• LE BASI DI FISICA - Aldo Marinoni
Moto per proiettile
Se si esclude l’attrito dell’aria, il moto del proiettile è un chiaro esempio di moto composto da vettori del moto uniformemente accelerato e moto uniforme.
È uniformemente accelerato poiché ogni proiettile sparato sulla superfi cie terrestre (che non raggiunga distanze stratosferiche) subisce un’accelerazione costante verso il centro della Terra pari a−9,81m
s2 .
Tuttavia è anche un moto uniforme lungo la direzione parallela al suolo con velocità impressa all’istante dello sparo.
Al momento dello sparo consideriamo che l’inclinazione gamma di partenza del proiettile sia diversa da 0 e minore di 90°.
Se non esistesse la forza di gravità, la sua traiettoria non varierebbe ed esso si muoverebbe con velocità iniziale costanteV0 con angolo γ fi no a perdersi nel cosmo.
Se, d’altro canto invece di sparare il proiettile, noi lo lasciamo cadere liberamente sotto l’azione della forza di gravità, esso accelera verso il suolo con accelerazione costante pari a g.
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Il moto del proiettile in realtà è la somma di questi due moti più l’azione della resistenza dell’a- ria.
Escludiamo per i nostri scopi l’attrito aerodinamico.
Sommando le traiettorie nel tempo generate dall’accelerazione di gravità e dalla velocità ini- ziale V0 del proiettile lungo un certo angolo, si osserva che il proiettile descrive una traiettoria curva tipica dei moti accelerati in cui l’accelerazione ha una direzione diversa da quella della velocità iniziale V0.
Una volta compreso che la traiettoria del proiettile è descritta dalla somma di un moto rettili- neo uniforme e di un moto uniformemente accelerato verso il basso, risulta facile riconoscere la parabola nella traiettoria del proiettile.
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Moto circolare uniforme
Se un oggetto in stato di moto rettilineo cambia direzione, esso è soggetto a una accelerazione che ne modifi ca la direzione del vettore velocità.
Si defi nirà accelerazione centripeta la variazione di direzione del vettore velocità rispetto al tempo.
L’accelerazione centripeta è diretta verso il centro del cerchio che descrive la traiettoria circo- lare dell’oggetto in quel punto.
Se un oggetto che si muove nello spazio cambia direzione in modo costante rispetto allo spazio percorso, cioè se esso per ogni metro percorso varia direzione del suo vettore velocità di un uguale angolo, la traiettoria che quell’oggetto percorre è un cerchio e il suo moto si defi nisce circolare.
Se un oggett o che si muove nello spazio varia la propria direzione, esso è soggett o a una forza non parallela al vett ore velocità istantanea, che ne modifi ca la direzione. Se la forza agisce sempre perpendicolarmente al vett ore velocità istantanea, il vett ore della velocità istantanea varia solo in direzione e l’accelerazione, verso il centro della circonferenza che descrive la traiett oria in quell’istante, è dett a accelerazione centripeta.
Consideriamo una sfera dotata di velocità istantanea anche diversa nel tempo, collegata a una fune non elasti ca che la tratti ene. Essa, tratt enuta dalla fune, varierà la sua direzione in egual misura percorrendo traiett orie di eguale lunghezza restando alla stessa distanza dal centro di rotazione del moto. Il moto risultante è circolare.
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Se il modulo della sua velocità rimane costante nel tempo, esso si dice moto circolare uniforme.
Analizziamo il caso del moto circolare uniforme.
Il moto circolare uniforme è proprio di un oggetto che descrive una traiettoria circolare con velocità tangenziale costante in modulo.
Una forza che produce un’accelerazione che non modifi ca il modulo della velocità ma solo la direzione è quella applicata sempre perpendicolarmente alla direzione della velocità (come nel caso di una corda legata a un peso in rotazione attorno a un perno centrale).
In tal modo la velocità tangenziale varierà in direzione ma il modulo rimarrà costante.
Osservando come varia l’accelerazione centripeta durante il moto circolare uniforme, si nota che essa è perpendicolare alla velocità tangenziale e cambia di direzione costantemente per rimanere perpendicolare a essa così che tale accelerazione coprirà un giro di 360° completo nello stesso periodo T della velocità tangenziale e il suo modulo per mantenere la traiettoria prestabilita dovrà essere tanto maggiore quanto maggiore sarà la velocità tangenziale.
Per cui in un periodo di tempo T necessario a una rotazione completa dell’oggetto lungo la tra- iettoria circolare, anche l’accelerazione centripeta e la velocità tangenziale varieranno la loro direzione di 360°.
Se la velocità istantanea tangenziale rimane in modulo costante si ha il moto circolare uniforme.
Osservando come cambiano le direzioni dei vett ori velocità e accelerazione nel moto circolare, risulta evidente che, ponendo costante il raggio della traiett oria circolare, l’accelerazione centripeta necessaria a mantenere in traiett oria l’oggett o è dirett amente proporzionale al modulo della velocità e perpendicolare ad essa (se
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In conclusione abbiamo visto che nel moto circolare uniforme la velocità tangenziale e l’acce- lerazione centripeta sono costanti in modulo e perpendicolari tra loro.
Esse variano continuamente di direzione con uguale velocità angolare.
Forza centripeta
Se esiste un’accelerazione, deve esistere una forza che la causa.
Nel moto circolare uniforme l’accelerazione centripeta quindi è determinata da una forza.
La forza che causa l’accelerazione ne determina la direzione e il verso.
Poiché l’accelerazione centripeta è costantemente rivolta verso il centro della traiettoria del moto, ne deriva che la forza che la causa varia continuamente anch’essa in direzione verso il centro della traiettoria.
Il caso più classico è quello della forza esercitata da un cavo che trattiene una massa in rotazio- ne; per esempio l’attrezzo di un lanciatore di martello.
In questo caso la forza attrae la massa.
Oppure la forza può essere propulsiva come quella prodotta da razzi ausiliari su una navicella spaziale.
Grazie a Newton sappiamo che:
Se consideriamo l’accelerazione centripeta, il modulo della forza centripeta si calcola:
L’accelerazione centripeta è sempre perpendicolare alla velocità (cioè ha uguale velocità angolare ω),
ha un periodo T uguale ed è proporzionale in modulo al modulo della velocità v.
F=m ac = mv2
r = mω2r
F⃗=m⃗a;
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Raramente sentiamo parlare di forza centripeta. Più spesso si utilizza il termine relativo alla forza apparente che ne deriva, la forza centrifuga. Se agganciassimo un dinamometro sul cavo che trattiene in rotazione una massa e potessimo osservare la misura della forza che esso rileva osservandolo seduti a cavalcioni del cavo in rotazione, leggeremmo la misura dell’intensità della forza centripeta ma avremmo la percezione di una forza diretta in verso opposto.
Ciò è causato dal fatto che il nostro punto di osservazione è anch’esso in rotazione assieme al cavo per cui non vediamo la traiettoria circolare del moto ma percepiamo solo l’inerzia della massa in moto circolare che oppone una reazione inerziale uguale e contraria al mutare della propria direzione sotto l’azione della forza centripeta.
La forza apparente centrifuga è stata percepita da tutti noi quando da bambini sulla spiaggia fa- cevamo roteare un secchiello pieno d’acqua, constatando come essa non ci piovesse sulla testa.
La forza centrifuga semplifi ca le spiegazioni dei genitori che si troverebbero in diffi coltà ad armeggiare con principio d’inerzia, velocità tangenziale e accelerazione centripeta.
Essa però è fi ttizia, in quanto rilevata da un sistema di riferimento in rotazione rispetto al moto osservato.
Il sistema di riferimento quando è in moto rotatorio o accelerato dà luogo alla misurazione di forze apparenti.
La superfi cie della Terra per esempio non è un sistema di riferimento inerziale, poiché essa è in
Il punto d’osservazione è solidale al cavo e rivolto verso la massa in moto circolare.
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Moto armonico semplice
Osserviamo un peso su un tavolo agganciato a una molla tenuta in tensione su un ripiano privo di attrito, in assenza di attriti aerodinamici.
Quando liberiamo la molla dal vincolo che la blocca in tensione essa si contrae trascinandosi dietro il peso in un susseguirsi di oscillazioni tipiche.
Senza considerare ancora la natura della forza che caratterizza tale moto periodico, è possibile dalla semplice osservazione di ciò che sta accadendo ricavare alcune semplici conclusioni: in primo luogo, poiché esso in principio era fermo, il peso che viene trascinato dalla molla subisce un’accelerazione in direzione del moto.
Poiché a un certo punto, quando la molla è compressa, il peso si arresta per un istante e inverte la direzione del proprio moto, è chiaro che esso subisce una decelerazione che lo arresta e ne determina poi il moto in direzione opposta e così via ripetendo un moto periodico sempre di uguale ampiezza.
Da questo se ne deduce che l’accelerazione che esso subisce nei due versi opposti è uguale in
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Supponiamo, invece, di liberare subito la molla quando essa è bloccata e di spostare verso sini- stra il blocco di un certo tratto in direzione del moto.
Dopo alcune prove vedremo che mano a mano che spostiamo verso destra il blocco della molla, il moto oscillatorio diviene via via sempre meno ampio e il peso si muove più lentamente, fi n- ché, quando il blocco sarà stato posto a una certa distanza X dall’inizio della molla, liberando il peso non si avrà più alcun moto e il peso rimarrà fermo.
Evidentemente in questa posizione l’accelerazione è 0.
Se spostiamo ulteriormente il blocco verso sinistra, anche di poco, rilasciando il blocco il peso ricomincerà a oscillare in direzione opposta a quella fi nora osservata, cioè l’accelerazione subi-
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tempo, è possibile avere una visione più chiara del fatto che anche l’accelerazione varia.
Posizione
Lo spostamento nel moto armonico semplice è uguale alla componente verti cale dello spostamento nel moto circolare uniforme.
Velocità
Il vett ore velocità nel moto armonico semplice è uguale alla componente verti cale della velocità tangenziale nel moto circolare uniforme.
Anch’esso ha un andamento sinusoidale sfasato di 90° rispett o a quello dello spostamento.
La sinusoide ricavata dal rilevamento dello spazio in funzione del tempo mostra chiaramente la natura della variazione della velocità.
Quando lo spostamento positivo (o negativo) è massimo, il peso all’estremità dell’oscillazione è fermo e la velocità è quindi 0.
A spostamento massimo corrisponde velocità 0.
La velocità, da nulla come già detto, aumenta gradualmente, raggiunge il suo valore massimo nel punto di equilibrio ‘0 e poi diminuisce per tornare ad annullarsi all’opposto del punto di partenza.
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Il grafi co dell’accelerazione risulta anch’esso avere una forma sinusoidale e l’accelerazione appare variare anch’essa in modo non costante.
Si consideri il tempo necessario al peso oscillante per ritornare una volta nella sua posizione di partenza nell’oscillazione.
Se confrontiamo i 3 grafi ci tra loro ci rendiamo conto che spostamento, velocità e accelerazione variano in modo simile ma sono sfasati nel tempo, cioè essi raggiungono i valori nulli e i valori massimi a distanza di un quarto di periodo per lo spostamento rispetto alla velocità e di mezzo periodo per lo spostamento rispetto all’accelerazione.
In particolare lo spazio è proporzionale al negativo dell’accelerazione.
Da ciò ne deriva la fondamentale caratteristica dei moti armonici semplici, ossia la proporzio- nalità della forza rispetto allo spostamento:
F=−k⋅x
Accelerazione
L’accelerazione nel moto armonico semplice è proporzionale allo spostamento con segno inverti to, cioè all’aumentare dell’uno diminuisce l’altro ed entrambi hanno valore 0 nello stesso
momento. La componente verti cale del raggio è la componente verti cale dell’accelerazione centripeta del moto circolare uniforme.
Vediamo l’andamento complessivo, di velocità, spostamento e
accelerazione, nel tempo. Si noti la proporzionalità negati va tra accelerazione e spazio che raggiungono il valore 0 negli stessi intervalli di tempo e valori massimi e minimi in modo sincrono. Come prevedibile, la velocità è sfasata di un quarto di periodo concordemente col fatt o che accelerazione centripeta e velocità tangenziale sono sempre perpendicolari e quindi avranno componenti verti cali che andranno a 0 con un ritardo di 90°.
