LICEO DELLE SCIENZE UMANE-ARTISTICO “G. Pascoli” di BOLZANO VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA
CLASSE 5a A- FILA A 17/02/2014-Tempo 1h
Ogni quesito va motivato in modo opportuno, pena la sua esclusione dalla valutazione.
1. Traccia nel piano cartesiano il grafico di una funzione, se esiste, che abbia le seguenti caratteri- stiche.
1.a) Dominio: x 3
1.b) Intersezioni con l'asse x:
0; 0 ; 1; 0 ;
5; 0A B C4 1.c) Segno:
0 per x<-3;-1<x<0;5 3f x 4 x ;
0 per -3<x<-1;0<x< ;5 3f x 4 x
1.d) Asintoti: x=3;x=-3;y=-4x+1
2. Classifica gli eventuali punti di discontinuità delle seguenti funzioni:
2.a)
2 2 310 21
x x
f x x x
2.b)
1 se x<0
2x-1 se 0 x<2 3 se x 2
x f x
3. Trova gli eventuali punti di discontinuità di queste funzioni e classificali.
4. Stabilisci il perché i grafici delle precedenti funzioni non possono essere né quelli di funzioni ra- zionali intere né di quelle fratte.
LICEO DELLE SCIENZE UMANE-ARTISTICO “G. Pascoli” di BOLZANO VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA
CLASSE 5a A- FILA B 17/02/2014-Tempo 1h
Ogni quesito va motivato in modo opportuno, pena la sua esclusione dalla valutazione.
1. Traccia nel piano cartesiano il grafico di una funzione, se esiste, che abbia le seguenti caratteri- stiche.
1.a) Dominio: x 2
1.b) Intersezioni con l'asse x:
0; 0 ; 1; 0 ; 1; 0A B C3 1.c) Segno:
0 per x<-2;- <x<0;11 2f x 3 x ;
0 per -2<x<- ;0<x<1;1 2f x 3 x
1.d) Asintoti: x=2;x=-2;y=-3x+2
2. Classifica gli eventuali punti di discontinuità delle seguenti funzioni:
2.a)
2 2 411 28
x x
f x x x
2.b)
1 se x<1 1
2x se 1 x<2 4 se x>2
x f x
3. Trova gli eventuali punti di discontinuità di queste funzioni e classificali.
4. Stabilisci il perché i grafici delle precedenti funzioni non possono essere né quelli di funzioni ra- zionali intere né di quelle fratte.
Correzione FILA A 1.
2.
2.a) La funzione è razionale fratta e quindi i suoi eventuali punti di discontinuità sono da ricercarsi tra i punti esclusi dal dominio; il dominio è dato da tutte le x che soddisfano la condizione
2 10 21 0
x x da cui 10 100 84 10 4 7;3
2 2
x . Calcoliamo i limiti nei punti esclusi dal dominio:
2 7 2
3 49 21 28
limx 10 21 49 70 21 0
x x
x x
; da questo risultato deduciamo che x=7 è un
punto di discontinuità di 2a specie della funzione.
2
3 2 3 3
3 9 9 0 3 3
lim lim lim
10 21 9 30 21 0 3 7 7 4
x x x
x x x x x
x x x x x
e quindi x=3 è un
punto di discontinuità di 3a specie.
2.b) La funzione può presentare una discontinuità nei punti x=0 e x=2 , cioè nei punti in cui cambia l'espressione analitica.
Poiché
0
lim 1
x x
0
lim 2 1 1
x x
allora x=0 è un punto di discontinuità di 2a specie.
2
lim 2 1 3
x
x
e
2
lim 3 3
x e f(2)=3 allora x=2 non è un punto di discontinuità della funzione in quanto soddisfa la definizione di continuità di una funzione in un punto.
3)
3.1)
2
lim
x
f x
0
lim
x
f x
2
lim
x f x
allora x0; 2; 2sono punti di disconti- nuità di 2a specie della funzione.
3.2)
1 1
lim 1 lim 0
x f x x f x
e quindi in x=1 la funzione presenta una discontinuità di 1a specie
con salto di f=1.
3
lim
x f x
allora x=3 è un punto di discontinuità di 2a specie della funzione.
4) I grafici delle precedenti funzioni non sono quelli di una funzione razionale intera oppure di una funzione razionale fratta perché il dominio della prima funzione 2 x 0 e x 2 e quindi non è della forma R meno qualche punto mentre quello della seconda presenta una disconti- nuità di 3a specie nel punto x=1, discontinuità che non si può presentare in una funzione raziona- le fratta.
Correzione FILA B 1.
2.
2.a) La funzione è razionale fratta e quindi i suoi eventuali punti di discontinuità sono da ricercarsi tra i punti esclusi dal dominio; il dominio è dato da tutte le x che soddisfano la condizione
2 11 28 0
x x da cui 11 121 109 11 3 7; 4
2 2
x
. Calcoliamo i limiti nei punti esclusi dal dominio:
2 7 2
4 49 28 21
limx 11 28 49 77 28 0
x x
x x
; da questo risultato deduciamo che x=7 è un
punto di discontinuità di 2a specie della funzione.
2
4 2 4 4
4 16 16 0 4 4
lim lim lim
11 28 16 44 28 0 4 7 7 3
x x x
x x x x x
x x x x x
e quindi x=4 è un
punto di discontinuità di 3a specie.
2.b) La funzione può presentare una discontinuità nei punti x=1 e x=2 , cioè nei punti in cui cambia l'espressione analitica.
Poiché
1
lim 1 1
x x
lim 21 2
x x
allora x=1 è un punto di discontinuità di 2a specie.
2
lim 2 4
x x
e
2
lim 4 4
x e f(2) non è definito allora x=2 è un punto di discontinuità della funzio- ne di 3a specie.
3)
3.1) come la 3.2 della fila precedente.
3.2)
2 2
lim lim
x f x x f x
e
0
lim
x f x
2
lim
x f x
e quindi x=0 x=-2 e x=2 sono punti di discontinuità di 2a specie della funzione.
4) Il grafico della prima funzione è uguale al secondo dell'altra fila e quindi si possono vedere le motivazioni fornite per l'altra fila; il secondo ha come dominio x 2 v -2<x<0 v x>2; pertanto è escluso l'intervallo 0<x<2 e quindi non può essere il grafico di una funzione razionale fratta perché il dominio di essa esclude al più un numero finito di punti.
Nome e Cognome Voto scritto
V.B. 6,25
F.B. 8
E.Br. 8,75
E.Bu. 7
D.G. 5,5
C.F. 5,25
E.G. 4,75
V.G. 4,75
M.G. 6,25
E.L. 5,75
S.L. 6,75
G.M. 7,25
L.M. 6,5
A.M. 6,25
G.M. 7,5
A.Ra 8
A.Ru 6,5
H.S. 4,5
G.T. 5,75
A.V. 6
M.V. 4,5
