Il rumore nei dispositivi elettronici

Il rumore nei dispositivi elettronici

D.Gamba et al.

July 12, 2004

Il rumore, in senso lato, puo’ essere definito come ogni segnale non desiderato che oscura o inter- ferisce col segnale desiderato . Il rumore, o in gergo noise, e’ un segnale totalmente casuale; le componenti della frequenza sono completamente casuali sia in ampiezza che in fase. Anche se su un intervallo di tempo abbastanza ampio si puo’ misurare lo rms del segnale, la sua ampiezza istantanea non puo’ essere predetta. Se si potesse predire, si capisce, non sarebbe piu’ un problema.

Quello che si puo’ predire e’ il tipo di randomness del noise. La maggior parte dei tipi di rumore ha una distribuzione Gaussiana, come ad es., il rumore termico e lo shot noise, altri tipi di rumore hanno distribuzioni diverse, ma poiche’ la somma di molte variabili casuali indipendenti e’ una variabile Gaussiana, si puo’ assumere che l’analisi in termini di pdf Gaussiana per il rumore sia ben giustificata:

f (x) = 1 σ√

2πexp − [(x − µ)²

2σ² ] (1)

essendo x l’ampiezza del segnale di rumore, che puo’ essere sia di tensione che di corrente, e µ il suo valor medio. Se σ e’ la deviazione standard della distribuzione Gaussiana, allora il valore istantaneo si trova tra il valore medio del segnale e ±σ circa il 68% del tempo. Per definizione, σ² (la varianza) e’ lo scarto quadratico medio attorno al valore medio. Questo significa che i segnali di ampiezza con distribuzione Gaussiana hanno per deviazione quadratica media, attorno al valore centrale < e² > di tensione o < i²> di corrente, la varianza σ²e lo rms e’ la deviazione standard σ.

Teoricamente l’ampiezza del rumore puo’ tendere a valori infiniti; tuttavia la probabilita’

diminuisce rapidamente. Il limite pratico e’ ±3σ, poiche’ l’ampiezza del noise e’ per il 99.7% delle volte entro questi limiti. Poiche’ il valore di rms di una sorgente di rumore e’ uguale a σ, per essere sicuri che un segnale picco a picco,p-p, sia entro i limiti il 99.7% delle volte, si moltiplica il valore rms per 6(+3σ − (−3σ)) che e’ uguale a E^rmsx6 = Epp

Ci si puo’ accontentare anche di meno, ad esempio del 95.4% e quindi si moltiplica per 4, oppure

se si vuole il 99.94% , cioe’ al massimo 6 volte su 10000, si moltiplica la σ per 6.8.

La definizione di rms e’ basata sulla misura che i voltmetri digitali fanno della tensione AC, in funzione del tempo, v(t) secondo:

Vrms = s 1

T_p Z T

0

v²(t)dt (2)

dove T_p e’ il periodo. Applicando la definizione ad un’onda sinusoidale di V_m Volt p-p, si ottiene il risultato da ricordare : V_rms= 0.707V_m .

1 Cenni sul Common-Mode Noise

Prima di discutere dei vari tipi di rumore generato nei e dai dispositivi elettronici, si introduce nelle sue componenti principali quello che si intende in generale per rumore: il segnale che compare sullo schermo dell’oscilloscopio a mascherare il segnale vero. A differenza del rumore casuale dei dispositivi questo e’ un rumore che essendo generato o captato da altri generatori ha una struttura definita, per cui si riesce ad abbattere. Il mondo della tecnologia high tech e’ invaso dal rumore. Conoscere le caratteristiche e capire il comportamento del rumore e’ importante per chi si accinge a progettare circuiti elettronici. Il rumore e’ generalmente causato da interferenze elettromagnetiche (EMI), da interferenze di radiofrequenze (RFI) e da loop di massa ( o ground loop).

1.1 EMI

Le interferenze EMI si possono dividere in due categorie: quelle prodotte da dispositivi che producono intenzionalmente radiazione e.m., come i trasmettitori TV e radio, cellulari, radio amatori, sistemi radar e GPRS, insomma tutte le sorgenti che emettono deliberatamente

radiazione e.m. e quelle prodotte non intenzionalmente da sistemi quali i computer, la televisione di casa, lo stereo, printer, copiatrici, luci al neon, strumenti di potenza ad es. trapano, e linee di potenza. Questa seconda categoria e’ quella che genera piu’ problemi ai sistemi elettronici.

Si trascurano altre fonti di rumore, quale le sorgenti naturali di EMI come la luce, raggi cosmici, decadimenti radioattivi etc. che pure hanno la loro importanza vitale, ad es. nella strumentazione satellitare, negli strumenti di controllo aereo etc.

La maggior parte deila strumentazione elettronica ha un filtro EMI sul front end

dell’alimentazione, in modo da bloccare la massima parte del rumore viaggiante sui cavi di alimentazione ( vedere le etichette omologate CE ). Sfortunatamente la EMI puo’ essere irradiata ed accoppiarsi con l’involucro metallico o con le linee dati. Si ovvia a questo con connettori accoppiati e intrecciati e schermati con la schermatura messa a terra. Il rumore EMI puo’

viaggiare anche sul sistema di connessione a TERRA, se questo non e’ ben progettato. Per ovviare ai ground loop e’ necessario che tutto il sistema, piccolo o grande che sia, sia connesso a terra in un unico punto, altrimenti si generano loop di massa che alterano il comportamento ed i segnali del sistema.

1.2 RFI

La RFI e’ la propagazione via radiazione e.m. e per conduzione su linee di segnali e sistemi di alimentazione AC. Nel primo caso, uno degli elementi che contribuisce di piu’ alla RFI e’ il cavo di tensione. Agisce come un’antenna, poiche’ la sua lunghezza a volte e’ proprio un quarto di lunghezza d’onda RFI della strumentazione digitale e dagli alimentatori switching. Nel secondo caso conduzione, ce ne sono due tipi: RFI common-mode ( asimmetrico ) e’ presente sulle linee e sul neutro rispetto a terra ed il RFI differenziale (simmetrico) e’ presente come una tensione tra le linee ed il neutro.

1.3 Ground loop

Uno dei problemi piu’ difficili da capire, diagnosticare e risolvere e’ il ground loop. Tutti i tipi di apparati sono suscettibili a questo problema. I ground loop causano errori sui dati, rotture di componenti, blocco dei computer e nei casi peggiori problemi di sicurezza. Il mettere a terra i dispositivi e’ in prima istanza usato per problemi di sicurezza,es. evitare che ci sia

surriscaldamento e prenda fuoco. A questo scopo si potrebbe pensare che la ridondanza della messa a terra sia una buona cosa perche’, se un punto di messa a terra e’ tolto per caso, ce ne sono ancora altri. In realta’ questo e’ causa di problemi ancora maggiori, infatti i ground loop sono proprio dovuti al fatto che ci sono piu’ punti di messa a terra. La messa a terra e’ anche usata per terminare la schermatura delle linee di trasmissione e prevenire che la radiazione sia emessa ed assorbita.

Quando si formano ground loop, la corrente che fluisce nel ground e’ difficilmente definibile. Puo’

essere causata da differenze di potenziale, da induzione da altri cavi o strumenti, errori di cablaggio, perdite di corrente per saldature sbagliate etc.. La corrente puo’ essere DC, 60Hz o frequenze molto alte.

I ground loop possono causare problemi ai sistemi elettronici in tre modi:

1. Correnti a basso voltaggio sul ground possono generare tensioni che producono errori nei segnali e quindi nei dati. Possono essere a bassa frequenza, 60Hz , o noise elettrico ad alta frequenza.

2. I transienti ad alta frequenza viaggiano sul ground dei dati piuttosto che il ground dell’alimentazione per andare a terra. Questi transienti possonon essere causati

internamente da variazioni brusche della corrente, tipo la carica iniziale delle capacita’ di input in un alimentatore switching, un motore induttivo, accensione di una luce. Questi transienti possono causare danni ai drivers, ai receivers, ai microprocessori e a quasi tutti i sistemi se lo sbalzo e’ sufficentemente grande.

3. Il loop di ground e’ la causa principale del common-mode noise tra le fasi, neutro e ground, in un sistema di distribuzione di potenza. Questo noise e’ iniettato nel sistema di

alimentazione e da questo passa ai componenti elettronici.

1.4 Common Mode noise

Il termine common-mode noise e’ usato nell’ambito dei sistemi di alimentazione in ac ( ac power ) e dei circuiti analogici.

Il common-mode noise in termini di ac power e’ il segnale di rumore tra il conduttore di terra e il conduttore neutro. Non deve essere confuso con il normal mode noise. che e’ il rumore tra le linee di conduzione e la linea neutra.

Gli impulsi di c-m noise tendono ad avere una frequenza piu’ alta che il segnale del normal-noise.

Questo perche’ la maggioranza dei segnali di c-m originano dalle capacita’ accoppiate al segnale normal mode. Piu’ alta la frequenza tanto maggiore e’ l’accoppiamento con i conduttori, linee, neutro e terra. Le apparecchiature elettroniche sono da 10 a 100 volte piu’ sensibili al c-m noise che al normal-mode noise. L’ammontare del noise presente sulle linee di potenza puo’ essere una sorpresa ogni volta. La sorgente di questo noise arriva dall’impianto elettrico, esterno ed interno all’edificio; principalmente e’ dovuto alla continua variazione del carico sulle linee dell’impianto.

Qui di seguito e’ mostrato la forma caratteristica del noise sulle linee della tensione.

Alcuni dei segnali hanno la frequenza caratteristica della frequenza delle linee di 60 Hz. Questo tipo di noise e’ il segnale del common-mode noise che si trova sulle linee di potenza. Se si lascia l’oscilloscopio acceso a lungo si vedranno ogni tanto degli spike di segnale dovuti a motori accesi, trapani etc.. I tradizionali trasformatori ed anche i trasformatori di isolamento non bloccheranno i segnali del normal mode noise, ma se il secondario di questi trasformatori ha il neutro fissato a terra, al ground, questo puo’ servire a convertire il normal-mode noise in common-mode noise.

Dal punto di vista della microelettronica questo e’ potenzialmente piu’ dannoso del normal-mode noise.

Il common-mode noise e’ spesso riferito al Common-Mode Voltage (CMV) che e’ presente ad entrambi gli ingressi di un circuito analogico rispetto al ground.

La maggiore sorgente di common-mode noise e’ la differenza di potenziale tra due terre fisicamente lontane. Questo e’ il caso che capita spesso con reti di calcolatori quando ci sono ground loop. I tipici effetti sono intermittenti reboot, blocchi improvvisi, e un cattivo trasferimento dati. Quindi tutti i componenti della rete, interfacce, porte seriali, parallele e modem sono i primi a risentirne.

Una seconda importante sorgente di common-mode noise e’ quando una sorgente di potenza non e’ messa a terra, ad esempio se un sistema di alimentazione almenta dei sistemi remoti e questi sistemi non sono messi a terra. Anche le sorgenti RFI sono sorgenti di common-mode noise. I cavi di segnale agiscono come antenne se non sono schermati e la schermatura non e’ messa a terra.

1.5 Common-Mode rejection

Esistono delle tecniche di reiezione del common-mode noise per impedire che si trasformi in normal-mode noise. Una e’ la capacita’ degli amplificatori di escludere gli effetti delle tensione applicata ad entrambi i terminali simultaneamente. Il Common-Mode Rejection Rate , CMRR, e’

il rapporto in dB dell’amplificazione del segnale differenziale all’amplificazione della tensione di common-mode. Il CMR e’ a volte definito come la frequenza effettiva associata con un massimo di sbilanciamento in input: 120dB@500Hz1000Ω. Un rapporto di reiezione di 120dB significa che una tensione di common-mode di 1V passa attraverso il dispositivo come se ci fosse un segnale differenziale di input di 1µV . Questo significa che maggiore e’ il CMRR meglio e’.

Per la misura del common-mode noise si puo’ usare un oscilloscopio nel dominio tempo/tensione ed un analizzatore di spettro per i dati nel dominio della frequenza.

2 Noise bandwidth

La definizione di larghezza di banda del noise, noise bandwidth, non e’ la stessa di quella del segnale, larghezza di banda a -3 dB. La larghezza di banda di un amplificatore e’ classicamente definito come la larghezza della banda presa tra i punti a meta’ potenza; i punti sull’asse della frequenza dove la trasmissione del segnale e’ stato ridotto di 3dB rispetto al valore centrale.

Questo significa una perdita di potenza del 50% e corrisponde ad un livello di tensione pari a 0.707 della tensione corrispondente al centro delle frequenze. La noise bandwidth, ∆f , e’ la larghezza corrispondente alla base di un rettangolo la cui area e’ uguale all’area sottesa dalla curva di guadagno in un determinato intervallo di frequenza. La noise bandwidth e’ quindi data dall’area sotto la curva di potenza, (integrale del guadagno di potenza vs frequenza) divisa per l’ampiezza di picco della curva. L’equazione e’

∆f = 1 G₀

Z ∞ 0

G(f )df (3)

essendo G(f ) il guadagno di potenza come funzione della frequenza e G₀ il guadagno di potenza al picco. Generalmente si conosce solo l’andamento della frequenza del guadagno di tensione del sistema e poiche’ il guadagno di potenza e’ proporzionale al quadrato del guadagno di tensione della rete, la bandwidth equivalente puo’ anche essere scritta come

∆f = 1 A²_v0

Z ∞

0 |Av(f )|²df (4)

con A_v0 l’ampiezza di picco del guadagno di tensione e |Av(f )|² e’ il quadrato dell’ampiezza del guadagno in tensione vs la frequenza - il quadrato della grandezza del diagramma di Bode.

Nel plot di sinistra , notare la scala lineare in entrambi, si vede il plot del guadagno di un amplificatore dove il massimo e’ per una tensione dc, mentre in quello di destra il plot ha un massimo, questo massimo del guadagno deve essere usato per normalizzare il calcolo della

bandwidth del noise. L’area tratteggiata del rettangolo e’ uguale all’area di integrazione della eq.

precedente. Cosi’ la bandwidth del noise, ∆f , non e’ uguale alla potenza a meta’ altezza o alla bandwidth -3dB, f₂^′, sara’ sempre maggiore di f₂

Come un esempio di calcolo di ∆f si consideri un filtro passa basso ad un polo la cui trasmissione del segnale varia con la frequenza come A_v(f ) = 1/(1 + jf /f₂) , con f₂ la convenzionale frequenza di cutoff -3dB e con la bassa frequenza e il guadagno di tensione a meta’ banda normalizzato all’unita’. La grandezza del guadagno in tensione e’

|Av(f )| = 1

p(1 + (f /f2)²) (5)

e la noise bandwidth

∆f = Z ^∞

0

df

1 + (f /f2)² (6)

Con una sostituzione di variabile cosicche’ f − f2tanθ e df = f₂sec²θdθ e con i nuovi limiti di integrazione tra 0 e π/2 si ricava

∆f = Z _π/2

0

f₂sec²θdθ 1 + tan²θ = f₂

Z _π/2

0

dθ = πf₂

2 = 1.571f₂ (7)

Notare come la noise bandwidth sia 57% piu’ grande della convenzionale −3dB bandwidth per un filtro passabasso ad un polo. Con circuiti a piu’ stadi in cascata, pero’, la noise bandwidth ∆f approssima la bandwidth convenzionale di -3dB; con tre filtri passabasso in cascata la differenza e’ solo piu’ del 15%.

Spesso il calcolo della ∆f con l’integrazione risulta non facile, ci sono delle soluzioni approssimate che forniscono un valore asintotico, ma l’approssimazione in certi casi e’ eccessiva e non

accettabile. Un metodo pratico e’ di usare dei simulatori del circuito , esempio con SPICE o simili oppure usare il metodo grafico con il calcolo dell’area geometricamente.

Il termine densita’ spettrale e’ usato per descrivere il contenuto di rumore in una unita’

bandwidth di 1 Hz. Ha unita’ di V²Hz ed e’ indicata come S(f ), per indicare che generalmente varia con la frequenza. Nel caso di white noise, rumore bianco, la S(f ) e’ costante vs la frequenza, e’ una smplice linea orizzontale.

La misura il noise e’ il rms di una certa quantita’, tensione o corrente, di segnale di rumore. Cosi’

si ottiene la densita’ spettrale dividendo il valore quadratico medio di una tensione di noise con la bandwidth. Prendendo la radice quadrata di questa quantita’ si ottiene la tensione rms del rumore in 1 Hz di bandwidth. Notare che la radice quadrata della densita’ spettrale, E/√

∆f , e’

una quantita’ che si puo’ misurare, con unita’ V Hz^1/2.

La densita’ spettrale e’ quindi il valore del noise in una stretta banda di 1Hz e , come detto, generalmente varia con la frequenza. Per ottenere il rumore totale in tutta la banda, la funzione della densita’ spettrale deve essere integrata sulla banda di frequenze che interessa.

3 Meccanismi base del rumore

Nei circuiti elettronici ci sono fondamentalmente, oltre al common-mode noise, ben 5 sorgenti di noise:

. Shot Noise . Thermal Noise . Flicker Noise . Burst Noise . Avalanche Noise

Nei circuiti che impiegano Op-amp il burst noise e l’avalanche noise non sono un problema, o si possono eliminare facilmente se presenti, per cui non se ne terra’ conto nell’analisi circuitale.

Si parlera’ di seguito di white noise, rumore bianco, tutte le volte che la potenza del noise e’

proporzionale alla larghezza di banda del noise, cioe’ la potenza di noise e’ costante in ogni Hertz di larghezza di banda; la potenza nella banda da 1 a 2 Hz e’ uguale a quella in da 1000 a 1001, la potenza e’ piatta. Il segnale di noise e’ composto da infinite frequenze.

3.1 Shot Noise

Lo shot noise e’ sempre associato con il passaggio della corrente in transistor, diodi o tubi a vuoto; esso e’ prodotto ogni qualvolta delle cariche elettriche passano attraverso una barriera di potenziale, come in una giunzione np o in un tubo a vuoto alla superfice tra catodo e vuoto. La domanda che ci si pone in questa situazione riguarda quante cariche attraversano la superficie nell’unita’ di tempo. La quantita’ di cariche e’ un parmetro casuale, che dipende dalla corrente media, ma con fluttuazioni sopra questa media che sono causa del rumore chiamato shot noise.

Non c’e’ shot noise nei conduttori semplici. Attraversare una barriera di potenziale e’ un puro

evento casuale, cosi’ la corrente istantanea i e’ composta da un grande numero, indipendenti, di impulsi di corrente con un valore medio IDC . Lo shot noise e’ generalmente definito in termini di rms della corrente di noise, come I_sh=p(2qIDC∆f ) e passando al continuo come varianza

< i²_sh>, dove :

< i²_sh >=< (i − iDC)² >=

Z

2qi_DCdf (8)

Essendo q la carica dell’elettrone (1.62 · 10⁻¹⁹C), I_DC e’ la corrente diretta in Ampere e df e’ il differenziale della frequenza. Il fatto che la la corrente di shot noise dipenda dalla radice quadrata della bandwidth ∆f dimostra che lo shot noise e’ spettralmente piatto o ha una densita’ di potenza uniforme, che significa che quando si plotta la densita’ di potenza vs frequenza questa ha un valore costante, e’ un white noise, infatti la potenza di noise e’ definita come

P =< i >² R = 2qIDCR∆f da cui si vede come la potenza per unita’ di bandwidth. Esso e’ anche indipendente dalla temperatura. Il temine qi_DC e’ una densita’ di potenza avente unita’ A²/Hz.

Nei transistori BJT la barriera piu’ importante e’ quella della giunzione emitter-base, mentre nei JFET e’ la gate-source. Nel caso del BJT la caratteristica I-V di emitter-base e’ descritta dalla equazione I_E = I_S(exp(qV_BE/kT − 1), dove IE e’ la corrente di Emitter, I_S e la corrente inversa di saturazione e V_BE e’ la tensione base- emitter. La espressione si puo’ riscrivere come

I_E = I₁+ I₂ , con I₁= −IS e I₂ = exp(qV_BE/kT ). Scritta in questo modo si puo’ associare la corrente I₁ generata termicamente dai portatori minoritari, mentre la I₂ rappresenta la diffusione dei portatori maggioritari attraverso la barriera. Ciascuna di queste correnti ha shot noise e anche se scorrono in direzioni opposte i loro valori quadratici medi si sommano.

In condizioni di bias inverso, la I₂≃ 0 e la corrente di shot noise I1 domina, al contrario quando il bias e’ diretto domina la corrente di shot noise I₂. Per zero bias non c’e’ corrente esterna diretta e la I₁ e la I₂ sono uguali ed opposte. Il valore quadratico medio dello shot noise totale e’ quindi il doppio della corrente di shot con bias inverso I_sh² = 4qI_S∆f .

A questo punto si puo’ disegnare il circuito equivalente di una sorgente di shot noise che consiste in un generatore di corrente in parallelo, nel caso di una giunzione np con bias diretto, alla resistenza priva di noise di emitter di Shockley che vale r_e= kT /qI_E.

La tensione di noise si ricava a questo punto dal circuito come E_sh = (0.025/I_E)p(2qIE∆f ) = 1.42 · 10⁻¹¹p(∆f /IE)

3.2 Thermal Noise

Il noise termico, ( thermal noise), e’ prodotto dall’agitazione termica dei portatori di carica ( elettroni o lacune) in un conduttore. Questo noise e’ presente in tutti gli elementi resistivi passivi.

Come lo shot noise, il thermal noise e’ spettralmente piatto e ha una densita’ di potenza piatta, ma il thermal noise e’ indipendente dal passaggio della corrente.

In ogni conduttore o resistore a temperatura maggiore dello zero assoluto produce si ha produzione di thermal noise; sebbene la corrente media generata da questo rumore sia zero, istantaneamente c’e una corrente fluttuante che da’ luogo ad una tensione ai capi del conduttore.

La available noise power, potenza di rumore disponibile in un conduttore, N_t, e’ proporzionale alla temperatura assoluta ed alla larghezza di banda ∆f del dispositivo di misura: N_t= kT ∆f . l’available noise power e’ la potenza che puo’ essere fornita ad una sorgente resistiva quando essa e’ applicata a una resistenza di carico senza noise R_L uguale alla resistenza della sorgente R_S. Il noise termico in un conduttore puo’ ben essere modellato come una tensione o corrente. Quando e’ modellato come una tensione esso e’ messo in serie con un resistore privo di noise; quando e’

modellato come corrente, esso e’ messo in parallelo con un resistore privo di noise. Quindi, R_L= R_S e E₀ = E_t/2 rappresenta il vero rms della tensione di noise. La potenza fornita a R_L e’

N_t ed e’ data da

N_t= E₀² RL

= E_t² 4RL

= E_t² 4RS

= kT ∆f (9)

Il circuito equivalente per determinare la tensione di noise e’ il seguente

Dalla relazione precedente si ricava E_t la rms della tensione del rumore termico di una resistenza R = RS che vale

E_t=√

4kT R∆f

, essendo R la resistenza o la parte reale della impedenza del conduttore , in Ohm, e k la costante di Boltzmann (1.3910⁻²³J/K) o 1.3810⁻²³W − s/K, T il valore assoluto della temperatura in Kelvin (K). N.B. ricordare che :4kT = 1.61 · 10⁻²⁰ a 290K. Dalla definizione di densita’

spettrale si ha che S(f ) = E_t²/∆f = 4kT R.

Il valore medio dello scarto quadratico medio della sorgente di tensione di noise, e della sorgente di corrente di noise, si calcola come :

e²_t =R 4kT Rdf

i²_t =R (4kT/R)df

I termini 4kT R e 4kT /R sono quindi le densita’ di potenza, o spettrale, della tensione e corrente avente come unita’ V²/Hz e A²/Hz. A temperatura ambiente (17^oC oppure 290K), per una bandwidth di 1.0Hz si ha N_t= 4 · 10⁻²¹W , che equivale a -204dB per 1W . Nella RFI si prende come standard 1mW e si indica con dB_m lo standard del noise power.

dBm = 10log10(⁴¹⁰₁₀⁻²¹₋₃ ) = −174dB^m

Questo livello di noise power di −174dBm e’ spesso usato come riferimento ed e’ chiamato il

”noise floor”o il livello minimo di noise per un circuito elettronico che opera a temperatura ambiente. Questo significa che il Thermal Noise e’ il limite inferiore della risoluzione di qualsiasi sistema di misura.

Per ottenere il noise totale su tutta la banda, si deve integrare la densita’ spettrale sulla banda di frequenza che interessa.

Si consideri un sistema come in figura, dove una resistenza e’ usata come sorgente di rumore che e’ amplificato da un amplificatore passabanda ideale senza noise. Il noise di output totale della sorgente, misurato da un vero voltmetro che misura la rms, sara’ descritto dalla seguente

espressione:

E²_no= 4kT R Z ^∞

0 |Av(f )|²df (10)

che moltiplicata e divisa per A²₀ diventa

E_no² = 4kT RA²_vo Z ^∞

0

1

A²_vo|Av(f )|²df (11)

da cui si ricava

E_no² = 4kT RA²_vo∆f (12)

Qui la E_no² rappresenta la tensione quadratica media di output del noise a banda larga, mentre quella a banda stretta, cioe’ proprio la densita’ spettrale, sara’ E_no² /∆f = S(f ) = 4kT RA²_v. N.B.

Ricordarsi che si tratta di amplificatore ideale e senza noise!

3.2.1 Circuito equivalente del noise termico

Per fare un’analisi del rumore in un sistema elettronico, ogni elemento che genera rumore termico deve essere rappresentato da un circuito equivalente composto da un generatore di tensione in serie con una resistenza senza noise.

Si supponga di avere una resistenza R tra due capi a e b. Per l’analisi del rumore la resistenza R si sostituisce con un generatore di tensione di noise in serie con una resistenza senza noise dello stesso valore Ohmico. Il generatore di noise fornira’ una tensione E_i con lo rms uguale a

p(4kT R∆f ). Il noise sara’ misurato a diverse frequenze e sara’ definito dal valore di rms del suo output.

Un circuito equivalente con un generatore di corrente costante di noise, secondo il teorema di Norton, sara’ costituito da un circuito con la sorgente in parallelo alla resistenza. Il generatore di corrente di noise I_t avra’ un valore di rms pari a E_t/R.

3.2.2 Confronto del rumore termico e shot noise

La seguente figura mostra per confronto gli andamenti del noise termico per una resistenza R e lo shot noise di un diodo, da cui si deduce come la corrente di noise termico tende a decrescere all’aumentare all’aumentare della resistenza, mentre la corrente di shot noise tende a crescere.

3.2.3 kT/C noise limit

L’espressione del rumore termico Et=p(4kT R∆f ) predice che un circuito aperto ( resistenza infinita ) generi una tensione di rumore infinita. In pratica questo non capita perche’ c’e’ sempre una capacita’ parassita in giro, che si comporta come se fosse in parallelo, ( shunt capacitance ) che ne limita la tensione.

Si consideri il circuito equivalente con la combinazione di una resistenza con noise R e di una capacita’ di shunt. L’effetto della capacita’ e’ duplice per quanto riguarda la tensione di noise di output Eno, in quanto le basse frequenze sono esaltate mentre le alte frequenze sono tagliate.

All’aumentare di R si ha si’ l’aumento del rumore ma si ha contemporaneamente un taglio sulle alte frequenze e quindi una riduzione della larghezza di banda.

Dal plot seguente, output vs frequenza per una capacita’ costante e diversi valori di R, si vede come la tensione di noise cresce come la radice quadrata di R mentre la larghezza di banda decresce proporzionalmente alla resistenza; l’area totale sotto la curva, il noise quadratico medio, rimane costante. Il noise totale di output misurato da un vero rms-voltmetro con banda infinita risulterebbe, applicando la (10) ed integrando, E²_no= kT /C

Dalla relazione E_no² = kT /C si vede come la tensione di output del rms del noise e’ indipendente dalla resistenza sorgente e dipende solo dalla temperatura e dalla capacita’ ! Ora la maggior parte dell’energia e’ contenuta nella regione a basse frequenze perche’ quelle alte sono tagliate fuori dalla capacita’ C. Il limite di noise e’ indicato spesso come noise kT /C. Esso diventa importante

in applicazioni dove si utilizzano circuiti di sample and hold, tipo convertitori A/D o circuiti con capacita’ di switching.

Esempio Se si ha una stray shunting capacitance di C = 1pF , E_no² = 4 · 10⁻⁹V² =≃ 64µV che e’

una quantita’ significativa. Questo vuol dire che per minimizzare il rumore bisogna ridurre la bandwidth del sistema al valore strettamente necessario al fine di avere un buon rapporto segnale rumore.

3.3 Flicker Noise o 1/f Noise o Excess Noise o Noise a bassa frequenza

Il Flicker Noise e’ anche chiamato noise 1/f , esso ha diverse proprieta’ interessanti. Una di queste e’ un grosso problema, infatti la densita’ spettrale di questo noise cresce senza limiti come la frequenza decresce; e’ stato misurato un 1/f noise dell’ordine di 610⁻⁵Hz, che significa pochi cicli al giorno, Esso e’ presente in tutti i dispositivi attivi in cui scorre una corrennte ed ha diverse origini, ad esempio nei dispositivi a semiconduttore esso puo’ essere prodotto dalle discontinuita’

che la corrrente incontra per le imperfezioni del materiale. Il Flicker Noise e’ sempre associato ad una corrente dc, ed il valore dello scarto quadratico medio ha la forma:

< e² >=

Z

(K_e²/f )df, i² = Z

(K_i²/f )df (13)

Dove Ke e Ki sono le costanti appropriate del dispositivo ( in Volt e Amp ).

Il Flicker noise e’ piu’ importante nei resistori con composizione in carbone dove e’ spesso

chiamato piu’ propriamente excess noise poiche’ esso appare in aggiunta al thermal noise. Altri tipi di resistori esibiscono anche il flicker noise a diversi gradi, molto basso in quelli a lamine metalliche . Poiche’ il flicker noise e’ proporzionale alla corrente dc nel dispositivo, se la corrente e’ tenuta abbastanza bassa, il noise termico predominera’ ed il tipo di resistore usato non

modifichera’ il noise nel circuito.

I termini K_e²/f e K_i²/f sono le densita’ di potenza di tensione e corrente avente unita’ di V²/Hz e A²/Hz.

L’excess noise in un resistore si puo’ misurare in termini di un noise index espresso in dB. Il noise index e’ il numero di microvolt di noise in un resistore per volt di caduta di tensione dc nel resistore in ogni decade di frequenza. Cosi’ il noise in questo caso e’ espresso in termini di caduta di tensione, piuttosto che di resistenza o corrente. Poiche’ il noise ha uno spettro di potenza del tipo 1/f questo significa che la tensione del noise cresce come la radice quadrata della

diminuzione della frequenza. Diminuendo la frequenza di un fattore 10 la tensione di noise cresce di un fattore circa 3.

La potenza del noise tipicamente segue un caratteristico andamento 1/f^α , con α che ha usualmente il valore 1, ma che e’ stato osservato anche con valori tra 0.8 e 1.3 in diversi dispositivi. Il noise 1/f e’ molto generalizzato e non si trova solo nei dispositivi elettronici, ma anche in sistemi biologici; le fluttuazioni della frequenza della terra hanno un α di 2, mentre le fluttuazioni galattiche hanno una potenza con un α di 2.7.

Poiche’ la la potenza di noise e’ inversamente proporzionale alla frequenza, e’ possibile

determinare il contenuto del noise in una banda di frequenza integrando sulla banda di frequenza che interessa. Si ottiene che :

N_f = K Z fh

fl

df

f = Klnf_h

f_l (14)

essendo N_f la potenza del noise in watt, K una costante dimensionale anche lei in watt e f_l e f_h sono i limiti superiore ed inferiore della frequenza della banda considerata. La potenza di noise presente in ogni decade di frequenza, tale che f_h = 10f_l, vale N_f = 2.3K₁, che mostra come la potenza di noise sia costante in ogni banda di decade di frequenza; essa e’ uguale nella banda da 10 a 100 Hz come in quella di 0.01 e 01.1 HZ. Poiche’ il noise e’ scorrelato, gli rms di ogni decade devono essere sommati, quindi la potenza totale cresce come la radice quadrata del numero di decadi della banda di frequenza.

La densita’ spettrale della tensione di noise sara’ in questo caso S_f(f ) = E_f²/f , in V²/Hz. Se si ha 1µV di noise 1/f in una decade di frequenza allora

(1µV )² = Z 10fh

fl

S_f(f )df = Z 10fh

fl

E_f²df

f = 2.3E_f² (15)

Da cui si vede come la densita’ spettrale dl noise 1/f si riduca a S_f(f ) = ^{(1µV )}_2.3f². Da qui sorge la domanda: poiche’ la potenza di noise cresce al diminuire della frequenza perche’ il noise dc non e’

infinito? La domanda e’ corretta dal punto di vista teorico, ma dal punto di vista pratico ci sono delle limitazioni sul noise 1/f , infatti ad esempio in un amplificatore dc c’e’ un limite inferiore alla risposta in frequenza fissata dal tempo per cui l’amplificatore e’ stato acceso.Quasto limite inferiore attenua le componenti di frequenza con periodo maggiore a quel tempo.

Un esempio puo’ aiutare a spiegare meglio. Si consideri un amplificatore dc con una frequenza di taglio superiore di 1000Hz. E’ stato acceso per un giorno. Poiche’ 1 ciclo/giorno corrisponde a circa 10⁻⁵Hz, la sua larghezza di banda puo’ essere fissata in 8 decadi. Se rimane acceso per 100 giorni, si aggiungono altre due decadi o equivalentemente p(10/8) =√

1.25 = 1.18 volte il noise di 1 giorno. Il noise per Hertz approssima l’infinito, ma non il noise totale. Questo inoltre mostra come la accuratezza di misura del noise 1/f di un amplificatore dc non aumenta aumentando la durata del tempo di misura, diversamente dalla misura del white noise per cui l’accuratezza aumenta come la radice quadrata del tempo di misura.

3.4 Burst Noise

Il Burst Noise, chiamato anche popcorn noise, appare essere in relazione ad imperfezioni nel materiale semiconduttore ed all’impiantazione di ioni pesanti. Il burst noise fa un suono come un ticchettio ad una rate sotto i 100Hz quando si sente ad un altoparlante. Un burst noise molto basso si ottiene con un processo di pulitura del materiale.

3.5 Avalanche Noise

L’avalanche noise e’ creato quando una giunzione np e’ portata in condizione di breakdown con polarita’ inversa. Sotto l’influenza di un forte campo elettrico inverso nella regione di svuotamento della regione, gli elettroni hanno abbastanza energia cinetica che quando collidono con gli atomi del reticolo cristallino si formano altre coppie elettrone-lacuna. Queste collisioni sono puramente casuali e producono impulsi di corrente casuali simili allo shot nose, ma molto meno intensi.

4 Analisi del noise dei circuiti

4.1 Somma di tensioni di noise

Quando due sorgenti di tensioni di segnali sinusoidali, di uguale ampiezza e uguale

frequenza e fase, sono connesse in serie, la tensione risultante ha due volte l’ampiezza comune e le due combinate forniscono quattro volte la potenza di una singola. Se d’altra parte esse

differiscono in fase di 180^o la tensione e la potenza netta della coppia e’ nulla.

Nel caso di due sorgenti di tensione di segnali sinusoidali di frequenze differenti con ampiezze V₁ e V₂ connesse in serie , la tensione risultante ha un rms dell’ampiezza uguale a p(V₁²+ V₂²) e il valore quadratico medio dell’onda risultante V_r² e’ la somma dei valori quadratici medi delle componenti, V_r² = V₁²+ V₂².

I generatori di noise equivalente rappresentano un numero molto grande di componenti di frequenze con una distribuzione casuale di ampiezze e di fasi. Quando si mettono in serie generatori indipendenti di noise, la potenza in uscita e’ la somma delle potenze in uscita

individuali di ogni generatore e quindi esse si debbono combinare quadraticamente in modo che la tensione quadratica media risultante sia la somma delle tensioni quadratiche medie di ogni

generatore. Questo stesso vale per i generatori di corrente connessi in parallelo.

Nella figura sono indicate due sorgenti indipendenti e scorrelate, E₁ ed E₂, di rumore; la somma delle tensioni sara’ la somma quadratica dei valori quadratici medi, E² = E₁²+ E₂², lo rms sara’ la radice quadrata di questo valore medio.

Una regola pratica ci dice che se gli rms delle sorgenti sono diversi per ordini di grandezza, ad es.

se le tensioni rms di due sorgenti di noise sono tra di loro come 10:1 , il segnale piu’ piccolo aggiunge meno dell’1% alla tensione totale, un rapporto 3:1 aggiunge il 10%; queste regole pratiche debbono essere tenute in considerazione quando si calcola il noise totale.

Si supponga di avere due semplici circuiti composti da soli elementi resistivi, vedi figura seguente, (a) e (b), si vuole determinate la tensione di noise di output, E_no, dovuta al noise termico delle resistenze, di sorgente e non. Per semplicita’ si trascura il noise termico della resistenza di carico.

Applicando l’analisi circuitale lineare si ha

E_no= R_LE_t/(R_S+ R_L) (16)

= 0.5(4nV /√

Hz) = 2nV /√

Hz (17)

Questo metodo va bene nel caso (a), ma se si applicasse allo stesso modo al caso (b) si avrebbe un risultato errato, perche’ il noise non si combina linearmente, cioe’ il principio di sovrapposizione non vale nel caso di piu’ sorgenti di noise. La maniera giusta di procedere e’ quella di sommare quadraticamente :

E_no² = R²_LE_t1²/(R_s1+ R_S2+ +R_L)²+ R²_LE_t2²/(R_S1+ R_S2+ R_L)²

= (0.5)²(2.82nV /p(Hz)) + (0.5)²(2.82nV /√ Hz))²

= (0.5)(2.82nV /√

Hz))² = 4 · 10⁻¹⁸V²/Hz per cui E_no = 2nV /p(Hz)

Per evitare i problemi il modo di procedere e’ quello di combinare ogni elemento in serie o parallelo in un singolo elemento equivalente e poi calcolare il contributo al noise dell’elemento equivalente, vedi figura (c).

4.2 Correlazione

Finora si e’ parlato di sorgenti scorrelate, in cui non c’e’ nessuna relazione tra i valori istantanei delle tensioni. Se invece si hanno segnali, ad esempio di tipo sinusoidale, che hanno la stessa forma cioe’ la stessa frequenza e fase, anche se non hanno la stessa ampiezza, questi sono detti 100% correlati. I valori istantanei o gli rms di funzioni d’onda completamente correlate si debbono sommare aritmeticamente :(Et1+ Et2)² = E_t1² + E_t2² + 2Et1Et2. Quando sono parzialmente correlati, bisogna fare ricorso alla forma generica

E² = E₁²+ E₂²+ 2CE₁E₂

Il termine C e’ il coefficente di correlazione che puo’ avere ogni valore tra -1 e +1, compreso lo 0.

Naturale che C = 0 significa che le sorgenti sono scorrelate, caso precedente; quando C = 1 le sorgenti sono completamente correlate ed allora si possono sommare linearmente; nel caso di C = −1 le sorgenti sono correlate ma con fase opposta e quindi bisogna sottrarre i segnali correlati.

Come criterio pratico, in generale, si assume che le sorgenti siano completamente scorrelate, in quanto l’errore che si introduce mettendo C = 0 invece che C = 1 e’ pari ad evere nel calcolo del rms il valore 2 volte gli rms separati al posto di 1.4 volte, cioe’ e’ pari al 30%. Ancora minore se le sorgenti sono solo parzialmente correlate o se una e’ molto piu’ grande dell’altra; con un segnale che sia 10 volte maggiore dell’altro , trascurando questo secondo si fa un errore che la masimo e’

pari al 8, 6% che e’ una buona precisione nelle misure di rumore.

4.3 Analisi dei circuiti di reti con noise

Si prenda ad esempio lo schema semplificato dei seguenti circuiti, vedi figura seguente ;l’analisi circuitale che se ne puo’ fare e’ un buon modo per illustrarne i principi generali. Ricordarsi che ogni rete a due terminali si puo’ sempre ricondurre ad un circuito con un generatore di tensione ed una impedenza.

Nel primo circuito (a) una sorgente di segnale sinusoidale e’ connessa a due resistenze senza noise. Con la legge di Kirchhoff si puo’ scrivere V = IR1+ IR2. Quale sara’ il valore quadratico medio ? Poiche’ la sorgente e’ unica, naturalmente i segnali nei due elementi resistivi sono correlati non si puo’ scrivere (V )² = (IR₁)²+ (IR₂)² ma si deve aggiungere il termine di correlazione (V )² = (IR1)²+ (IR2)²+ 2CIR1IR2 e, in quanto esiste una sola corrente, la correlazione e’ 100%, quindi C=1. La relazione valida e’

V² = I²(R₁+ R₂)² (18)

Da qui la regola quando resistenze o impedenze sono connesse in serie, esse debbono essere prima sommate tra di loro e poi, se si tratta di quantita’ quadratiche medie, la somma deve essere elevata al quadrato.

Questo naturalmente vale anche se la sorgente V e’ una sorgente di rumore, perche’ ancora si tratta di una unica corrente che percorre il circuito.

Nel secondo circuito (b) si hanno due sorgenti di tensione di noise scorrelate ( o anche sorgenti sinusoidali di diverse frequenze ) in serie con due resistenze senza noise. La corrente in questo

circuito deve essere espressa in termini di valore quadratico medio, in cui non c’e il termine di correlazione essendo in questo caso C=0

I²= E₁²+ E₂²

(R₁+ R₂)² (19)

Un criterio generale, quando si hanno piu’ sorgenti di tensione, e’ quello di adottare il principio di sovrapposizione che dice : in una rete lineare la risposta per due o piu’ sorgenti che operano contemporaneamente e’ la somma delle risposte di ciascuna sorgente che opera singolarmente mentre le altre sorgenti di tensione sono cortocircuitate o, se sorgenti di corrente, sono a circuito aperto.

Nel caso (b) le correnti circolanti, considerate individualmente sono I₁ = E₁/(R₁+ R₂) e

I₂ = E₂/(R₁+ R₂). Essendo sorgenti scorrelate si ha I² = I₁²+ I₂²; inserendo i valori per I₁ ed I₂ si ottiene la (18).

Nel terzo circuito (c) le sorgenti sono correlate e quindi bisogna aggiungere il termine di correlazione (si vede dal segno di polarita’ che indica come le due sorgenti agiscono

coerentemente). Il termine quadratico medio quindi sara’ :

I² = E₁²+ E₂²+ 2CE1E2

(R₁+ R₂)² (20)

con 0 < C ≤ +1; se la polarita’ fosse tale da indicare che le sorgenti agiscono in modo opposto allora C prenderebbe i valori −1 ≤ C < 0. Ricordare che in caso di piena correlazione, C = 1 e quindi si puo’ scrivere (E = IR₁+ IR₂).

Si supponga che il circuito invece sia del tipo come illustrato, dove ci sono diverse correnti di noise scorrelate, e si voglia determinare la corrente I₁ che passa attraverso R₁.

Si usa il principio di sovrapposizione, si indica con I₁₁ il contributo a I₁ da parte di E₁ e con I₁₂ quello di E₂. Dal circuito si ottiene :

E₁² = I₁₁² [R₁+_(R^R2R3

2+R3]² e analogamente E₂² = I₂²[R₂+_(R^R1R3

1+R3]² Inoltre si ha I12= I2R3/(R1+ R3) e per I11 si scrive

I₁₁² = E₁²(R2+ R3)²

(R₁R₂+ R₁R₃+ R₂R₃)² (21)

e

I₁₂² = E₂²R²₃

(R1R2+ R1R3+ R2R3)² (22) da cui si ricava

I₁² = E₁²(R2+ R3)²+ E₂²R₃²

(R1R2+ R1R3+ R2R3)² (23) Si puo’ generalizzare il procedimento in questo modo: nel determinare la corrente totale di noise risultante da diverse sorgenti di noise scorrelate, il contributo di ciascuna sorgente deve essere sommato in modo tale che la corrente totale deve crescere per ogni termine aggiunto. Questo significa che nel calcolo delle E1 ed E2 nel circuito precedente non si debbono trovarsi termini con segno meno. Per giustificare l’assunzione ci sono diversi argomenti, non ultimo l’effetto termico delle correnti, che in ogni caso si somma. C’e’ la regola quindi che, quando di fa l’analisi del noise di reti con diverse sorgenti, si assegna una polarita’ alle sorgenti tale che non diano contributi negativi.

5 Modello del rumore in un amplificatore

Ogni componente di un circuito elettronico e’ sorgente di noise e un circuito come

l’amplificatore, che contiene molti componenti, sarebbe difficile da analizzare in termini di noise con l’analisi circuitale. A questo scopo si ricorre ad un modello di noise per

l’amplificatore per semplificare il calcolo, il modello En− Iⁿ, che prevede solo due parametri di noise, che non sono difficili da misurare.

Viene introdotto il concetto di noise figure e si dimostra che il primo stadio di una catena di amplificazione e’ quello che contribuisce maggiormente al noise e se l’amplificazione di questo stadio e’ sufficentemente alta si puo’ trascurare il contributo dagli altri stadi.

5.1 Il modello d tensione e corrente di noise

Esistono modelli universali per descrivere il noise per ogni rete a due porte. La rete e’

definita come un black box senza noise e le sorgenti interne di noise sono rappresentate generalmente da due coppie di generatori di noise, tensione e corrente, ( in totale 4 generatori ), sistemati all’input o all’output della rete od in entrambe le porte.

Il modello per l’amplificatore adottato prevede invece solo tre generatori di noise: un generatore di tensione, uno di corrente ed un generatore, se cosi’ si puo’ chiamare, costituito dal termine col coefficente di correlazione. Usualmente sono sufficenti due generatori perche’ il coefficente e’ uguale a zero.

Il modello della figura seguente puo’ essere usato per qualsiasi amplificatore, come pure per circuiti passivi, singoli transistori, diodi tunnel, amplificatori integrati (IC) etc. In figura e’

inserito anche un sensore che e’ splittato in tre parti: la sorgente di segnale Vin, intesa senza noise, una sorgente di noise, pure noiseless, e una resistenza di sorgente di noise Rs.

Il noise dell’amplificatore e’ rappresentato completamente da un generatore di tensione a zero impedenza En in serie con una porta di input, un generatore di corrente a impedenza

infinita In in parallelo con l’input, e da un coefficente di correlazione complesso C non indicato. Ciascuno di questi termini normalmente e’ indipendente dalla frequenza. Il noise termico della sorgente di segnale Vin e’ rappresentato dal generatore di noise Et.

Nel caso pratico interessa calcolare il rapporto segnale su rumore all’output del sistema. Ora poiche’ la rete di condizionamento del segnale prevede diversi stadi di amplificazione, shaping etc. risulta difficile valutare l’incidenza del rumore sul segnale sopratutto per le singole parti del circuito; e’ per questo che si adotta il criterio di riferire tutto il noise alla porta di input e si considera l’amplificatore libero da noise, in questo modo risulta facile apprezzare gli effetti di variazioni sia sul segnale che sul rumore.

Sia il parametro E_n che I_n sono scelti in modo da rappresentare adeguatamente un amplificatore.

5.2 Noise equivalente di input

Da quanto detto precedentemente per facilitare l’analisi di un circuito con amplificatore e’

opportuno fare ulteriori semplificazioni: Ridurre tutte le sorgenti di noise in input sono ad una sola sorgente: il noise equivalente di input, Eni. Questo parametro tiene conto di tutte le sorgenti di noise della sorgente di segnale. In questo modo, poiche’ il segnale ed il noise sono riferiti allo stesso punto, e’ facile valutarne il rapporto S/N. Nel circuito i livelli di tensione del segnale e del noise, che appaiono ai capi di Z_in, sono trasferiti all’output da una funzione di trasferimento che e’ il guadagno in tensione Av; quello che si vuole e’

calcolare questi livelli dopo il trasferimento. Per un segnale, la funzione di trasferimento dalla sorgente di segnale di input alla porta di output e’ chiamata guadagno di sistema Kt, quindi vale la definizione:

K_t= V_so Vin

(24) Da notare che Kt e’ altra cosa dal guadagno in tensione Av. Kt dipende sia

dall’impedenza di input dell’amplificatore che dalla resistenza della sorgente generatrice del segnale e varia con la frequenza, A_v invece dipende solo dall’impedenza di input

dell’amplificatore. Il segnale di tensione di output ha l’ rms che puo’ essere espresso come

Vso= |R^AS^vV+Z^inZZⁱⁿin| e sostituendo si ha per K^t, Kt= |R^AS^v+Z^Zinin|.

Nello studiare la risposta in termini di noise si deve sommare ogni contributo

quadraticamente. Il noise totale al terminale di output e’ E_no² = A²_vE_i². avendo indicato con E_i il noise equivalente presente al terminale di input; questo deve tenere conto di tutti i contributi nel seguente modo:

E_i² = (E_t²+ E_n²)| Zin

Z_in+ R_S|²+ I_n²|Zⁱⁿ||R^S|² (25) Notare il simbolo || utilizzato per indicare la combinazione in parallelo di Zⁱⁿ e RS. Ora si puo’ calcolare E_no come:

E_no² = A²_vE_i² = (E_t²+ E_n²)|A^v|²| Zin

Zin+ RS|²+ I_n²|A^v|²|Zⁱⁿ||R^S|² (26)

Il noise equivalente di input Ein, che rappresenta tutto il noise, sorgente + noise interno dell’amplificatore, e’ legato a Eno attraverso il guadagno di sistema, Kt, dalla relazione E_no² = K_t²/E_ni² , e quindi dividendo E_no² per il quadrato del guadagno del sistema Kt, si ottiene

E_ni² = E_t²+ E_n²+ I_n²R²_S (27)

Questa espressione e’ importante per l’analisi di molti problemi di noise, perche’ puo’ essere applicata a sistemi che contengono dispositivi attivi. Notare la semplicita’, essa dice che il valore quadratico medio del noise equivalente di input e’ la somma dei valori quadratici medi dei tre generatori di noise. Questa unica sorgente di noise, localizzata nel punto della Vin, sostituisce tutte le sorgenti di rumore. In altre parole la singola sorgente di rumore E_ni² inserita in serie con la sorgente di segnale Vin produrra’ lo stesso output totale di noise,E_no² . Notare che E_ni² e’ indipendente dal guadagno dell’amplificatore e dalla sua impedenza. E’

questa indipendenza dal guadagno ed impedenza che rende E_ni² l’indice piu’ utile per confrontare le caratteristiche di noise di amplificatori e dispositivi.

Se i generatori di tensione e correnti di noise non sono indipendenti, ma in qualche modo hanno una correlazione, bisogna tenerne conto ed inserire nella espressione il termine con il fattore di correlazione; si ha in questo caso :

E_ni² = E_t²+ E_n²+ I_n²R²_S+ 2CEnInRS

Il termine di correlazione si puo’ vedere come un altro elemento generatore di tensione di noise con rms pari a p(2CEnInRS) in serie con En oppure un generatore di corrente p(2CEnI_n/R_S) in parallelo a I_n.

5.3 Misura di E_n e I_n

Uno dei motivi per cui il modello En− Iⁿ e’ largamente accettato e’ la facilita’ della misura dei suoi parametri. Partendo dalla espressione:

E_ni² = E_t²+ E_n²+ I_n²R²_S

(28)

Il noise termico della resistenza di sorgente Et puo’ essere facilmente calcolato

E_t=p(4kT RS∆f )

Inoltre si puo’ osservare che se RS viene messo a zero, due termini della espressione scompaiono ed il noise equivalente di input e’ semplicemente il generatore di noise En

dell’amplificatore. Una misura del noise totale di output, con RS = 0 , e’ quindi uguale a AvEn, e dividendo quindi il noise totale di output con Av si ha il valore di En.

Il terzo parametro della espressione In, corrente di noise interna dell’amplificatore, nel termine InRS, si puo’ misurare rendendo la resistenza della sorgente molto grande. Il contributo del noise termico e’ proporzionale alla radice quadrata della resistenza di

sorgente mentre il termine InRS e’ proporzionale alla prima potenza della resistenza, quindi per RS molto grande questo termine domina sul termine termico. Per determinare In allora si misura il noise totale di output avendo come input una grande resistenza e si divide per il guadagno di sistema che si calcola con questa resistenza di sorgente in serie in input.

Questo da’ il valore E_ni, che e’ formato principalmente dal termine I_nR_S, per cui dividendo per RS si ottiene la componente In. Il piccolo contributo dal noise termico, se si ritiene necessario, si puo’ togliere successivamente da Eni.

I valori di En e In variano con la frequenza, il punto di lavoro e dal tipo di dispositivo amplificatore di input. Ci sono tabelle di misure a questo scopo che si possono consultare.

Il noise equivalente di input, Eni, e’ valido per una determinata banda di frequenza; se e’

necessario lavorare su una banda piu’ ampia, si suddivide la banda in parti discrete , per ognuna si calcola la Eni o si misura e poi si calcola il valore quadratico medio della somma, in questo modo e’ come se si integrasse il noise equivalente di input funzione della

frequenza sul range di frequenza che interessa. Ci sono altri modi, come la integrazione numerica diretta o usando PSpice.

5.4 Esempi di noise di input

Nei due grafici della figura che segue sono mostrati due plot di tensioni equivalenti di noise di input verso la resistenza di input. Come pure sono mostrati i valori di En e InRS per due amplificatori e l’andamento del noise termico di sorgente Et.

Nei plot e’ indicata tratteggiata la Eni come somma del termine En, del termine termico di sorgente Es e del termine InRS con l’impedenza. Si vede chiaramente come a bassi valori della resistenza di sorgente, solo la En e’ importante; al crescere della resistenza di input il noise termico della sorgente incomincia a diventare importante, a valori grandi di RS il noise equivalente di input eguaglia il termine InRS.

Nel plot superiore si vede come il contributo maggiore derivi dal termine InRS, mentre nel plot inferiore il termine dominante per una gran parte del range sia il termine ES, il noise termico. Abbassare i valori di E_n e I_n contribuisce ad aumentare il range dove il noise termico e’ dominante. Questo e’ il caso ottimale in cui il noise principale e’ quello termico.

Curve di questo tipo sono applicabili a tutti i tipi di dispositivi attivi. Differiscono i livelli.

Con op-amp BJT o CMOS ci si aspetta che En sia al di sopra delle frequenze del ginocchio del noise 1/f ; per i dispositivi FET o amplificatori con FET al primo stadio la corrente di noise In puo’ essere tipicamente solo 1/100 dei valori dati nei plot.

5.5 Figura di noise (NF) e rapporto segnale su rumore (S/N)

Un parametro importante nella valutazione del noise di un dispositivo o circuito e’ il cosidetto noise factor F. Secondo gli standard IEEE, il noise factor di un dispositivo a due porte e’ il rapporto tra la potenza di noise di output disponibile per unita’ di bandwidth e la porzione di quel noise causata dalla sorgente attuale collegata ai terminali di input del dispositivo, misurata alla temperatura standard di 17^oC o di 290 K. In forma di equazione si puo’ scrivere come

F = P otenzatotaledinoisedioutputdisponibile

P orzionedipotenzadinoisecausatadallaEtdellaresistenzadisorgente. Una definizione piu’ usabile di noise factor F e’ la seguente

F = Rapportosegnalenoisediinput

Rapportosegnalenoisedioutput = _S^Si/Ni

o/No

Il noise factor, essendo un rapporto di potenze, si puo’ esprimere in dB; si chiama noise figure, NF, il logaritmo del noise factor:

NF = 10logF .

La NF e’ una misura della degradazione del rapporto S/N attribuita all’amplificatore. Per un amplificatore perfetto, uno che non aggiunge rumore al rumore termico della sorgente, il noise factor e’ F = 1 e la noise figure NF = 0dB.

In termini di En e In la noise figure NF e’ definita come : NF = 10logE_ni²

E_t² = 10logE_t²+ E_n² + I_n²R²_S

E_t² (29)

da cui si vede che la NF puo’ essere espressa come il rapporto tra il noise equivalente quadratico medio di input e il noise quadratico medio termico della sorgente. Una stima di NF si puo’ ottenere dai plot precedenti rapportando i valori delle curve tratteggiate a quelli del noise termico. A bassi valori di resistenza il rapporto e’ molto grande e la NF e’ quindi grande, che significa una scarsa qualita’ di prestazione. Come la resistenza della sorgente aumenta il noise termico aumenta ma non quello totale, per cui la NF cresce. Quando E_n= I_nR_S allora E_ni e’ piu’ vicino al noise termico, questo e’ il punto di minimo del NF. A valori di resistenza piu’ alto il noise totale segue la InRS e il NF diventa di nuovo grande.

Da ricordare che la definizione di NF usata qui e’ riferita alla temperatura standard di 290K. Nel caso di sensori che sono tenuti a temperatura piu’ bassa il valore di NF puo’

anche risultare negativo.

Il termine fattore spot di noise, Fo, quando e’ usato per descrivere il noise di un sistema, sta ad indicare un fattore di noise F a banda stretta, spesso e’ definito per ∆f = 1Hz, e chiaramente e’ funzione della frequenza per cui si indica semplicemente con F (f ).

Il noise factor F serve solo per valutare amplificatori o dispositivi amplificanti, non come parametro per ottimizzarne il rumore, mentre sono utilizzati Eni e So/No.

5.6 Resistenza di sorgente ottimale

Nei plot, il punto di minimo approccio tra la curva del noise equivalente totale e quella del noise termico e’ importante, perche’ indica il punto in cui l’amplificatore aggiunge un noise minimo al noise termico della sorgente e la NF ha il suo minimo. Questa resistenza di sorgente ottimale e’ chiamata Ropt o Ro e si ricava come

R_o = E_n/I_n per E_n = I_nR_S.

Il noise factor F a questo punto e’ indicato come Fopt e risulta valere Fopt = 1 + (EnIn/2kT ∆f ).

Nella figura seguente e’ mostrato come varia la NF in funzione della resistenza. Il valore minimo della NF si ha per RS = Ro; Fopt cresce come il prodotto di En e In e cosi’ pure la NF, che e’ anche piu’ sensibile alla variazone. Dal plot si vede come la curva inferiore non sai troppo sensibile alla variare del rapporto R_S/R_o per un largo range, mentre la curva superiore mostra una variazione grande quando la resistenza di sorgente si discoscosta da Ro e questo e’ indice di un non buon funzionamento.

Da un punto di vista pratico, se la NF e’ inferiore a 3dB, non vale la pena di continuare gli sforzi per ridurre il noise perche’ di questo la meta’ almeno arriva dalla sorgente.

La resistenza di sorgente ottimale non serve per massimizzare il trasferimento di potenza, non c’e’ relazione tra Ro e la impedenza di input dell’amplificatore Zi. La Ro e’ determinata