Con che probabilità accade quello su cui conta l’albergatore, cioè che 20 camere siano su¢ cienti? 0:890

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Calcolo delle Probabilità e Statistica,

Ing. Informatica e dell’Automazione, a.a. 2009/10 Compitino del 31/5/2010

Nota. E’ obbligatorio sia scegliere le risposte (numeriche, o le formule

…nali a seconda del caso) negli appositi spazi, sia dare la risoluzione per esteso sul foglio a parte.

Esercizio 1. Un albergatore ha 20 camere singole ed accetta 21 preno- tazioni per un certo giorno, convinto che le 20 camere siano su¢ cienti a causa delle rinunce. Ciascun cliente ha probabilità p di disdire la prenotazione all’ultimo momento.

i) Supponiamo p = 0:1. Con che probabilità accade quello su cui conta l’albergatore, cioè che 20 camere siano su¢ cienti?

0:890; 0:765; 0:814; 0:930

ii) Supponiamo che a causa di un evento indesiderato risulti p = 0:4. Con che probabilità si trova con 10 o più camere vuote?

0:176; 0:235; 0:274; 0:315

Esercizio 2. i) La probabilità che un generico giorno piova in una certa regione è ¹₆. Iniziamo l’osservazione il primo giorno di un certo mese. Indichi- amo con N il primo giorno di quel mese in cui piove (se si va oltre il mese si continua a contare progressivamente). Con che probabilità N è 10?

0:193; 0:052; 0:843; 0:260

ii) Calcolare la media di ^N₆ + 5partendo dalla distribuzione di probabilità di N (cioè senza usare formule note per E [N ])

6; 1; 5; 3

Esercizio 3. Si consideri la funzione f (x) = C (1 + jxj) , con parametro reale e C constante, dipendente da , da determinare.

i) Stabilire per quali valori di ; C essa è una densità di probabilità

> 1; > 0; < 1; < 0

C = 1

2 ; C = 1 +

2

(2)

ii) Detta X una v.a. con tale densità, scoprire quale delle seguenti funzioni è la funzione di ripartizione F (x) per x > 0

1 1

2(1 + x) ⁺¹; 1 (1 + x) ⁺¹; (1 + x) ⁺¹ iii) Calcolare la densità fY (t)di Y = e^X, per t > 0

1

2t (1 +jlog tj) ; 1

2t (1 + log t) ; 1

2 (1 +jlog tj) vi) (facoltativo) Calcolare, per t > 0, la densità fZ(t) della v.a. Z = min (X; Y ) dove X ed Y hanno la densità precedente con lo stesso e sono indipendenti

1

2 (1 + t) ^{2 +1}; 1

2 (1 + t)

Esercizio 4. Consideriamo la catena di Markov su E = f1; 2; 3; 4g asso- ciata alla seguente matrice di transizione

P = 0 BB

@

1

3 0 ²₃ 0

1 4

1 2 4

3 0 ¹₃ 0 0 0 0 1

1 CC A :

a) Qual è la probabilità, partendo da 1, di essere in 3 dopo 2 passi?

4

9; 7

9; 1

3; 2

3

b) Decomporre E nell’unione di classi irriducibili e della classe degli stati transitori. Ci sono stati assorbenti?

c) Determinare tutte le probabilità invarianti della catena.

(3)

1 Soluzioni

Esercizio 1. Indichiamo con Xi, i = 1; :::; 21 delle Bernoulli di parametro p, indipendenti; Xi vale 1 se il cliente i-esimo rinuncia. Detta S la loro somma, che è il numero di rinunce, S è una B (21; p).

i) Dobbiamo calcolare

P (S 1) = 1 P (S = 0) = 1 (1 0:1)²¹ = 0:89058:

ii) Dobbiamo calcolare

P (S 11) = 1 P (S 10)

quindi applichiamo il TLC con la correzione di continuità a 10:5:

1 10:5 21 0:4

p21 0:4 0:6 = 1 (0:93541) = 1 0:8238 = 0:176 2:

Esercizio 2. i) L’evento N 10 coincide con l’evento “nessun giorno di pioggia nei primi 9”, la cui probabilità si può calcolare in vari modi (per intersezione, con le binomiali) e vale

5 6

9

= 0:193 81:

Naturalmente si può risolvere l’esercizio anche con le v.a. geometriche, ma è più lungo.

ii) la v.a. N è geometrica modi…cata: può assumere i valori 1, 2, ecc. con probabilità

P (N = k) = 1 6

5 6

k 1

. Vale allora

E [N ] = X1 k=1

k1 6

5 6

k 1

= 1 6

X1 k=1

k 5 6

k 1

= 1 6

1

1 ⁵₆ ² = 6 quindi

E N

6 + 5 = 6:

(4)

Esercizio 3. i) La funzione è integrabile per > 1, come è noto e come si scoprirà anche dai seguenti calcoli. La costante C deve essere positiva.

Vale, appunto se > 1, Z ₁

1

(1 +jxj) dx = 2 Z ₁

0

(1 + x) dx = 2 Z ₁

1

t dt = 2 t ⁺¹ + 1

1 1

= 2

1 quindi C = ₂¹. Si noti che per < 1 gli stessi calcoli avrebbero mostrato che l’integrale divergeva, mentre per = 1 la primitiva era il logaritmo, e l’integrale diverge nuovamente.

ii) Per x > 0 vale

F (x) = 1

2 + 1

2 Z x

0

(1 + x⁰) dx⁰ = 1

2 + 1

2

Z x+1 1

t dt = 1

2 + 1

2

t ⁺¹ + 1

x+1

1

= 1 2 +1

2 1 (1 + x) ⁺¹ = 1 1

2(1 + x) ⁺¹: Ma il modo più semplice di risolvere l’esercizio è derivare!

iii) Vale

F_Y (t) = P e^X t = P (X log t) = F_X(log t) quindi

f_y(t) = F_Y⁰ (t) = F_X⁰ (log t)1

t = f_X(log t)1

t = 1

2t (1 +jlog tj) : iv)

F_Z(t) = 1 P (Z > t) = 1 P (X > t; Y > t) = 1 P (X > t) P (Y > t)

= 1 (1 F_X(t)) (1 F_Y (t)) = 1 (1 F_X(t))² da cui

f_Z(t) = 2 (1 F_X(t)) f_X (t)

= 2 1

2 (1 + t) 1 1 1

2(1 + t) ⁺¹

= 1

2 (1 + t) ^{2 +1}:

(5)

Esercizio 4. a) P(X² = 3jX⁰ = 1) = X4

i=1

P(X² = 3jX¹ = i) P(X¹ = ijX⁰ = 1) = p₁₃ p₁₁+ p₃₃ p₁₃= 2

3 1 3 +1

3 2 3 = 4

9.

b) 1 e 3 comunicano fra loro; 2 comunica con 1 e 3, ma da 1 e 3 non si passa a 2, di conseguenza f1; 3g è una classe irriducibile di stati (ricorrenti).

2 comunica con 4, ma 4 non comunica con 2, quindi f2g è una classe irriducibile di stati (e 2 è transitorio).

4 comunica solo con sé stesso, quindi f4g è la classe degli stati assorbenti.

c) Si ha v₁ v₂ v₃ v₄ 0 BB

@

1

3 0 ²₃ 0

1 4

1 2 4

3 0 ¹₃ 0 0 0 0 1

1 CC

A = v¹ v₂ v₃ v₄ , da cui 8>

>>

><

>>

:

1

3v₁+¹₄v₂+²₃v₃ = v₁

1

4v₂ = v₂

2

3v₁+¹₄v₂+¹₃v₃ = v₃

1

4v₂+ v₄ = v₄

v₁+ v₂+ v₃+ v₄ = 1

, cioè 8>

>>

<

>>

>:

v₃ = v₁ v₂ = 0 v₄ = v₄

v₁+ v₂+ v₃+ v₄ = 1

ed in…ne v = ( ; 0; ; (1 2 )),

con 0 1

2. Ci sono quindi in…nite distribuzioni invarianti.