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n ha raggio di convergenza ⇢ = 1 ma la serie P + 1

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Academic year: 2021

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(1)

RISOLUZIONE

1. A `e vera in quanto, dalle propriet` a del raggio di convergenza, la serie non converge in ogni x 2 R con |x| > ⇢ = 1 e quindi in particolare in x = 2.

B `e falsa, ad esempio scelta a n = n 1 abbiamo che la serie di potenze P + 1 n=1 x

n

n ha raggio di convergenza ⇢ = 1 ma la serie P + 1

n=1 1

n diverge.

C `e vera, la serie P + 1

n=0 na n x n 1 `e infatti la serie derivata della serie P + 1

n=0 a n x n e abbiamo visto nel teorema sulla serie derivata e integrata che tale serie ha il medesimo raggio di convergenza

⇢ = 1. Dalle propriet` a del raggio di convergenza possiamo dedurre che la serie P +1

n=0 na n x n 1 converge per ogni x 2 R con |x| < ⇢ = 1.

2. A `e vera, infatti poich´e la serie P + 1

n=0 a n x n ha raggio di convergenza ⇢ = + 1 abbiamo che questa converge in ogni x 2 R e quindi, dalla condizione necessaria alla convergenza di una serie, otteniamo che per ogni x 2 R risulta lim

n!+1 a n x n = 0.

B `e vera, dato che per quanto ricordato sopra, la serie P + 1

n=0 a n x n converge in ogni x 2 R, quindi in particolare per x = e.

C `e falsa. Scelta a n = n! 1 abbiamo che la serie P +1

n=0 a n x n = P +1

n=0 x

n

n! ha raggio di convergenza

⇢ = + 1 ma la serie P +1

n=0 a n n! = P +1

n=0 1 diverge.

3. A `e falsa, la serie P +1

n=0 x

n

n converge per x = 1 per il criterio di Leibniz ma diverge per x = 1.

B `e vera, infatti poich´e P +1

n=0 ( 1) n a n converge per ipotesi, dalla condizione necessaria alla convergenza segue che ( 1) n a n ! 0 per n ! +1 e quindi anche a n ! 0 per n ! +1.

C `e vera, infatti dalla definizione di raggio di convergenza abbiamo che

⇢ = sup {|r| |

+ 1

X

n=0

a n r n converge }

e dato che X +1 n=0

( 1) n a n converge, ne deduciamo che ⇢ | 1 | = 1.

4. La serie

+ 1

X

n=1

x n tan 2 1

n

ha insieme di convergenza I = ( 2, 2). Infatti, dal metodo del rapporto, posto a n = tan 2 1

n

, osservato che tan 2 1

n

2 1

n

per n ! +1, otteniamo

n !+1 lim a n+1

a n = lim

n !+1

tan 2

n+1

1

tan 2 1

n

= lim

n !+1

2 n 2 n+1 = 1 2

Ne concludiamo che il raggio di convergenza `e ⇢ = 2 e dunque che la serie converge per |x| < 2 e non converge per |x| > 2. Abbiamo poi che per x = 2 la serie diventa

+ 1

X

n=1

2 n tan 2 1

n

e poich´e

2 n tan 2 1

n

! 1 per n ! +1, non risulta verificata la condizione necessaria alla convergenza di

una serie. Possiamo dunque concludere che la serie non converge per x = 2.

(2)

Allo stesso modo, per x = 2 abbiamo la serie

+ 1

X

n=1

( 2) n tan 2 1

n

che non converge dato che, essendo 2 n tan 2 1

n

! 1 per n ! +1, non esiste il limite lim n

!+1 ( 2) n tan 2 1

n

= lim

n !+1 ( 1) n 2 n tan 2 1

n

e pertanto non `e verificata la condizione necessaria alla convergenza.

5. La serie

+ 1

X

n=1

x n (cos p 1

n 1) ha insieme di convergenza I = [ 1, 1). Infatti, utilizzando il metodo del rapporto, posto a n = cos p 1

n 1 e osservato che cos p 1

n 1 ⇠ 2n 1 per n ! +1, otteniamo che

n!+1 lim a n+1

a n

= lim

n!+1

2n

2(n + 1) = 1

Ne concludiamo che il raggio di convergenza `e ⇢ = 1 e dunque che la serie converge per |x| < 1 e non converge per |x| > 1. Per x = 1 la serie diventa P + 1

n=1 (cos p 1

n 1) = P + 1

n=1 (1 cos p 1 n ) e poich´e 1 cos p 1

n ⇠ 2n 1 per n ! +1 e la serie P + 1 n=1 1

n diverge, dal criterio del confronto asintotico otteniamo che la serie diverge per x = 1.

Per x = 1 abbiamo la serie P + 1

n=1 ( 1) n (cos p 1 n 1) =

+ 1

X

n=1

( 1) n (1 cos p 1 n ) che converge per il criterio di Leibniz poich´e 1 cos p 1

n ! 0 per n ! +1 e 1 cos p 1

n+1  1 cos p 1 n per ogni n 2 N essendo il coseno decrescente nell’intervallo [0, 1].

6. La serie

+1 X

n=0

sinh 1

n

n 2 x n ha insieme di convergenza I = [ ⇡, ⇡]. Utilizzando il metodo del rapporto di D’Alembert abbiamo che il raggio di convergenza della serie `e ⇢ = ⇡ in quanto, essendo sinh x n ⇠ x n per ogni successione x n ! 0, risulta

n !+1 lim

|a n+1 |

|a n | = lim

n !+1

sinh

n+1

1

(n + 1) 2 n 2 sinh 1

n

= lim

n !+1 1

n+1

1

n

n 2

(n + 1) 2 = 1 . Ne segue allora che la serie converge per |x| < ⇡ e non converge per |x| > ⇡.

Per x = ⇡ abbiamo che la serie diverge assolutamente (e dunque semplicemente) essendo la serie P + 1

n=1

sinh

⇡n1

n

2

x n = P + 1 n=1

n

sinh

⇡n1

n

2

convergente. Infatti, dal precedente limite notevole risulta

n sinh 1

n

n 2n 1

2

ed essendo P +1

n=1 1

n

2

convergente, dal criterio del confronto asintotico si ha che anche la serie P +1

n=1

n

sin

⇡n1

n

2

converge.

NOTA: Si osservi che il criterio del confronto asintotico non vale per serie a termini di segno alterno e dunque non ` e corretto concludere che la serie P + 1

n=1 ( 1) n ⇡

n

sinh

1

⇡n

n

2

converge essendo ( 1) n ⇡

n

sinh

1

⇡n

n

2

( 1) n

2n

per n ! +1 e la serie P + 1 n=1

( 1)

n

n

2

convergente per il criterio di Leibniz.

(3)

7. L’insieme di convergenza della serie

+ 1

X

n=1

2 n x n

n 3 log(n + 1) `e l’intervallo [ 1 2 , 1 2 ]. Dal metodo del rapporto di D’Alembert abbiamo che il raggio di convergenza della serie `e ⇢ = 1 2 essendo

n !+1 lim

|a n+1 |

|a n | = lim

n !+1

2 n+1

(n + 1) 3 log(n + 2)

n 3 log(n + 1)

2 n = 2 lim

n !+1

log(n + 1) log(n + 2)

n 3

(n + 1) 3 = 2.

Ne segue allora che la serie converge per |x| < 1 2 e non converge per |x| > 1 2 . Per |x| = 1 2 abbiamo che la serie converge assolutamente (e quindi semplicemente) essendo la serie P + 1

n=1 2

n

x

n

n

3

log(n+1) = P + 1

n=2 1

n

3

log(n+1) convergente. Infatti risulta

n !+1 lim

1 n

3

log(n+1)

1 n

3

= lim

n !+1

1

log(n + 1) = 0 ed essendo P + 1

n=1 1

n

3

convergente, dal criterio del confronto asintotico si ha che anche la serie P + 1

n=2 1

n

2

log n converge.

8. La serie

+ 1

X

n=1

x n 1 2

n+1

1

4

n

ha come insieme di convergenza R. Posto infatti a n = 1 2

n+1

1

4

n

si ha

p

n

|a n | =

n

q

1 2

n+1

1 4

n

= 1 2

n+1

1

4nn

= e

4nn

log

⇣ 1 1 2

n+1

ed essendo 4 n

n

log(1 2

n+1

1 ) ⇠ 4 n

n

2

n+1

1 = 2 2n

n

! 1, otteniamo che p

n

|a n | ! 0 per n ! +1.

Dal metodo della radice di Cauchy-Hadamard, ne segue che la serie ha raggio di convergenza

⇢ = + 1. Dalle propriet`a del raggio di convergenza otteniamo allora che la serie converge in ogni x 2 R.

9. L’insieme di convergenza della serie

+ 1

X

n=1

x n

log(e n + 1) + n 2 `e l’intervallo [ 1, 1]. Posto a n =

1

log(e

n

+1)+n

2

, per n ! +1 si ha

|a n+1 |

|a n | = log(e n + 1) + n 2

log(e n+1 + 1) + (n + 1) 2 = n + log(1 + e 1

n

) + n 2

n + 1 + log(1 + e

n+1

1 ) + (n + 1) 2 ! 1

e dunque, dal metodo del rapporto di D’Alembert, ne segue che la serie ha raggio di convergenza

⇢ = 1. Dalle propriet` a del raggio di convergenza otteniamo allora che la serie converge in ogni

|x| < 1 e non converge in ogni |x| > 1. Osservato poi che

a n = 1

log(e n + 1) + n 2 = 1

n + log(1 + e 1

n

) + n 2 ⇠ 1 n 2 e che la serie P +1

n=1 1

n

2

converge, dal criterio del confronto asintotico possiamo concludere che la serie

+ 1

X

n=1

a n converge e quindi che la serie di potenze converge (assolutamente) per x = ±1.

(4)

10. La serie

+ 1

X

n=0

x 2n

2 n (2n)! ha insieme di convergenza R. Infatti dal metodo del rapporto abbiamo che 2 n (2n)!

2 n+1 (2n + 2)! = 1

2(2n + 2)(2n + 1) ! 0 per n ! +1

e pertanto ha raggio di convergenza ⇢ = + 1. Per determinarne la somma, osserviamo che la serie si pu` o riscrivere come

+1 X

n=0

x 2n 2 n (2n)! =

+1 X

n=0 1 (2n)!

⇣ p x 2

⌘ 2n

e dunque riconosciamo la serie

+1 X

n=0 y

2n

(2n)! (convergente a cosh y) valutata in y = p x

2 . Ne conclu- diamo allora che

+ 1

X

n=0

x 2n 2 n (2n)! =

+ 1

X

n=0 1 (2n)!

⇣ p x 2

⌘ 2n

= cosh p x

2 , 8x 2 R

11. La serie

+1 X

n=1

⇣ x 1

|x|+2

⌘ n

= X +1 n=0

⇣ x 1

|x|+2

⌘ n

1 `e serie geometrica di ragione r = |x|+2 x 1 . Risulta quindi convergente se e solo se |x|+2 x 1 < 1 e dunque per |x 1 | < |x| + 2, ovvero per ogni x 2 R. La somma della serie `e

+1 X

n=1

⇣ x 1

|x|+2

⌘ n

= X +1 n=0

⇣ x 1

|x|+2

⌘ n

1 = 1

1 |x|+2 x 1 1 = |x| + 2

|x| x + 3 1 = x 1

|x| x + 3 8x 2 R

12. Per determinare la somma della serie

+ 1

X

n=1

nx 2n+2 osserviamo che

+ 1

X

n=1

nx 2n+2 = x 4

+ 1

X

n=1

nx 2n 2 = x 4

+ 1

X

n=1

n x 2 n 1

e che l’ultima serie `e la serie derivata della serie geometrica di ragione y = x 2 . Otteniamo allora che la serie converge se e solo se |x 2 | < 1 ovvero se e solo se x 2 ( 1, 1). Per calcolarne la somma dato che

+ 1

X

n=1

ny n 1 =

+ 1

X

n=1

(y n ) 0 =

✓ 1 1 y

0

= 1

(1 y) 2 otteniamo

+1 X

n=1

nx 2n+2 = x 4 X +1 n=1

n x 2 n 1 = x 4

(1 x 2 ) 2 8x 2 ( 1, 1).

13. Per determinare l’insieme di convergenza e la somma della serie

+ 1

X

n=0

( 1) n x 2n+1

3 n (n + 1) per x 6= 0 possiamo riscriverla come

+ 1

X

n=0

( 1) n x 2n+1 3 n (n + 1) = x

+ 1

X

n=0

1 n + 1

⇣ x

2

3

⌘ n

= 3 x

+ 1

X

n=0

1 n + 1

⇣ x

2

3

⌘ n+1

(5)

Riconosciamo nell’ultima serie una serie della forma P + 1 n=0 y

n+1

n+1 con y = x 3

2

, serie integrata della serie geometrica, convergente per |y| < 1 con somma R y

0 1

1 y dt = log(1 y). Quindi la serie data converge per x 3

2

< 1, ovvero per |x| < p

3 e per tali valori risulta

+ 1

X

n=0

1 n + 1

⇣ x

2

3

⌘ n+1

= log ⇣

1 + x 3

2

Quindi per ogni x 2 R tale che 0 < |x| < p

3 otteniamo

+ 1

X

n=0

( 1) n x 2n+1

3 n (n + 1) = 3 x

+ 1

X

n=0

1 n + 1

⇣ x

2

3

⌘ n+1

= 3 x log ⇣

1 + x 3

2

mentre per x = 0 la serie converge a 0.

14. Per valutare la serie

+ 1

X

n=0

( ⇡) n

(2n + 1)! osserviamo che X +1

n=0

( ⇡) n

(2n + 1)! = 1 p ⇡

+1 X

n=0

( 1) n ( p

⇡) 2n+1 (2n + 1)!

Riconosciamo che l’ultima serie `e la serie di Taylor della funzione sin x valutata in p

⇡. Abbiamo quindi che la somma di tale serie vale p 1

⇡ sin p

⇡.

15. Riconosciamo nella serie X +1 n=0

( 1) n2n

(2n)! la serie di Taylor della funzione cos x valutata in x = ⇡.

Otteniamo allora

X +1 n=0

( 1) n2n

(2n)! = cos ⇡ = 1

16. Possiamo riscrivere la serie

+ 1

X

n=2

n(n 1) 3 n come

+ 1

X

n=2

n(n 1) 3 n = 3 1

2

+ 1

X

n=2

n(n 1) 1 3 n 2

e nell’ultima serie riconosciamo la serie geometrica derivata due volte e valutata in x = 1 2 . Abbiamo pertanto che

X +1 n=2

n(n 1)x n 2 =

+1 X

n=0

(x n ) 00 =

✓ 1 1 x

00

=

✓ 1

(1 x) 2

0

= 2

(1 x) 3 da cui

+ 1

X

n=2

n(n 1)

3 n = 1 9 · 2

(1 1 3 ) 3 = 3

4

(6)

17. Riscriviamo la serie

+ 1

X

n=1

( 1) n

(n + 1)(n + 2)4 n come

+ 1

X

n=1

( 1) n

(n + 1)(n + 2)4 n =

+ 1

X

n=1 1 4

n 1

(n + 1)(n + 2)

calcoliamo quindi la somma S(x) della serie di potenze

+1 X

n=1 x

n

(n+1)(n+2) che valuteremo in x = 1 4 . Osserviamo che da

1 1 x =

+ 1

X

n=0

x n , |x| < 1 integrando una volta otteniamo

log(1 x) =

+ 1

X

n=0

x n+1

n + 1 , |x| < 1 e quindi, integrando una seconda volta, si ha

(1 x) log(1 x) + x =

+ 1

X

n=0

x n+2

(n + 1)(n + 2) =

+ 1

X

n=1

x n+2

(n + 1)(n + 2) + x 2

2

, |x| < 1 Otteniamo allora che

x 2

+1 X

n=1

x n

(n + 1)(n + 2) = X +1 n=1

x n+2

(n + 1)(n + 2) = (1 x) log(1 x) + x x 2

2

, |x| < 1 Ne segue che se x 6= 0 e |x| < 1 allora

S(x) =

+ 1

X

n=1

x n

(n + 1)(n + 2) = 1 x x

2

log(1 x) + x 1 1 2 e posto x = 1 4 otteniamo

S( 1 4 ) =

+ 1

X

n=1

( 1) n

4 n (n + 1)(n + 2) = 1+

1 14 16

log(1 + 1 4 ) + 4 1 2 = 20 log 5 4 + 7 2

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