MODELLI MATEMATICI PER L’ECONOMIA: COBB-DOUGLAS

Andrea Prevete, 2010

MODELLI MATEMATICI PER L’ECONOMIA: COBB-DOUGLAS

Andrea Prevete, 2010

Nel 1928 l’economista americano PAUL DOUGLAS ed il suo connazionale e matematico CHARLES W. COBB proposero per la prima volta un modello destinato a diventare famoso perché utilizzato per varie teorie sulla crescita economica.

Stiamo parlando della cosiddetta funzione di Cobb-Douglas che, nella sua formulazione più comune, si presenta così:

Q = AL^αK^1-α

dove Q è l’output di un processo produttivo, L e K rappresentano rispettivamente il lavoro ed il capitale impiegato, A è una costante dipendente da certe caratteristiche del processo produttivo, α è un’altra costante (un numero maggiore di 0 e minore di 1) sul cui fondamentale significato torneremo fra poco.

Una proprietà interessante di questa funzione è che i rendimenti in scala sono costanti. Cioè se raddoppiamo, triplichiamo, etc contemporaneamente L e K, l’output Q avrà lo stesso comportamento, quindi raddoppierà, triplicherà, etc.

Infatti se proviamo a sostituire 3L e 3K rispettivamente ad L e K nella formula precedente avremo:

A(3L)^α(3K)^1-α = A3^αL^α3 ^1-α K^1-α = A3^α 3 ^1-α L^α K^1-α = A3^{α+1- α} L^α K^1-α = 3A(L)^α (K)^1-α …. cioè 3 volte il vecchio valore di Q!

Proviamo ora a calcolare l’elasticità di Q rispetto ad L. In altre parole, ricordando il significato di elasticità in economia, vogliamo misurare quanto Q è sensibile rispetto ad una variazione di L. Un valore - per esempio - di 0,4 starà a significare che raddoppiando L si causa un incremento di Q del 40%!

Scriviamo la formula per l’elasticità:

Andrea Prevete, 2010

^Q,L=

Q

Q_L^' L quindi sostituiamo a Q la sua espressione secondo Cobb-Douglas:

^{Q,L= (  1)'} _{ 1}

K AL K L

AL _L calcoliamo ora la derivata parziale rispetto ad L:

^{Q,L= ( 1 1)} _{ 1}

K AL K L

AL quindi raggruppando e semplificando:

^{Q,L= }_¹ ₁¹_^_^

K K L

L L A

A = α

Abbiamo cioè dimostrato che la costante α nella funzione di Cobb-Douglas è l’elasticità di Q rispetto ad L. E’ intuitivo convincersi, e lo si dimostra nello stesso modo, che 1- α è l’elasticità di Q rispetto a K.

In altre parole se la produttività di una certa azienda fosse rappresentata dalla funzione

Q = AL^0,3K^0,7

dovremmo concludere che Q è notevolmente più sensibile rispetto alle variazioni di K piuttosto che a quelle di L.

Precisamente raddoppiando il valore del fattore lavoro L avremmo un incremento percentuale dell’output pari al 30%. Raddoppiando, invece, il valore del fattore capitale K avremmo un incremento percentuale dell’output pari al 70%.

Proviamo ora a calcolare la derivata seconda di Q rispetto ad L:



 ^{ }

 ^{1 1}

' A L K

Q_L



 

  ^{ }

 ^{2 1}

'' A ( 1)L K

Q_L

In quest’ultima espressione compare il fattore (α-1) che è evidentemente negativo considerato che la costante α è un numero minore di 1. Quindi Q è negativa. Ma ricordando che la derivata di una _L^'' funzione misura la sua crescita e che, quindi, la derivata seconda misura la crescita della crescita -

Andrea Prevete, 2010

''

Q negativa vuol dire che immettendo più lavoro in un processo produttivo ottengo sì un L

incremento della produzione ma questo incremento tende via via a ridursi.

Quanto abbiamo visto rende evidente un’importante caratteristica del modello di crescita economica connesso alla funzione di Cobb-Douglas. Secondo tale modello infatti i soli fattori lavoro e capitale non spiegherebbero la crescita indefinita di un’azienda o di un’intera economia. Occorre introdurre altri fattori propulsivi come il learning by doing, la R&S, etc – come appunto faranno modelli matematici più sofisticati sviluppati soprattutto a partire dalla seconda metà dell’ultimo secolo.

Q

CRESCITA L

SOSTENUTA

CRESCITA PIU’ LENTA