RISOLUZIONE
1. A `e vera in quanto, dalle propriet` a del raggio di convergenza, la serie non converge in ogni x 2 R con |x| > ⇢ = 1 e quindi in particolare in x = 2.
B `e falsa, ad esempio scelta a n = n 1 abbiamo che la serie di potenze P + 1 n=1 xn
n ha raggio di convergenza ⇢ = 1 ma la serie P + 1
n=1 1
n diverge.
C `e vera, la serie P + 1
n=0 na n x n 1 `e infatti la serie derivata della serie P + 1
n=0 a n x n e abbiamo visto nel teorema sulla serie derivata e integrata che tale serie ha il medesimo raggio di convergenza
⇢ = 1. Dalle propriet` a del raggio di convergenza possiamo dedurre che la serie P +1
n=0 na n x n 1 converge per ogni x 2 R con |x| < ⇢ = 1.
2. A `e vera, infatti poich´e la serie P + 1
n=0 a n x n ha raggio di convergenza ⇢ = + 1 abbiamo che questa converge in ogni x 2 R e quindi, dalla condizione necessaria alla convergenza di una serie, otteniamo che per ogni x 2 R risulta lim
n!+1 a n x n = 0.
B `e vera, dato che per quanto ricordato sopra, la serie P + 1
n=0 a n x n converge in ogni x 2 R, quindi in particolare per x = e.
C `e falsa. Scelta a n = n! 1 abbiamo che la serie P +1
n=0 a n x n = P +1
n=0 x
nn! ha raggio di convergenza
⇢ = + 1 ma la serie P +1
n=0 a n n! = P +1
n=0 1 diverge.
3. A `e falsa, la serie P +1
n=0 x
nn converge per x = 1 per il criterio di Leibniz ma diverge per x = 1.
B `e vera, infatti poich´e P +1
n=0 ( 1) n a n converge per ipotesi, dalla condizione necessaria alla convergenza segue che ( 1) n a n ! 0 per n ! +1 e quindi anche a n ! 0 per n ! +1.
C `e vera, infatti dalla definizione di raggio di convergenza abbiamo che
⇢ = sup {|r| |
+ 1
X
n=0
a n r n converge }
e dato che X +1 n=0
( 1) n a n converge, ne deduciamo che ⇢ | 1 | = 1.
4. La serie
+ 1
X
n=1
x n tan 2 1n ha insieme di convergenza I = ( 2, 2). Infatti, dal metodo del rapporto, posto a n = tan 2 1n, osservato che tan 2 1n ⇠ 2 1n per n ! +1, otteniamo
, osservato che tan 2 1n ⇠ 2 1n per n ! +1, otteniamo
per n ! +1, otteniamo
n !+1 lim a n+1
a n = lim
n !+1
tan 2n+11
tan 2 1n
= lim
n !+1
2 n 2 n+1 = 1 2
Ne concludiamo che il raggio di convergenza `e ⇢ = 2 e dunque che la serie converge per |x| < 2 e non converge per |x| > 2. Abbiamo poi che per x = 2 la serie diventa
+ 1
X
n=1
2 n tan 2 1
ne poich´e
2 n tan 2 1n ! 1 per n ! +1, non risulta verificata la condizione necessaria alla convergenza di
una serie. Possiamo dunque concludere che la serie non converge per x = 2.
Allo stesso modo, per x = 2 abbiamo la serie
+ 1
X
n=1
( 2) n tan 2 1
nche non converge dato che, essendo 2 n tan 2 1n ! 1 per n ! +1, non esiste il limite lim n
!+1 ( 2) n tan 2 1
n= lim
n !+1 ( 1) n 2 n tan 2 1
ne pertanto non `e verificata la condizione necessaria alla convergenza.
5. La serie
+ 1
X
n=1
x n (cos p 1
n 1) ha insieme di convergenza I = [ 1, 1). Infatti, utilizzando il metodo del rapporto, posto a n = cos p 1
n 1 e osservato che cos p 1
n 1 ⇠ 2n 1 per n ! +1, otteniamo che
n!+1 lim a n+1
a n
= lim
n!+1
2n
2(n + 1) = 1
Ne concludiamo che il raggio di convergenza `e ⇢ = 1 e dunque che la serie converge per |x| < 1 e non converge per |x| > 1. Per x = 1 la serie diventa P + 1
n=1 (cos p 1
n 1) = P + 1
n=1 (1 cos p 1 n ) e poich´e 1 cos p 1
n ⇠ 2n 1 per n ! +1 e la serie P + 1 n=1 1
n diverge, dal criterio del confronto asintotico otteniamo che la serie diverge per x = 1.
Per x = 1 abbiamo la serie P + 1
n=1 ( 1) n (cos p 1 n 1) =
+ 1
X
n=1
( 1) n (1 cos p 1 n ) che converge per il criterio di Leibniz poich´e 1 cos p 1
n ! 0 per n ! +1 e 1 cos p 1
n+1 1 cos p 1 n per ogni n 2 N essendo il coseno decrescente nell’intervallo [0, 1].
6. La serie
+1 X
n=0
sinh ⇡ 1n
n 2 x n ha insieme di convergenza I = [ ⇡, ⇡]. Utilizzando il metodo del rapporto di D’Alembert abbiamo che il raggio di convergenza della serie `e ⇢ = ⇡ in quanto, essendo sinh x n ⇠ x n per ogni successione x n ! 0, risulta
n !+1 lim
|a n+1 |
|a n | = lim
n !+1
sinh ⇡n+11
(n + 1) 2 n 2 sinh ⇡ 1n
= lim
n !+1 1
⇡
n+11
⇡
nn 2
(n + 1) 2 = 1 ⇡ . Ne segue allora che la serie converge per |x| < ⇡ e non converge per |x| > ⇡.
Per x = ⇡ abbiamo che la serie diverge assolutamente (e dunque semplicemente) essendo la serie P + 1
n=1
sinh
⇡n1n
2x n = P + 1 n=1
⇡
nsinh
⇡n1n
2convergente. Infatti, dal precedente limite notevole risulta
⇡ n sinh ⇡ 1n
n 2 ⇠ n 12
ed essendo P +1
n=1 1
n
2convergente, dal criterio del confronto asintotico si ha che anche la serie P +1
n=1
⇡
nsin
⇡n1n
2converge.
NOTA: Si osservi che il criterio del confronto asintotico non vale per serie a termini di segno alterno e dunque non ` e corretto concludere che la serie P + 1
n=1 ( 1) n ⇡
nsinh
1
⇡n
n
2converge essendo ( 1) n ⇡nsinh
1
⇡n
n
2⇠ ( 1) n2n per n ! +1 e la serie P + 1 n=1
( 1)
nn
2convergente per il criterio di Leibniz.
7. L’insieme di convergenza della serie
+ 1
X
n=1
2 n x n
n 3 log(n + 1) `e l’intervallo [ 1 2 , 1 2 ]. Dal metodo del rapporto di D’Alembert abbiamo che il raggio di convergenza della serie `e ⇢ = 1 2 essendo
n !+1 lim
|a n+1 |
|a n | = lim
n !+1
2 n+1
(n + 1) 3 log(n + 2)
n 3 log(n + 1)
2 n = 2 lim
n !+1
log(n + 1) log(n + 2)
n 3
(n + 1) 3 = 2.
Ne segue allora che la serie converge per |x| < 1 2 e non converge per |x| > 1 2 . Per |x| = 1 2 abbiamo che la serie converge assolutamente (e quindi semplicemente) essendo la serie P + 1
n=1 2
nx
nn
3log(n+1) = P + 1
n=2 1
n
3log(n+1) convergente. Infatti risulta
n !+1 lim
1 n
3log(n+1)
1 n
3= lim
n !+1
1
log(n + 1) = 0 ed essendo P + 1
n=1 1
n
3convergente, dal criterio del confronto asintotico si ha che anche la serie P + 1
n=2 1
n
2log n converge.
8. La serie
+ 1
X
n=1
x n 1 2n+11
4
nha come insieme di convergenza R. Posto infatti a n = 1 2n+11
4
nsi ha
p
n|a n | =
nq
1 2n+11 4
n = 1 2n+11
4nn = e
4nn log
1
4nn= e
4nnlog
⇣ 1 1 2
n+1⌘
ed essendo 4 nnlog(1 2n+11 ) ⇠ 4 n
n2
n+11 = 2 2n
n ! 1, otteniamo che p
n
1 ) ⇠ 4 n
n2
n+11 = 2 2n
n! 1, otteniamo che p
n|a n | ! 0 per n ! +1.
Dal metodo della radice di Cauchy-Hadamard, ne segue che la serie ha raggio di convergenza
⇢ = + 1. Dalle propriet`a del raggio di convergenza otteniamo allora che la serie converge in ogni x 2 R.
9. L’insieme di convergenza della serie
+ 1
X
n=1
x n
log(e n + 1) + n 2 `e l’intervallo [ 1, 1]. Posto a n =
1
log(e
n+1)+n
2, per n ! +1 si ha
|a n+1 |
|a n | = log(e n + 1) + n 2
log(e n+1 + 1) + (n + 1) 2 = n + log(1 + e 1n) + n 2
n + 1 + log(1 + en+11 ) + (n + 1) 2 ! 1
e dunque, dal metodo del rapporto di D’Alembert, ne segue che la serie ha raggio di convergenza
⇢ = 1. Dalle propriet` a del raggio di convergenza otteniamo allora che la serie converge in ogni
|x| < 1 e non converge in ogni |x| > 1. Osservato poi che
a n = 1
log(e n + 1) + n 2 = 1
n + log(1 + e 1n) + n 2 ⇠ 1 n 2 e che la serie P +1
n=1 1
n
2converge, dal criterio del confronto asintotico possiamo concludere che la serie
+ 1
X
n=1
a n converge e quindi che la serie di potenze converge (assolutamente) per x = ±1.
10. La serie
+ 1
X
n=0
x 2n
2 n (2n)! ha insieme di convergenza R. Infatti dal metodo del rapporto abbiamo che 2 n (2n)!
2 n+1 (2n + 2)! = 1
2(2n + 2)(2n + 1) ! 0 per n ! +1
e pertanto ha raggio di convergenza ⇢ = + 1. Per determinarne la somma, osserviamo che la serie si pu` o riscrivere come
+1 X
n=0
x 2n 2 n (2n)! =
+1 X
n=0 1 (2n)!
⇣ p x 2
⌘ 2n
e dunque riconosciamo la serie
+1 X
n=0 y
2n(2n)! (convergente a cosh y) valutata in y = p x
2 . Ne conclu- diamo allora che
+ 1
X
n=0
x 2n 2 n (2n)! =
+ 1
X
n=0 1 (2n)!
⇣ p x 2
⌘ 2n
= cosh p x
2 , 8x 2 R
11. La serie
+1 X
n=1
⇣ x 1
|x|+2
⌘ n
= X +1 n=0
⇣ x 1
|x|+2
⌘ n
1 `e serie geometrica di ragione r = |x|+2 x 1 . Risulta quindi convergente se e solo se |x|+2 x 1 < 1 e dunque per |x 1 | < |x| + 2, ovvero per ogni x 2 R. La somma della serie `e
+1 X
n=1
⇣ x 1
|x|+2
⌘ n
= X +1 n=0
⇣ x 1
|x|+2
⌘ n
1 = 1
1 |x|+2 x 1 1 = |x| + 2
|x| x + 3 1 = x 1
|x| x + 3 8x 2 R
12. Per determinare la somma della serie
+ 1
X
n=1
nx 2n+2 osserviamo che
+ 1
X
n=1
nx 2n+2 = x 4
+ 1
X
n=1
nx 2n 2 = x 4
+ 1
X
n=1
n x 2 n 1
e che l’ultima serie `e la serie derivata della serie geometrica di ragione y = x 2 . Otteniamo allora che la serie converge se e solo se |x 2 | < 1 ovvero se e solo se x 2 ( 1, 1). Per calcolarne la somma dato che
+ 1
X
n=1
ny n 1 =
+ 1
X
n=1
(y n ) 0 =
✓ 1 1 y
◆ 0
= 1
(1 y) 2 otteniamo
+1 X
n=1
nx 2n+2 = x 4 X +1 n=1
n x 2 n 1 = x 4
(1 x 2 ) 2 8x 2 ( 1, 1).
13. Per determinare l’insieme di convergenza e la somma della serie
+ 1
X
n=0
( 1) n x 2n+1
3 n (n + 1) per x 6= 0 possiamo riscriverla come
+ 1
X
n=0
( 1) n x 2n+1 3 n (n + 1) = x
+ 1
X
n=0
1 n + 1
⇣ x2
3
⌘ n
= 3 x
+ 1
X
n=0
1 n + 1
⇣ x2
3
⌘ n+1
Riconosciamo nell’ultima serie una serie della forma P + 1 n=0 yn+1
n+1 con y = x 3
2, serie integrata della serie geometrica, convergente per |y| < 1 con somma R y
0 1
1 y dt = log(1 y). Quindi la serie data converge per x 3
2< 1, ovvero per |x| < p
3 e per tali valori risulta
+ 1
X
n=0
1 n + 1
⇣ x2
3
⌘ n+1
= log ⇣
1 + x 32⌘
Quindi per ogni x 2 R tale che 0 < |x| < p
3 otteniamo
+ 1
X
n=0
( 1) n x 2n+1
3 n (n + 1) = 3 x
+ 1
X
n=0
1 n + 1
⇣ x2
3
⌘ n+1
= 3 x log ⇣
1 + x 32⌘
mentre per x = 0 la serie converge a 0.
14. Per valutare la serie
+ 1
X
n=0
( ⇡) n
(2n + 1)! osserviamo che X +1
n=0
( ⇡) n
(2n + 1)! = 1 p ⇡
+1 X
n=0
( 1) n ( p
⇡) 2n+1 (2n + 1)!
Riconosciamo che l’ultima serie `e la serie di Taylor della funzione sin x valutata in p
⇡. Abbiamo quindi che la somma di tale serie vale p 1
⇡ sin p
⇡.
15. Riconosciamo nella serie X +1 n=0
( 1) n ⇡ 2n
(2n)! la serie di Taylor della funzione cos x valutata in x = ⇡.
Otteniamo allora
X +1 n=0
( 1) n ⇡ 2n
(2n)! = cos ⇡ = 1
16. Possiamo riscrivere la serie
+ 1
X
n=2
n(n 1) 3 n come
+ 1
X
n=2
n(n 1) 3 n = 3 12
+ 1
X
n=2
n(n 1) 1 3 n 2
e nell’ultima serie riconosciamo la serie geometrica derivata due volte e valutata in x = 1 2 . Abbiamo pertanto che
X +1 n=2
n(n 1)x n 2 =
+1 X
n=0
(x n ) 00 =
✓ 1 1 x
◆ 00
=
✓ 1
(1 x) 2
◆ 0
= 2
(1 x) 3 da cui
+ 1
X
n=2
n(n 1)
3 n = 1 9 · 2
(1 1 3 ) 3 = 3
4
17. Riscriviamo la serie
+ 1
X
n=1
( 1) n
(n + 1)(n + 2)4 n come
+ 1
X
n=1
( 1) n
(n + 1)(n + 2)4 n =
+ 1
X
n=1 1 4
n 1
(n + 1)(n + 2)
calcoliamo quindi la somma S(x) della serie di potenze
+1 X
n=1 x
n(n+1)(n+2) che valuteremo in x = 1 4 . Osserviamo che da
1 1 x =
+ 1
X
n=0
x n , |x| < 1 integrando una volta otteniamo
log(1 x) =
+ 1
X
n=0
x n+1
n + 1 , |x| < 1 e quindi, integrando una seconda volta, si ha
(1 x) log(1 x) + x =
+ 1
X
n=0
x n+2
(n + 1)(n + 2) =
+ 1
X
n=1
x n+2
(n + 1)(n + 2) + x 22, |x| < 1 Otteniamo allora che
x 2
+1 X
n=1
x n
(n + 1)(n + 2) = X +1 n=1
x n+2
(n + 1)(n + 2) = (1 x) log(1 x) + x x 22, |x| < 1 Ne segue che se x 6= 0 e |x| < 1 allora
S(x) =
+ 1
X
n=1
x n
(n + 1)(n + 2) = 1 x x2 log(1 x) + x 1 1 2 e posto x = 1 4 otteniamo
S( 1 4 ) =
+ 1
X
n=1
( 1) n
4 n (n + 1)(n + 2) = 1+
1 14 16