PIRAMIDI
E’ un poliedro individuato da una faccia poligonale chiamata base e da un vertice che non giace sul piano della base e che talora viene chiamato apice della piramide. Sono facce della piramide la sua base e le facce triangolari che hanno come vertice il suo apice (chiamate facce laterali).
Una piramide prende il nome dal poligono di base:
n lati (n = 3, 4, ...) si dice piramide n-gonale ed ha: ( n+1 facce 2n spigoli n+1 vertici)
Una piramide è convessa se e solo se il poligono di base è convesso.
Si dice:
- altezza della piramide: il segmento che ha una estremità nell'apice e cade ortogonalmente sul piano contenente la base. Talora viene chiamata piramide obliqua una piramide la cui altezza cade al di fuori del poligono di base.
- apotemi laterali: ogni segmento che congiunge il suo apice al punto medio di un suo lato di base, ovvero l’altezza delle facce triangolari laterali.
- apotema di base il raggio del cerchio (se c'è) che è inscritto nel poligono di base della piramide.
La piramide può essere:
1. RETTA: nella base può essere inscritto un cerchio e l’altezza della piramide cade nel centro di quel cerchio.
In una piramide retta il segmento che congiunge il vertice con gli spigoli della base in modo da formare con essi un angolo retto è uguale in tutte le facce laterali.
Tale segmento ha un nome speciale che lo caratterizza: apotema laterale della piramide.
2. REGOLARE: o simmetrica. Sono piramidi che hanno per base un poligono regolare.
L’unica piramide che è anche poliedro regolare è il tetraedro che ha la base e le facce laterali formate da triangoli equilateri tutti uguali.
Le formule specifiche della piramide sono:
Apotema della piramide = √altezza2+apotema di base2
h = a
p2− a
b2a
b= a
2p− h
2
Superficie laterale = (Perimetro di base * apotema) : 2
Superficie totale = Superficie laterale + Area di base
S
l= P
b⋅ a
2 Pb =
2 ⋅ S
la a = 2 ⋅ S
lP
bS
t= S
l+ A
bS
l= S
t− A
bA
b= S
t− S
la
p= h
2+ a
b2IMP – se la piramide non è retta, le formule non sono valide. Un esempio è la piramide a base rettangolare, poiché nel rettangolo non è possibile inscrivere un cerchio.
Problema 1:
Una piramide retta ha per base un quadrilatero avente il perimetro di 108 cm. Due lati opposti sono uguali mentre la differenza degli altri due opposti è 13 cm. Calcola la superficie laterale sapendo che l’apotema di base è uguale al lato minore del quadrilatero e l’altezza misura 12 cm.
Problema 2:
Una piramide a base rettangolare ha il perimetro di base di 42 cm ed una dimensione è i 3/4 dell’altra. Sapendo che l’altezza misura 15 cm. Calcola la superficie totale.
