i) Un giorno che ha tre doppie e due singole occupate, che probabilità c’è che esse siano le numero ii) In un periodo di bassa stagione le camere doppie sono poco richieste

Calcolo delle Probabilità e Statistica,

Ing. Informatica e dell’Automazione, a.a. 2009/10 Prova scritta del 21/7/2010

Nota. E’ obbligatorio sia scegliere le risposte (numeriche, o le formule

…nali a seconda del caso) negli appositi spazi, sia dare la risoluzione per esteso sul foglio a parte.

Esercizio 1. Un albergatore ha 20 camere. Quelle numerate da 1 a 10 sono camere doppie, le altre singole. Alloggia ogni cliente (o coppia) nel tipo di camera desiderato, ma per il resto sceglie a caso il numero della camera.

i) Un giorno che ha tre doppie e due singole occupate, che probabilità c’è che esse siano le numero 8, 9, 10, 11, 12?

1 5400

ii) In un periodo di bassa stagione le camere doppie sono poco richieste;

ogni giorno l’albergatore riceve al massimo una richiesta di camera doppia e ciò avviene in media un giorno su due. Calcolare la probabilità che la camera numero uno resti vuota per 10 giorni consecutivi, a partire da un certo giorno

…ssato, venendo occupata l’undicesimo giorno.

0:0299

Esercizio 2. Un sistema di trasmissione di segnali, preparato per un’emergenza, risulta estremamente rumoroso. Esso deve solo inviare due tipi diversi di let- tere, che indichiamo con 0 ed 1. Ma 0 viene ricevuto come 0 solo il 70%

delle volte (le altre è ricevuto 1), ed analogamente 1 viene ricevuto come 1 solo il 70% delle volte (le altre è ricevuto 0). In media, i messaggi inviati contengono un ugual numero di 0 ed 1.

i) Se non si opera alcuna forma di codi…ca e si spedisce un messaggio composto da una lettera, che probabilità c’è di riceverlo correttamente?

0:7

ii) Vista l’importanza vitale dei messaggi, si decide di limitare l’errore spedendo per 51 volte consecutive ogni singola lettera che si vuole inviare. Il ricevente, sa che si opera in questo modo, quindi prende gruppi di 51 simboli ricevuti e decide che si è spedita la lettera che vede più volte, in ciascun gruppo. Se viene “spedito 0” (con questa frase intendiamo che vengono

inviati 51 zeri), che probabilità c’è, ora, di sbagliare, cioè di decidere che il mittente voleva spedire 1? Dare un valore approssimato.

Esercizio 3. Si consideri la funzione f (x) = C jxj e ^x2, con > 0 parametro reale e C constante, dipendente da , da determinare.

i) Calcolare C in modo che f sia una densità di probabilità.

C =

ii) Detta X una v.a. con densità f , calcolare la funzione di ripartizione FX(x)di X, per x < 0, e poi trovare la funzione di ripartizione FY (y) della v.a. Y = exp X, per y 2 (0; 1).

F_Y (y) = 1

2e ^log2y

iii) Calcolare E [jXj], dove X è una v.a. con densità f.

r 4

Esercizio 4. Consideriamo la catena di Markov su E = f1; 2; 3g asociata alla seguente matrice di transizione P =

0

@

0 ₂ 1 ₂

1 _{2 2}

1 0

1 A, con 0 1.

a) Determinare per quali valori di la catena è irriducibile e per quali valori di è regolare.

b) Determinare, svolgendo il minimo numero di calcoli, tutte le probabilità invarianti della catena data. Il risultato trovato dipende da ?

c) Determinare per quali valori di ci sono probabilità invarianti reversibili.

d) Dare una stima per n grande della probabilità che la catena sia nello stato 2 al tempo n + 1 e nello stato 1 al tempo n.

1 Soluzioni

Esercizio 1. i) La probabilità dell’evento descritto è il rapporto tra i casi favorevoli ed i casi possibili. Il numeratore è 1. Il denominatore è il numero di modi in cui si possono occupare tre doppie e due singole. Questo è (per ragionamenti elementari sulle binomiali oppure ricordando l’ipergeometrica) pari a ¹⁰₃ ¹⁰₂ = 5400. Quindi la probabilità richiesta vale ₅₄₀₀¹ .

ii) La probabilità che in un giorno generico venga scelta la camera numero 1 è ₂₀¹. Infatti

P (cam1) = P (cam1junadoppia) P (unadoppia) + P (cam1jnessunadoppia) P (nessunadoppia)

= 1 10

1

2 + 0 1 2 = 1

20:

Detto T il primo giorno (oggi è in giorno 1) in cui viene occupata la camera 1, vale P (T = k) = ¹⁹₂₀ ^{k 1 1}₂₀ (T è una v.a. geometrica), quindi

P (T = 11) = 19 20

10 1

20 = 0:0299:

Esercizio 2. i) La probabilità di ricevere correttamente una singola lettera è

P (corr) = P (sped = 0; ric = 0) + P (sped = 1; ric = 1)

= P (ric = 0jsped = 0) P (sped = 0) + P (ric = 1jsped = 1) P (sped = 1)

= 0:7 0:5 + 0:7 0:5 = 0:7:

ii) Se viene “spedito 0”, il ricevente ottiene 51 simboli, ciascuno che ha probabilità 0.7 si essere uno 0. Indichiamo con Xi, i = 1; :::; 51, la v.a. che vale 0 se il carattere i-esimo ricevuto è 0, 1 se è 1. E’ una Bernoulli di parametro p = 0:3. La somma S = X1+ ::: + X₅₁ è il numero di uni ricevuti.

Il ricevente decide che il mittente ha spedito 1 (quindi sbaglia) se S > 25. In altre parole, la probabilità di sbagliare è P (S > 25).

La v.a. S è una B (51; 0:3), quindi si potrebbe calcolare P (S > 25) us- ando le binomiali, ma il calcolo è troppo lungo senza un ausilio di calcolo (non previsto per la prova d’esame, e comunque il cui merito è da attribuirsi ai programmatori del software, non allo studente). Ad ogni modo, a titolo di confronto numerico, usando le probabilità binomiali si ha

P (S > 25) = X51 k=26

51

k 0:3^k 0:7^{51 k} = 0:00136:

Usiamo invece l’approssimazione gaussiana, appresa nel corso, che per- mette di ottenere un ottimo risultato con calcoli elementari:

P (S > 25) = P (X₁ + ::: + X₅₁> 25) = P X₁ + ::: + X₅₁ 51 0:3

p51 0:3 0:7 > 25 51 0:3 p51 0:3 0:7

1 25 51 0:3

p51 0:3 0:7 = 1 (2:964) = 1 0:9984 = 0:0016:

Tuttavia, potevamo anche dire che

P (S > 25) = P (S 26) = P X₁+ ::: + X₅₁ 51 0:3 p51 0:3 0:7

26 51 0:3 p51 0:3 0:7

1 26 51 0:3

p51 0:3 0:7 = 1 (3:269) = 1 0:9995 = 0:0005:

Quindi, se vogliamo usare la correzione di continuità, scegliamo il valore intermedio:

1 25:5 51 0:3

p51 0:3 0:7 = 1 (3:1168) = 1 0:9991 = 0:0009:

[In questo esempio la correzione di continuità non migliora il primo dei due risultati, migliora solo il secondo; questo può accadere quando sono in gioco probabilità molto piccole e l’approssimazione è più delicata.]

Esercizio 3. i) Vale Z ₁

1

Cjxj e ^x2dx = 2C Z ₁

0

xe ^x2dx

y = x² dy = 2xdx

= C

Z ₁

0

e ^ydy da cui C = (v.a. esponenziali).

ii)

F_X(x) = P (X x) = Z x

1 jtj e ^t2dt = Z x

1

te ^t2dt

y = t² dy = 2tdt

= 1

2 Z x²

1

e ^ydy

= 1 2

Z ₁

x²

e ^ydy = 1

2 e ^{y 1}_x2 = 1 2e ^x2:

F_Y (y) = P (Y y) = P (X log y) = F_X(log y) = 1

2e ^log2y:

iii)

E [jXj] = Z ₁

1 jxj²e ^x2dx = Z ₁

1

x²e ^{2 2x2} dx dove ² = ₂¹

= p

2 ² Z ₁

1

x² 1

p2 ²e ^{2 2x2} dx = p

2 ²E Z² dove Z N (0; ²)

= p

2 ^{2 2} = p

2 1

p2

3

= p 2p =

r 4 :

Esercizio 4. a) Se 6= 0 e 6= 1, certamente 1 e 2 intercomunicano, 2 e 3 intercomunicano, 1 e 3 intercomunicano perché tutte le probabilità di passaggio in un passo da uno stato all’altro sono diverse da zero. Quindi per 6= 0 e 6= 1 la catena data è irriducibile, ed è anche regolare visto che p₂₂ 6= 0. Per = 1 la catena è ancora irriducibile, perché dallo studio della matrice P1 =

0

@

0 ¹₂ ¹₂ 0 ¹₂ ¹₂ 1 0 0

1

A, si vede che tutti gli stati intercomunicano (in due passi al massimo) ed è regolare(di nuovo, P22 6= 0). Per = 0 la matrice P diviene P0 =

0

@

0 0 1 1 0 0 0 1 0

1

A, quindi la catena è ancora irriducibile (tutti gli stati comunicano fra loro in uno o due passi) ma non è regolare, infatti P₀² =

0

@

0 1 0 0 0 1 1 0 0

1 A, P₀³ =

0

@

1 0 0 0 1 0 0 0 1

1

A e poi si ricomincia. Ogni potenza di P0 ha sei elementi nulli.

b) Nel presente esercizio non è necessario impostare e risolvere il sis- tema perché la matrice data è bistocastica per ogni 2 [0; 1], quindi la distribuzione invariante risulta essere quella uniforme v = 1

3;1 3;1

3 . La metodologia che si usa solitamente per determinare la distribuzione invari-

ante porterebbe alla risoluzione del sistema 8>

>>

<

>>

>:

(1 )v₂+ v₃ = v₁

2v₁+ ₂v₂+ (1 )v₃ = v₂ (1 ₂)v₁+ ₂v₂ = v₃ v₁+ v₂+ v₃ = 1

,

da cui di nuovo, con un po’di fatica, v = 1 3;1

3;1

3 . Il risultato non dipende da (perché la matrice P è sempre bistocastica), ed è sempre unico (perche la catena data è sempre irriducibile).

c) Si deve veri…care che vip_ij = v_jp_ji per ogni coppia di indici i, j, Poiché vi = 1

3 per ogni i, la relazione vipij = vjpji diviene 1

3pij = 1

3pji, da cui p_ij = p_ji, cioè la matrice P deve essere simmetrica. Per ottenere questa proprietà, bisogna imporre 1 =

2, che ha per soluzione = 2

3 che è un valore accettabile.

d) Si deve calcolare P(Xⁿ⁺¹ = 2; X_n = 1). Tale probabilità può essere scritta come P(Xⁿ⁺¹= 2jXⁿ = 1) P(Xⁿ = 1) = p₁₂P(Xⁿ= 1) = ₂P(Xⁿ = 1) (indico con p12 l’elemento che sta nella prima riga e nella seconda colonna della matrice P , che vale ₂). A questo punto si sfrutta il risultato ricavato al punto b), cioè P(Xⁿ = 1) 1

3 per n “grande” (è il signi…cato della distribuzione invariante che deriva dal teorema ergodico). Mettendo insieme questi due risultati, si ha P(Xⁿ⁺¹ = 2; X_n= 1)

6.