Sioccupadelmotoinrelazioneallesuecause`EbasatasullatreleggidiNewtonLeleggidelladinamicapossonosembrarediverseinsistemidiriferimentodiversiIndagoilsignificatodell’energiapotenzialeelasuarelazioneconl’equilibrioCercodistabilire”quanto”motohaunoggettoTrovouna

Dinamica

Si occupa del moto in relazione alle sue cause E basata sulla tre leggi di Newton `

Le leggi della dinamica possono sembrare diverse in sistemi di riferimento diversi

Indago il significato dell’energia potenziale e la sua relazione con l’equilibrio

Cerco di stabilire ”quanto” moto ha un oggetto Trovo una nuova legge di conservazione

Applico le leggi di conservazione trovate per studiare come cambia un

sistema dopo gli urti

Sistemi di riferimento

Per descrivere la posizione di un corpo ho bisogno di un’origine e di tre assi (cartesiani)

Se studio il suo movimento, devo dire rispetto a cosa si muove Sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme gli uni rispetto agli altri si dicono tra loro inerziali

Nei sistemi inerziali le accelerazioni sono le stesse, e quindi anche le forze

Nei sistemi non inerziali compaiono forze apparenti Se un’auto frena, ci sentiamo spinti in avanti

Se facciamo girare un secchio pieno d’acqua, questa non cade

Un astronauta che parte a bordo di un razzo si sente schiacciato verso

lo schienale

Energia potenziale ed equilibrio

Posso fare un grafico dell’energia potenziale del sistema

Se l’energia totale ` e conservata, la posso rappresentare come una retta La distanza dalla retta rappresenta l’energia cinetica

Un sistema rappresentato da un punto sul fondo del potenziale, ` e in

equilibrio perch´ e spostandosi farebbe diventare negativa la propria

energia cinetica

Moto vicino a un minimo

dell’energia potenziale

Nel minimo devo avere dU(x 0 )/dx = 0

Posso espandere l’energia potenziale in serie di Taylor U(x ) ≈ U(x 0 ) + U ⁰ (x 0 )(x − x 0 ) + ¹ ₂ U ⁰⁰ (x 0 )(x − x 0 ) ² U(x ) ≈= U(x 0 ) + ¹ ₂ U ⁰⁰ (x 0 )(x − x 0 ) ²

l’energia totale sar` a quindi, con buona approssimazione 1

2 m v ² + 1

2 U ⁰⁰ (x 0 )(x − x 0 ) ²

Questa ` e l’energia di un oscillatore armonico con K = U ⁰⁰ (x 0 ) per cui i piccoli movimenti attorno alla posizione di equilibrio stabile sono oscillazioni

Molte applicazioni: orologi al quarzo, definizione dell’unit` a di tempo

Potenza

E importante non solo conoscere il lavoro di cui una macchina ` ` e capace, ma anche quanto tempo impiega a farlo

Il rapporto tra queste due quantit` a si chiama potenza P = ^∆W _∆t

Si misura in Joule/secondo (J/s) o Watt (W)

Potenza×tempo = energia, quindi Watt×ora e Kilowatt×ora sono misure di energia

Quanta potenza serve per fornire l’energia alle nostre case?

Quanta energia mangia un uomo ogni giorno? Come viene persa?

Si calcola che la quantit` a di cibo che mangiamo mangiare ogni giorno sia

2000 (K )cal , pari a 2 · 10

cal . Ogni caloria vale 4.186 J e quindi dobbiamo

mangiare un’energia di circa 8.372 · 10

J. Dato che in un giorno ci sono

86400 s La potenza sviluppata da un essere umano ` e circa 100 W che viene

dissipata in energia termica. Questo ` e il motivo per cui stando in molti in un

piccolo spazio si sta pi` u caldi

La luce che arriva sulla Terra dal sole porta, ogni secondo, un’energia di circa 1400 W /m ² . Quanti uomini potrebbero vivere con questa energia?

La superficie della Terra vista dal sole ` e un disco piatto di raggio R

. La sua area ` e quindi πR

= 1, 25 · 10

m

e quindi la potenza che arriva in ogni istante ` e 1.4 · 10

× 1.25 · 10

m

= 1.75 · 10

W sufficienti a far

”funzionare” 1.75 · 10

umani. Ogni umano dovrebbe per` o vivere su meno di 1 m

di superficie!

Il consumo energetico massimo in Italia si aggira sui 55 Gigawatt.

Quanto ` e il nostro consumo pro capite?

Si disspano 55 GW consumati da circa 55 milioni di cittadini. Il consumo per

persona ` e quindi 55 · 10

/55 · 10

W per persona, cio` e 55 KW per persona

Impulso e quantit` a di moto

Dalla seconda legge della dinamica

~ F = m d~ v

dt =⇒ ~ F dt = m d~ v

Posso considerare l’effetto di una forza per un certo tempo e integrarlo Z

F dt = m ~ Z

d~ v = m∆~ v

La grandezza ~ p = m~ v si chiama quantit` a di moto mentre in termine a primo membro si chiama impulso

la formula precedente ci dice quindi che l’impulso fornito a un corpo ` e uguale alla variazione di quantit` a di moto che ne deriva

La seconda legge di Newton si pu` o quindi scrivere come

F = ~ ^d~ _dt ^p

Conservazione della quantit` a di moto

Se la risultante delle forze ` e nulla la quantit` a di moto ` e costante.

Questa ` e la legge di conservazione della quantit` a di moto

La conservazione della quantit` a di moto ha una validit` a pi` u generale di quella di conservazione dell’energia meccanica

Se due corpi interagiscono, parte dell’energia meccanica pu` o essere trasformata in energia termica, e l’energia meccanica non sarebbe, in questo caso, conservata

La forza che il primo corpo esercita sull’altro ` e uguale e opposta a quella che il secondo esercita sul primo (per il terzo principio della dinamica)

d~ p 1

dt = ~ F 2→1

d~ p 2

dt = ~ F 1→2

La somma di queste due forze ` e nulla, e non cambia la risultante d~ p 1

dt + d~ p 2

dt = ~ F _1→2 + ~ F _2→1 = ~0 ⇒ d (~ p 1 + ~ p 2 ) dt = ~0

La somma delle quantit` a di moto dei due corpi resta quindi costante

Conservazione della quantit` a di moto

Urti elastici

Considero due particelle che si urtano

Suppongo che l’energia meccanica sia conservata (urto elastico) La quantit` a di moto ` e sempre conservata

Se l’urto ` e lungo una linea, ho due incognite (le velocit` a finali) e due equazioni (le leggi di conservazione)

m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v ₁ ⁰ + m 2 v ₂ ⁰ 1

2 m 1 v ₁ ² + 1

2 m 2 v ₂ ² = 1

2 m 1 v ₁ ⁰² + 1 2 m 2 v ₂ ⁰² Posso ora portare a primo membrto i termini che moltiplicano m ₁ e a secondo quelli che moltiplicano m 2 e ottengo

m 1 v 1 − m ₁ v ₁ ⁰ = m 2 v ₂ ⁰ − m ₂ v 2

1

2 m 1 v ₁ ² − 1

2 m 1 v ₁ ⁰² = 1

2 m 2 v ₂ ⁰² − 1 2 m 2 v ₂ ² Posso ora raccogliere m 1 e m 2 e semplificare i fattori comuni

m ₁ (v ₁ − v ₁ ⁰ ) = m ₂ (v ₂ ⁰ − v ₂ ) m ₁ (v ₁ ² − v ₁ ⁰² ) = m ₂ (v ₂ ⁰² − v ₂ ² )

Utilizzando i prodotti notevoli posso scrivere

m ₁ (v ₁ − v ₁ ⁰ ) = m ₂ (v ₂ ⁰ − v ₂ ) m ₁ (v ₁ − v ₁ ⁰ )(v ₁ + v ₁ ⁰ ) = m ₂ (v ₂ ⁰ − v ₂ )(v ₂ ⁰ + v ₂ ) Inserendo ora la prima equazione nella seconda

m 1 (v 1 − v ₁ ⁰ ) = m 2 (v ₂ ⁰ − v ₂ ) v 1 + v ₁ ⁰ = v 2 + v ₂ ⁰

La prima di queste equazione rappresenta la conservazione della quantit` a di moto ed ` e sempre soddisfatta, mentre la seconda vale se anche l’energia

`

e conservata. Moltiplicando ora la seconda equazione per m 1 oppure m 2 e sottraendola o sommandola dalla prima, trovo l’espressione per le velocit` a dopo l’urto

v ₁ ⁰ = ^m _m

^−m

1

+m

v ₁ + _m ^{2 m}

1

+m

v ₂ v ₂ ⁰ = _m ^{2 m}

1

+m

v 1 + ^m _m

^−m

1

+m

v 2

Conservazione della quantit` a di moto

Casi particolari

1

Le masse delle due particelle sono uguali m ₁ = m ₂ . Allora v ₁ ⁰ = v ₂ , v ₂ ⁰ = v ₁

2

Una delle particelle ` e ferma v ₂ = 0 e le due masse sono uguali m ₁ = m ₂ = m

Trovo v ₂ ⁰ = v 1 e v ₁ ⁰ = 0

3

le masse delle particelle sono diverse e una ` e inizialmente ferma v 2 = 0 v ₁ ⁰ = m ₂ − m ₁

m 1 + m 2

v 1 v ₂ ⁰ = 2 m ₁ m 1 + m 2

v 1

Conservazione della quantit` a di moto

Urti anelastici

In questo caso si conserva solo la quantit` a di moto, non l’energia meccanica

Un caso particolare si osserva quando le due particelle restano appiccicate nell’urto

In questo caso si forma una particella di massa m 1 + m 2

La conservazione della quantit` a di moto da’

m ₁ v ₁ + m ₂ v ₂ = (m ₁ + m ₂ ) v

Moto di sistemi

di pi` u particelle o estesi

Ho N particelle di masse m ₁ . . . m _N su cui agiscono forze ~ F ₁ . . . ~ F _N La risultante delle forze ~ R pu` o essere applicata al centro di massa

~ x _CM e l’accelerazione che produce nel CM ` e data da R = M ~ tot ~a _CM

Questo si vede dal fatto che R = ~ X

i

~ F _i = X

i

m _i ~a _i = d ² dt ²

X

i

m _i ~ x _i = M _tot d ²

dt ² ~ x _CM = M _tot ~a _CM In modo analogo, per la quantit` a di moto

~ P _tot = P

i m _i ~ v _i = _dt ^d P

i m _i ~ x _i = M _tot ~ v _CM

Moto di un corpo rigido

con un asse fisso

Ogni punto del corpo descrive una circonferenza su di un piano perpendicolare all’asse fisso

La forza che agisce su di un punto ~ x _i pu` o essere scomposta in un componente parallela alla distanza dall’asse b _i ed in una

perpendicolare: solo la seconda ha effetto sul movimento, proprio

come spingere una porta in direzione del cardine non serve a farla

girare

Se un punto ruota di un angolo infinitesimo d θ in un tempo dt, tutti gli altri punti ruotano dello stesso angolo: la velocit` a angolare

ω = d θ dt

`

e quindi una caratteristica della rotazione e non dipende dal particolare punto considerato

Lo spazio percorso da un punto che ruota di un angolo d θ ` e b i d θ e dipende quindi dalla distanza del punto dall’asse: la sua velocit` a ` e

v _i = b _i d θ dt = ωb _i

`

e possibile definire un’accelerazione angolare α. L’accelerazione lineare di un punto ` e data da

a i = dv i

dt = b i

d ω

dt = b i α ⇒ α = d ω dt quindi anche α ` e la stessa per tutto il corpo

L’accelerazione angolare ha effetto sulla componente della velocit` a

tangente alla circonferenza descritta dai punti, al contrario di ci` o che

accade con l’accelerazione centripeta che ha un andamento radiale

Dinamica dei corpi rigidi

Le forze applicate ad un corpo rigido si possono sempre ridurre a una risultante pi` u una coppia di forze

Studio la rotazione attorno ad un asse fisso prodotta da una coppia di momento di modulo M

se ho delle particelle, posso scrivere

M = X

i

b i F i = X

i

m i b i a i = X

i

m i b ² _i α

dove α ` e l’accelerazione angolare Definendo il momento d’inerzia I = P

i m _i b ² _i trovo quindi che M = Iα = _dt ^d Iω

Il momento d’inerzia dipende dall’asse attorno al quale avviene la

rotazione e pu` o anche cambiare durante il moto

Momento angolare

La grandezza L = Iω si chiama momento angolare (o momento della quantit` a di moto) e se il momento risultante ` e nullo, ` e una costante del moto

La conservazione di L ha molte applicazioni

una ballerina che ruota su se stessa porta le braccia vicino al corpo per ruotare pi` u velocemente: perch´ e?

Una stella alla fine della propria vita si contrae sotto l’effetto del proprio peso, diventando un oggetto molto pi` u piccolo di come era prima. La sua rotazione accelera enormemente. Perch´ e?

il momento angolare si pu` o scrivere come L = P

i m i b i v i = P

i m i b ² _i ω = Iω

Energia cinetica rotazionale

Il moto rotatorio contiene energia. Infatti nei punti del sistema a distanza b _i dall’asse di rotazione ha velocit` a v _i = ωb _i

la somma delle energie cinetiche ` e quindi

1 2

P

i m _i v _i ² = ¹ ₂ P

i m _i b _i ² ω ² = ¹ ₂ I ω ²

Parallelo tra moto traslatorio e rotatorio

Traslazioni Rotazioni

coordinata ~ x angolo θ

velocit` a ~ v velocit` a angolare ~ ω accelerazione ~a accelerazione angolare ~ α

forza ~ F momento ~ M

massa M momento d’inerzia I

quantit` a di moto ~ p momento angolare ~L

Energia traslazionale ¹ ₂ mv ² Energia rotazionale ¹ ₂ Iω ²