campo con due elementi (quindi K = {0, 1}) e siano v

1

, v

₂

∈ K

³

i seguenti vettori

di K

³

: v

1

:=



 1 0 0



, v

2

:=



 1 1 0



, v

3

:=



 1 1 1



. Calcolare v

1

+ v

2

+ v

3

, v

1

+ v

3

, v

2

+ v

3

.

Matrici

• Si considerino le seguenti matrici

A := 0 1 2 1 0 1

, B :=





1 0 2 1 1 1 0 0 1



 C := 1 3 2 1 0 1

D := 0 1 1 1

E :=



 1 2 1 1 0 1





– Quali fra le precedenti matrici possono essere sommate fra loro?

– Quali fra le precedenti matrici possono essere moltiplicate fra loro?

– Di quali delle precedenti matrici si puo’ calcolare il determinante?

– Si calcolino: A · B, (E · A) · B, B · (E · A), (E · A) · E, det((A · E) + D), det((E · A) − B), det((A + C) · E).

– E’ possibile calcolare sia (E · A) · B sia E · (A · B)?

• Siano date tre matrici V

1

, V

₂

, V

₃

di cui non si conoscono le dimensioni. Se e’ possibile

calcolare (V

₁

+ V

₂

) + V

₃

e’ anche possibile calcolare V

₁

+ (V

₂

+ V

₃

)? Perche’ ?

(2)

Sistemi

• Dato il sistema di tre equazioni in 4 incognite







x

₂

+ x

₃

= 1 x

₁

+ x

₄

= 2

x

₁

+ x

₂

+ x

₃

+ x

₄

= 5 scrivere la sua matrice dei coefficienti e la matrice orlata.

• Scrivere il sistema omogeneo associato alla matrice dei coefficienti 0 1 2 1 0 1