Risultati esperienza sul lancio di dadi

Risultati esperienza sul lancio di dadi

Ho ottenuto ad esempio:

Dado A (4):

1 3 3 1 3 2 1 4 2 4 2 1 1 2 4 2 4 1 1 1 1 3 4 1 3 2 3 2 1 2 1 2 4 4 1 4 1 1 3 2 3 4 3 2 4 2 1 4 2 1 3 2 2 3 2 2 2 2 4 3 3 4 4 2 2 2 1 2 3 3 2 1 2 4 2 1 2 4 3 4 4 1 1 3 1 4 2 2 2 3 2 2 2 1 3 1 2 4 1 1

Dado B (6):

2 2 6 6 6 1 1 3 6 4 6 6 3 1 1 4 1 6 3 6 6 4 6 3 2 4 3 2 6 3 5 5 6 4 3 3 2 1 2 1 6 3 2 4 4 3 6 6 3 2 1 6 6 4 6 1 3 6 6 1 6 2 4 5 3 3 6 2 1 6 6 3 1 2 6 3 1 3 4 6 1 6 4 1 6 4 6 6 6 5 5 2 4 1 2 1 1 6 4 4

Somma A+B (9):

3 4 8 9 8 4 5 6 9 8 10 8 6 2 4 8 2 9 7 9 9 6 10 5 5 7 5 5 9 7 9 7 9 7 4 6 3 4 6 5 10 6 3 6 8 4 8 7 7 6 3 8 7 7 8 4 5 7 7 4 10 6 7 6 5 6 8 3 3 7 10 6 5 3 8 5 5 5 5 7 5 10 5 3 10 7 10 10 7 9 6 5 8 2 3 2 5 7 6 8

Risultati esperienza sul lancio di dadi

Ho ottenuto ad esempio:

Dado A (4):

1 3 3 1 3 2 1 4 2 4 2 1 1 2 4 2 4 1 1 1 1 3 4 1 3 2 3 2 1 2 1 2 4 4 1 4 1 1 3 2 3 4 3 2 4 2 1 4 2 1 3 2 2 3 2 2 2 2 4 3 3 4 4 2 2 2 1 2 3 3 2 1 2 4 2 1 2 4 3 4 4 1 1 3 1 4 2 2 2 3 2 2 2 1 3 1 2 4 1 1

Faccia n° Eventi frequenza relativa

f n

F

1 24 24/100=0.24

2 22 22/100=0.22

3 26 26/100=0.26

4 28 28/100=0.28

Il risultato ottenuto

riflette il fatto che le facce del dado

sono tutte equamente

“accessibili”

Risultati esperienza sul lancio di dadi

Ho ottenuto ad esempio:

Faccia n° Eventi frequenza relativa

x F

f

= F

/ N

1 24 24/100=0.24

2 22 22/100=0.22

3 26 26/100=0.26

4 28 28/100=0.28

Il risultato ottenuto

riflette il fatto che le facce del dado

sono tutte equamente

“accessibili”

Come differisce il risultato ottenuto da quello atteso?

Ci aspettavamo:

F

=F

=F

=F

≈ 0.25 Infatti, se N è il

numero di lanci, assumo che:

!

P

= lim

N "#

F

N

P

ha significato di probabilità

Risultati esperienza sul lancio di dadi

Ho ottenuto ad esempio:

Dado A (4):

1 3 3 1 3 2 1 4 2 4 2 1 1 2 4 2 4 1 1 1 1 3 4 1 3 2 3 2 1 2 1 2 4 4 1 4 1 1 3 2 3 4 3 2 4 2 1 4 2 1 3 2 2 3 2 2 2 2 4 3 3 4 4 2 2 2 1 2 3 3 2 1 2 4 2 1 2 4 3 4 4 1 1 3 1 4 2 2 2 3 2 2 2 1 3 1 2 4 1 1

Sia x

il numero corrispondente alla faccia uscita nel lancio i-esimo.

Possiamo calcolare il valor medio dei risultati ottenuti come:

oppure:

!

x =

x

i=1 N

"

N = 1+ 3 + 3 + K +1

100 = 2.58

Come estrarre altri parametri quantitativi da confrontare con i valori attesi?

!

x =

x " F

x= x_min x_max

#

F

x= x_min x_max

#

= 1" 24 + 2 " 22 + 3" 26 + 4 " 28

100 = 2.58

Risultati esperienza sul lancio di dadi

Ho ottenuto ad esempio:

Dado A (4):

1 3 3 1 3 2 1 4 2 4 2 1 1 2 4 2 4 1 1 1 1 3 4 1 3 2 3 2 1 2 1 2 4 4 1 4 1 1 3 2 3 4 3 2 4 2 1 4 2 1 3 2 2 3 2 2 2 2 4 3 3 4 4 2 2 2 1 2 3 3 2 1 2 4 2 1 2 4 3 4 4 1 1 3 1 4 2 2 2 3 2 2 2 1 3 1 2 4 1 1

Il valore atteso sarà:

Come estrarre altri parametri quantitativi da confrontare con i valori attesi?

!

x = lim

N "#

x $ F

( ) N

f = x_min x_max

%

F

x= x_min x_max

% ^{( ) N}

= L

=

x $ P

x= x_min x_max

%

P

x= x_min x_max

%

= x $ P

x= x_min x_max

% ^{= L}

= 1$ 0.25 + 2 $ 0.25 + 3$ 0.25 + 4 $ 0.25 = 2.5

OK?

Risultati esperienza sul lancio di dadi

Ho ottenuto ad esempio:

Dado A (4):

1 3 3 1 3 2 1 4 2 4 2 1 1 2 4 2 4 1 1 1 1 3 4 1 3 2 3 2 1 2 1 2 4 4 1 4 1 1 3 2 3 4 3 2 4 2 1 4 2 1 3 2 2 3 2 2 2 2 4 3 3 4 4 2 2 2 1 2 3 3 2 1 2 4 2 1 2 4 3 4 4 1 1 3 1 4 2 2 2 3 2 2 2 1 3 1 2 4 1 1

Sarà utile definire la grandezza

Come estrarre altri parametri quantitativi da confrontare con i valori attesi?

!

= (1" 2.58)²# 24 + (2 " 2.58)²# 22 + (3 " 2.58)²# 26 + (4 " 2.58)²# 28

100 =K

!

"

=

x

# x

( )

i=1 N

$

N = L

=

(x # x)

% F

x= x_min x_max

$

N = L

!

" 1.133 scarto quadratico medio dal valor

medio dei dati

Risultati esperienza sul lancio di dadi

Ho ottenuto ad esempio:

Dado A (4):

1 3 3 1 3 2 1 4 2 4 2 1 1 2 4 2 4 1 1 1 1 3 4 1 3 2 3 2 1 2 1 2 4 4 1 4 1 1 3 2 3 4 3 2 4 2 1 4 2 1 3 2 2 3 2 2 2 2 4 3 3 4 4 2 2 2 1 2 3 3 2 1 2 4 2 1 2 4 3 4 4 1 1 3 1 4 2 2 2 3 2 2 2 1 3 1 2 4 1 1

Ancora meglio la grandezza

Come estrarre altri parametri quantitativi da confrontare con i valori attesi?

!

= (1" 2.58)²# 24 + (2 " 2.58)²# 22 + (3 " 2.58)²# 26 + (4 " 2.58)²# 28

99 =K

!

"

=

x

# x

( )

i=1 N

$

N #1 = L

=

(x # x)

% F

x= x_min x_max

$

N #1 = L

!

" 1.139 Deviazione Standard

Risultati esperienza sul lancio di dadi

Ho ottenuto ad esempio:

Dado A (4):

1 3 3 1 3 2 1 4 2 4 2 1 1 2 4 2 4 1 1 1 1 3 4 1 3 2 3 2 1 2 1 2 4 4 1 4 1 1 3 2 3 4 3 2 4 2 1 4 2 1 3 2 2 3 2 2 2 2 4 3 3 4 4 2 2 2 1 2 3 3 2 1 2 4 2 1 2 4 3 4 4 1 1 3 1 4 2 2 2 3 2 2 2 1 3 1 2 4 1 1

Come estrarre altri parametri quantitativi da confrontare con i valori attesi?

La deviazione standard σ

ci fornisce un’indicazione della larghezza della

distribuzione dei valori ottenuti (rappresentata con l’istogramma) attorno al valore medio x.

!

x = 2.58 x

= 2.5

"

# 1.139

"

= ?

Risultati esperienza sul lancio di dadi

Ho ottenuto ad esempio:

Dado A (4):

1 3 3 1 3 2 1 4 2 4 2 1 1 2 4 2 4 1 1 1 1 3 4 1 3 2 3 2 1 2 1 2 4 4 1 4 1 1 3 2 3 4 3 2 4 2 1 4 2 1 3 2 2 3 2 2 2 2 4 3 3 4 4 2 2 2 1 2 3 3 2 1 2 4 2 1 2 4 3 4 4 1 1 3 1 4 2 2 2 3 2 2 2 1 3 1 2 4 1 1

Come estrarre altri parametri quantitativi da confrontare con i valori attesi?

La deviazione standard σ

fornisce dunque un’indicazione della discrepanza tra valore

ottenuto e valore medio x che potrò attendermi ad ogni singolo lancio.

!

x = 2.58 x

= 2.5

"

# 1.139

"

= ?

Come

ottenerla?

Risultati esperienza sul lancio di dadi

Ho ottenuto ad esempio:

Dado A (4):

1 3 3 1 3 2 1 4 2 4 2 1 1 2 4 2 4 1 1 1 1 3 4 1 3 2 3 2 1 2 1 2 4 4 1 4 1 1 3 2 3 4 3 2 4 2 1 4 2 1 3 2 2 3 2 2 2 2 4 3 3 4 4 2 2 2 1 2 3 3 2 1 2 4 2 1 2 4 3 4 4 1 1 3 1 4 2 2 2 3 2 2 2 1 3 1 2 4 1 1

Per calcolare il valore atteso:

Come estrarre altri parametri quantitativi da confrontare con i valori attesi?

!

"

= lim

N #$

x

% x

( )

i=1 N

&

N %1 = L

= lim

N #$

(x % x)

' F

( ) N

x= x_min x_max

&

N = L

= (x % x)

' P

x= x_min x_max

&

!

" 1.118

Deviazione Standard

attesa per il dado a

(4 facce)

Risultati esperienza sul lancio di dadi

Ho ottenuto ad esempio:

Dado A (4):

1 3 3 1 3 2 1 4 2 4 2 1 1 2 4 2 4 1 1 1 1 3 4 1 3 2 3 2 1 2 1 2 4 4 1 4 1 1 3 2 3 4 3 2 4 2 1 4 2 1 3 2 2 3 2 2 2 2 4 3 3 4 4 2 2 2 1 2 3 3 2 1 2 4 2 1 2 4 3 4 4 1 1 3 1 4 2 2 2 3 2 2 2 1 3 1 2 4 1 1

In alternativa, poiché (come è facile verificare direttamente) si ha:

Come estrarre altri parametri quantitativi da confrontare con i valori attesi?

!

"

# x

$ x

Deviazione Standard attesa per il dado A (4 facce)

il valore atteso può essere ottenuto dai

momenti primo e secondo della distribuzione limite attesa.

!

"

= x

A

# x

!

"

= 7.5 # 2.5

$ 1.118

Risultati esperienza sul lancio di dadi

Ho ottenuto ad esempio:

Dado A (4):

1 3 3 1 3 2 1 4 2 4 2 1 1 2 4 2 4 1 1 1 1 3 4 1 3 2 3 2 1 2 1 2 4 4 1 4 1 1 3 2 3 4 3 2 4 2 1 4 2 1 3 2 2 3 2 2 2 2 4 3 3 4 4 2 2 2 1 2 3 3 2 1 2 4 2 1 2 4 3 4 4 1 1 3 1 4 2 2 2 3 2 2 2 1 3 1 2 4 1 1

Come estrarre altri parametri quantitativi da confrontare con i valori attesi?

Ora ho tutti i parametri di riferimento.

Sono soddisfatto del risultato ottenuto?

E’ normale o sorprendente?

!

x = 2.58 x

= 2.5

"

# 1.139

"

# 1.118

Risultati esperienza sul lancio di dadi

Ho ottenuto ad esempio:

Dado A (4):

1 3 3 1 3 2 1 4 2 4 2 1 1 2 4 2 4 1 1 1 1 3 4 1 3 2 3 2 1 2 1 2 4 4 1 4 1 1 3 2 3 4 3 2 4 2 1 4 2 1 3 2 2 3 2 2 2 2 4 3 3 4 4 2 2 2 1 2 3 3 2 1 2 4 2 1 2 4 3 4 4 1 1 3 1 4 2 2 2 3 2 2 2 1 3 1 2 4 1 1

Come estrarre altri parametri quantitativi da confrontare con i valori attesi?

Sono soddisfatto del risultato ottenuto?

E’ normale o sorprendente?

Per il confronto sulla base dei parametri considerati,

serve ancora almeno un riferimento che mi dia una scala per le discrepanze della media.

!

x = 2.58 x

= 2.5

"

# 1.139

"

# 1.118

Risultati esperienza sul lancio di dadi

Ho ottenuto ad esempio:

Dado A (4):

1 3 3 1 3 2 1 4 2 4 2 1 1 2 4 2 4 1 1 1 1 3 4 1 3 2 3 2 1 2 1 2 4 4 1 4 1 1 3 2 3 4 3 2 4 2 1 4 2 1 3 2 2 3 2 2 2 2 4 3 3 4 4 2 2 2 1 2 3 3 2 1 2 4 2 1 2 4 3 4 4 1 1 3 1 4 2 2 2 3 2 2 2 1 3 1 2 4 1 1

Sarà utile introdurre la grandezza

che corrisponde alla deviazione standard per il valore medio su N risultati ottenuti.

Nel nostro caso si ha:

Come estrarre altri parametri quantitativi da confrontare con i valori attesi?

!

"

= "

N

Deviazione standard della media per il risultato dei 100 lanci del dado A

!

"

= 1.139

100 = 0.1139 # 0.11

Risultati esperienza sul lancio di dadi

Ho ottenuto ad esempio:

Come estrarre altri parametri quantitativi da confrontare con i valori attesi?

Sono soddisfatto del risultato ottenuto?

E’ normale o sorprendente?

La discrepanza del risultato dal valore atteso è contenuta nella scala di riferimento per le discrepanze della media.

Dado A (4):

1 3 3 1 3 2 1 4 2 4 2 1 1 2 4 2 4 1 1 1 1 3 4 1 3 2 3 2 1 2 1 2 4 4 1 4 1 1 3 2 3 4 3 2 4 2 1 4 2 1 3 2 2 3 2 2 2 2 4 3 3 4 4 2 2 2 1 2 3 3 2 1 2 4 2 1 2 4 3 4 4 1 1 3 1 4 2 2 2 3 2 2 2 1 3 1 2 4 1 1

!

x = 2.58 x

= 2.5

"

# 0.11

"

# 1.139

"

# 1.118

!

x = 3.72 x

= 3.5

"

# 0.19

"

# 1.897

"

# 1.700

Risultati esperienza sul lancio di dadi

Ho ottenuto ad esempio:

Come estrarre altri parametri quantitativi da confrontare con i valori attesi?

Sono soddisfatto del risultato ottenuto?

E’ normale o sorprendente?

La discrepanza del risultato dal valore atteso è contenuta nella scala di riferimento per le discrepanze della media.

Dado B (6):

2 2 6 6 6 1 1 3 6 4 6 6 3 1 1 4 1 6 3 6 6 4 6 3 2 4 3 2 6 3 5 5 6 4 3 3 2 1 2 1 6 3 2 4 4 3 6 6 3 2 1 6 6 4 6 1 3 6 6 1 6 2 4 5 3 3 6 2 1 6 6 3 1 2 6 3 1 3 4 6 1 6 4 1 6 4 6 6 6 5 5 2 4 1 2 1 1 6 4 4

!

x = 6.3 x

= 6

"

# 0.22

"

# 2.200

"

# 2.035

Risultati esperienza sul lancio di dadi

Ho ottenuto ad esempio:

Come estrarre altri parametri quantitativi da confrontare con i valori attesi?

Sono soddisfatto del risultato ottenuto?

E’ normale o sorprendente?

La discrepanza del risultato dal valore atteso è contenuta nella scala di riferimento per le discrepanze della media.

Somma A+B (9):

3 4 8 9 8 4 5 6 9 8 10 8 6 2 4 8 2 9 7 9 9 6 10 5 5 7 5 5 9 7 9 7 9 7 4 6 3 4 6 5 10 6 3 6 8 4 8 7 7 6 3 8 7 7 8 4 5 7 7 4 10 6 7 6 5 6 8 3 3 7 10 6 5 3 8 5 5 5 5 7 5 10 5 3 10 7 10 10 7 9 6 5 8 2 3 2 5 7 6 8

http://pcstud.fisica.unimi.it/

Per inserire i vostri dati ottenuti con il lancio dei dadi,

andate al sito:

Il modulo on-line non sostituisce la relazione, che è da fare secondo la traccia suggerita in un

documento dedicato (che troverete sul sito

http://lxmi.mi.infn.it/~camera/lab-fisica

) La traccia prevede in

particolare quanto

descritto nel seguito della

presentazione.

0 5 10 15 20 25

0 20 40 60 80 100

Numero tiro di Dado

Risultato dado 1

Nel plot 1 dovreste aver osservato una distribuzione uniforme dei valori su tutta l’area del grafico. E’ il segnale che ciascuna misura risulta indipendente dalla successiva e dalla precedente. Questo ci permette di estrarre un valor medio, una deviazione standard ed una deviazione dalla media.

Sebbene la cosa sembri una banalità vedremo che in alcune delle esperienze successive questa condizione non è verificata, questo

rende molto più problematica l’estrazione delle osservabili statistiche

Nei plot 2, 3 e 4 Dovreste aver osservato una riduzione delle fluttuazioni con il crescere del numero dei tiri di dado

1.50 1.70 1.90 2.10 2.30 2.50 2.70 2.90 3.10

0 20 40 60 80 100 120

# tiri dado

Valor Medio .

0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00

0 20 40 60 80 100 120

# tiri dado

Deviazine standard .

Osservate che la deviazione standard rimane sostanzialmente costante con il numero di tiri e che, in generale, bastano pochi tiri per avere una stima

ragionevole del suo valore

Osservate che la deviazione dalla media tende a zero e, diversamente alla deviazione standard, diminuisce all’aumentare del numero di tiri.

Per la somma dei dadi, gli andamenti dovranno essere ovviamente analoghi

I due dadi sono uguali ?

Indipendentemente dal fatto che siano truccati o meno

media dalla

deviazione la

usare bisogna

x t x

errore a discrepanz

m m

2 2 2

1 2 1

!

! +

"

=

=

0 < t < 1 Le due misure sono certamente consistenti – i dadi sono uguali 1 < t < 2 Ho tra il 5 - 30% di probabilità che le due misure siano consistenti

Le due misure sono consistenti - i dadi sono uguali

2 < t < 3 Ho tra lo 0.3 - 5% di probabilità che le due misure siano consistenti Le due misure con molta probabilità non sono consistenti

- i dadi con molta probabilità NON sono uguali - sarebbe opportuno fare ulteriori misure

t > 3 Ho meno del 0.3 % di probabilità che le due misure siano consistenti Le due misure non sono consistenti - i dadi NON sono uguali

Misura sperimentale

11.10 11.15 11.20 11.25 11.30 11.35 11.40 11.45

0 0.5 1arb. units1.5 2 2.5

media dadi

Misura sperimentale

9.70 9.80 9.90 10.00 10.10 10.20

0 0.5 1arb. units1.5 2 2.5

Accelerazione di Gravità (m/s2)

Media Dadi Media Dadi

Dado 1 Dado 2 Dado 1 Dado 2

La misura è riprodotta dalla teoria ?

0 < t < 1 La teoria ed i dati sono consistenti

1 < t < 2 Ho tra il 5 - 30% di probabilità che la teoria ed i dati siano consistenti 2 < t < 3 Ho tra lo 0.3 - 5% di probabilità che la teoria ed i dati siano consistenti t > 3 Ho meno del 0.3 % di probabilità che la teoria ed i dati siano consistenti

media dalla

deviazione la

usare bisogna

x t x

m teo

1 1

!

"

=

10.00 10.25 10.50 10.75 11.00 11.25 11.50

0 1 arb. units2 3 4

media dadi

Valore Atteso Misura sperimentale

10.00 10.25 10.50 10.75 11.00 11.25 11.50

0 1 arb. units2 3 4

media dadi

Valore Atteso Misura sperimentale

ANALISI DEI RISULTATI

Se osservo che i due dadi NON sono uguali

Perché i due dadi non sono uguali ?

Leggete il diario della misura – log-book

Metodo : Le due misure sono state svolte in maniera differente ?

• Li ho tirati in maniera differente ?

• La superficie su cui ho lanciato i due dadi era differente ?

• E’ successo qualcosa tra le due misure ?

• Altre buone idee ?

Se non trovo una motivazione di metodo DEVO concludere

che i due dadi sono diversi tra loro

ANALISI DEI RISULTATI

Se la teoria non predice il risultato della misura

•

• Se trovo un difetto nella teoria o qualche approssimazione di troppo allora correggo la teoria e rifaccio il confronto con i dati sperimentali.

• Se non riesco a trovare una motivazione ‘fisica’, può essere presente un errore sistematico ?

• Rifaccio la misura con una strumentazione differente

• Cerco irregolarità o inconsistenze nei dati sperimentali

• Controllo la strumentazione usata su un effetto NOTO

• Altre buone idee ?

•

• Ovviamente nel caso dei dadi non può esistere un errore sistematico

• Nel caso la non consistenza rimanga devo concludere che il modello NON è valido Nel caso specifico il dado non è equiprobabile, è truccato