Dimostrazione alternativa di un passo del teorema di P. Lévy.
Data fX n g, supponiamo che ' X
n(t) converga puntualmente ad una funzione (t), continua in t = 0. Mostriamo che la famiglia fP X
ng è tesa.
Siccome ' X
n(0) = 1, il limite (0) vale 1. In particolare, Re (0) = 1 e quindi, dalla continuità, …ssato (per il resto della dimostrazione) > 0, esiste > 0 tale che per ogni t con jtj vale
Re (t) 1 2 : Vale quindi
n!1 lim E [cos (tX n )] 1
2 per ogni jtj : In particolare, esiste n 0 , dipendente da , tale che per ogni n n 0
E [cos (tX n )] 1 per t = e t = 2 :
Ovvero Z
cos xP tX
n(dx) 1 per t = e t = 2 :
Intuitivamente questo signi…ca che le leggi di X n e di 2 X n sono molto concentrate nelle vicinanze dei numeri 2k , k 2 Z. Quanti…chiamo questa intuizione. Si suggerisce di seguire con un disegno l’argomentazione seguente.
Per > 0 piccolo, sia A l’unione degli intervalli [2k ; 2k + ] al variare di k 2 Z.
Per x 2 A c vale cos x < cos . Prendiamo > 0 tale che 1 cos = 10 1 . A¤ermiamo che P tX
nA c < 10
che sarà la nostra quanti…cazione dell’idea che le leggi di X n e di 2 X n sono molto con- centrate nelle vicinanze dei numeri 2k , k 2 Z. Infatti, supponiamo per assurdo che sia P tX
nA c = 10 . Vale quindi anche P tX
n(A ) = 1 . Pertanto
1
Z
A
cos xP tX
n(dx) + Z
A
ccos xP tX
n(dx)
< 1 + cos P tX
nA c
= 1 (1 cos )
= 1 10 1 :
Abbiamo trovato un assurdo (una delle disuguaglianze è stretta).
Abbiamo dimostrato che
P tX
n(A ) 1 10 per t = e t =
2
1
dove > 0 è tale che 1 cos = 10 1 . Questo implica P X
n([ ; ]) 1 20
cioè quasi tutta la massa è nel singolo intervallo attorno all’origine. Infatti, supponiamo per assurdo che sia
P X
n(A n [ ; ]) = p > 10 : Ne discende
P
2
X
nB n h 2 ;
2 i
= p
dove B è l’unione degli intervalli k 2 ; k + 2 al variare di k 2 Z. Ma B n 2 ; 2 A c , quindi
P
2
X
nB n h 2 ;
2 i
P
2
