Raccolta di esercizi e verifiche sulle disequazioni intere e fratte

(1)

Liceo “Falchi” Montopoli in Val d’Arno - Classe 5a

I - Francesco Daddi - 23 settembre 2009

Esercizi sulle disequazioni

Esercizio 1. x2_{− 5 x + 6 > 0 Soluzione: {x < 2} ∪ {x > 3}} Esercizio 2. _{−2 x}2_{− 3 x + 5 > 0 Soluzione:} −5 2 < x <1 Esercizio 3. x+ 2 x− 1 >0 Soluzione: {x < −2} ∪ {x > 1} Esercizio 4. 4− x x+ 3 >0 Soluzione: {−3 < x < 4} Esercizio 5. x 2_{− 1} x− 2 >0 Soluzione: {−1 < x < 1} ∪ {x > 2} Esercizio 6. −x 2_{+ 4 x}_{− 3} x+ 5 > 0 Soluzione: {x < −5} ∪ {1 < x < 3} Esercizio 7. x+ 1 x2+ 6 x + 8 >0 Soluzione: {−4 < x < −2} ∪ {x > −1} Esercizio 8. x 2_{− 8 x + 15} x2+ 3 x + 2 >0 Soluzione: {x < −2} ∪ {−1 < x < 3} ∪ {x > 5} Esercizio 9. x 2_{+ 1} x2− 2 x >0 Soluzione: {x < 0} ∪ {x > 2} Esercizio 10. 4− x 2_{+ 3 x} x2− x >0 Soluzione: {−1 < x < 0} ∪ {1 < x < 4} Esercizio 11. x− x 2_{− 9} x2− 4 >0 Soluzione: {−2 < x < 2} Esercizio 12. x+ 5 x2− 25 >0 Soluzione: {x > 5} Esercizio 13. x 2_{− 2 x} 5_{− x}2 >0 Soluzione: − √ 5 < x < 0_{∪ 2 < x <}√5 Esercizio 14. 4 x + 7 3 x2_{− x − 2} >0 Soluzione: −7₄ < x <−2 3 ∪ {x > 1} Esercizio 15. 9− x 2 2 x2_{− x − 15} >0 Soluzione: −3 < x < −5₂ Esercizio 16. −x 2_{− 4 x − 3} 6 x_{− x}2 >0 Soluzione: {x < −3} ∪ {−1 < x < 0} ∪ {x > 6} Esercizio 17. x 2_{− 7 x} −x2_{− 8} >0 Soluzione: {0 < x < 7} Esercizio 18. 1 x2+ 2 x + 1 >0 Soluzione: {x < −1} ∪ {x > −1} Esercizio 19. −3

−x2_{− 4 x − 8} >0 Soluzione: ∀ x ∈ R (ogni x risolve la disequazione)

Esercizio 20. x

2_{+ 2 x + 3}

(2)

I - Prof. Francesco Daddi

Verifica scritta del 24 ottobre 2009

Punteggio di partenza: 2/10. Ogni esercizio vale 1,15/10.

Traccia il grafico delle seguenti funzioni:

Esercizio 1.

_{y =}

1

2 x −

5

2 Esercizio 2.

_{y = −x}

2

_{+ 6 x − 4}

Esercizio 3.

_{y =}

x − 3

x + 1

Esercizio 4.

_{y =}

−2 x − 4

4 x − 10

Risolvi le seguenti disequazioni:

Esercizio 5.

4 − x

2

x

2

_{− 4 x + 3}

> 0

Esercizio 6.

x

2

_{+ x + 3}

x

2

− 4 x

> 0

Esercizio 7.

3 x

2

+ 2 x − 1

x − x

2

− 6

> 0

(3)

I - Prof. Francesco Daddi

Soluzioni verifica scritta del 24 ottobre 2009

Esercizio 1.

y = 1 2x−

5 2

(4)

Esercizio 2.

(5)

Esercizio 3.

y = x− 3 x + 1

(6)

Esercizio 4.

y = −2 x − 4 4 x− 10

(7)

Esercizio 5.

4− x2 x2− 4 x + 3 > 0 ⇒ {−2 < x < 1} ∪ {2 < x < 3} .

Esercizio 6.

x2+ x + 3 x2− 4 x > 0 ⇒ {x < 0} ∪ {x > 4} .

Esercizio 7.

3 x2_{+ 2 x}_{− 1} x− x2− 6 > 0 ⇒ −1 < x < 1 3 . 5

(8)

I - Francesco Daddi - 28 ottobre 2009

Esercizi sulle disequazioni

Esercizio 1.

3 x

− 12

x

2

− 9

>

0 Soluzione:

_{{−3 < x < 3} ∪ {x > 4}}

Esercizio 2.

5 − x

x

2

− 4

>

0 Soluzione:

_{{x < −2} ∪ {2 < x < 5}}

Esercizio 3.

x

2

_{+ x + 4}

x

− x

2

− 2

>

0 Soluzione: impossibile

Esercizio 4.

3 x

− x

2

_{− 2}

2 x

2

+ 5 x + 3

>

0 Soluzione:

−

3

2 < x <

−1

∪ {1 < x < 2}

Esercizio 5.

4 − 2 x

x

2

− 2 x − 8

>

0 Soluzione:

_{{x < −2} ∪ {2 < x < 4}}

Esercizio 6.

5 x + x

2

_{+ 4}

6 x

2

_{− 6 x}

>

0 Soluzione:

_{{x < −4} ∪ {−1 < x < 0} ∪ {x > 1}}

Esercizio 7.

x

2

_{− 4 x + 3}

5 _{− 10 x}

>

0 Soluzione:

x <

1

2 ∪ {1 < x < 3}

(9)

I - Francesco Daddi - 31 ottobre 2009

Esercizi sulle disequazioni

Esercizio 1.

x

2

+ 4 x + 3

3 x

_{− 6}

>

0 Soluzione:

{−3 < x < −1} ∪ {x > 2}

Esercizio 2.

x

2

+ 3 x + 10

4 _{− x}

2

>

0 Soluzione:

{−2 < x < 2}

Esercizio 3.

x

2

− 3 x + 2

4 x

_{− x}

2

− 5

>

0 Soluzione:

{1 < x < 2}

Esercizio 4.

x

2

− 9

x

2

− 5 x

>

0 Soluzione:

{x < −3} ∪ {0 < x < 3} ∪ {x > 5}

Esercizio 5.

2 x + 8

x

2

+ 4 x

− 12

>

0 Soluzione:

{−6 < x < −4} ∪ {x > 2}

Esercizio 6.

x

2

+ 2

25 _{− x}

2

>

0 Soluzione:

{−5 < x < 5}

Esercizio 7.

3 x

2

− 2 x − 1

4 _{− 2 x}

>

0 Soluzione:

x <

−

1 3

∪ {1 < x < 2}

Esercizio 8.

x

2

− 2 x − 63

4 x + 5

_{− x}

2

>

0 Soluzione:

{−7 < x < −1} ∪ {5 < x < 9}

Esercizio 9.

x

− 3

x

2

+ 2 x + 1

>

0 Soluzione:

{x > 3}

Esercizio 10.

x

+ 2

x

2

+ 4 x + 2

>

0 Soluzione:

{x > −2}

(10)

Disequazioni fratte

Quinta - Gennaio 2006

1) x + 5 x− 7 > 0 ⇒ x + 5 > 0 ⇒ x > −5 x− 7 > 0 ⇒ x > 7

L’insieme delle soluzioni `e dunque il seguente: S ={x < −5} ∪ {x > 7}. 2) 2− 4x 3x + 1 ≥ 0 ⇒ 2− 4x > 0 ⇒ −4x > −2 ⇒ 4x < 2 ⇒ x < 2 4 ⇒ x < 1 2 3x + 1 > 0 ⇒ 3x > −1 ⇒ x > −1 3

L’insieme delle soluzioni `e dunque il seguente: S =©−1

3 < x≤ 1 2ª.

(11)

3) x2 − 4x + 3 4− 7x ≥ 0 ⇒ x2 − 4x + 3 > 0 ⇒ {x < 1} ∪ {x > 3} 4− 7x > 0 ⇒ −7x > −4 ⇒ 7x < 4 ⇒ x < 4 7

L’insieme delle soluzioni `e dunque il seguente: S =©x < 47ª ∪ {1 ≤ x ≤ 3}.

4) x2 − x − 2 −3x2 + 3x + 18 ≤ 0 ⇒ x2 − x − 2 > 0 ⇒ {x < −1} ∪ {x > 2} −3x2 + 3x + 18 > 0 ⇒ {−2 < x < 3}

L’insieme delle soluzioni `e dunque il seguente: S ={x < −2} ∪ {−1 ≤ x ≤ 2} ∪ {x > 3}.

(12)

Liceo Classico “Galilei” Pisa - Prof. Francesco Daddi

Verifica di Matematica - Classe 2

a

A - 13/04/2012

Nome e cognome

Scrivi tutti i passaggi che permettono di arrivare alla soluzione degli esercizi proposti.

Esercizio 1. Risolvi l’equazione

5 x + 20 5 x + 5 +

2 x − 8 2 x − 2 = 2 Esercizio 2. Risolvi l’equazione

8 8 x2₋_{8 x − 70} − 4 4 x2_{+ 4 x − 15} = 8 x + 8 4 x2₋_{20 x + 21}

Esercizio 3. Risolvi la disequazione

4 x − x2₋₃

(x2_{+ 1)(5 x}2₋_{5 x − 30)} ≤0

Esercizio 4. Risolvi la disequazione

4 x2₋_{8 x + 19} 8 x2₋_{36 x + 28}− 2 x − 5 4 x − 4 ≥ 8 x + 12 8 x − 28 Punteggio esercizi:

(la seguente tabella deve essere riempita dal docente)

(13)

Istituto Superiore “Carducci” Volterra - Sez. ISA

Verifica di Matematica - Classe 2A

Nome e Cognome

Data

Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni in una variabile:

1)

x

+ 4 > 2 + 3x

2)

4x + 3 < 1

−

x

+ 7

3)

3x +

2

3 > x

+ 8

− 11

x

4)

−6

x

+ 7 < 4

−

x

+ 3

5)

x

+ 1 + 5x >

−7 − 4

x

6)

5x + 4 > 3x

− 2 + 2

x

7)

6x

₋

4

3 <

8x

− 7 −

3

2 x

8)

−

3

2 x −

1

2 > −3x +

4

3 +

3

2 x

Trovare le soluzioni dei seguenti sistemi di disequazioni:

9)

(

2x + 3 > 0

4x

_{− 6}

<

5 10)

(

6x + 1 < 7 + 4x

5 ₋

x

+

3 2

<

9 + 6x

11)

(

−4x > −8x + 3 + 4x

2 _{− 7}

x <

5x + 4

− 10

x

12)

(

−6x − 4 < 7 + 4x − 9

5 + 2x <

₋

x

+ 6 + 3x

13)











−5 −

3₂

x <

7₃

x − 1

x <

5 11

+

3 2

x − 2

5x < x

14)











−6

x

+

1₂

>

7x

5 _{− 3}

x

+ 6 >

₋₇

x

+ 4x

x

+ 1 < 2

₋

x

Trovare una soluzione (se esiste) per i seguenti sistemi di disequazioni:

15)

(

3x

_{− 67543}

>

2x + 102345

6x + 2345 < 7x

_{− 133421}

16)











5x +

1 2

>

7x

−

3 4

−5 + 3x − 2 < 7x + 4x

10x + 1202 < 30x

_{− 4901}

(14)

Istituto Statale d’Arte - Classe 5A

Soluzioni degli esercizi assegnati il 27/09/06

1) x2_{+ 2x − 3 < 0}      a= 1 b= 2 c_{= −3} ⇒ ∆ = b2_{− 4 · a · c = (2)}2 − 4 · 1 · (−3) = 4 + 12 = 16 (2 soluz.) x₁,2= −b ±√∆ 2 · a = −2 ±√16 2 · 1 = −2 ± 4 2 = ր ց x₁= −2 + 4 2 = 2 2 = 1 x₂= −2 − 4 2 = −6 2 = −3

Il segno `e <, dobbiamo considerare i segni “-”. L’insieme delle soluzioni `e S = {−3 < x < 1}.

2) −x2_{+ 4x − 3 > 0}      a_{= −1} b= 4 c_{= −3} ⇒ ∆ = b2_{− 4 · a · c = (4)}2 − 4 · (−1) · (−3) = 16 − 12 = 4 (2 soluz.) x₁,2 = −b ±√∆ 2 · a = −4 ±√4 2 · (−1) = −4 ± 2 −2 = ր ց x₁ = −4 + 2 −2 = −2 −2 = 1 x₂ = −4 − 2 −2 = −6 −2 = 3

(15)

Il segno `e >, dobbiamo considerare i segni “+”. L’insieme delle soluzioni `e S = {1 < x < 3}. 3) −x2_{+ 7x − 12 < 0}      a_{= −1} b= 7 c_{= −12} ⇒ ∆ = b2_{− 4 · a · c = (7)}2 − 4 · (−1) · (−12) = 49 − 48 = 1 (2 soluz.) x₁,2 = −b ±√∆ 2 · a = −7 ±√1 2 · (−1) = −7 ± 1 −2 = ր ց x₁ = −7 + 1 −2 = −6 −2 = 3 x₂ = −7 − 1 −2 = −8 −2 = 4

Il segno `e <, dobbiamo considerare i segni “-”. L’insieme delle soluzioni `e S = {x < 3} ∪ {x > 4}.

(16)

4)

x2_{− 5x < 0} x2_{− 5x = 0 ⇒ x · (x − 5) = 0 ⇒ x}

1 = 0 ; x2 = 5 .

Il segno `e <, dobbiamo considerare i segni “-”. L’insieme delle soluzioni `e S = {0 < x < 5}.

5)

3x2_{− 12 < 0}

3x2_{− 12 = 0 ⇒ 3x}2 _{= 12 ⇒ x}2 ₌ 12

3 = 4 ⇒ x1 = −2 ; x2 = 2 .

Il segno `e <, dobbiamo considerare i segni “-”. L’insieme delle soluzioni `e S = {−2 < x < 2}.

(17)

Istituto Statale d’Arte - Classe 5A

Soluzioni degli esercizi assegnati il 3/10/06

1) x2_{− 5x + 6 > 0}      a= 1 b_{= −5} c= 6 ⇒ ∆ = b2_{− 4 · a · c = (−5)}2 − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1 (2 soluz.) x₁,2 = −b ±√∆ 2 · a = 5 ±√1 2 · 1 = 5 ± 1 2 = ր ց x₁ = 5 + 1 2 = 6 2 = 3 x₂ = 5 − 1 2 = 4 2 = 2

Il segno `e >, dobbiamo considerare i segni “+”. L’insieme delle soluzioni `e S = {x < 2}∪{x > 3}.

2) −2x2_{+ 5x − 3 > 0}      a_{= −2} b= 5 c_{= −3} ⇒ ∆ = b2_{− 4 · a · c = (5)}2 − 4 · (−2) · (−3) = 25 − 24 = 1 (2 soluz.) x_1,2 = −b ± √ ∆ 2 · a = −5 ±√1 2 · (−2) = −5 ± 1 −4 = ր ց x₁ = −5 + 1 −4 = −4 −4 = 1 x₂ = −5 − 1 −4 = −6 −4 = 3 2

(18)

Il segno `e >, dobbiamo considerare i segni “+”. L’insieme delle soluzioni `e S =n1 < x < 3 2 o . 3) x2_{− 3x + 10 > 0}      a= 1 b_{= −3} c= 10 ⇒ ∆ = b2_{− 4 · a · c = (−3)}2 − 4 · 1 · 10 = 9 − 40 = −31 (nessuna soluz.)

Il segno `e >, dobbiamo considerare i segni “+”. L’insieme delle soluzioni `e S = R.

(19)

Istituto Statale d’Arte - Classe 5A

Soluzioni degli esercizi assegnati il 14/10/06

Esercizio 1

5− x

x2_{− 4x + 3} > 0

Il segno `e >, dobbiamo considerare i segni “+”. Le soluzioni sono quindi fornite dall’insieme S ={x < 1} ∪ {3 < x < 5}.

Esercizio 2

3 + 4x

−x2_{+ 5x}_{− 4} > 0

Il segno `e >, dobbiamo considerare i segni “+”. Le soluzioni sono quindi fornite dall’insieme S = ½ x <₋3 4 ¾ ∪ {1 < x < 4}.

(20)

Esercizio 3

x2_{− 5x + 6}

−3x − 7 < 0

Il segno `e <, dobbiamo considerare i segni “-”. Le soluzioni sono quindi fornite dall’insieme S =

½ −7 3 < x < 2 ¾ ∪ {x > 3}.

Esercizio “extra”

−x2_{+ 2x + 8} −x − 1 < 0

Il segno `e <, dobbiamo considerare i segni “-”.

(21)

Istituto Superiore “Carducci” Volterra - Sez. ISA

Verifica scritta di Matematica - Classe 5A

Nome e Cognome Data

1)

4x

− 3

x

+ 6

>

0 2)

−2x + 1

3x

_{− x}

2

<

0 3)

−6x − 3

−5 − x

>

0 4)

4x

2

_{− 3x}

x

2

− 2x − 8

<

0 5)

4x

− x

2

_{+ 5}

x

2

− 9x + 20

<

0 6)

5 + 2x

−2x

2

_{+ 14x + 16}

<

0 7)

5x

− 2x

2

_{− 10}

x

2

+ 3x

− 28

>

0 8)

x

2

− 6x + 9

8x

_{− 7x}

2

>

0 9)

3x

2

_{+ 2x}

− 8

6x

2

+ 19x + 15

<

0 10)

3x

2

_{− 5x − 2}

4x

2

+ 8x

_{− 5}

>

0 11)

4x

− 4

x

2

− 3x + 2

<

0 12)

2x + 4

2x

2

_{− 3x − 14}

>

0 13)

−7x + 6

x

2

+ 10x + 25

<

0 14)

−3 + 3x

x

3

− 4x

2

>

0

(22)

Istituto Superiore “Carducci” Volterra - Sez. ISA

Soluzioni verifica scritta del 25/10/2006 - Classe 5A

Esercizio 1. 4x− 3 x + 6 > 0 ⇒ R. {x < −6} ∪ x > 3 4 Esercizio 2. −2 x + 1 3 x− x2 < 0 ⇒ R. {x < 0} ∪ 1 2 < x < 3 Esercizio 3. −6 x − 3 −5 − x > 0 ⇒ R. {x < −5} ∪ x >₋1 2 Esercizio 4. 4 x 2 − 3 x x2_{− 2 x − 8} < 0 ⇒ R. {−2 < x < 0} ∪ 3 4 < x < 4 Esercizio 5. 4x− x 2_{+ 5} x2_{− 9 x + 20} < 0 ⇒ R. {x < −1} ∪ {4 < x < 5} ∪ {x > 5} Esercizio 6. 5 + 2 x −2 x2_{+ 14 x + 16} < 0 ⇒ R. −5 2 < x <−1 ∪ {x > 8} Esercizio 7. 5 x− 2 x 2 − 10 x2_{+ 3 x}_{− 28} > 0 ⇒ R. {−7 < x < 4} Esercizio 8. x 2 − 6 x + 9 8 x_{− 7 x}2 > 0 ⇒ R. 0 < x < 8 7 Esercizio 9. 3 x 2_{+ 2 x} − 8 6 x2_{+ 19 x + 15} < 0 ⇒ R. −2 < x < −5 3 ∪ −3 2 < x < 4 3 Esercizio 10. 3 x 2 − 5 x − 2 4 x2_{+ 8 x}_{− 5} > 0 ⇒ R. x <₋5 2 ∪ −1 3 < x < 1 2 ∪ {x > 2} Esercizio 11. 4 x− 4 x2_{− 3 x + 2} < 0 ⇒ R. {x < 1} ∪ {1 < x < 2} Esercizio 12. 2 x + 4 2 x2_{− 3 x − 14} > 0 ⇒ R. x > 7 2 Esercizio 13. −7 x + 6 x2_{+ 10 x + 25} < 0 ⇒ R. x > 6 7 Esercizio 14. −3 + 3x x3_{− 4x}2 > 0 ⇒ R. {x < 0} ∪ {0 < x < 1} ∪ {x > 4}