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Dimostrazione alternativa di un passo del teorema di P. Lévy.

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Academic year: 2021

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Dimostrazione alternativa di un passo del teorema di P. Lévy.

Data fX n g, supponiamo che ' X

n

(t) converga puntualmente ad una funzione (t), continua in t = 0. Mostriamo che la famiglia fP X

n

g è tesa.

Siccome ' X

n

(0) = 1, il limite (0) vale 1. In particolare, Re (0) = 1 e quindi, dalla continuità, …ssato (per il resto della dimostrazione) > 0, esiste > 0 tale che per ogni t con jtj vale

Re (t) 1 2 : Vale quindi

n!1 lim E [cos (tX n )] 1

2 per ogni jtj : In particolare, esiste n 0 , dipendente da , tale che per ogni n n 0

E [cos (tX n )] 1 per t = e t = 2 :

Ovvero Z

cos xP tX

n

(dx) 1 per t = e t = 2 :

Intuitivamente questo signi…ca che le leggi di X n e di 2 X n sono molto concentrate nelle vicinanze dei numeri 2k , k 2 Z. Quanti…chiamo questa intuizione. Si suggerisce di seguire con un disegno l’argomentazione seguente.

Per > 0 piccolo, sia A l’unione degli intervalli [2k ; 2k + ] al variare di k 2 Z.

Per x 2 A c vale cos x < cos . Prendiamo > 0 tale che 1 cos = 10 1 . A¤ermiamo che P tX

n

A c < 10

che sarà la nostra quanti…cazione dell’idea che le leggi di X n e di 2 X n sono molto con- centrate nelle vicinanze dei numeri 2k , k 2 Z. Infatti, supponiamo per assurdo che sia P tX

n

A c = 10 . Vale quindi anche P tX

n

(A ) = 1 . Pertanto

1

Z

A

cos xP tX

n

(dx) + Z

A

c

cos xP tX

n

(dx)

< 1 + cos P tX

n

A c

= 1 (1 cos )

= 1 10 1 :

Abbiamo trovato un assurdo (una delle disuguaglianze è stretta).

Abbiamo dimostrato che

P tX

n

(A ) 1 10 per t = e t =

2

1

(2)

dove > 0 è tale che 1 cos = 10 1 . Questo implica P X

n

([ ; ]) 1 20

cioè quasi tutta la massa è nel singolo intervallo attorno all’origine. Infatti, supponiamo per assurdo che sia

P X

n

(A n [ ; ]) = p > 10 : Ne discende

P

2

X

n

B n h 2 ;

2 i

= p

dove B è l’unione degli intervalli k 2 ; k + 2 al variare di k 2 Z. Ma B n 2 ; 2 A c , quindi

P

2

X

n

B n h 2 ;

2 i

P

2

X

n

A c < 10 che contraddice un’a¤ermazione precedente.

Abbiamo dimostrato che

P X

n

([ ; ]) 1 20 : Ma questo si può riformulare dicendo che

P X

n

h

; i

1 20 : La proprietà di famiglia tesa è dimostrata.

2

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