Re et t te t e s sg gh he em mb be e: : c

R

Re et t te t e s sg gh he em mb be e: : c

co om mu un ne e p pe er rp pe en nd di ic co ol la ar re e

D Di is st ta an nz za a tr t ra a r re e tt t te e p

pa ar ra al ll le el le e /s / sg gh he e mb m be e

Ci C ir rc co on nf fe er re en nz ze e n ne el l p pi ia an no o e e re r et tt te e ta t an ng ge en nt ti i i in n un u n pt p to o

R Ri ic co on no os sc ci im me en nt to o sf s fe er re e e e c ci ir rc co on nf fe er re en nz ze e ne n el ll lo o s sp pa az zi io o

Rosalba Barattero

ESERCITAZIONE N.10 7 maggio 2008

1

ESERCIZIO 1.

Rette sghembe: comune perpendicolare - distanza

Siano r:

¯ ®

­

=

= 0 z

1

x ed s:

° ¯

° ®

­

=

=

=

t z

t y

t x

t ∈R.

a) Verificare che r ed s sono sghembe

b) Determinare tutte le rette incidenti sia r che s

c) Tra le rette trovate in b) determinare quella perpendicolare ad entrambe (la comune perpendicolare ad r ed s)

d) Determinare la distanza tra r ed s.

r ed s sghembe ⇔ r, s non complanari

⇔ r non parallela ad s ed r non incidente s

r: ¯ ® ­

=

= 0 z

1

x ed s:

° ¯

° ®

­

=

=

=

t z

t y

t x

t ∈R.

D(r) =<(0,1,0)>

^(*)

, D(s) =<(1,1,1)>: i vettori generatori di D(r) , D(s) sono L.I. e quindi D (r ) ≠ D(s) Ÿ r non è parallela ad s ( con diversa nomenclatura: u

r

=(0,1,0) vettore direzionale di r, u

s

=(1,1,1) vettore direzionale di s).

Vediamo se r ed s hanno pti a comune :

r: ¯ ® ­

=

= 0 z

1 x , S :

° ¯

° ®

­

=

=

=

t z

t y

t x

Ÿ

° °

°

¯

°°

°

®

­

=

=

=

=

=

t z

t y

t x

0 z

1 x

Ÿ t=1 & t=0 assurdo: r, s non incidenti

r ed s non sono né parallele, né incidenti e quindi sono sghembe.

(*)

DA RICORDARE ! La giacitura di r è lo sp. vett. delle soluzioni del sistema omog. assoc:

¯®

­

=

= 0 z

0 x

2

b) determinare tutte le rette incidenti sia r che s

Rette PQ :

° ¯

° ®

­

+

= +

= +

=

0)NJ - (t t z

v)NJ - (t t y

1)NJ - (t t x

c) Tra le rette trovate in b) determinare quella perpendico- lare ad entrambe (la comune perpendicolare ad r ed s).

Deve risultare u PQ ⊥ u ^r e u PQ ⊥ u ^s , quindi imponiamo l’annullamento dei due prodotti scalari :

¯ ®

­

=

⋅

=

⋅

0 (1,1,1) t)

v, - t 1, - (t

0 (0,1,0) t)

v, - t 1, - (t

Ÿ ¯ ® ­

=

−

−

=

−

0 1 v 3t

0 v t

Ÿ °

¯

° ®

­

=

=

2 v 1

2 t 1 Q P

rr

s

Sono tutte le rette PQ, con P variabile su r, Q variabile su s

S :

° ¯

° ®

­

=

=

=

t z

t y

t x

Ÿ ^Q(t,t,t)

r: °

¯

° ®

­

=

=

= 0 z

v y

1 x

Ÿ ^P(1,v,0)

Q vettore direzionale u

PQ

delle rette PQ, u

PQ

= Q-P t corre su s, v su r e

λ è il parametro delle rette PQ

3

Ÿ per questi valori si trova la retta n:

° ¯

° ®

­

+

= +

= +

=

0)NJ - (t t z

v)NJ - (t t y

1)NJ - (t t x

Ÿ n:

° °

°

¯

°°

°

®

­

+

=

=

−

=

2 NJ 1 2 z 1

2 y 1

2 NJ 1 2 x 1

al variare di λ∈R (n in forma param.)

d) I valori trovati t= ₂ ¹ , v = ¹ ₂ ci danno risp. i punti P e Q giacenti sulla comune perpendicolare n , che sono anche i punti di minima distanza tra r ed s.

t=

2

1 su r Ÿ P(1, ¹ ₂ ,0)

v=

2

1 su s Ÿ Q(

2 1 ,

2 1 ,

2 1 )

Quindi d(r,s)= d(P,Q) =

P Q ²

2 Q P 2 Q

P

x ) (y y ) (z z )

(x − + − + −

=

2 ) 1 2 (0 1 2 ) 1 2 ( 1 2 )

(1 − 1

²

+ −

²

+ −

²

= .

4

… A

NCORA UN

A

LTRO

M

ETODO

P

ER

D

ETERMINARE

L

A

C

OMUNE

P

ERPENDICOLARE

A D

UE

R

ETTE

S

GHEMBE

n: ¯ ® ­

n n

u a parallelo e

s contenente iano

u a parallelo e

r contenente iano

β α p p

r: °

¯

° ®

­

=

=

= 0 z

t y

1 x

, s:

° ¯

° ®

­

=

=

=

t z

t y

t x

t ∈R

u

r

= (0,1,0), u

s

= (1,1,1) ; _¸¸

¹

·

¨¨ ©

§ 1 1 1

0 1

0 Ÿ u

n

= u

r

xu

s

= (1,0,-1) Il piano contenente r e parallelo ad u

n

( in forma parametrica) è (1,0,0)+t(0,1,0)+q(1,0,-1) ( (1,0,0) pto di r )

° ¯

° ®

­

+ +

=

+ +

=

+ +

=

(-1)q )

0 ( 0 z

(0)q t ) 1 ( 0 y

q ) 1 ( ) 0 ( 1 x

t t

Ÿ α :

° ¯

° ®

­

=

= +

= -q z

t y

q 1 x

Ÿ x=1-z cioè α : x+z-1=0

A B

r

n

s

u

r

non parallelo a u

s

Ÿ

∃ w=u

^r

xu

s

non nullo e ⊥ ad u

^r

,u

s

Il piano contenente r e parallelo a w interseca il piano contenente s e parallelo a w in una retta n ⊥ ad r ed s

Ÿ n è la comune perpendicolare alle rette sghembe r,s ( w ⁄⁄ ^u

ⁿ

^).

I pti A e B intercettati dalla comune perpendicolare n su r e su s sono i punti di minima distanza tra r ed s.

5

Il piano contenente s e parallelo ad u

n

( in forma parametrica) è : (0,0,0)+t(1,1,1)+q(1,0,-1) ( (0,0,0) pto di s )

° ¯

° ®

­ +

= +

= +

=

(-1)q t z

(0)q t y

q ) 1 ( t x

Ÿ β:

° ¯

° ®

­

=

= +

= q - t z

t y

q t x

Ÿ (1

^a

+3

^a

=2 ⋅2

^a

) x+z=2yŸ β : x-2y+z=0

Quindi n:

¯ ®

­ β

α Ÿ n:

¯ ®

­

= +

−

=

− +

0 z 2y x

0 1 z x

Confrontiamolo con il risultato trovato in c): n

^*

° °

°

¯

°°

°

®

­

+

=

=

−

=

2 NJ 1 2 z 1

2 y 1

2 NJ 1 2 x 1

Per λ=0 in n

^*

troviamo il pto C ¸

¹

¨ ·

©

§ 2 , 1 2 , 1 2

1 , e si vede che C ∈n,

per λ=1 in n

^*

troviamo il pto D ¸

¹

¨ ·

©

§ , 1 2 , 1

0 , e si vede che D ∈n, e poiché due pti distinti individuano un’unica retta, ne segue che n=n

^*

.

Altrimenti si può osservare che:

♣ D(n*) = < ¸

¹

¨ ·

© § − 2 , 1 0 2 ,

1 >= <(1,0,-1)>= D(n)

♣ ¸

¹

¨ ·

©

§ 2 , 1 2 , 1 2

1 è pto di entrambe le rette Ÿ le rette n e n

^*

coincidono.

Con questo metodo poi i pti di minima distanza si trovano così :

A= n ∩r , B= n∩s . Il pto A:

° °

¯

°° ®

­

=

=

= +

− − = +

0 z

1 x

0 z 2y x z 1 0 x

Ÿ A(1, 2 1 ,0)

B=

° °

¯

° °

®

­

=

=

=

= +

− − = +

t z

t y

t x

0 z 2y

x z 1 0

x

Ÿ B ¸

¹

¨ ·

©

§

2

, 1

2

, 1

2

1

6

ESERCIZIO 2.

Distanza tra rette parallele: vari metodi

Siano date le rette r:

° ¯

° ®

­

−

=

−

=

=

t z

t y

t x

2 1

4 6

ed s:

° ¯

° ®

­

=

=

−

=

t z

t y

t x

3 6 9

.

a) Verificare che r ed s sono parallele.

b) Determinare la distanza tra r ed s.

a) Il vettore direzionale di r è u r =(6,-4,-2), il vettore direzionale di s è u s =(-9,6,3).

Dobbiamo verificare che u r e u s sono lin. dipendenti.

Se non ce ne rendiamo conto ′al volo′

^(*)

, possiamo sempre usare il prodotto vettoriale :

u

r

L. D. con u

s

⇔ u ^r // u s ⇔ u

r

x u

s

=(0,0,0)

¸¸ ¹

¨¨ ·

©

§

−

−

− 3 6 9

2 4

6 : i minori di ordine due a segno alterno sono : 0, 0, 0 Ÿ u

r

x u

s

=(0,0,0) .

b) La distanza tra due rette è definita come il segmento intercettato da una comune perpendicolare sulle due rette:

Se n è perpendicolare sia ad r che ad s, n ∩r= P, n∩s= Q allora d(r,s) = d(P,Q).

Nel caso delle rette parallele ci sono infinite perpendicolari comuni e la distanza tra r ed s è costante.

(*)

u

s

= -

2 3

u

r

7

Q pto corrente su r : Q(6t, -4t, 1-2t). Imponiamo che sia : (Q-P) ⋅ u

^s

=0 :

(6t, -4t, 1-2t) ⋅ (-9,6,3) =0 , ma è meglio

′semplificare′ (-9,6,3) per 3 e usare come u

s

= (-3,2,1).

(6t, -4t, 1-2t) ⋅ (-3,2,1) =0

⇔ -18t-8t+1-2t=0

⇔ -28 t =-1

⇔ t= ₂₈ ¹

Sostituiamo t= ₂₈ ¹ in Q(6t, -4t, 1-2t) e otteniamo Q ¸

¹

¨ ·

©

§ −

28 , 26 28 , 4 28

6

Sapendo che P(0,0,0) ricaviamo:

d(P,Q) =

28 26 28

4 28

6

^{2 2 2}

=

¸ ¹

¨ ·

© + §

¸ ¹

¨ ·

© § − +

¸ ¹

¨ ·

©

§ …=

28 728 .

P

Q s

r

n

Per trovare una comune perpendicolare possiamo scegliere un pto P su s, ad es. P(0,0,0) e

determinare la P.O. Q di P su r.

La retta per P e Q è una

comune perpendicolare e

d(r,s) = d(P,Q).

8

II MODO

Si può scegliere N _π =u r e il piano π per P(x ⁰ , y 0 , z 0 ) , di vet- tore normale N _π (a,b,c) è a(x- x 0 )+ b(y- y 0 )+c(z- z 0 )=0 [il luogo dei pti R(x,y,z) t.c. (R-P) ⋅ N π =0 : (x- x 0 ,y- y 0 ,z- z 0 ) ⋅ (a,b,c) =0 ]

u r = (-3,2,1) = N _π , P(0, 0, 0) Ÿ π: -3x+2y+z=0

Q= π ∩ s :

° °

¯

° °

®

­

= + +

−

−

=

−

=

=

0 2

3 2 1

4 6

z y x

t z

t y

t x

Ÿ

° °

¯

° °

®

­

=

− +

−

−

−

=

−

=

=

0 2 1 8 18

2 1

4 6

t t

t t z

t y

t x

Riotteniamo l’equazione di prima !

Preso P(0,0,0) ∈s si può considerare il piano π passante per P e ⊥ r . Q= π ∩ r

9

ESERCIZIO 3.

Circonferenze nel piano – Rette tangenti

Siano dati nel piano reale R

²

i tre pti P(2,0), Q(0,1), S(-1,1).

a) Verificare che per P, Q, S passa una ed una sola circonferenza.

b) Determinare la circonferenza passante per P, Q, S.

c) Determinare la retta tangente alla circonferenza in P.

Per 3 pti non allineati passa una ed una sola circonferenza, il cui centro C è determinato così :

a) P(2,0), Q(0,1), S(-1,1) allineati ?

Q-P = (-2,1) , S-P=(-3,1) : Q-P, S-P L.I.

Ÿ P,Q,S non allineati Asse h del segmento PQ:

retta passante per il pto medio M di PQ e perpendicolare a PQ Asse k del segmento QS:

retta passante per il pto medio N di QS e perpendicolare a QS

Ÿ C = h ∩k

10

b) Asse h del segmento PQ: retta h passante per il pto medio M di PQ e perpendicolare a PQ

P(2,0), Q(0,1) : M = 2

Q P +

= (1, 2 1 )

La retta PQ ha come vettore direzionale P-Q=(2,-1) Un vettore direzionale u=(l,m) di una retta ⊥ PQ è t.c.

u ⋅ (P-Q)=0 Ÿ (l,m)⋅(2,-1)=0 Ÿ 2l-m=0 Ÿ m=2l

Ÿ u=(l,2l)=l(1,2)

Ÿ u=(1,2) va bene (o un qualsiasi multiplo!)

• Retta h : M+<u> Ÿ h:

°¯

° ®

­ +

= +

= t y

t x

2 2 1 1

⇔ °¯

° ®

­

= −

−

=

4 1 2

1 t y

x t

⇔ 4x-4=2y-1 ⇔ h: 4x-2y-3=0 eq. cartes.

• Analogamente Asse k del segmento QS:

Q(0,1), S(-1,1) : N(- 2

1 ,1) pto medio di QS Q-S= (1,0) Ÿ v t.c. v ⋅(1,0)=0

Ÿ v=(0,1) va bene ! Retta k : N+<v> Ÿ k:

°¯

° ®

­ +

=

−

= t y x

1 2 1

(*)

Ÿ k: x=- ¹ ₂ eq. Cartes.

(*)

x= -1/2 è una retta parallela all’asse y: la y dei suoi pti varia in R, ma la x è costante !

11

• C = h∩k =

°¯

° ®

­

−

=

=

−

−

2 1

0 3 2 4 x

y x

Ÿ C(- ¹ ₂ ,- 2 5 )

• Raggio della crf. =r = d(C,Q) (opp. d(C,P), d(C,S)) (Q(0,1), C(-

2 1 ,-

2

5 ))Ÿ r=

²

¹

²

2 5 2

1 ¸

¹

¨ ·

©

§ − − +

¸ ¹

¨ ·

© § − =

2 2 5 50 = 4 ¸

¹

¨ ·

©

§

• Equazione circonferenza di centro C(α,β) e raggio r : Luogo dei pti P(x,y) t.c. d(P,C)=r, ossia t.c.

r y

x ₋ )

²

₊ ( ₋ )

²

₌

( α β ⇔

(x- α)

²

+(y- β)

²

= r

²

(*)

Ÿ (x+ ¹ ₂ ) ² +(y+ ₂ ⁵ ) ² = ²⁵ ₂

M ODO ALTERNATIVO

L’equazione di una generica circonferenza C è C : x

²

+y

²

+ax+by+c=0 ( da (*) sviluppando !) Imponiamo il passaggio di C per P(2,0), Q(0,1), S(-1,1):

4+2a+c=0

1+b+c=0 calcolando si trova … a=1,b=5,c=-6 1+1-a+b+c=0

Ÿ C : x

²

+y

²

+x+5y-6=0

Coincide con (x+ ¹ ₂ ) ² +(y+ ₂ ⁵ ) ² = ²⁵ ₂ ?

12

Verifichiamo sviluppando i quadrati o viceversa

da C :x

²

+y ² +x+5y-6=0 completiamo i quadrati

^(*)

[x

²

+x +

2

2 1 ¸

¹

¨ ·

©

§ ]+[ y ² +5y+

2

2 5 ¸

¹

¨ ·

©

§ ]-6=

2 2

2 5 2

1 ¸

¹

¨ ·

© + §

¸ ¹

¨ ·

©

§

Ÿ (x+

2

1 ) ² +(y+

2 5 ) ² =

2 2

2 5 2

1 ¸

¹

¨ ·

© + §

¸ ¹

¨ ·

©

§ +6 =

2

25 ok!

c) Determinare la retta tangente s alla circonferenza in P(2,0)

La retta s tangente alla circonferenza in P è allora la retta passante per P , con vettore direzionale u

s

.

Ÿ s: P+<u

s

>

Ÿ s: ¯ ® ­

−

= +

= t y

t x

0

2 in forma parametrica

⇔ s: x=2-y

⇔ s: x+y-2=0 in forma cartesiana

u

s

=vett.dir.di s ⇔ u ^s ⋅(C-P)=0 C(- 2

1 ,- 2

5 ),P(2,0)ŸC-P=(- 2 5 ,-

2 5 )

Da (x,y) ⋅ ^{(- 5} ₂ ^,- ₂ ⁵ )= 0 si ricava che una facile e buona scelta è : u= (x,y)= (1,-1) .

(*) x

²

+ax = x

²

+ax +(

2 1

a)

²

- (

2

1

a)

²

= (x+

2 1

a)

²

- (

4 1

a

²

)

13

ESERCIZIO 4.

Riconoscimento di circonferenze nello spazio Sia data C : _{3 4 15} ² ₀ ^{4 4 0 :} _: ^S

2 2 2

¯ ®

­

= +

−

=

−

−

− + +

π y

x

y x z y

x .

a) provare che C è una circonferenza b) trovare centro e raggio di C .

1. Sfera di centro C(a

₁

, a

₂

, a

₃

) e raggio R ≥0 è per def.

(analogamente alla crf. del piano, con l’aggiunta della z) l’insieme delle soluzioni dell’equazione

(x- a

1

)

²

+(y- a

2

)

²

+(z- a

3

)

²

= R

²

S: x ² + y

²

+ z

²

-2x-4y-4=0 . Completiamo i quadrati : (x ² -2x+1 ² -1 ² )+(y

²

-4y +2

²

-2

²

)+ z

²

-4 =0

Ÿ ^{S: (x-1)}

²

^{-1 + (y-2)}

²

^{-4 + z}

²

^{-4 =0} S: (x-1)

²

+ (y-2)

²

+ z

²

=4 :

S è la sfera di centro C(1,2,0) e raggio R=3

Per provare che C è una circonferenza occorre verificare che:

1. S è una sfera, π è un piano 2. d(C, π) <R

(x-1) ² (y-2)

²

14

2. Occorre ora verificare che sia d(C, π)<3 , ossia la distanza del centro C(1,2,0) dal piano π: 3x-4y+15=0 sia minore del raggio della sfera, in tal caso π∩S = C con C circon- ferenza.

d(C, π ) =d(C,Q)

con Q P.O. di s su π: Q= π ∩ s s: retta per C di vettore dir.

N _π =(3,-4,0)

s:

° ¯

° ®

­

+

=

− +

= +

=

t z

t y

t x

) 0 ( 0

) 4 ( 2

) 3 ( 1

Ÿ Q:

° °

¯

° °

®

­

= +

−

=

−

= +

=

0 15 4 3

0 4 2

3 1

y x z

t y

t x

Ÿ

° °

¯

° °

®

­

= + +

− +

=

−

= +

=

0 15 16 8 9 3

0 4 2

3 1

t t

z t y

t x

Ÿ

° °

°

¯

°°

°

®

­

=

= Ÿ +

=

−

= +

=

5 - 2 t 0 10 25

0 4 2

3 1

t z

t y

t x

Ÿ Q:

° °

°

¯

° °

°

®

­

=

= +

=

=

−

=

0 5 18 5 2 8

5 - 1 5 1 6

z y x

… prosegue alla prossima esercitazione.

π

C

Q

s

C N _π

15