Re R et tt te e i in nc ci id de en nt t i i pa p ar ra al ll le el le e sg s gh he e mb m be e

Re R et tt te e i in nc ci id de en nt t i i pa p ar ra al ll le el le e sg s gh he e mb m be e

di d i R R

³³

M Mu ut t ue u e p po os si iz zi io on ni i di d i pi p i an a ni i

S

So ot tt to oi in ns si ie em mi i af a ff fi in ni i co c on nt te en ne en nt ti i p pt ti i

Rosalba Barattero

ESERCITAZIONE N.6

9 aprile 2008

ESERCIZIO 1.

Rette parallele, incidenti, sghembe In ciascuno dei seguenti casi stabilire se le rette sono

parallele, incidenti o sghembe, e nel caso, in cui siano complanari, determinare l’equazione cartesiana del piano che le contiene.

a) r :

°¯

°®

­

+

=

−

= +

= t z

t y

t x

2 2 1

, s:retta passante per A(2,-1,0),B(0,-4,-1)

b) r:

¯®

­

=

− +

= + +

−

0 1 2 5

0 1 3 3 3

z x

z y

x

, s:

¯®

­

= + +

=

− +

−

0 1 2 5

0 1 3 3 3

z x

z y x

c) r: {(x,y,z)| (x,y,z)=(-1,0,2) +S, con S =<(0,1,0)>}, s:

¯®­

= +

−

=

− +

2 6 2 2

z y

z y

x

.

D

A RICORDARE

Date A

₁

, A

₂

rette di R

³

, S

1

= D( A

₁

), S

2

= D( A

₂

) le loro giaciture, diciamo

- A

₁

// A

₂

( paralleli ) se S

1

= S

2

- A

1

, A

2

incidenti se A

1

∩ A

2

≠ ∅ - A

1

, A

2

sghembe se A

1

, A

2

non sono né parallele, né incidenti

A₁

A₂

2

a) r :

°¯

°®

­

+

=

−

= +

= t z

t y

t x

2 2 1

, s:retta passante per A(2,-1,0),B(0,-4,-1)

Controlliamo se per caso A o B stanno su r :

°¯

°®

­

+

=

−

=

− +

= t t

t 2 2 0

1 1 2

: No, non esiste t che soddisfi le tre eq.

ⁿⁱ

°¯

°®

­

+

=

−

−

=

− +

=

t t t

2 2 1

4 1 0

: No, non esiste t che soddisfi le tre eq.

ⁿⁱ

… peccato, i dati non ci forniscono informazioni immediate !

r : (1,0,2)+<(1,-1,2)> Ÿ S

1

= D(r)=<(1,-1,2)>

Per s : AB = (-2,-3,-1) Ÿ S

2

= D(s)=<(-2,-3,-1)>

Le due giaciture S

1

, S

2

sono distinte,(i generatori sono L.I.) quindi r ed s NON sono parallele.

Studiamo l’incidenza :

s: (2,-1,0)+k(-2,-3,-1), r : (1,0,2)+t(1,-1,2) Il pto generico di s è P(2-2k,-1-3k,-k).

Il pto generico di r è Q(1+t,-t,2+2t).

L’eventuale pto a comune dovrà soddisfare la condizio- ne (2-2k,-1-3k,-k)= (1+t,-t,2+2t), che si traduce nel

3

sistema

°¯

°®

­

+

=

−

−

=

−

−

+

=

−

t k

t k

t k

2 2 3 1

1 2 2

. Dobbiamo stabilire se esiste un valore di t e un valore di k che soddisfano il sistema.

Si può procedere per sostituzione in questo caso :

°¯

°®

­

+

=

−

−

= + +

−

+

= + +

t k

t t

t t

2 2

) 2 2 ( 3 1

1 ) 2 2 ( 2 2

Ÿ

°

¯

°®

­

+

=

−

−

=

−

=

t k

t t

2 2 7 5

3 5

Ÿ

°°

°

¯

°°

°

®

­

+

=

−

=

−

=

−

t k

t t

2 2 7 5 3 5

Assurdo !

Quindi r ed s NON sono incidenti, e non essendo neppure parallele, concludiamo che r ed s sono sghembe, e quindi non complanari ( non esiste nessun piano che contiene sia r che s).

b) r:

¯®

­

=

− +

= + +

−

0 1 2 5

0 1 3 3 3

z x

z y

x

, s:

¯®

­

= + +

=

− +

−

0 1 2 5

0 1 3 3 3

z x

z y x

I sistemi omogenei associati ci danno la rappresentazione cartesiana delle giaciture:

S

1

= D(r)=

¯®

­

= +

= +

− 0 2 5

0 3 3 3

z x

z y

x

, S

2

= D(s)=

¯®

­

= +

= +

− 0 2 5

0 3 3 3

z x

z y x

S

1

= S

2

Ÿ r ed s sono parallele

Per affrontare il problema del piano che le contiene ( le

rette parallele sono complanari !), ci occorre stabilire prima

che r ed s sono distinte, in caso contrario il piano che con-

tiene una retta è indeterminato ! ( infiniti piani vanno bene).

E’ sufficiente trovare un pto che sta su una retta e non sull’altra ! r:

¯®

­

=

− +

= + +

−

0 1 2 5

0 1 3 3 3

z x

z y

x

, s:

¯®

­

= + +

=

− +

−

0 1 2 5

0 1 3 3 3

z x

z y x

Ad es. (1/3, 1/3,-1/3) ∈r, ma ∉s . Le rette sono parallele e distinte. Affrontiamo dopo il problema.

c) r: {(x,y,z)| (x,y,z)=(-1,0,2) +S, con S =<(0,1,0)>}, s:

¯®

­

= +

−

=

− +

2 6 2 2

z y

z y

x

.

Scriviamo r in forma parametrica, r:

°¯

°®

­

=

=

−

=

2 1 z

t y x

(*)

Possiamo sostituire il generico pto P(-1,t,2) di r, nelle equazioni di s e stabilire se esistono valori di t che sono soluzioni di

¯®

­

= +

−

=

− +

− 2 2

6 4 2 t

t

. Sì t=0 è l’unica soluzione !che

corrisponde all’unico pto P(-1,0,2) comune ad r ed s, quindi concludiamo che r ed s sono incidenti.

A

B P

(*) Quali sono le equazioni cartesiane di r ?

Il piano di r,s è il piano per A,B,P.

Il risultato è: 2x-3z+8=0.

(*) Quali sono le equazioni cartesiane di r ?

b)% Piano contenente le rette parallele e distinte r:

¯®

­

=

− +

= + +

−

0 1 2 5

0 1 3 3 3

z x

z y

x , s:

¯®

­

= + +

=

− +

−

0 1 2 5

0 1 3 3 3

z x

z y x

Troviamo Pr(1/3, 1/3,-1/3)∈r , Ps(-1/3, -1/3,1/3)∈s

La giacitura D(r)= D(s) ha rappresentazione cartesiana

¯®

­

= +

= +

− 0 2 5

0 3 3 3

z x

z y

x e risulta : D(r)=D(s)=<(-2,3,5)>

D(

A

⁾è il piano per l’origine, parallelo al piano di r, s, ed è

<

P

s

P

r _,D(r)>,

P

_s

P

_r=(2/3,2/3,-2/3),D(r)=(-2,3,5). Per semplicità possiamo prendere

P

s

P

r =(1,1,-1). Quindi :

D(

A

^{) : 0}

1 1 1

5 3

2 =

−

−

z y x

Ÿ -8x+3y-5z=0

Ora per trovare il piano A basta cercare il termine noto, imponendo il passaggio per un pto del piano di r,s, ad es. Ps(-1/3,-1/3,1/3)

[-8 3 -5] ₃^{8 1} ₃^{5 0}

3 1 3 1 3 1

=

−

−

=

»»

»»

»»

¼ º

««

««

««

¬ ª

−

−

Ÿ

r sP

P e D(r)=D(s) individuano la giacitura del piano A per r, s.

P

r

r s

P

s

Il piano per r, s coincide con la sua giacitura !

6

Da ricordare !

Più precisamente

per ogni spazio affine

A

D(

A

^{) = {ABr} al variare di A, Br in

A

^}

A, B ∈ spazio affine A ^{Ÿ B-A (=}

^{ABr ) ∈ D(}

A

⁾

( =giacitura di

A ⁾

)

La figura di questa pagina è tratta da Tom M. Apostol – Calculus – vol.I

7

• La giacitura di uno spazio affine A

è un sottospazio vettoriale

( quindi passa sempre per l’origine !).

• La dimensione di uno spazio affine è per def. la dimensione del sottospazio vettoriale D( A ^).

La figura di questa pagina è tratta da Tom M. Apostol – Calculus – vol.I

ESERCIZIO 2.

Sottoinsiemi affini contenenti pti Siano dati in R

³

i punti A(1,0,1), B(0,1,1), C(2,-3,-1), D(-4,5,1). Determinare il sottoinsieme affine di dimen- sione più piccola possibile, che contiene i quattro punti dati.

• B-A, C-A, D-A, B-C,…stanno nella giacitura dell’insieme affine che contiene i pti A, B, C, D.

B-A = (-1,1,0) , C-A = (1,-3,-2), D-A =(-5,5,0) D-A è multiplo di B-A Ÿ A,B,D sono allineati !

Scartiamo D ( e quindi D-A), non aggiunge informazioni sulla giacitura !

B-A, C-A sono L.I. Ÿ generano il sottospazio vettoriale (passante per l’origine !) di dim 2 associato al sottoinsie- me affine dato A, detta giacitura: il piano < B-A, C-A>, che contiene tutti i vettori restanti B-C, D-C etc. poiché sono C.L. di B-A e C-A.

Allora è un piano ( dim 2 ) anche l’insieme affine che contiene i 4 pti dati : A+ < B-A, C-A>.

Terminare l’ex.determinando forma cartesiana/ parametrica di A.

D

^OMANDA

Nel piano R

²

quale è l’insieme affine di dimensione più piccola possibile che contiene i punti A(1,0) e B(0,1) ? E quale è il sottospazio vettoriale di dimensione più piccola possibile che contiene i punti A(1,0) e B(0,1) ?

Insieme affine Sottospazio vettoriale

C’è sempre anche l’origine !

A : A+<B-A>

: (1,0) +(-1,1)t : (1-t,t)

Ÿ è la retta x=1-y passante per A, con giacitura x=-y

(1,0), (0,1) sono L.I. Ÿ <(1,0),(0,1)> = R²

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ESERCIZIO 3.

Piani affini paralleli Dati il piano affine M: P+<u,v> con P(2,3,1), u=(1,2,3), v=(3,2,1) e il piano affine N : x-2y+z=1, stabilire se M ed N sono paralleli.

Due piani affini sono paralleli se e solo se hanno la stessa giacitura.

La giacitura di N : x-2y+z=1 è D(N) : x-2y+z=0 Tutti i piani paralleli ad N sono: x-2y+z=k , k∈R

D( N)

u

P v

u v

N

O

<u,v>=<(1,2,3),(3,2,1)>

= D(

M

⁾

Affinché sia D(

M

^)=D(

N

⁾ dovrà essere u

,v ∈D(N) : x-2y+z=0

Verifichiamolo.

Vero !

11