Capitolo 5. OSSERVABILIT `A E RICOSTRUIBILIT `A 5.1
Sintesi del regolatore
• Si definisce regolatore il sistema composto dalla serie dello stimatore dello stato e dall’elemento statico di retroazione K:
z−1I
u(k) x(k + 1) x(k)
C B
A
- -
y(k)
- 6
- -
K z−1I ˆ
x(k + 1) x(k)ˆ
C B
A
-
-
6
- -
-
L
- ?
6
6
Stimatore Sistema v(k)
+ -
• Equazioni del sistema globale:
Sistema:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) y(k) = Cx(k)
Retroazione: u(k) = v(k) + Kˆx(k)
Stimatore: ˆx(k + 1) = Aˆx(k) + Bu(k) + L[Cˆx(k) − y(k)]
• Eliminando u(k) si ottiene:
x(k + 1) = Ax(k) + BKˆx(k) + Bv(k) ˆ
x(k + 1) = (A + LC + BK)ˆx(k) − LCx(k) + Bv(k) y(k) = Cx(k)
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Capitolo 5. OSSERVABILIT `A E RICOSTRUIBILIT `A 5.2
• Il sistema (A, B, C) ottenuto `e di dimensione 2n:
x(k + 1) ˆ
x(k + 1)
=
z A}| {
A BK
−LC A + LC + BK
x(k) ˆ x(k)
+
z B}| {
B B
v(k)
y(k) =
z C}| {
C 0
x(k) ˆ x(k)
• Allo scopo di evidenziare alcune propriet`a strutturali del sistema, si utilizza la seguente trasformazione di coordinate:
T =
I 0 I −I
, T−1 = T
• La seconda parte del vettore x coincide con l’errore di stima e = x − ˆx: x = T−1
x ˆ x
=
x x − xˆ
=
x e
• Le nuove equazioni del sistema (A = T−1AT, B = T−1B e C = CT):
x(k + 1) e(k + 1)
=
A
z }| {
A + BK −BK
0 A+ LC
x(k) e(k)
+ B
z }| {
B 0
v(k) y(k) = C 0
| {z }
C
x(k) e(k)
• Il sistema si trova in forma standard di raggiungibilit`a e i suoi autovalori sono l’unione degli autovalori delle due matrici A + BK e A + LC.
• Propriet`a di separazione. I seguenti due blocchi:
1) retroazione statica dello stato, cio`e l’allocazione degli autovalori del sistema (A + BK);
2) stimatore asintotico dello stato, cio`e l’allocazione degli autovalori del sistema (A + LC),
possono essere progettati in modo indipendente.
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Capitolo 5. OSSERVABILIT `A E RICOSTRUIBILIT `A 5.3
• Una rappresentazione grafica del sistema trasformato `e la seguente:
z−1I
u(k) x(k + 1) x(k)
C B
A + BK
- -
y(k)
- 6
- -
−K z−1I
e(k + 1) e(k)
A + LC
- -
6 6
Sistema v(k)
Stimatore
-
• La parte del sistema relativa alla stima dello stato `e un sistema autonomo la cui uscita libera e(k) (l’errore di stima) agisce come ulteriore ingresso per la parte raggiungibile del sistema dinamico.
• La presenza dello stimatore non altera la relazione ingresso–uscita del si- stema considerato. Infatti la matrice di trasferimento H(z) dell’intero sistema rimane la stessa sia retroazionando lo stato x, che retroazionando la “stima dello stato ˆx:
H(z) = C(zI − A)−1B = C(zI − A)−1B
= C 0
[zI − (A + BK)]−1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗
0 [zI − (A + LC)]−1
B 0
= C[zI − (A + BK)]−1B
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