# Il Moto: •Sistema di riferimento, •Posizione e spostamento in funzione del tempo •Velocità • Accelerazione

Meccanica

# Il Moto:

•Sistema di riferimento,

•Posizione e spostamento in funzione del tempo

•Velocità

• Accelerazione

Cinematica: moto puramente traslatorio di un corpo considerato puntiforme

1

•Il Moto

O

Z

X Y

•P₁

•P₂

S₁(t₁)

S₂(t₂)

S

2

• Posizione e Spostamento

x = x(t) y = y(t) z = z(t) s = s(t)  ^

•unità di misura : S.I. (metro) c.g.s. (cm) dimensione [s] = [L]

Vettore Posizione definito da :

modulo, direzione, verso vettore s Vettore Spostamento definito da :

modulo, direzione, verso vettore s

3

Z

O X

Y

•P₁

S₁ •P₂

S S₂

traiettoria : linea continua che unisce le posizioni successivamente occupate dal corpo (considerato puntiforme) in moto spostamento :

posizione : vettore che individua la posizione occupata dal punto P in un certo istante

vettore che individua la variazione della posizione subita dal punto P nell’intervallo che va da t₁ a t₂;

significa conoscere la posizione in funzione del tempo e questo descrive completamente il moto posizione = f(t)

legge oraria :

4

Velocita'

VELOCITA' MEDIA

dimensione [v] = [L] [t]^-1

•unità di misura : S.I. (m s^-1) c.g.s. (cm s^-1)

t₂

s₁

 s^₂

t₁

v_m



v_i =

lim

5

VELOCITA' ISTANTANEA

v_m= s(t₂)- s(t₁)

t₂ - t₁ = s₂ - s₁

t₂ - t₁ = s

t

vettore velocità = vettore spostamento intervallo di tempo

•NB: la velocita` istantanea e` sempre tangente alla traiettoria

s

t₁ ^v_i

dimensione [a] = [L] [t]^–2

•unità di misura : S.I. (m s^–2) c.g.s. (cm s^–2)

Analogamente alla velocità si definisce l’accelerazione istantanea

a_i =

lim

6

Accelerazione

ACCELERAZIONE MEDIA

a_m = v(t₂)- v(t₁)

t₂ -t₁ = v₂ - v₁

t₂ -t₁ = v

t

ACCELERAZIONE ISTANTANEA •ha direzione e verso del vettore v

v₁

v₂ v a_m y

x v₁ v₂

• Se l’accelerazione si dice normale o centripeta ed influenza la velocità variandone la direzione ma non il modulo.

 

a 

^ v

v_i

v_i

v_f

v_f a_i

a_i

•Da notare che nell’ultimo caso il modulo della velocità rimane uguale, mentre la sua direzione registra una deviazione nel verso suggerito dall’accelerazione

•Se l’accelerazione si dice tangenziale ed influenza la velocità variandone il modulo ma non la direzione

 

a 

v 

Vanno specificate alcune carattristiche generali:

v_i v_f

a_i

v_i v_f

a_i

7

• Il raggio dei cerchi tratteggiati è il raggio di curvatura della traiettoria nei punti A, B e C

• Il raggio dei cerchi tratteggiati è il raggio di curvatura della traiettoria nei punti A, B e C

Con versore tangenziale versore normale alla traiettoria, diretto verso il centro di curvatura

Accelerazione

• il vettore velocità segue il moto: è tangente alla traiettoria

• il vettore accelerazione in generale non è parallela alla velocità ma ha una componente radiale e una tangenziale alla traiettoria

v

a

8

 

v = vˆ  t

 

a =   a _r +  a _t = a_rn + aˆ _ttˆ

 

a_t = dv dt

 

a_r = v² R

 

tˆ

 

n ˆ

•Accelerazione tangenziale

•Accelerazione radiale

 

tˆ

 

n ˆ

x y

C



Accelerazione radiale e tangenziale: dimostrazione

 

tˆ = cos( ) ^{i + sinˆ} ( ^) ^{ˆ j}

 

n = cosˆ  + p 2 æ

èç ö

ø÷

é

ëê ù

ûúˆ i + sin  + p 2 æ

èç ö

ø÷

é

ëê ù

ûúˆ j

 

= - sin( )^{i + cosˆ} ( ^) ^{ˆ j}

 

a = d v dt =

 

d vˆ ( )t

dt =

 

dv

dt tˆ + vdˆ t

dt

 

dˆ t

dt = - d

dt sin æ

èç ö

ø÷ˆ i + d

dt cos æ

èç ö

ø÷ˆ j

 

= d

dt

[

]

 

a = dv

dt tˆ + vd dt n ˆ

•Ora occorre dimostrare che d/dt=v/R ….



 

tˆ

 

n ˆ

x y C

d R +d

Accelerazione radiale e tangenziale

•Nel tempo dt, il punto percorre un cammino elementare ds=vdt  arco di circonferenza ds=Rd

•Nel tempo dt, il punto percorre un cammino elementare ds=vdt  arco di circonferenza ds=Rd

•(1)

 

ds= Rd Þ d

ds = 1 R

•(2)

 

d

dt º d

ds × ds

dt = vd

ds = v R

•Quindi, sostituendo la (2) nell’espressione ricavata per l’accelerazione, si ottiene:

 

a = dv

dt tˆ + vd

dt n =ˆ dv

dt tˆ + vv Rn ˆ

 

a = dv

dt tˆ + v² R n ˆ

moto rettilineo

Il sistema di riferimento e` una retta orientata su cui si e` individuato un punto origine, i vettori S e S hanno stessa direzione :

t₁ s₁ = s(t₁)

t₂ s₂ = s(t₂)

}

O

S₁ S₂

t

t

MOTI RETTILINEO UNIFORME e ACCELERATO

12

a= a₀ = costante v= v₀ + a(t- t₀)

s= s₀ + v₀(t- t₀ )+ 1

2 a₀(t- t₀)² v² = v₀² + 2a₀(s- s₀)

v= v₀ = costante s= s₀ + v₀(t- t₀)

s₀ posizione all'istante iniziale t₀

•Moto rettilineo uniforme

•Moto rettilineo uniformemente accelerato

Diagramma spazio-tempo

spazio

0 tempo

s=s_o+v_o(t-t_o)

tempo

spazio

0

s=s_o+v_o(t-t_o)+1/2 a (t-t_o)²

•Moto rettilineo uniforme •Moto rettilineo uniformente accelerato

Diagramma velocità-tempo

L’area nel piano v-t rappresenta la variazione di posizione corrispondente all’intervallo di tempo (t-0); tale risultato è generalizzabile a qualunque moto rettilineo.

v v_o

t

s-s_o=vt=area t

0

v=v_o=costante

s-s_o=v_ot+1/2at²=area v

t t

0 v_o

v=v_o+at

•Moto rettilineo uniforme •Moto rettilineo uniformemente accelerato

Moti nel piano: Moto Circolare Y

X P

O



(rad)=s/R

Velocità angolare media _m



= 

- 

t

- t

Accelerazione angolare media _m



= 

- 

t

- t

2

O s P

s : lunghezza dell’arco percorsa a partire da un punto origine Moto Circolare

grandezza var. lineare var.angolare relazione

posiz. s (m)  (rad) s=*R velocità v (m/s)  (rad/s) v=*R acceler. a_t (m/s²) (rad/s²) a_t=*R

 = costante

 = ₀ +(t - t₀ )

 = ₀ +₀ (t - t₀ ) + 1

2 (t - t₀ )²

 ² = ₀² + 2( -₀ )

•Moto circolare uniformemente accelerato

 = 2p

T = 2pf f = 1 T

a_c = v²

R = ² R

•0 a_c v

•Moto circolare uniforme

 = costante

 = ₀ +(t- t₀ ) Moto Circolare

•esempi

•Un salmone salta verticalmente fuori dall’acqua con v_i=6m/s a che altezza arriverà? Quanto tempo il salmone resterà fuori dall’acqua?

•Un gatto si muove di moto rettilineo. Quale segno • o assume la sua accelerazione se si muove:

a) nel verso positivo con velocità crescente b) nel verso positivo con velocità decrescente c) nel verso negativo con velocità crescente d) nel verso negativo con velocità decrescente

s=s_o+v_o(t-t_o)+1/2a (t-t_o)²

a) a>0 x

t b) a<0

c) a>0

d) a<0

• La ruota A di raggio r_A=10cm, con velocità angolare costante =10rad/s,

trasmette il moto alla ruota B di raggio r_B=30cm tramite una cinghia inestensibile.

Calcolare:

1- la velocità periferica delle due ruote, 2-la velocità angolare della ruota B, 3-il verso di rotazione della ruota B, 4-il periodo di rotazione delle due ruote

•A

•B

-La luna si muove su un’orbita approssimativamente circolare di raggio r=3.8 10⁵km intorno alla terra, completando una rivoluzione ogni 27.3 giorni.

Qual’è la velocità orbitale ?

Qual’è l’accelerazione centripeta della luna?

Qual’è la frequenza di rotazione?

•Interpretazione del moto

Accelerazione di gravità e caduta dei gravi

In prossimità della superficie terrestre e trascurando la resistenza dell’aria:

•L’accelerazione di gravità è la stessa per tutti gli oggetti che cadono

•L’accelerazione di gravità è costante

Perché i sassi cadono più velocemente delle piume?

g=9.8m/s²

Oggetto lanciato verticalmente con velocità v₀ (nelle ipotesi precedenti)

-5 0 5 10

0 0.5 1 1.5

V(m/s)

t( s)

-1 0 1 2 3 4 5 6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

X(m)

t ( s)

La velocità è nulla nell’istante in cui l’oggetto ha raggiunto il punto più alto

-g è la pendenza della retta

Il moto è simmetrico rispetto al punto più alto

Il salto verticale

Rincorsa (m) d

Altezza raggiunta (m) h

Uomo Canguro Rana Cavalletta Pulce

0.5 1.0 0.09 0.03 8 10^--4

1 2.7 0.3 0.3 0.1

L’animale sollevato da terra è soggetto soltanto all’accelerazione g e quindi un moto uniformemente acc.;

Per l’uomo si intende il salto che puo fare piegando le gambe ed estendendole rapidamente;

Nell’ipotesi che in fase di decollo l’accelerazione a rimanga costante:

Calcolare la velocità e l’accelerazione di decollo per l’uomo

Un uomo che saltasse con l’accelerazione di una pulce potrebbe raggiungere un’altezza maggiore di 50m

h 0 d

o

•Il problema del moto in due dimensioni: il moto dei proiettili

•In un moto in due dimensioni la posizione, la velocità e l’accelerazione sono complanari inoltre il problema è riconducibile ad una coppia moti

unidimensionali;

•Esempi: oggetti lanciati, proiettili e animali che saltano

•Trascuriamo la resistenza dell’aria e consideriamo l’accelerazione costante

x = x₀ + v_0xt y= y₀ + v_0yt - 1

2gt²

v_x = v_0x v_y = v_0y - gt

 

v^0x = v⁰cos v^0y = v⁰sin v  ⁰ = v^0xi + vˆ ^0yˆ j

•x

•y

•a_y=-g

•v₀

•v_0x

•v0y



•Lungo l’asse Y il moto è uniformemente accelerato con accelerazione a_y=-g=-9.8m/s²

•Lungo l’asse X il moto è uniforme v_x=cost.

•I proiettili in Biomeccanica

Calcolo della gittata

(ossia la distanza misurata in orizzontale tra il punto di lancio e il punto di atterraggio)

•Ponendo y=y₀ v_oyt - 1

2gt² = 0 t(v_oy - 1

2gt) = 0

•1. t=0 (istante iniziale) e

• 2. t=2v_oy/g (tempo impiegato dal proiettile per atterrare)

•Sostituendo quest’ultimo valore di t in x=v_oxt otteniamo l’espressione della

gittata: _{R =} ^2voxvoy

g = 2 v_o²

g sin cos

•NB: per =90^o R=0; y₀=y R_max =45^o; y₀>y R_max <45^o; y₀<y R_max >45^o

•45^o

•60^o

•30^o

•45^o •<45^o

 

0= y₀ + v_0yt - 1

2gt² due soluzioni t_1,2 = v_0y

g ± v_0y g æ

èç ö

ø÷

2

+2y₀ g

gittata x = v_0xt₂ = v_0x v_0y

g + v_0y g æ

èç ö

ø÷

2

+2y₀ g æ

è

çç

ö

ø

÷÷

•Un punto si muove di moto rettilineo secondo la legge oraria x(t) = 5t³ +2 t²-3.

•Determinare l'espressione della velocità v(t) e dell'accelerazione a(t).

•Un punto si muove nel piano secondo le equazioni parametriche x = 2t +4, y = -2t² +2 t -1.

•Scrivere l'equazione cartesiana della traiettoria.

•Calcolare il modulo della velocita` all’istante t=2s

•Calcolare l’accelerazione