7.2 Flusso di un vettore

PARTE 7: OPERATORI VETTORIALI

7.1 Gradiente, divergenza, rotore, Laplaciano

Il gradiente, o nabla, (simbolo ∇&

)è un operatore vettoriale definito su di un campo scalare ϕ :

z k y j

xiˆ ˆ ˆ

∂ +∂

∂ +∂

∂

= ∂

∇&ϕ ϕ ϕ ϕ

La divergenza (div o ∇& ⋅

)è definita su un campo vettoriale a&:

z a y a x a a a

div ^{x y z}

∂ +∂

∂ +∂

∂

= ∂

⋅

∇

= & &

&

Il rotore ( rot o ∇& ×

)è definito su un campo vettoriale a&:

y k a x j a x a z i a z a y a a

a

rot ^{z y} ˆ ^{x z} ˆ ^{y x} ˆ





∂

−∂

∂ + ∂



 





∂

−∂

∂ + ∂





∂

−∂

∂

= ∂

×

∇

= & &

&

Il Laplaciano (∆ o ∇ ), è definito come il prodotto ² ∇& ⋅∇&

e può essere applicato su di un campo scalare ϕ :

2 2 2 2 2 2 2

z y

x ∂

+∂

∂ +∂

∂

= ∂

∇ ϕ ϕ ϕ ϕ

oppure su di un campo vettoriale a&:

2 2 2 2 2 2 2

z a y

a x

a a^{x y z}

∂ +∂

∂ +∂

∂

= ∂

∇ &

7.2 Flusso di un vettore

Il flusso Φ di un vettore ^a& su di una superficie A è definito come:

∫

= Φ

A

a a & nˆdA

dove nˆ è il versore che definisce la giacitura della superficie elementare dA, perpendicolare ad essa. Se la superficie è chiusa,si usa il simbolo:

∫

= Φ

A

a a & nˆdA

2

7.3 Integrale di linea

L'integrale di linea di un vettore a& è definito come:

∫

γ

s d a& &

dove d&s è l'elemento della linea γ. Se la linea γ è chiusa, allora l'integrale prende il nome di circuitazione e diventa:

∫

γ

s d a& &

Nel caso in cui il campo vettoriale sia conservativo, ovvero esista una funzione scalare ϕ tale che ϕ

∇

= &

&a , si ha:

z k y j

x i k a j a i a

a _xˆ _yxˆ _zˆ ˆ ˆ ˆ

∂ +∂

∂ +∂

∂

= ∂ + +

= ϕ ϕ ϕ

& e ds& =dxiˆ+dy ˆj+dzkˆ

allora

( ) ( )

∫ ∫

∫

γ

d z dz

y dy x dx

s d a& &

e di conseguenza

γ

γ

0 ∀

=

∫

7.4 Teorema della divergenza

Il flusso di un vettore su una superficie chiusa A è pari all'integrale della divergenza del vettore stesso esteso al volume V contenuto nella superficie A.

Il volume contenuto dalla superficie A data può essere suddiviso in un numero grande a piacere di volumi elementari adiacenti; il flusso complessivo attraverso la superficie A resterà invariato in quanto se i volumi sono adiacenti il flusso uscente da uno di questi volumi elementari sarà entrante in quello adiacente; pertanto solo il flusso uscente (o entrante) dalla superficie A sarà significativo ai fini del calcolo del flusso complessivo. Si consideri perciò un parallelepipedo di lati dx, dy, dz; il

1 Tanto la dimostrazione del presente teorema, quanto quella che segue, hanno validità limitata agli scopi del presente insegnamento.

3

flusso del vettore a& sulla superficie laterale del parallelepipedo è dato dalla somma di sei integrali di superficie, ovvero:

∫

∑∫

dove l'indice i indica successivamente le sei facce del parallelepipedo. Consideriamo in particolare le facce 1 e 2 perpendicolari all'asse x; sarà, con riferimento alla figura 1:

ˆ,

ˆ,

2

1 dydzi dA dydzi

A

d& =− & =

x dx a a

a_{x x} ^x

∂ +∂

= (1) )

2 (

Sostituendo nell'espressione degli integrali si ottiene:

( ) ∫ ( ) ∫

∫

2 1

Se si ripete l'operazione per le altre coppie di facce, si ottiene quindi:

∫

∫

A

y z

x dxdydz

z a y a x A a

d a& &

Si riconosce nel termine tra parentesi & a&

⋅

∇ , e dx dy dz = dV; calcolando quindi l'integrale sul volume V racchiuso dalla superficie A si ha:

Un campo a& per cui si ha ∇ a&&⋅ =0

viene chiamato solenoidale.

7.5 Teorema di Stokes

La circuitazione di un vettore su di una curva chiusa γ è pari al flusso del rotore del vettore stesso attraverso una superficie A che abbia γ come contorno.

Data la curva γ rappresentata in figura 2, si può calcolare la circuitazione del vettore a& su di essa:

∫

Consideriamo ora le curve di figura 3, dove la curva γ viene sostituita

Figura 2 γ

x y

z

dx dy

dz

1 2

Figura 1 î

-î

∫

∫

4

dalle curve γ1 e γ2. Infatti il tratto tra P e Q viene percorso nei due versi opposti seguendo γ1 o γ2, e quindi i due integrali lungo i due tratti si elidono:

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

2 1

2 2

1

1 , , ,

,γ γ γ γ γ γ

s d a s d a s d a s d a s d a s d a s d a

P Q Q

P P

Q Q

P

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

Iterando il procedimento si può sostituire la circuitazione di a&

sulla curva γ con una somma di circuitazioni di ^a& su un opportuno numero di percorsi elementari di lati dx e dy (vedi figura 4). Si ha, con riferimento alla figura Y:

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

⋅

−

⋅

−

⋅ +

⋅

=

=

⋅ +

⋅ +

⋅ +

⋅

=

⋅

4 3

2 1

4 3

2 1

) 4 ( )

3 ( )

2 ( )

1 (

a dx a dy a dx a dy

s d a s d a s d a s d a s d a

y x

y x

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

in quanto ds&(1)=dx ,ds&(1)=dy ,ds&(3)=−dx ,ds&(4)=−dy. Si ha inoltre:

x dx a a

a y dy

a a

a_{x x} ^x _{x x} ^y

∂ +∂

∂ = +∂

= (1) , (2) (4) )

3

( .

Sostituendo si trova quindi:

∫

∫

dove si può riconoscere nella parentesi quadra la componente z di & a&

×

∇ e nel prodotto dei differenziali la superficie elementare di versore kˆ . Si può quindi scrivere:

Come visto precedentemente un campo a& conservativo implica che la circuitazione sia nulla;

dall'ultima relazione, data la genericità della superficie A discende quindi che per un tale campo a&

si ha:

=0

×

∇ a&&

pertanto un campo conservativo viene anche chiamato irrotazionale.

γ1

γ2

P

Q

Figura 3

1

(x+dx, y+dy)

(x, y) (x+dx, y)

(x, y+dy)

2 3

4

Figura 4

∫

∫ ( )

γ A

dA n a s

d

a& & & & ˆ