Indicare quale tra le seguenti costituisce una base di R 2 : a

Metodi Matematici II Soluzioni Test di Algebra Lineare

a cura di Gianluca Fusai e Gianni Longo SEMEQ - Università del Piemonte Orientale

Anno Accademico 2003-04

DOMANDA 1 (Vecchio ordinamento)

Indicare quale tra le seguenti costituisce una base di R ² : a

µ· 2 1

¸ ,

· 1

−1

¸¶

; b

µ· 2 1

¸ ,

· 1

−1

¸ ,

· 1 1

¸¶

; c

µ· 2 1

¸ ,

· 0 0

¸¶

; d

µ· −2 1

¸ ,

· 4

−2

¸¶

;

Risposta: a - Ogni base di R ² è composta da 2 vettori di R ² l.i.. Dunque la risposta b è da escludersi immediatamente ed anche la c per la presenza del vettore nullo che rende qualunque insieme di vettori l.d.. Un insieme di vettori è l.i. ssse nessuno di essi può essere espresso come c.l. (combinazione lineare) dei rimanenti e, viceversa, sono l.d. ssse almeno uno di essi è esprimibile come c.l.

dei rimanenti. Dunque, la risposta d non è corretta perchè il secondo vettore è pari al primo moltiplicato per -2, ovvero, c.l. del primo. I due vettori che compaiono in a non sono invece uno multiplo dell’altro, perciò formano una base di R ² .

DOMANDA 2 I seguenti vettori x 1 =

· 1 2

¸ , x 2 = α

· 1 2

¸

con α ∈ R, sono:

a l.i. se α 6= 1; b l.i. ∀α; c l.d. ∀α; d l.d. solo se α = 1;

Risposta: c - Vedere l’es. 1. I due vettori sono l.d. ∀A essendo il secondo un multiplo del primo.

DOMANDA 3 La matrice A =

· 1 α

2 α

¸

, α ∈ R, ha:

a r (A) = 1 se α = 2; b r (A) = 1, ∀α; c r (A) = 2 se α 6= 0; d r (A) = 2, ∀α;

Risposta: c - Il rango è il n. di righe non nulle nella matrice in forma ridotta.

Se facciamo l’operazione R 2 = R 2 −2R 1 , si ottiene la forma ridotta:

· 1 α

0 -α

¸ . Dunque, se α = 0 la seconda riga è nulla ed il rango è 1, ma, con esclusione di questo caso, i due vettori non possono essere uno multiplo dell’altro ed il rango risulta essere 2. Le risposte danno affermazioni false ad eccezione della c.

1

DOMANDA 4 La matrice A =

· 1 2

α α

¸

, α ∈ R, ha:

a r (A) = 1 se α = 2; b r (A) = 1, ∀α; c r (A) = 2 se α 6= 0; d r (A) = 2, ∀α;

Risposta: c - Si veda la domanda.

DOMANDA 5

Siano date le seguenti matrici: A=

· 1 0 1 0 1 −1

¸ , B=

· 0 −1 1 1

¸ , C =



 0 1

−1



. Allora il risultato del prodotto matriciale B A C è:

Risposta: - Svolgendo il prodotto cominciando o da BA o da AC si ottiene BAC =

· −2 1

¸ .

DOMANDA 6

Sia data la seguente matrice di transizione A=

· 0.7 0.4 0.3 0.6

¸

. Se il sistema al tempo 0 è x 0 =

· 10 20

¸

, allora x 1 = ...

Risposta - La posizione del sistema al tempo 1 è data, per definizione di matrice di transizione, da x 1 =Ax 0 =

· 15 15

¸ .

DOMANDA 7

Sia data la seguente matrice di transizione A=

· 0.8 0.1 0.2 0.9

¸

. Se il sistema al tempo 0 è x 0 =

· 10 10

¸

, allora x 2 = ...

Risposta - La posizione del sistema al tempo 2 è data, per definizione di matrice di transizione, da x 2 =Ax 1 =A(Ax 0 ) =

· 8.3 11.7

¸ .

DOMANDA 8 La matrice A=

· α − 1 α α α − 1

¸

, α ∈ R, ha:

a r (A) = 1, ∀α; b r (A) = 2, ∀α; c r (A) = 2 se α 6= 1/2; d r (A) = 1 se α 6= 1/2;

Risposta: c - In questo caso conviene sfruttare il fatto che una matrice quadrata, A∈ R ^n,n ha rango pieno ssse det(A) 6= 0 e per converso presenterà rango non pieno, cioè < n, ssse det(A) = 0. In questo caso det(A) = 1 − 2α.

Perciò se α = 0.5 il rango è 1. Negli altri casi il rango è 2.

DOMANDA 9 La matrice A =

· α α

α α

¸

, α ∈ R, ha:

a r (A) = 1, ∀α; b r (A) = 0, ∀α; c r (A) = 2 se α 6= 0; d r (A) = 1 se α 6= 0;

Risposta: d - Le due righe sono uguali: il rango non può mai essere 2. E’ uno se α 6= 0, altrimenti è zero.

DOMANDA 10 La matrice A=

· 1 α 2 4

¸

, α ∈ R, ha:

a r (A) = 1, ∀α; b r (A) = 1 se α = 2; c r (A) = 2 se α 6= 0; d r (A) = 2, ∀α;

Risposta: b - Si veda la domanda 8: il rango è 2 se α 6= 2, altrimenti è 1.

DOMANDA 11 La matrice A =

· 1 −1 α −1

¸

, α ∈ R, ha:

a r (A) = 2 se α 6= 0; b r (A) = 2, ∀α;

c r (A) = 1 se α = 1; d r (A) = 1, ∀α;

Risposta: c - Si veda la domanda 8.

DOMANDA 12 Data la matrice A =

· 1 2 3 α

¸

, con α ∈ R:

a r (A) = 1; b r (A) = 2 se α 6= 6; c r (A) = 2 ; d det(A) = 6 − α;

Risposta: b - Si veda la domanda 8.

DOMANDA 13 La matrice seguente A =



 1 2 3 2 2 4 3 4 3



 ha rango:

a r (A) = 0; b r (A) = 1; c r (A) = 2; d r (A) = 3;

Risposta: d - Si veda la domanda 8: Si ha det(A) = 8 dunque il r(A) = 3.

DOMANDA 14 La matrice seguente A=



 1 2 1 2 2 0 3 4 1



 ha rango:

a r (A) = 2; b r (A) = 1; c r (A) = 0; d r (A) = 3;

Risposta: a - Si veda la domanda 8: Si ha det(A) = 0, dunque r(A) < 3.

Considerando, p.e., le prime 2 righe si vede che esse non sono una multiplo dell’altra e si può concludere che r(A) = 2.

DOMANDA 15 La matrice A=

· 1 2 0 3

¸

, ha inversa A ⁻¹ =

· 1 − ² ₃ 0 ¹ ₃

¸

. La matrice B=

· 1 1 1 0

¸

ha inversa B ⁻¹ =

· 0 1 1 −1

¸

. Allora il prodotto matriciale 2 (AB) ⁻¹ è pari a:

Risposta:

Risposta - Si può procedere calcolando preliminarmente AB per poi determi- narne l’inversa; oppure, utilizzare il fatto che (AB) ⁻¹ = B ⁻¹ A ⁻¹ ed utilizzare le due matrici inverse che sono già fornite dal testo. Si ottiene: 2(AB) ⁻¹ =

· 0 ² ₃ 2 −2

¸ .

DOMANDA 16 Sia A=

· 1 0 0 2

¸

. L’inversa di A è:

a A ⁻¹ =

· 0 2 1 0

¸

; b A ⁻¹ =

· 0 -2 -1 0

¸

; c A ⁻¹ =

· 1 0

0 1/2

¸

; d A ⁻¹ =

· 1/2 0

0 1

¸

;

Risposta: c - Si può verificare tramite la definizione di inversa quale tra le quattro rispetta l’uguaglianza AA ⁻¹ = I (oppure A ⁻¹ A = I). Altrimenti vista la ridotta dimensione di A procedere direttamente al calcolo dell’inversa. Con il primo procedimento si verifica, sin dal calcolo dell’elemento di posto 1,1 della matrice prodotto, che l’inversa è la matrice data in c.

DOMANDA 17 Sia A=

· 3 0 0 2

¸

. L’inversa di A è:

a A ⁻¹ =

· 0 3 2 0

¸

; b A ⁻¹ =

· 0 -3 -2 0

¸

;

c A ⁻¹ =

· 1/3 0

0 1/2

¸

; d A ⁻¹ =

· 1/2 0

0 1/3

¸

;

Risposta: c - Si veda la domanda precedente.

DOMANDA 18

Se A ∈ R ^4,4 ha determinante pari a 5:

a det(2A) = 2 ⁴ ∗ 5; b det(2A) = 2 ³ ∗ 5; c det(2A) = 2 ∗ 5; d det(2A) = 0;

Risposta: a - Se si moltiplica una linea (riga o colonna) di una matrice quadrata per una costante k allora il determinante della matrice risulta anch’esso moltiplicato per k. Se si moltiplica l’intera matrice per k è come se si molti- plicassero tutte le righe (o colonne) per k, dunque, il determinante risulterà moltiplicato per k tante volte quante sono le righe.

DOMANDA 19

La forma ridotta, dopo il procedimento di eliminazione Gaussiana, della matrice A =

· 4 2 2 3

¸ è:

a

· 1 ¹ ₂ 0 0

¸

; b

· 1 ¹ ₂ 0 1

¸

;

c ¹ ₂ ; d

· 2 ¹ ₂ 0 1

¸

;

Risposta: b - La risposta c è ovviamente priva di senso non essendo una matrice! La matrice A si può ridurre sottraendo alla seconda riga la prima riga divisa per 2; si ottiene

· 4 2 0 2

¸

. Dividendo la prima riga per 4 e la seconda per 2 si ottiene la matrice b.

DOMANDA 20

Il Sistema Lineare Omogeneo con matrice A =

· −1 1 0

0 1 1

¸ : a ha l’origine come unica soluzione; b non ammette soluzione;;

c ha ∞ ² soluzioni; d ha soluzioni (t, t, −t), con t ∈ R;

Risposta: d - Il sistema è già ridotto. Per sostituzione si ottiene una variabile libera (p.e. la seconda); le soluzioni sono quindi infinite (non ∞ ² essendoci una sola variabile libera) e pari appunto a quanto indicato al punto d.

DOMANDA 21

Il Sistema Lineare con matrice completa: A|B =



 1 0 0 2

0 0 0 0

0 1 1 1



:

a ha ∞ ¹ soluzioni; b non ammette soluzione;

c ha soluzione (2, 1, t), con t ∈ R; d ha ∞ ² soluzioni;

Risposta: a - Per sostituzione si ottiene x 1 = 2, x 3 = 1 − x 2 ; dunque, si ha una variabile libera ed ∞ ¹ soluzioni non coincidenti però con quanto affermato nella risposta c.

DOMANDA 22

Il Sistema Lineare Omogeneo con matrice A =



 0 0 1

0 1 0

1 0 1



:

a ha soluzioni (c, c, −c), con c ∈ R; b non ammette soluzione;;

c ha ∞ ² soluzioni; d ha l’origine come unica soluzione;

Risposta: d - Le prime due equazioni impongono che sia x 3 = 0 x 2 = 0. Da x 3 = 0 discende poi nella terza x 1 = 0.

DOMANDA 23

Le soluzioni del sistema lineare avente matrice orlata



 1 0 −1

−3 0 3

2 1 0

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

−2 6 0



, sono:

a una; b infinite; c nessuna; d due.

Risposta: b - Con le seguenti operazioni (R 2 = R 2 + 3R 1 e R 3 = R 3 − 2R 1 , si ottiene il sistema ridotto equivalente avente matrice orlata



 2 1 0 0 0 0 0 1 2

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯ 0 0 2





Quindi r (A) = 2 e r (A|b) = 2 e n = 3. Di conseguenza, per il teorema di Rouchè-Capelli si hanno infinite soluzioni dipendenti da una variabile libera.

DOMANDA 24

Il Sistema Lineare con matrice completa: A|B =



 1 0 0 1

1 1 0 1

1 1 1 1



:

a ha ∞ ¹ soluzioni; b non ammette soluzione;

c ha un’unica soluzione; d ha ∞ ² soluzioni;

Risposta: c - Risolvendo il sistema per sostituzione si ottiene x 1 = 1, x 2 = x 3 = 0.

DOMANDA 25

Il Sistema Lineare Omogeneo con matrice A =



 1 −1 0

0 0 0

0 −1 −1



:

a ha soluzioni (c, c, −c), con c ∈ R; b non ammette soluzione;

c ha ∞ ² soluzioni; d ha l’origine come unica soluzione;

Risposta: a - Risolvendo per sostituzione si ottiene x 1 = x 2 e x 3 = −x 2 ovvero la risposta a.

DOMANDA 26

Il Sistema Lineare ½

2x + 1y = 2 4x + 2y = 1 a ha ∞ ¹ soluzioni; b non ammette soluzione;

c ha un’unica soluzione data da (1, 0); d ha un’unica soluzione;

Risposta: b - La seconda equazione ha come coefficienti il doppio dei coeffici- enti della prima equazione, mentre, il termine noto è pari alla metà del termine noto della prima. Evidentemente incompatibili, come si può anche verificare per sostituzione.

DOMANDA 27

Il Sistema Lineare con matrice completa



 1 0 1 2

0 1 0 2

0 0 0 0



:

a non ammette soluzione; b ha soluzione (2, 2, t), t ∈ R;

c ha ∞ ¹ soluzioni; d ha ∞ ² soluzioni;

Risposta: c - Risolvendo per sostituzione il sistema (già ridotto) si ottine x 2 = 2 e x 3 = 2 − x 1 ovvero ∞ ¹ soluzioni non coincidenti però con la soluzione prospettata in b.

DOMANDA 28

Risolvendo un sistema lineare si è arrivati alla seguente forma ridotta della

matrice completa



 1 0 2 2

0 1 0 2

0 0 0 0





Il sistema lineare:

a non ammette soluzione; b ha soluzione (2,2,1);

c ha ∞ ¹ soluzioni; d ha ∞ ² soluzioni;

Risposta: c - Il sistema (ridotto) può essere risolto per sostituzione ottenendo

∞ ¹ soluzioni tra cui non è presente il vettore (2,2,1).

DOMANDA 29

Risolvendo un sistema lineare si è arrivati alla seguente forma ridotta della matrice completa



 1 0 2 3

0 1 0 4

0 0 0 0





Il sistema lineare:

a ha ∞ ² soluzioni; b ha soluzione (3,4,0);

c non ammette soluzione; d ha ∞ ¹ soluzioni;

Risposta: d - Si veda l’esercizio precedente.

DOMANDA 30

Siano A ∈ R ^3,2 e B ∈ R ³ ; il sistema Ax = B ha un’unica soluzione se e solo se a r(A) = 1 e r(A|B) = 1; b r(A) = 3 e r(A|B) = 3;

c r(A) = 1 e r(A|B) = 2; d r(A) = 2 e r(A|B) = 2;

Risposta: d - Per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema ha soluzione solo nelle situazioni prospettate in a ed in d, con una sola soluzione nel solo caso d.

DOMANDA 31

Risolvendo un sistema lineare si è arrivati alla seguente struttura della matrice completa



 0 0 -1 2

0 1 0 0

2 0 0 1





Il sistema lineare:

a non ammette soluzione; b ha un’unica soluzione;

c ha ∞ ¹ soluzioni; d ha ∞ ² soluzioni;

Risposta: b - Per sostituzione si individua una sola soluzione.

DOMANDA 32

Sia A ∈ R ^3,3 e si sappia che il sistema lineare Ax = 0 ha una sola soluzione.

Allora il sistema lineare Ax = b:

a è possibile solo se r (A|b) = 2; b ammette unica soluzione ∀b;

c è impossibile, ∀b; d ammette ∞ soluzioni, ∀b;

Risposta: b - Se il sistema omogeneo ammette una sola soluzione, ciò significa, per il teorema di Rouchè-Capelli, che r(A) = 3. Perciò aggiungendo una terza colonna (di R ³ ) a 3 vettori l.i. di R ³ il rango di A|b non può che rimanere 3.

Dunque,pe r il teorema di Rouchè-Capelli, vi è una sola soluzione ∀b.

DOMANDA 33

Sia A ∈ R ^3,3 e si sappia che il sistema lineare Ax = 0 ha ∞ ² soluzioni. Allora il sistema lineare Ax=b

a è sempre possibile; b è possibile se r (A|b) = 1 c ammette ∞ ² soluzioni, ∀b; d è sempre impossibile, ∀b;

Risposta: b - Se il sistema omogeneo ha ∞ ² soluzioni, significa che, per il teorema di Rouchè-Capelli, il r(A) = 1. Perciò, se r(A|b) = 1 il sistema Ax=b sarà possibile, altrimenti no. Le risposte a, c e d affermano o che non ci sono soluzioni o che ce ne sono sempre e ciò è falso dipendendo questo dal vettore b.

DOMANDA 34

Risolvendo un sistema lineare si è arrivati alla seguente forma ridotta della

matrice completa 

 1 0 1 2

0 1 0 0

0 0 0 0





Il sistema lineare:

a non ammette soluzione; b (2, 0, 0) è soluzione;

c ha una sola soluzione; d ha ∞ ² soluzioni;

Risposta: b - Risolvendo per sostituzione si ottengono ∞ ¹ soluzioni tra cui (2, 0, 0).

DOMANDA 35

Siano A ∈ R ^2,3 e b ∈ R ² ; il sistema Ax = b ha un’unica soluzione se e solo se a r(A) = r(A|b); b r(A) = 3;

c r(A) = r(A|b) = 2; d mai;

Risposta: d - Risolvendo un sistema in cui le variabili sono in numero maggiore del numero di equazioni i casi che si possono incontrare sono due: inesistenza di soluzioni o infinite soluzioni. Infatti, il sistema può ben essere impossibile, ma se è possibile vi sarà almeno una variabile libera, da cui infinite soluzioni.

Perciò, non è mai possibile che ci sia un’unica soluzione.

DOMANDA 36

Siano A ∈ R ^3,3 e b ∈ R ³ ; il sistema Ax = b ha un’unica soluzione se e solo se a r(A) = r(A|b); b r(A) = 3;

c r(A) = r(A|b) = 2; d r(A) = r(A|b) = 1;

Risposta: b - Per il teorema di Rouchè-Capelli si ha una sola soluzione nel solo caso b.

DOMANDA 37

Il seguente sistema lineare ½

2x + y = 3 4x + 2y = 6

a ha un’unica soluzione x = 1, y = 1; b ha infinite soluzioni;

c non ammette soluzione; d non si può dire nulla;

Risposta: b - Per sostituzione si ottengono ∞ ¹ soluzioni: y = 3 − 2x con x variabile libera.

DOMANDA 38

Il seguente sistema lineare con matrice completa

A |b =



 -1 0 1 2

0 1 2 0

0 0 0 -2





a ha soluzione (0,-4,2); b non ammette soluzione;

c ha ∞ ¹ soluzioni; d ha ∞ ² soluzioni;

Risposta: b - Il sistema è già ridotto e presenta visibilmente un’equazione nulla in corrispondenza di un temine noto non nullo. Evidentemente il sistema è impossibile.

DOMANDA 39

Il sistema lineare avente la seguente matrice completa



 1 0 1 2

0 1 0 2

0 0 0 0



 :

a non ammette soluzione; b ha soluzione (2,2,t),t ∈ R c ha ∞ ¹ soluzioni; d ha ∞ ² soluzioni;

Risposta: c - Il sistema è già ridotto e per sostituzione si ottengono ∞ soluzioni non coincidenti con la risposta b.

DOMANDA 40

Il sistema avente matrice completa:



 1 2 0 0 3 6 0 1 2

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯ 0 3 α



 :

a è possibile ∀α; b è impossibile ∀α;

c se α = 1, è determinato; d se α 6= 1, è impossibile;

Risposta: d - Riducendo il sistema si ottiene la matrice orlata



 1 2 0 0 3 6 0 0 0

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯ 0 3 α − 1





Dunque, se α = 1 il sistema si risolve per sostituzione ottenendo ∞ ¹ soluzioni;

se α 6= 1 il sistema è evidentemente impossibile.

DOMANDA 41

Data la matrice T = ₁₀ ¹

· 9 8 1 2

¸

, allora la distribuzione stazionaria con somma delle componenti pari a 1, è data da:

a non esiste; b è x =

· ₁

9 8 9

¸

; c è x =

· 8 1

¸

; d x =

· ₈

9 1 9

¸

;

Risposta: d - La distribuzione stazionaria è quella per cui Ax = x. Visto che x = Ix si ottiene il sistema Ax − Ix = (A − I)x = 0

· −0.1 0.8 0.1 −0.8

¸ · x 1

x 2

¸

=

· 0 0

¸

Le soluzioni sono x 1 = 8x 2 con x 2 variabile libera. Tenuto conto che le x i

rappresentano delle percentuali e dunque la loro somma deve essere pari ad 1, si ottiene x 2 = 1/9 e x 1 = 8/9.

DOMANDA 42

Un gestore ha un patrimonio investito in 3 titoli le cui sensibilità rispetto ad un dato fattore di rischio sono rispettivamente 1.4, 0.9 e 0.8. Le quantità investite sono 20, 50 e 30. Allora la sensibilità del portafoglio rispetto al fattore di rischio è:

a 97; b 96; c 95; d 94;

Risposta: a - La sensibilità del portafoglio è pari alla combinazione lineare delle sensibilità dei singoli titoli, combinazione lineare formata con coefficienti pari alle quantità investite, rispettivamente, nei 3 titoli. Dunque, pari a 20 ∗ 1.4 + 50 ∗ 0.9 + 30 ∗ 0.8 = 97.

DOMANDA 43

Si sono individuati 2 fattori di rischio. Un portafoglio è formato da 10 unità di un titolo avente sensibilità ai due fattori di rischio rispettivamente pari a 2 e

−1 e da 5 unità di un altro titolo avente sensibilità pari a −1 e 2 rispetto ai 2 fattori di rischio. La sensibilità del portafoglio ai due fattori di rischio è pari a:

a 0 e 15; b −15 e 0; c 15 e 0; d 1 e 1;

Risposta: c - Si procede come nella domanda precedente. La sensibilità al primo fattore risulta 10 ∗ 2 + 5 ∗ (−1) = 15, quella relativa al secondo fattore 10 ∗ (−1) + 5 ∗ 2 = 0.

DOMANDA 44

Un gestore con un capitale di 100 e in presenza di un solo fattore di rischio, deve costruire un portafoglio con sensibilità pari ad 1. Se i due titoli hanno sensibilità al fattore di rischio pari a 2 e −3 e che i loro prezzi sono pari a 4 e 5, le quantità da acquistare dei due titoli sono:

a n 1 = 13, 86, n 2 = 8, 9; b n 1 = 12, 5, n 2 = 10;

c n 1 = 8, 9, n 2 = 13, 86; d n 1 = ²⁵ ₄ , n 2 = ¹⁵ ₄ ;

Risposta: a - Il portafoglio è composto da una quantità pari ad n 1 del primo

titolo ed una quantità pari ad n 2 del secondo titolo, titoli le cui sensibilità

rispetto all’unico fattore di rischio sono 2 e -3. La sensibilità del portafoglio

rispetto al fattore di rischio considerato è combinazione lineare delle sensibilità

dei 2 titoli, combinazione lineare formata con coefficienti n 1 ed n 2 , ovvero, sensibilità portafoglio = 2n 1 −3n 2 . Dunque, la scelta di n 1 ed n 2 deve rispettare sia il vincolo di budget sia quello sulla sensibilità desiderata:

½ 2n 1 − 3n 2 = 1 4n 1 + 5n 2 = 100 La soluzione del sistema è n 1 = 13.86, n 2 = ⁹⁸ ₁₁ = 8.9.

DOMANDA 45

Un gestore con un capitale di 100 e in presenza di un solo fattore di rischio, deve costruire un portafoglio immune al fattore di rischio. Se i due titoli hanno sensibilità al fattore di rischio pari a 2 e −3 e che i loro prezzi sono pari a 4 e 5, le quantità da detenere dei due titoli sono:

a n 1 = 13, 86, n 2 = 8, 9; b n 1 = ¹⁵⁰ ₁₁ n 2 = ¹⁰⁰ ₁₁ ; c n 1 = ¹⁰⁰ ₁₁ , n 2 = ¹⁵⁰ ₁₁ ; d n 1 = 8, 9, n 1 = 13, 86;

Risposta: b - Il portafoglio è composto da una quantità pari ad n 1 del primo titolo ed una quantità pari ad n 2 del secondo titolo, titoli le cui sensibilità rispetto all’unico fattore di rischio sono 2 e -3. La sensibilità del portafoglio rispetto al fattore di rischio considerato è combinazione lineare delle sensibilità dei 2 titoli, calcolata con coefficienti n 1 ed n 2 , ovvero, sensibilità portf = 2n 1 − 3n 2 . Perciò, la scelta di n 1 ed n 2 deve rispettare sia il vincolo di budget sia quello sulla sensibilità desiderata:

· 2 −3

4 5

¸ · n 1

n 2

¸

=

· 0 100

¸

La soluzione del sistema è quella presentata in b.

DOMANDA 46

Un gestore con un capitale di 100 e in presenza di un solo fattore di rischio, deve costruire un portafoglio immune al fattore di rischio. Se i due titoli hanno sensibilità al fattore di rischio pari a −1.5 e 1 e che i loro prezzi sono pari a 5 e 4, le quantità da detenere dei due titoli sono:

a n 1 = 13, 86, n 2 = 8, 9; b n 1 = ¹⁵⁰ ₁₁ = n 2 = ¹⁰⁰ ₁₁ ; c n 1 = ¹⁰⁰ ₁₁ , n 2 = ¹⁵⁰ ₁₁ ; d n 1 = 8, 9, n 1 = 13, 86;

Risposta: c - Si procede come nelle domande precedenti. Il sistema da im- postare risulta

· −1.5 1

5 4

¸ · n 1

n 2

¸

=

· 0 100

¸

avente come soluzione quella presentata nel punto c.

DOMANDA 47

Un gestore con un capitale di 100 e in presenza di un solo fattore di rischio, deve costruire un portafoglio con sensibilità pari ad 0. Se i due titoli hanno sensibilità al fattore di rischio pari a 2 e −3 e che i loro prezzi sono pari a 4 e 5, le quantità da acquistare dei due titoli sono:

a n 1 = 0, n 2 = 9; b n 1 = 150, n 2 = 100;

c n 1 = 0, n 2 = 0; d n 1 = ¹⁵⁰ ₁₁ , n 2 = ¹⁰⁰ ₁₁ ;

Risposta: d - Si procede come nelle domande precedenti. Il sistema da im- postare risulta ·

2 −3

4 5

¸ · n 1

n 2

¸

=

· 0 100

¸

avente come soluzione quella presentata nel punto d.

DOMANDA 48

Un gestore con un capitale di 100 euro deve costruire un portafoglio immunizzato in presenza di un solo fattore di rischio. Se i due titoli hanno sensibilità al fattore di rischio pari a 5/10 e -3/10 e che i loro prezzi sono pari a 10 euro, la quantità da acquistare dei due titoli è:

a n 1 = 0, n 2 = 0; b n 1 = 1, n 2 = 1; c n 1 = ²⁵ ₄ , n 2 = ¹⁵ ₄ ; d n 1 = ¹⁵ ₄ , n 2 = ²⁵ ₄ ; Risposta: d - Si procede come nelle domande precedenti. Il sistema da im- postare risulta ·

0.5 −0.3

10 10

¸ · n 1

n 2

¸

=

· 0 100

¸

avente come soluzione quella presentata nel punto d.

DOMANDA 49

Un gestore che dispone di un capitale di 40 deve costruire un portafoglio im- munizzato ad un fattore di rischio, sapendo che i due titoli hanno sensibilità ad un fattore di rischio di 5 e -3 e che i loro prezzi sono pari a 10. La quantità da acquistare dei due titoli è:

a n 1 = 0, n 2 = 0; b n 1 = ³ ₂ , n 2 = − ⁵ ₂ ; c n 1 = ⁵ ₂ , n 2 = ³ ₂ ; d n 1 = ³ ₂ , n 2 = ⁵ ₂ ; Risposta: d - Si procede come nelle domande precedenti. Il sistema da im- postare risulta ·

5 −3 10 10

¸ · n 1

n 2

¸

=

· 0 40

¸

avente come soluzione quella presentata nel punto d.

DOMANDA 50

Un gestore con un capitale di 100 deve costruire un portafoglio immunizzato in presenza di un solo fattore di rischio. Se i due titoli hanno sensibilità al fattore di rischio pari a 1 e -2 e che i loro prezzi sono pari a 10, le quantità da acquistare dei due titoli sono:

a n 1 = 0, n 2 = 0; b n 1 = ¹⁰ ₃ , n 2 = ²⁰ ₃ ; c n 1 = 2, n 2 = 1; d n 1 = ²⁰ ₃ , n 2 = ¹⁰ ₃ ;

Risposta: d - Si procede come nelle domande precedenti. Il sistema da im- postare risulta ·

1 −2 10 10

¸ · n 1

n 2

¸

=

· 0 100

¸

avente come soluzione quella presentata nel punto d.

DOMANDA 51

Il polinomio caratteristico della matrice A =

· 4 2 2 3

¸ , è:

a λ ² + 7λ + 8; b λ ² − 7λ + 8;

c λ ² − 7λ − 8; d λ ² + 7λ − 8;

Risposta: b - Il polinomio caratteristico è pari a det(A − λI) = 0 dunque

det µ· 4 2

2 3

¸

− λ

· 1 0 0 1

¸¶

= det

µ· 4 − λ 2

2 3 − λ

¸¶

= λ ² − 7λ + 8 = 0

DOMANDA 52

Il polinomio caratteristico della matrice A =

· 3 2 2 4

¸ , è:

a λ ² + 7λ + 8; b λ ² − 7λ + 8; c λ ² − 7λ − 8; d λ ² + 7λ − 8;

Risposta: b - Si procede come visto nell’esercizio precedente:

det µ· 3 2

2 4

¸

− λ

· 1 0 0 1

¸¶

= det

µ· 3 − λ 2

2 4 − λ

¸¶

= λ ² − 7λ + 8.

DOMANDA 53

Se A ∈ R ^4,4 ha eq. caratteristica λ ⁴ + 3λ ³ − λ ² + 2λ + 1 = 0, allora:

a det(2 ∗ A) = 2 ⁴ ; b A non ha inversa; c det(2 ∗ A) = 2; d det(2 ∗ A) = 1;

Risposta: a - Si dimostra che il termine noto del polinomio caratteristico di una matrice quadrata coincide con il suo determinante. In questo caso si può dunque concludere che det(A) = 1. Allora per quanto visto nella domanda n.

18 si ha det(2A) = 2 ⁴ . DOMANDA 54

Se A ∈ R ^3,3 ha eq. caratteristica −λ ³ − λ ² + 2λ + 2 = 0, allora:

a A ⁻¹ non esiste; b det(2 · A) = 2;

c det(2 · A) = 4; d det(2 · A) = 16;

Risposta: d - Come visto nell’esercizio precedente il determinante della matrice è pari a 2 dunque A è invertibile (contrariamente a quanto affermato in a) e det(2A) = 16.

DOMANDA 55

Se A ∈ R ^3,3 ha eq. caratteristica −λ ³ − λ ² + 2λ + 1 = 0, allora:

a A ⁻¹ non esiste; b det(2 · A) = 2;

c det(2 · A) = 1; d det(2 · A) = 8;

Risposta: d - Come visto nell’esercizio precedente il determinante della matrice è pari a 1 dunque A è invertibile (contrariamente a quanto affermato in a) e det(2A) = 8.

DOMANDA 56

Se A ∈ R ^4,4 ha eq. caratteristica λ ⁴ + 3λ ³ − λ ² + 2λ = 0, allora:

a det(A) = 1; b A non ha inversa; c A ha inversa; d det(A) = 2;

Risposta: b - Come visto nell’esercizio precedente il determinante della matrice è pari a 0 dunque A non è invertibile.

DOMANDA 57 La seguente matrice A =

· 4 2 2 3

¸

ha autovalori:

a 1, 1; b ⁷ ₂ + ¹ ₂ √ 17, ⁷ ₂ − ¹ ₂ √

17;

c ⁷ ₂ , ⁷ ₂ ; d ¹ ₂ √ 17, ¹ ₂ √

17;

Risposta: b - Gli autovalori di A sono le soluzioni dell’equazione caratteristica che ha espressione pari a det(A − λI) = 0. Ovvero:

det µ· 4 2

2 3

¸

− λ

· 1 0 0 1

¸¶

= det

µ· 4 − λ 2

2 3 − λ

¸¶

= λ ² − 7λ + 8 = 0

e le soluzioni sono ⁷ ₂ − ¹ ₂ √ 17 e ¹ ₂ √

17 + ⁷ ₂ DOMANDA 58

La matrice A = ₁₀ ¹



 9 0 0 0 6 4 1 4 6



 con equazione caratteristica

¡ λ − ₁₀ ⁹ ¢ ¡

λ ² − ⁶ ₅ λ + ¹ ₅ ¢

= 0, ha autovalori:

a λ 1 = 1, λ 2 = 9, λ 3 = −1; b λ 1 = ¹ ₅ , λ 2 = ₁₀ ⁹ , λ 3 = 1;

c λ 1 = 1, λ 2 = 9, λ 3 = 1; d λ 1 = 1, λ 2 = ₁₀ ⁹ , λ 3 = ₁₀ ¹ ;

Risposta: b - Gli autovalori sono le soluzioni dell’equazione caratteristica.

Escluse le risposte a e c che non conentengono l’autovalore 9/10. Rimangono b e d: sostituendo per esempio λ = 1/5, si verifica che la risposta corretta è la b.

DOMANDA 59 La matrice A = ₁₀ ¹



 9 0 0 1 6 5 0 4 5



 con eq. caratt. ¡ λ − ₁₀ ⁹ ¢ ¡

λ ² − ¹¹ ₁₀ λ + ₁₀ ¹ ¢

= 0, ha autovalori

a λ 1 = 1, λ 2 = 9, λ 3 = 1; b λ 1 = 0.1, λ 2 = ₁₀ ⁹ , λ 3 = ₁₀ ¹ ; c λ 1 = 1, λ 2 = 9, λ 3 = 1; d λ 1 = 1, λ 2 = ₁₀ ⁹ , λ 3 = ₁₀ ¹ ;

Risposta: d - Gli autovalori sono le soluzioni dell’equazione caratteristica. a e c vanno esclusi perchè non contengono la risposta λ = ₁₀ ⁹ . b e c si differenziano per il valore di λ 1 . Sostituendo per esempio λ = 1, si verifica che la risposta corretta è la d.

DOMANDA 60

L’eq. caratteristica di una matrice A ∈ R ^3,3 è (λ − 0.5) ¡

λ ² + 2λ − 1 ¢

= 0;

allora gli autovalori di A sono:

a λ 1 = 0.5, λ 2 = −1 + √

2, λ 3 = −1 − √

2; b λ 1 = 0.5, λ 2 = 1, λ 3 = −3;

c λ 1 = 1, λ 2 = 9, λ 3 = −1; d λ 1 = 1, λ 2 = 9, λ 3 = 1;

Risposta: a - Gli autovalori sono le soluzioni dell’equazione caratteristica. Per

verifica diretta, tramite sostituzione dei valori, si verifica che la risposta corretta

è la a.

DOMANDA 61 Sia A =

· −1 2

1 0

¸

. Dato l’autovettore di A, v =

· −2 1

¸

, stabilire quale tra i seguenti numeri reali sia l’autovalore di A associato all’autovettore v:

a 2; b 1; c -1; d -2;

Risposta: d - Data la matrice A ed un suo autovettore si chiede quale sia l’autovalore associato λ. Per definizione deve essere

Av = λv

· −1 2

1 0

¸ · −2 1

¸

=

· 4

−2

¸

= λ

· −2 1

¸

e dunque deve essere λ = −2.

DOMANDA 62 Siano dati la matrice A =



 2 0 0

0 1 0

0 −1 −2



 ed il vettore v = £

0 −3 1 ¤ T

, autovettore di A. Allora l’autovalore associato a v è (si usi la definizione di autovalori-vettori)

a 1; b −1; c 2; d −2;

Risposta: a - Come nell’esercizio precedente deve essere per definizione:



 2 0 0

0 1 0

0 −1 −2







 0

−3 1



 =



 0

−3 1



 = λ



 0

−3 1





e dunque deve essere λ = 1.

DOMANDA 63 Sia data la matrice A=



 1 0 0

0 5 0

−3 6 1



 . Tutti gli autovalori di A sono:

a 0, 1,5; b 1, 5; c 1; d 0, 1;

Risposta: b - Se una matrice è triangolare (ovvero tutti gli elementi che stanno al di sotto della diagonale principale oppure sopra la diagonale principale sono nulli) gli autovalori coincidono con gli elementi che compaiono sulla diagonale principale. Nel caso in esame essi sono (senza calcoli!) 1 (doppio) e 5.

DOMANDA 64 (Vecchio ordinamento) La matrice A =

· 1 3 2 3

¸ :

a ha rango pari a 1; b non è diagonalizzabile;

c ha determinante pari a 3 d ha autovalori distinti;

Risposta: d - La matrice ha rango 2 e determinante -3. Gli autovalori sono. √

7 + 2 e 2 − √

7 dunque è corretta la risposta d. Peraltro se gli autovalori di una matrice sono distinti si ha garanzia che la matrice è diagonalizzabile, dunque b è falsa.

DOMANDA 65 (Vecchio ordinamento) La matrice A =

· 5 4 5 6

¸

ha eq. caratteristica (λ − 1) (λ − 10) = 0. Allora:

a è diag. con A =

· −1 2 1 ⁵ ₄

¸ · 1 0 0 10

¸ · − ₁₃ ⁵ ₁₃ ⁸

4 13

4 13

¸

b non è diag.;

c è diag. con A =

· −1 4

1 5

¸ · 1 0 0 10

¸ · − ⁵ ₉ ⁴ ₉

1

9 1

9

¸

; d è diag. con A =

· −1 4

1 5

¸ · 0 10 1 0

¸ · − ⁵ ₉ ¹ ₉

4 9

1 9

¸

;

Risposta: c - La matrice ha autovalori 1 e 10 dunque è diagonalizzabile (v.

la domanda precedente). Svolgendo i conti si verifica che la risposta corretta è la c. Si osservi che in d non viene fornita una rappresentazione di A in forma diagonale, perciò è da scartare a priori.

DOMANDA 66 (Vecchio ordinamento) La matrice A =

· −1 1

−5 1

¸

ha eq. caratteristica λ ² + 4. Allora:

a è diag. con A =

· −1 4

1 5

¸ · 2 0 0 2

¸ · − ⁵ ₉ ¹ ₉

4 9

1 9

¸

b è diag. con A =

· −1 2 1 ⁵ ₄

¸ · 0 2 2 0

¸ · − 13 ⁵ 8 4 13 13

4 13

¸

c è diag. con A =

· −1 4

1 5

¸ · 2 0 0 −2

¸ · − ⁵ 9 4 1 9 9

1 9

¸

d non è diagonalizzabile;

Risposta: d - La matrice non ha autovalori (reali) dunque non è diagonalizz- abile.

DOMANDA 67 Sia data la matrice A=



 1 0 0

0 5 0

−3 6 1



 di cui 5 è un autovalore. Quale tra i seguenti vettori è un autovettore di A associato all’autovalore 5?

a



 0 0 1



; b



 0 1 1



; c



 0 2 3



; d



 1 1 1



;

Risposta: c - Per definizione un autovettore v di A associato all’autovalore 5 deve soddisfare l’uguaglianza



 1 0 0

0 5 0

−3 6 1



 v = 5v

Sostituendo i vettori si verifica che l’unico che verifica l’uguaglianza è quello in c.

DOMANDA 68 (Vecchio ordinamento) La matrice A =

· 1 3 3 2

¸

:

a ` e diagonalizzabile; b non è diag.;

c ha r (A) = 1; d non ammette inversa;

Risposta: a - A ha rango pari a 2 e determinante non nullo per cui è invertibile;

le risposte c e d sono quindi false. Procedendo a calcolare gli autovalori di A si verifica che ve ne sono 2 distinti e ciò basta a concludere che la matrice è diagonalizzabile.

DOMANDA 69 (Vecchio ordinamento) La matrice A =

· 9 2 1 8

¸

ha eq. caratteristica (λ − 7) (λ − 10) = 0. Allora:

a ` e diag. con A =

· −1 2

1 1

¸ · 7 0 0 10

¸ · − ¹ ₃ ² ₃

1 3

1 3

¸

b non è diag.;

c ` e diag. con A =

· −1 2

1 1

¸ · 7 0 0 10

¸ · − ² ₃ ² ₃

− ² 3 2 3

¸

; d ` e diag. con A =

· −1 2

1 1

¸ · 0 10 7 0

¸ · − ¹ ₃ ² ₃

1 3

1 3

¸

;

Risposta: a - Essendovi 2 autovalori distinti A è diagonalizzabile. Mentre la risposta d è da escludere a priori non fornendo una rappresentazione di A in forma diagonale, procedendo alla verifica diretta si individua a come risposta corretta.

DOMANDA 70

Si consideri il sistema lineare Ax = b, dove: A =



 1 4 2 4 0 3 2 3 1



 , b =



 1 0 1



 .Allora

la seconda componente del vettore soluzione è: R...

R. x 2 = 3/7 = 0.428 57 Calcoliamo il det(A)

det



 1 2 3 2 0 4 3 4 1



 = 28 6= 0 Possiamo quindi applicare la regola di Cramer e si trova:

x 2 = det



 1 1 3 2 0 4 3 1 1





det



 1 2 3 2 0 4 3 4 1





= 12 28 = 3

7

DOMANDA 71 La matrice A=

· α 2α

2 2

¸

, α ∈ R, ha:

a r (A) = 2, ∀α; b r (A) = 1 , ∀α; c r (A) = 1, se α 6= 0; d r (A) = 2 se α 6= 0;

R. d.

Il determinante della matrice è pari a -2α. Quindi il r (A) = 2 se α 6= 0;

DOMANDA 72

Il Sistema Lineare con matrice completa



 1 0 1 2

0 1 1 2

0 1 0 1



:

a non ammette soluzione; b ha soluzione (1,1,1) c ha ∞ ¹ soluzioni; d ha ∞ ² soluzioni;

R. b.

Procediamo con eliminazione gaussiana R 3 = R 3 − R 2 :



 1 0 1 2

0 1 1 2

0 0 -1 -1





e quindi r (A) = 3 = r (A|b) e il sistema ammette un’unica soluzione data da (1, 1, 1)

DOMANDA 73 Sia P =

· ₉

10 2 1 10 10

8 10

¸

una matrice di transizione per un sistema con 100 elementi.

Allora lo stato stazionario del sistema è descritto dal vettore: D = £

... ... ¤ T

R. D = £ ₂₀₀

3 100

3

¤ T

Lo stato stazionario è determinato individuando gli autovettori associati all’autovalore λ = 1. Si ha quindi da risolvere:

(P − I) x = 0

cioè: ·

− ₁₀ ¹ ₁₀ ²

1 10 − ₁₀ ²

¸ x = 0

e gli autovettori sono dati da £ 2t t ¤ T

. La distribuzione stazionaria è ottenuta imponendo che la somma delle componenti sia pari a 100, per cui 3t = 100, cioè t = 100/3 e sostituendo si ottiene la distribuzione stazionaria.

DOMANDA 74 Data la matrice A =

· 9 1 0 6

¸

, determinare gli autovettori di A associati all’autovalore più piccolo, al variare del parametro reale t ∈ R/0:

x = £

... ... ¤ T

t ∈ R/0 R.

La matrice è triangolare e quindi i due autovalori sono dati da λ = 6 e da λ = 9.

Quindi per individuare gli autovettori associati a 6 dovrò risolvere:

· 3 1 0 0

¸ · x 1

x 2

¸

=

· 0 0

¸

e quindi sono dati da

· − ^t ₃ t

¸ , t ∈ R/0.

DOMANDA 75

Un gestore ha in portafoglio 10 unità ciascuno di due titoli. I due titoli hanno prezzo di mercato pari a 10E. Il gestore desidera costruire un portafoglio immu- nizzato ad un fattore di rischio. Considerato che i due titoli hanno sensibilità al fattore di rischio pari a 0.1 e -0.9 rispettivamente, la quantità da detenere dei due titoli è:

a n 1 = 2, n 2 = 18; b n 1 = 18, n 2 = 2; c n 1 = 10, n 2 = 10; d n 1 = 18, n 2 = 18;

R. b.

Il problema richiede la risoluzione del seguente sistema lineare:

· 0.1 −0.9

10 10

¸ · n 1

n 2

¸

=

· 0 200

¸ .

da cui: ·

n 1

n 2

¸

=

· 0.1 −0.9 10 10

¸ −1 · 0 200

¸

=

· 18.0 2.0

¸ . DOMANDA 76

Un gestore ha ottenuto una performance dell’8% gestendo un portafoglio de- scritto dalla seguente composizione: £

0.4 0.6 ¤ T

. Indici di mercato con com- posizione £

1 0 ¤ T

e £

0.2 0.8 ¤ T

hanno registrato una performance rispetti- vamente del 4% e del 10%. La performance del fondo non spiegata dal mercato (ex) è data da:

a ex = 0.5%; b ex = 8.5% ; c ex = 8%; d ex = −0.5%;

R. d.

Scomponiamo il portafoglio gestito nelle componenti di mercato risolvendo il

SL: ·

1 0.2 0 0.8

¸ · x 1

x 2

¸

=

· 0.4 0.6

¸

da cui immediatamente x 2 = 0.6/0.8 = 3/4 e x 1 = 0.4 − 0.2 ∗ 3/4 = 0.25. Il rendimento spiegato dal mercato è dato da:

1 4 ∗ 0.04 + 3

4 ∗ 0.1 = 0.085 e la extraperformance è data da:

ex = 0.08 − 0.085 = −0.005 DOMANDA 77

Se A ∈ R ^4,4 ha polinomio caratteristico λ ⁴ + 3λ ³ − λ ² + 2λ + 1, allora:

a det(2 ∗ A) = 2 ⁴ ; b A non ha inversa; c det(2 ∗ A) = 2; d det(2 ∗ A) = 2 ³ ; R. a.

Ponendo λ = 0 nel polinomio caratteristico si ottiene il determinante di A. Per cui:

det (A) = 1

Quindi b) non è corretta. Ricordando la proprietà del determinante, det(αA) = α ⁿ det (A), ed essendo n = 4, si ha che la risposta corretta è la a).

DOMANDA 78

La matrice A raccoglie il costo in Euro per ora derivante dall’utilizzo di diverse materie prime (MP 1 , MP 2 ) per ciascun impianto (I 1 , I 2 ). Le materie prime sono le etichette di riga, gli impianti di colonna: A =

I 1 I 2

M P 1 2 3 M P 2 3 1

. Nella matrice B si raccolgono tre diverse ipotesi di ore di utilizzo dei diversi impianti B =

Hyp 1 Hyp 2 Hyp 3

I 1 2 3 4

I 2 3 1 3

. Sotto quale ipotesi, il costo di utilizzo della materia prima M P 1 risulta maggiore?

a Hyp 1 ; b Hyp 2 ; c Hyp 3 ; d sono tutte uguali;

R. c.

Il prodotto matriciale AB restituisce una matrice le cui etichette di riga sono le diverse materie prime e le etichette di colonna sono le diverse ipotesi. Gli elementi della matrice prodotto sono interpretabili come costi complessivi di utilizzo delle diverse materie prime sotto le diverse ipotesi. Poichè:

AB =

· 2 3 3 1

¸ · 2 3 4 3 1 3

¸

=



 Hyp 1 Hyp 2 Hyp 3

M P 1 13 9 17

M P 2 9 10 15





si ha che il costo della materia prima MP 1 risulta maggiore sotto l’ipotesi 3.:

DOMANDA 79 La matrice A =

· 1 2 3 2

¸

,ha inversa: A ⁻

¹

=

· ... ...

... ...

¸

R. A ⁻

¹

=

· − ¹ ₂ ¹ ₂

3 4 − ¹ ₄

¸

Trattandosi di matrice 2x2, e poichè det(A) = 2 − 6 = −4 6= 0, la matrice inversa la otteniamo in modo immediato:

A ⁻¹ = 1 det (A)

· 2 −2

−3 1

¸

= 1

−4

· 2 −2

−3 1

¸

=

· − ¹ ₂ ¹ ₂

3 4 − ¹ 4

¸

DOMANDA 80

Un gestore con un capitale di 100 e in presenza di un solo fattore di rischio, deve costruire un portafoglio con sensibilità pari ad 1. Se i due titoli hanno sensibilità al fattore di rischio pari a 2 e −3 e i loro prezzi sono pari a 4 e 5, le quantità da acquistare dei due titoli sono:

R:

· n 1

n 1

¸

=

· ₃₀₅

22 98 11

¸

=

· 13. 864 8. 9091

¸

Si deve risolvere:

· 4 5 2 −3

¸ · n 1

n 2

¸

=

· 100 1

¸

che ha soluzione:

· n 1

n 2

¸

=

· 4 5 2 −3

¸ −1 · 100 1

¸

=

· ₃₀₅

22 98 11

¸

=

· 13. 864 8. 9091

¸

DOMANDA 81 La matrice A =

· 1 α

2 α

¸

, α ∈ R, ha:

a r (A) = 1 se α = 2; b r (A) = 1, ∀α; c r (A) = 2 se α 6= 0; d r (A) = 2, ∀α;

R. c.

La matrice ha determinante pari a -α. Per cui se α 6= 0 la matrice ha rango 2.

DOMANDA 82

La matrice A raccoglie il profitto in Euro per unità derivante dalla vendita di diversi prodotti (Libri e DVD) a seconda del fornitore (F 1 , F 2 ). I prodotti sono le etichette di colonna, i fornitori di riga: A =

Libri DV D

F 1 2 3

F 2 3 1

. Nella ma- trice B si raccolgono tre diverse ipotesi di rifornimento dei due prodotti (quindi B ha in colonna le quantità acquistate di ciascun prodotto) B =

Hyp 1 Hyp 2 Hyp 3

Libri 3 4 4

DVD 3 4 3

. Sotto quale ipotesi, il profitto complessivo risulta maggiore?

a Hyp 1 con F 1; b Hyp 2 con F 1; c Hyp 1 con F 2; d Hyp 3 con F 1;

R. b.

Il prodotto AB ci permette di calcolare il profitto derivante dalle due diverse forniture sotto le 3 diverse ipotesi relative alle quantità acquistate

AB =

· 2 3 3 1

¸ · 3 4 4 3 4 3

¸

=

· 15 20 17 12 16 15

¸

da cui il profitto maggiore deriva dalla Hp2 con il primo fornitore.

DOMANDA 83 Sia P =

· ₇

10 3 3 10 10 7

10

¸

una matrice di transizione per un sistema con 100 elementi. Allora lo stato stazionario del sistema è descritto dal vettore:

R. R: D=[50 50]

La distribuzione stazionaria D = £ x 1 x 2

¤ T

risolve il sistema:

(P − I) D = 0 da cui:

− 3 10 x 1 + 3

10 x 2 = 0

e quindi x 1 = x 2 = t. Gli infiniti autovettori hanno quindi la forma .t £ 1 1 ¤ T

. Imponendo che la somma delle componenti sia pari a 100, si ottiene t = 50 e quindi D = £

50 50 ¤ T

. DOMANDA 84

Il sistema lineare Ax = b, con A =



 1 2 3 2 0 4 3 4 1



 , b =



 1 1 2



 , ammette come seconda componente del vettore soluzione:

R. x 2 = ₁₄ ³ = 0.214 29.

Poichè det (A) = 28 si può applicare la regola di Cramer ed ottenere solo la

seconda componente:

x 2 = det



 1 1 3 2 1 4 3 2 1





det A = 6

28 = 3 14 DOMANDA 85

La matrice A =

· 1 3 3 2

¸

, ha autovalori:

R. λ 1 = ^{3+ √} ₂ ³⁷ = 4. 541 4; λ 2 = ^{3− √} ₂ ³⁷ = −1. 541 4

Per trovare gli autovalori devo risolvere l’equazione caratteristica:

det (A − λI) = det

· 1 − λ 3 3 2 − λ

¸

= (1 − λ) (2 − λ) − 9 = 0 da cui:

λ ² − 3λ − 7 = 0 che ha soluzioni:

λ 1,2 = 3 ± √ 9 + 28

2 = 3 ± √

37

2 .

DOMANDA 86

Sia A∈ R ^3,3 e si sappia che il sistema lineare Ax = 0 ha un’unica soluzione.

Allora il sistema lineare Ax=b a può non ammet-

tere soluzioni ; ; b è possibile ed ammette

una sola soluzione; ; c è possibile ed ammet- te infinite soluzioni; d non è

possibile;

R. b DOMANDA 87

Siano A∈ R ^4,3 =



 



1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12



 

 e B∈ R ^3,5 =



 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7



 e C∈

R ^4,3 = AB. Allora l’elemento c 4,4 di C è pari a:

a 200; b 167; c 122; d 77;

R. b

Poichè interessa solo l’elemento c 4,4 è possibile calcolarlo facendo il prodotto tra la quarta riga di A e la quarta colonna di B:

c 44 = £

10 11 12 ¤ 

 4 5 6



 = 167

DOMANDA 88 La matrice A =

· 4 2 1 2

¸

,ha inversa:

R. A ⁻¹ =

· ₁

3 − ¹ ₃

− ¹ ₆ ² ₃

¸

=

· 0.333 33 −0.333 33

−0.166 67 0.666 67

¸

Trattandosi di una matrice 2x2 con determinante pari a 6, l’inversa la si trova in modo immediato:

A ⁻

¹

= 1 6

· 2 −2

−1 4

¸

=

· 0.333 33 −0.333 33

−0.166 67 0.666 67

¸

DOMANDA 89 Data la matrice A =

· 4 2 1 2

¸ e b =

· 0 1

¸

, il sistema lineare Ax = b ha soluzione:

R. ˆ x =

· − ¹ ₃

2 3

¸

=

· −0.333 33 0.666 67

¸

Poichè l’inversa di A è stata trovata al punto precedente, si spera in modo corretto, allora il vettore soluzione è dato da:

ˆ

x = A ⁻

¹

b = 1 6

· 2 −2

−1 4

¸ · 0 1

¸

=

· − ¹ ₃

2 3

¸

=

· −0.333 33 0.666 67

¸

DOMANDA 90 Data la matrice A =

· 7 0 0 2

¸

gli autovettori associati all’autovalore più piccolo, al variare di t ∈ R/ {0} sono dati da:

R. x λ=2 =

· 0 t

¸

, t ∈ R/ {0}

La matrice è diagonale e quindi gli autovalori si leggono in diagonale. L’autovalore più piccolo è 2. Gli autovettori ad esso associati si trovano risolvendo il sistema lineare omogeneo: ·

5 0 0 0

¸ · x 1

x 2

¸

=

· 0 0

¸

da cui x 1 = 0 e x 2 = t.

DOMANDA 91

Un gestore ha ottenuto una performance dell’8% gestendo un portafoglio de- scritto dalla seguente composizione: f ondo = £

0.2 0.8 ¤ T

. Indici di mercato puri hanno registrato una performance rispettivamente del 4% e del 10%. La performance del fondo si scompone in r f ondo = r mkt + ex, dove r mkt e ex sono rispettivamente:

R: r mkt = 8.8% = 0.088 ex = −0.8% = −0.008

Per scomporre la performance del fondo risolviamo il S.L.

· 1 0 0 1

¸ · w 1

w 2

¸

=

· 0.2 0.8

¸

da cui w 1 = 0.2 e w 2 = 0.8. La performance spiegata dal mercato è quindi:

r mkt = 0.2 ∗ 0.04 + 0.8 ∗ 0.1 = 0.088 = 8.8%

e la extraperformance è data da:

ex = r f ondo − r mkt = 0.08 − 0.088 = −0.008 = −0.8%

DOMANDA 92

Il sistema lineare Ax = b dove A =



 1 0 0 2 1 2



, e b =



 1 1 1



:

a non ha

soluzioni ; b è possibile ed ammet-

te una sola soluzione; c è possibile ed ammet-

te infinite soluzioni; d è possibile ed ammet- te due sole soluzioni;

R. a

La matrice A ha rango 2. La matrice A|b =



 1 0 1 0 2 1 1 2 1



 ha rango 3 e quindi, per il Teorema di Rouchè-Capelli, il sistema lineare non ammette soluzione.

DOMANDA 93

Sia A∈ R ^3,3 e si sappia che il sistema lineare Ax = 0 ha ∞ soluzioni. Allora il sistema lineare Ax = b

a può non ammet-

tere soluzioni ; ; b è possibile ed ammette

una sola soluzione; ; c è possibile ed ammet- te infinite soluzioni; d non è

possibile;

R. a DOMANDA 94

Un gestore ha ottenuto una performance dell’8% gestendo un portafoglio descritto dalla seguente composizione: £

0.5 0.5 ¤ T

. Indici di mercato con composizione £

1 0 ¤ T

e £ 0 1 ¤ T

hanno registrato una performance rispet- tivamente del 4% e del 10%. La performance del fondo non spiegata dal mercato (ex) è data da:

a ex = 1%; b ex = 7% ; c ex = 8%; d ex = −1%;

R.

Poichè ·

0.5 0.5

¸

= 0.5

· 1 0

¸ + 0.5

· 0 1

¸

allora:

r p = 0.5 ∗ 0.04 + 0.5 ∗ 0.1 = 0.07 ex = 0.08 − 0.07 = 0.01 DOMANDA 95

La matrice A =

· 4 0 1 2

¸

,ha inversa:

R.

A ⁻

¹

=

· ₁

4 0

− ¹ ₈ ¹ ₂

¸

DOMANDA 96 Data la matrice A =

· 4 8 1 2

¸ e b =

· −4

−1

¸

, le soluzioni del sistema lineare Ax = b sono:

R. Si hanno infinite soluzioni del tipo:

· −1 + 2t t

¸

DOMANDA 97 Data la matrice A =

· 7 −1

0 2

¸

gli autovettori associati all’autovalore più

grande, al variare di t ∈ R/ {0} sono dati da: R: [ ] ^T

R. L’autovalore più grande è pari a 7. Gli autovettori ad esso associati sono dati da:

−x 2 = 0 da cui:

x _λ=7 =

· t 0

¸ t ∈ R/ {0}

DOMANDA 98

Si consideri la matrice A =

· 1 −2

k 3

¸ . Allora:

a se k 6= −1, 5 allora r(A) = 2 b se k = −1, 5 allora A ⁻¹ esiste c se k 6= −1, 5 allora r(A) = 1; d se k 6= −1, 5 A ⁻¹ non esiste;

R. a

Poichè si ha det (A) = 3 + 2k, allora se k = − ³ ₂ , r (A) = 1, altrimenti r (A) = 2. Quindi a è corretta.

DOMANDA 99

Siano date le seguenti matrici: A=

· −1 0 2

0 −1 1

¸ , B=

· 0 −1 1 1

¸ , C=

· 2

−1

¸ , transpose: £

2 −1 ¤

. Allora il risultato del prodotto matriciale C ^T BA è:

R. £

2 −1 ¤ · 0 −1 1 1

¸ · −1 0 2

0 −1 1

¸

= £

1 3 −5 ¤ DOMANDA 100

Il Sistema Lineare Omogeneo con matrice A =



 0 0 1 0 1 1 1 0 1



,:

a ha soluzioni (c, c, −c), con c ∈ R; b non ammette soluzione;

c ha ∞ ² soluzioni; d ha l’origine come unica soluzione;

R. d

La matrice A ha rango pieno (ha infatti determinante pari a -1). Il SL ammette quindi una sola soluzione, essendo il numero di incognite uguale al rango di A. Essendo un SL omogeneo, l’unica soluzione sarà quella nulla.

DOMANDA 101 La matrice A =

· α ² α

α α

¸

, α ∈ R, ha:

a r (A) = 1, ∀α; b r (A) = 2, ∀α; c r (A) = 2 se α 6= 0; d r (A) = 1 se α = 1;

R. d.

Calcoliamo il determinante di A.

det A = α ³ − α ² = α ² (α − 1) .

a) non è corretto perchè r (A) può essere due, per esempio quando α = 5;

b) non è corretto perchè r (A) può essere uno, per esempio quando α = 1;

c) non è corretto perchè r (A) può essere uno, per esempio quando α = 1 6= 0;

d) è corretto.

DOMANDA 102

Un gestore ha un patrimonio investito in 3 titoli i cui prezzi presentano rispetto ad un dato fattore di rischio una sensibilità rispettivamente di 1, 0.5 e 1.3. I quantitativi presenti in portafoglio dei tre titoli sono 20, 40 e 30. La sensibilità del portafoglio rispetto al fattore di rischio è perciò:

R.

Poichè

∆P i = b i ∆F

Indicando con n i la quantità detenuta del titolo i ,si ha che la variazione di valore del portafoglio è pari a :

dπ = X 3 i=1

n i ∆P i

= (20 ∗ 1 + 40 ∗ 0.5 + 30 ∗ 1.3) ∆F

= 79.0∆F DOMANDA 103

Data la matrice A =

· 1 −2

−1 2

¸

ed un suo autovettore v =

· 2 1

¸ , qual è l’autovalore cui è associato v?

R.

v e λ devono soddisfare:

Av = λv

da cui: ·

1 −2

−1 2

¸ · 2 1

¸

= λ

· 2 1

¸

cioè: ·

0 0

¸

= λ

· 2 1

¸

e l’unica possibilità è che λ = 0.

DOMANDA 104

Le soluzioni del sistema lineare avente matrice orlata



 1 0 −1

−3 0 3

1 −2 0

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

−2 6 3



, determinant: 0, sono:

a una; b ∞ ¹ ; c nessuna; d ∞ ² . R. b

Si ha che r (A) < 3. Infatti la seconda riga è pari a .3 volte la prima riga.

La stessa relazione si mantiene anche nel vettore b. Per cui:

r (A) = r (A |b ) = 2

Per il Teorema di Rouchè Capelli si hanno ∞ ^n−r(A) = ∞ ³⁻² soluzioni.

DOMANDA 105

Un gestore con un capitale di 100 e in presenza di un solo fattore di rischio,

deve costruire un portafoglio con sensibilità pari ad 0.5. Se i due titoli hanno