Prima parte del Compito di MDAL

(1)

Prima parte del Compito di MDAL 8 settembre 2017

Cognome e nome: . . . . Numero di matricola: . . . Corso e Aula: . . . . IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usare calcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non si pu` o scrivere con il lapis.

Esercizio 1. Si consideri R

⁵

con il prodotto scalare standard. Siano v

₁

= (4, −1, 2, −2), v

₂

= (1, 0, 1, 1) vettori di R

⁴

(scritti in riga per motivi di spazio).

1. (Punti 1 ) Trovare una base di (Span (v

₁

, v

₂

))

^⊥

.

2. (Punti 1) Trovare una base ortogonale di Span (v

₁

, v

₂

).

Esercizio 2. Sia X = {1, . . . , 100}.

1. (Punti 1) Quanti sono i sottoinsiemi {a, b} di X tali che a + b = 101?

2. (Punti 1) Quanti sono i sottoinsiemi {a, b} di X in cui a e b sono entrambi numeri pari?

Esercizio 3. Sia n un numero naturale e consideriamo la congruenza xy ≡ 1 (mod n).

1. (Punti 1) Quante sono le soluzioni (x, y) modulo n per n = 97?

2. (Punti 1) Quante sono le soluzioni (x, y) modulo n per n = 100?

(2)

Esercizio 4. Consideriamo polinomi a coefficienti razionali.

1. (Punti 1) Per quali valori di n il polinomio x

²

− 1 divide x

ⁿ

− 1?

2. (Punti 1) Per quali valori di a il polinomio x − a divide il polinomio x

⁷

− x + a?

Esercizio 5. Sia F : R

³

→ R

³

un’applicazione lineare tale che F ((2, 3, 1)) = (6, 9, 3), F ((1, 1, 0)) = (−2, −2, 0), F ((0, 1, −1)) = (0, −3, 3). Trovare la matrice di F rispetto alle seguenti basi:

1. (Punti 1) La base (2, 3, 1), (1, 1, 0), (0, 1, −1) in partenza e in arrivo;

2. (Punti 1) La base standard (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) in partenza e in arrivo.

Esercizio 6. Sia T : R

³

→ R

³

la rotazione di

^π₆

in senso antiorario intorno alla retta Span((0, 0, 1)) (lascia dunque fissi i punti di tale retta).

1. (Punti 1 ) Scrivere la matrice di T rispetto alla base standard.

2. (Punti 1) Quali sono gli autovalori di T ? Scrivere qui...

(3)

Seconda parte del Compito di MDAL 8 settembre 2017

Cognome e nome: . . . . Numero di matricola: . . . Corso e Aula: . . . . IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usare calcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non si pu` o scrivere con il lapis. Motivare in modo chiaro le risposte.

Esercizio 7. a) Determinare per quali valori del parametro intero a il se- guente sistema di congruenze ` e risolubile:

( ax + 5 ≡ 2 (mod 17) a

^x

≡ 4 (mod 17)

b) Determinare tutte le soluzioni del sistema nel caso a = 2.

(4)

Esercizio 8. a) Si consideri l’applicazione lineare L

_k

: R

³

→ R

³

che, rispetto alla base standard, ` e rappresentata dalla matrice





1 1 1 + k

2 2 2

0 0 −k





Si trovino i valori di k per cui L

k

` e diagonalizzabile. Dare, per ogni valore di k, una base di Ker L

_k

.

b) Quali sono gli autovalori della applicazione lineare L

²_k

− 3L

k

Prima parte del Compito di MDAL

Prima parte del Compito di MDAL 8 settembre 2017

Cognome e nome: . . . . Numero di matricola: . . . Corso e Aula: . . . . IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usare calcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non si pu` o scrivere con il lapis.

Esercizio 1. Si consideri R

con il prodotto scalare standard. Siano v

= (4, −1, 2, −2), v

= (1, 0, 1, 1) vettori di R

(scritti in riga per motivi di spazio).

1. (Punti 1 ) Trovare una base di (Span (v

, v

))

.

2. (Punti 1) Trovare una base ortogonale di Span (v

, v

).

Esercizio 2. Sia X = {1, . . . , 100}.

1. (Punti 1) Quanti sono i sottoinsiemi {a, b} di X tali che a + b = 101?

2. (Punti 1) Quanti sono i sottoinsiemi {a, b} di X in cui a e b sono entrambi numeri pari?

Esercizio 3. Sia n un numero naturale e consideriamo la congruenza xy ≡ 1 (mod n).

1. (Punti 1) Quante sono le soluzioni (x, y) modulo n per n = 97?

2. (Punti 1) Quante sono le soluzioni (x, y) modulo n per n = 100?

Esercizio 4. Consideriamo polinomi a coefficienti razionali.

1. (Punti 1) Per quali valori di n il polinomio x

− 1 divide x

− 1?

2. (Punti 1) Per quali valori di a il polinomio x − a divide il polinomio x

− x + a?

Esercizio 5. Sia F : R

→ R

un’applicazione lineare tale che F ((2, 3, 1)) = (6, 9, 3), F ((1, 1, 0)) = (−2, −2, 0), F ((0, 1, −1)) = (0, −3, 3). Trovare la matrice di F rispetto alle seguenti basi:

1. (Punti 1) La base (2, 3, 1), (1, 1, 0), (0, 1, −1) in partenza e in arrivo;

2. (Punti 1) La base standard (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) in partenza e in arrivo.

Esercizio 6. Sia T : R

→ R

la rotazione di

in senso antiorario intorno alla retta Span((0, 0, 1)) (lascia dunque fissi i punti di tale retta).

1. (Punti 1 ) Scrivere la matrice di T rispetto alla base standard.

2. (Punti 1) Quali sono gli autovalori di T ? Scrivere qui...

Seconda parte del Compito di MDAL 8 settembre 2017

Cognome e nome: . . . . Numero di matricola: . . . Corso e Aula: . . . . IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usare calcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non si pu` o scrivere con il lapis. Motivare in modo chiaro le risposte.

Esercizio 7. a) Determinare per quali valori del parametro intero a il se- guente sistema di congruenze ` e risolubile:

( ax + 5 ≡ 2 (mod 17) a

≡ 4 (mod 17)

b) Determinare tutte le soluzioni del sistema nel caso a = 2.

Esercizio 8. a) Si consideri l’applicazione lineare L

: R

→ R

che, rispetto alla base standard, ` e rappresentata dalla matrice





1 1 1 + k

2 2 2

0 0 −k





Si trovino i valori di k per cui L

` e diagonalizzabile. Dare, per ogni valore di k, una base di Ker L

.

b) Quali sono gli autovalori della applicazione lineare L

− 3L

? Per quali

valori di k tale applicazione ` e diagonalizzabile? Esistono dei valori di k per

cui tale applicazione ` e l’applicazione nulla?